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6.3.2　二项式系数的性质
1.理解和掌握二项式系数的性质,提升数学抽象的核心素养.
2.能利用二项式系数的性质解决相关问题,发展数学运算和逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点一　对称性
等距离
知识点二　增减性与最大值
1.增减性
增大
减小
2.最大值
当n是偶数时,中间的一项 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项 与
相等,且同时取得最大值.
知识点三　各二项式系数的和
2n
2n-1
知识清点
【解析】 只有第5项的二项式系数最大,故展开式共有9项,所以n=8.故选D.
1.已知(a+b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于(　　)
A.11 B.10 C.9 D.8
D
【解析】 由a=7,可知b左肩上的数为6,右肩上的数为11+5=16,
所以b=6+16=22.故选C.
2.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,a,b是某行的前两个数,当a=7时,b等于(　　)
A.20 B.21
C.22 D.23
C
【解析】 因为(2x-1)n的展开式中二项式系数之和为2n,各项系数之和为1,所以(2x-1)n的展开式中二项式系数之和与各项系数之和的比值为2n.故选D.
3.[人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6 T3(5)改编]在(2x-1)n的展开式中,二项式系数之和与各项系数之和的比值为(　　)
A.1 B.2 C.2n-1 D.2n
D
4.在(a-b)10的二项展开式中,系数最小的项是　 　　　.
-252a5b5
【解析】 因为(2-x)6=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a6(1+x)6,令x=0,
所以a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=26=64.
5.设(2-x)6=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a6(1+x)6,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6等于
　　　　.
64
课堂探究·素养培育
题型一　二项式系数的和
2 160
B
题型二　二项展开式的各项系数的和
[例2] (2025·江西抚州期末)若(1-2x)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+
a5(x-1)5,则下列结论正确的是(　　)
A.a0=1
B.a4=80
C.|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35
C
解题策略
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+
bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令 x=1即可.
(2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
解题策略
-23 038
题型三　二项式系数性质的应用
(3)求展开式中系数的绝对值最大的项.
解题策略
(1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况进行判断,一般采用列不等式组,解不等式组的方法求得.
(2)求展开式中系数最大的项.6.3.2　二项式系数的性质
【课程标准要求】　
1.理解和掌握二项式系数的性质,提升数学抽象的核心素养.
2.能利用二项式系数的性质解决相关问题,发展数学运算和逻辑推理的核心素养.
知识点一　对称性
在(a+b)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=.
知识点二　增减性与最大值
1.增减性
当k<时,随k的增加而增大;当k>时,随k的增加而减小.
2.最大值
当n是偶数时,中间的一项 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项 与 相等,且同时取得最大值.
知识点三　各二项式系数的和
1.+++…+=2n.
2.+++…=+++…=2n-1.
知识清点
1.已知(a+b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于(　　)
A.11 B.10 C.9 D.8
【答案】 D
【解析】 只有第5项的二项式系数最大,故展开式共有9项,所以n=8.故选D.
2.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,a,b是某行的前两个数,当a=7时,b等于(　　)
A.20 B.21 C.22 D.23
【答案】 C
【解析】 由a=7,可知b左肩上的数为6,右肩上的数为11+5=16,所以b=6+16=22.故选C.
3.[人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6 T3(5)改编]在(2x-1)n的展开式中,二项式系数之和与各项系数之和的比值为(　　)
A.1 B.2 C.2n-1 D.2n
【答案】 D
【解析】 因为(2x-1)n的展开式中二项式系数之和为2n,各项系数之和为1,所以(2x-1)n的展开式中二项式系数之和与各项系数之和的比值为2n.故选D.
4.在(a-b)10的二项展开式中,系数最小的项是　　　　.
【答案】 -252a5b5
【解析】 在(a-b)10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,故系数最小项为T6=a5·(-b)5=-252a5b5.
5.设(2-x)6=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a6(1+x)6,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6等于　　　　.
【答案】 64
【解析】 因为(2-x)6=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a6(1+x)6,令x=0,所以a0+a1+a2+a3+a4+a5+
a6=26=64.
题型一　二项式系数的和
[例1] 在(2-)n的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为64,则展开式中的常数项为　　　　.
【答案】 2 160
【解析】 由题意可得2n=64,解得n=6,
所以该二项式为(2-)6,
则通项为Tk+1=(2)6-k(-)k=(-3)k26-k,k=0,1,2,…,6.
令=0,解得k=2,
所以该二项展开式中的常数项为T3=×24×(-3)2=2 160.
[方法迁移] 在(+)n的展开式中,所有奇数项的二项式系数之和为1 024,则中间项的二项式系数是(　　)
A.330 B.462 C.682 D.792
【答案】 B
【解析】 因为二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n,而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等,故由题意得2n-1=1 024,所以n=11,所以展开式共12项,中间项为第6项、第7项,其二项式系数为==462.故选B.
题型二　二项展开式的各项系数的和
[例2] (2025·江西抚州期末)若(1-2x)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5,则下列结论正确的是(　　)
A.a0=1
B.a4=80
C.|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35
D.(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=
【答案】 C
【解析】 对于A,令x=1,可得a0=-1,所以A错误;对于B,(1-2x)5=[-1-2(x-1)]5,由二项展开式的通项得a4=×(-1)1×(-2)4=-80,所以B错误;对于C,|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|与[1+2(x-1)]5的系数之和相等,令x-1=1,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35,所以C正确;对于D,令x=2,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=-35,令x=0,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=1,解得a0+a2+a4=,a1+a3+a5=,所以(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=,所以D错误.故选C.
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令 x=1即可.
(2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(3)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
[方法迁移] 在(x-)2 026的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=时,S等于　　　　.
【答案】 -23 038
【解析】 由题得(x-)2 026=a0x2 026+a1x2 025+…+a2 025x+a2 026,
所以当x=时,有0=()2 026a0+()2 025a1+…+a2 025+a2 026,①
当x=-时,有=a0-·a1+…-a2 025+a2 026,②
所以①-②得-23 039=2×()2 025a1+…+2a2 025=2S,故S=-=-23 038.
题型三　二项式系数性质的应用
[例3] 已知(-)n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和;
(2)求展开式中含的项;
(3)求展开式中系数的绝对值最大的项.
【解】 因为(-)n的展开式的通项是Tk+1=()n-k·(-)k=(-2)k(0≤k≤n,k∈N),所以T5=T4+1=24,T3=T2+1=22.
因为=,所以n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去).
(1)令x=1,则(-)8=(1-2)8=1,
即展开式中各项系数的和为1.
(2)展开式的通项为Tk+1=(-2)k(0≤k≤8,k∈N).
令=,解得k=1,
所以展开式中含的项为T2=T1+1=(-2)1=-16.
(3)展开式的第k项、第k+1项、第k+2项的系数的绝对值分别为2k-1,2k,2k+1.
若第k+1项的系数绝对值最大,
则有解得5≤k≤6,
故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项,
即T6=-1 792,T7=1 792x-11.
(1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况进行判断,一般采用列不等式组,解不等式组的方法求得.
[方法迁移] (2025·江苏扬州月考)已知(+3x2)n的展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
【解】 令f(x)=(+3x2)n,令x=1,则展开式中各项的系数之和为 f(1)=(1+3)n=4n,
又展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意知,4n-2n=992,所以(2n)2-2n-992=0,
所以(2n+31)(2n-32)=0,
所以2n=-31(舍去)或2n=32,所以n=5.
(1)由于n=5为奇数,
所以展开式中二项式系数最大的项为中间的两项,它们分别为T3=()3·(3x2)2=90x6,
T4=()2·(3x2)3=270.
(2)展开式的通项为Tk+1=·3k·,
假设Tk+1项系数最大,则
所以
即所以≤k≤,
因为k∈N,所以k=4,
所以展开式中系数最大的项为T5=×34=405.
课时作业
1.在(2+x)6的展开式中,二项式系数最大的项是(　　)
A.第3项和第4项 B.第4项和第5项
C.第3项 D.第4项
【答案】 D
【解析】 (2+x)6的展开式共有7项,所以二项式系数最大的项为中间一项,即第4项.故选D.
2.在(1+x)n(n∈N*)的二项展开式中,若只有x5的系数最大,则n等于(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】 C
【解析】 由题意,在(1+x)n的展开式中,x5的系数就是第6项的二项式系数,因为只有它是二项式系数中最大的,所以n=10.故选C.
3.(2025·北京昌平月考)若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6且a0+a1+a2+…+a6=64,则实数m的值为(　　)
A.1 B.-1
C.-3 D.1或-3
【答案】 D
【解析】 令x=1可得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6=64,因此可得1+m=±2,解得m=1或m=-3.故
选D.
4.(2025·四川达州月考)在(x2-)n的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则该展开式的常数项是(　　)
A.-15 B.-20 C.15 D.20
【答案】 C
【解析】 因为只有第4项的二项式系数最大,得n=6,所以(x2-)n的展开式的通项为Tk+1=
(x2)6-k·(-)k=(-1)kx12-3k.令12-3k=0,得k=4,所以展开式中的常数项是(-1)4=15.故选C.
5.(2025·黑龙江期末)在(x4+)n的二项展开式中,各二项式系数之和为A,各项系数之和为B,若B-A=240,则n=(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】 B
【解析】 由(x4+)n,令x=1可得各项系数之和B=4n,又各二项式系数之和A=2n,因为B-A=240,所以4n-2n=240,解得2n=16或2n=-15(舍去),所以n=4.故选B.
6.若(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512,且第6项的系数最大,则a的取值范围为(　　)
A.(-∞,0)∪[2,3]
B.(-∞,0)∪[,]
C.[2,3]
D.[,]
【答案】 C
【解析】 由题意得2n=512,n=9,T6=24(ax)5,T5=25(ax)4,T7=23(ax)6,
因为第6项的系数最大,所以
则2≤a≤3.故选C.
7.(多选)(2025·山东枣庄月考)对任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9,则下列结论正确的是(　　)
A.a2=-144
B.a0=1
C.a0+a1+a2+a3+…+a9=1
D.a0-a1+a2-a3+…-a9=-39
【答案】 ACD
【解析】 对任意实数x有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9=[-1+2(x-1)]9,所以a2=-×22=-144,故A正确;令x=1,可得a0=-1,故B不正确;令x=2,可得a0+a1+a2+…+a9=1,故C正确;令x=0,可得a0-a1+a2-a3+…-a9=-39,故D正确.故选ACD.
8.若(x+1)n的展开式中第5项的二项式系数最大,则正整数n的值可以为　　　　.(只写一个即可)
【答案】 7(7,8,9填一个即可)
【解析】 若只有第5项的二项式系数最大,则展开式共有9项,所以n=8,若第4项和第5项的二项式系数相等且最大,则展开式共有8项,所以n=7,若第5项和第6项的二项式系数相等且最大,则展开式共有10项,所以n=9.
9.已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是-35,则各项系数的最大值是　　　　.
【答案】 35
【解析】 因为(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,所以a4=·(-m)3,
又因为二项展开式中x4的系数是-35,所以·(-m)3=-35,
所以m=1,所以二项展开式的通项为Tr+1=·x7-r·(-1)r,系数为(-1)r,
当r=4时,系数最大为=35.
10.(2025·浙江台州期中)已知(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10,x∈R.
(1)求a3的值;
(2)求a1+a2+a3+…+a10的值;
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|的值.
【解】 (1)二项式(2x-1)10展开式的通项为Tk+1=(2x)10-k(-1)k(0≤k≤10且k∈N),
所以T8=(2x)3(-1)7=-960x3,所以a3=-960.
(2)令x=0,得a0=1,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(2-1)10=1,
所以a1+a2+…+a10=0.
(3)因为展开式的通项为Tk+1=(2x)10-k·(-1)k(0≤k≤10且k∈N),
所以当k为奇数时,项的系数为负数.
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=a0-a1+a2-…+a10,
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=(-3)10=310,
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=310.
11.(2025·福建宁德期末)在二项式(-)n的展开式中,　　　　.
给出下列条件:
①展开式前3项的二项式系数的和等于37;
②展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7∶2;
③所有偶数项的二项式系数的和为128.
试在上面三个条件中选择一个补充在横线上,并且回答下列问题.
(1)求(-)n的展开式中x的系数;
(2)写出(-)n的展开式中二项式系数最大的项.
【解】 (1)(-)n的展开式中第r+1项的二项式系数为.
若选①,则++=37,+n+1=37,即n2+n-72=0,(n+9)(n-8)=0,
解得n=8或n=-9(舍去).
若选②,则∶=7∶2,解得n=8.
若选③,则2n-1=128,解得n=8.
综上可得,二项式为(-)8.
则展开式的通项为Tr+1=()8-r(-)r=(-2)r,令=1,解得r=2,
所以T3=(-2)2x=112x,即展开式中x的系数为112.
(2)因为(-)8的展开式中一共含有9项,
故第5项二项式系数最大,T5=(-2)4x-2=1 120x-2,即展开式中二项式系数最大的项为1 120x-2.
12.(多选)(2025·辽宁大连模拟)设(1-2x)2 025=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 025x2 025,m=ai,s=-a2i+1,则(　　)
A.a0=1
B.m=1
C.s=
D.若[x]表示正数x的整数部分,则s-[s]=
【答案】 ACD
【解析】 对于A,令x=0,可得a0=1,故A正确;
对于B,令x=1,可得m=a0+a1+a2+…+a2 025=-1,故B错误;
对于C,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a2 024-a2 025=32 025,
所以(a0+a1+a2+…+a2 025)-(a0-a1+a2-a3+…+a2 024-a2 025)=-32 025-1,
所以a2i+1=,所以s=-a2i+1=-×=,故C正确;
对于D,s==
=
=
=
=3×(+81+…+81 011)+,
所以s-[s]=,故D正确.故选ACD.
13.在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,x4的系数是首项为-2,公差为3的等差数列的第
　　　　项.
【答案】 20
【解析】 (1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,x4的系数为++=++=55,以-2为首项,3为公差的等差数列的通项公式为an=-2+3(n-1)=3n-5,令an=55,即3n-5=55,解得n=20.
14.已知在(ax-)n的展开式中,第4项与第6项的二项式系数相等.
(1)求n的值;
(2)若其展开式中x4的系数为-1 792,求其展开式中系数的绝对值最大的项.
【解】 (1)因为=, 所以n=8.
(2)(ax-)8的展开式的通项为Tr+1=(ax)8-r·(-)r=·a8-r·(-1)r.
令8-r=4,得r=3,
所以展开式中x4的系数为-a5=-1 792,得a5=32,
所以a=2,
所以二项式(2x-)8的展开式的通项为Tr+1=·28-r·(-1)r,
设第r+1项为系数绝对值最大的项,
则
解得2≤r≤3,
又因为r∈N且r≤8,所以r=2或r=3,
所以展开式中系数的绝对值最大的项为T3=·26·(-1)2·=1 792和T4=·25·(-1)3·x4=-1 792x4.

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