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7.1　条件概率与全概率公式
7.1.1　条件概率
第七章　随机变量及其分布
1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率,理解条件概率与独立性的关系,提升数学抽象的核心素养.
2.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点一　条件概率及计算方法
A
B
知识点二　概率的乘法公式
对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)= .
P(A)P(B|A)
「知识拓展」
设A,B,C为三个事件,且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=
P(C|AB)·P(B|A)P(A).
知识点三　条件概率的性质
设P(A)>0,则
(1)0≤P(B|A)≤1.
(2)P(Ω|A)=1.
(3)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)= .
P(B|A)+P(C|A)
P(B|A)
(5)若事件A与B相互独立,即P(AB)= ,且P(A)>0,则P(B|A)=P(B);反之,若 P(B|A)=P(B),且P(A)>0,则事件A与B相互独立.
P(A)P(B)
知识清点
A
2.已知在8个球(球除颜色外,其余均相同)中,有2个白球,6个红球,每次任取一个球,取出后不再放回,则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为
(　　)
B
D
课堂探究·素养培育
题型一　对条件概率的理解
[例1](多选)下列说法正确的是(　 　)
A.事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生
B.P(B|A)相当于事件A发生的条件下,事件AB发生的概率
C.P(B|A)和P(A|B)相同
D.若事件A,B互斥,则P(B|A)=0
BD
【解析】 对于A,事件A发生的条件下,事件B发生,表示为B|A,A,B同时发生,表示为AB,两个是不同概念,故A错误;对于B,P(B|A)相当于在事件A发生的条件下,事件AB发生的概率,故B正确;对于C,P(B|A)是指在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,而P(A|B)是指在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同,故C错误;对于D,若事件A,B互斥,则事件A∩B是不可能事件,P(A∩B)=0,所以P(B|A)=0,故D正确.故选BD.
解题策略
判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是不是在另一个事件发生的条件下进行的.
[方法迁移] 下面几种概率是条件概率的是(　　)
A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,各投篮一次都投中的概率
B.有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率
C.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C
【解析】 条件概率是指某一事件已发生的条件下,另一事件发生的概率,所以甲、乙各投篮一次都投中的概率,不是条件概率;抽2件产品恰好抽到一件次品,不是条件概率;甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率,是条件概率;一次上学途中遇到红灯的概率,不是条件概率.故选C.
题型二　求条件概率
[例2](1)小智和电脑连续下两盘棋,已知小智第一盘获胜的概率是0.5,小智连续两盘都获胜的概率是0.4,那么小智在第一盘获胜的条件下,第二盘也获胜的概率是(　　)
A.0.4 B.0.8 C.0.2 D.0.5
B
(2)集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人从A中各取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,则在甲抽到奇数的条件下,乙抽到的数比甲抽到的数大的概率为　　　.
解题策略
条件概率的求法
[方法迁移] (2025·江苏无锡月考)现准备在迎新晚会安排6个节目,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,则第1次抽到舞蹈节目的概率为　　　　,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为　　　　.
题型三　概率的乘法公式
(2)甲袋中有4个白球、3个黑球,乙袋中有2个白球、3个黑球(球除颜色外,其余均相同),先从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球返还甲袋. 则经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率为　　　　.
解题策略
应用概率的乘法公式解决实际问题的一般步骤
概率的乘法公式是一种计算“积事件”概率的方法,若不容易直接计算P(AB)时,则可按下列步骤求“积事件”的概率:
(1)首先判断实际问题是否可以应用乘法公式求解,即对任意两个事件A与B,是否有P(A)>0.
(2)根据已知条件表示出各事件的概率.
(3)代入乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)求出所要求的概率.
[方法迁移] 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好去试拨,他第一次失败、第二次成功的概率是(　　)
A
题型四　条件概率性质的应用
A
(2)有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为　　　　.
解题策略
条件概率的性质及应用
(1)利用公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)可使条件概率的计算较为简单,但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”.
(2)为了求复杂事件的概率,往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件,求出简单事件的概率后,相加即可得到复杂事件的概率.
[方法迁移] (多选)(2025·福建联考模拟)已知某工人需至少使用甲、乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测,记事件A=“该工人在检测过程中使用过甲仪器”,事件B=“该工人在检测过程中使用过乙仪器”,事件C=“该工人在检测过程中使用过甲、乙两种仪器”,事件D=“该工人在检测过程中仅使用过甲、乙两种仪器中的一种”,已知P(A)=0.6,P(B)=0.5,则(　　 )
A.A与B相互独立
B.C与D互为对立事件
BCD7.1.1　条件概率
【课程标准要求】　
1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率,理解条件概率与独立性的关系,提升数学抽象的核心素养.
2.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
知识点一　条件概率及计算方法
1.条件概率:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
2.条件概率的计算方法
(1)定义法:P(B|A)=.
(2)缩小样本空间法:P(B|A)=.
知识点二　概率的乘法公式
对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).
知识拓展
设A,B,C为三个事件,且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)·P(B|A)P(A).
知识点三　条件概率的性质
设P(A)>0,则
(1)0≤P(B|A)≤1.
(2)P(Ω|A)=1.
(3)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
(4)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A).
(5)若事件A与B相互独立,即P(AB)=P(A)P(B),且P(A)>0,则P(B|A)=P(B);反之,若 P(B|A)=P(B),且P(A)>0,则事件A与B相互独立.
知识清点
1.已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 由公式得P(B|A)===×=.故选A.
2.已知在8个球(球除颜色外,其余均相同)中,有2个白球,6个红球,每次任取一个球,取出后不再放回,则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 设第一次取到白球为事件A,则P(A)==,设第二次取到白球为事件B,则P(B|A)=,所以P(AB)=P(A)·P(B|A)=×=.故选B.
3.(2025·云南曲靖模拟)已知P(M)=0.4,P(|M)=0.5,则P(MN)=(　　)
A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2
【答案】 D
【解析】 因为P(|M)=0.5,由对立事件概率计算公式可得P(N|M)=1-0.5=0.5,则P(MN)=P(M)·P(N|M)=0.4×0.5=0.2.故选D.
题型一　对条件概率的理解
[例1](多选)下列说法正确的是(　　)
A.事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生
B.P(B|A)相当于事件A发生的条件下,事件AB发生的概率
C.P(B|A)和P(A|B)相同
D.若事件A,B互斥,则P(B|A)=0
【答案】 BD
【解析】 对于A,事件A发生的条件下,事件B发生,表示为B|A,A,B同时发生,表示为AB,两个是不同概念,故A错误;对于B,P(B|A)相当于在事件A发生的条件下,事件AB发生的概率,故B正确;对于C,P(B|A)是指在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,而P(A|B)是指在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同,故C错误;对于D,若事件A,B互斥,则事件A∩B是不可能事件,P(A∩B)=0,所以P(B|A)=0,故D正确.故选BD.
判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是不是在另一个事件发生的条件下进行的.
[方法迁移] 下面几种概率是条件概率的是(　　)
A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,各投篮一次都投中的概率
B.有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率
C.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
D.小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是,小明在一次上学途中遇到红灯的概率
【答案】 C
【解析】 条件概率是指某一事件已发生的条件下,另一事件发生的概率,所以甲、乙各投篮一次都投中的概率,不是条件概率;抽2件产品恰好抽到一件次品,不是条件概率;甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率,是条件概率;一次上学途中遇到红灯的概率,不是条件概率.故选C.
题型二　求条件概率
[例2](1)小智和电脑连续下两盘棋,已知小智第一盘获胜的概率是0.5,小智连续两盘都获胜的概率是0.4,那么小智在第一盘获胜的条件下,第二盘也获胜的概率是(　　)
A.0.4 B.0.8 C.0.2 D.0.5
(2)集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人从A中各取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,则在甲抽到奇数的条件下,乙抽到的数比甲抽到的数大的概率为　　　　.
【答案】 (1)B　(2)
【解析】 (1)设事件A为“小智第一盘获胜”,事件B为“小智第二盘获胜”,则P(AB)=0.4,P(A)=0.5,因此,小智在第一盘获胜的条件下,第二盘也获胜的概率是P(B|A)===0.8.故选B.
(2)将“甲抽到数字a,乙抽到数字b”记作(a,b),甲抽到奇数的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15种.在这15种情形中,乙抽到的数比甲抽到的数大的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9个,所以所求概率P==.
条件概率的求法
(1)定义法.利用定义,分别求P(A)和P(AB),得 P(B|A)=,这是通用的求条件概率的方法.
(2)缩小样本空间法.
①缩:将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A,原来的事件B缩小为AB.
②数:数出A中事件AB所包含的基本事件.
③算:利用P(B|A)=求得结果.
[方法迁移] (2025·江苏无锡月考)现准备在迎新晚会安排6个节目,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,则第1次抽到舞蹈节目的概率为　　　　,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为　　　　.
【答案】 　
【解析】 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B,则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
从6个节目中不放回地依次抽取2个,总的事件数n(Ω)==30.
根据分步乘法计数原理,有n(A)==20,
所以P(A)===.
因为n(AB)==12,
所以P(AB)===.
所以在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)===.
题型三　概率的乘法公式
[例3] (1)气象资料表明,某地区每年4月份吹东风的概率为 ,在吹东风的条件下,下雨的概率为 ,则该地区4月份既吹东风又下雨的概率为　　　　.
(2)甲袋中有4个白球、3个黑球,乙袋中有2个白球、3个黑球(球除颜色外,其余均相同),先从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球返还甲袋. 则经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率为　　　　.
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)记“4月份吹东风”为事件A,“4月份下雨”为事件B,由题意得,P(A)=,P(B|A)=,由条件概率公式可知P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
(2)设A表示事件“从甲袋移往乙袋的是白球”,B表示事件“从乙袋返还甲袋的是黑球”,C表示事件“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”,则事件C即为事件AB,又P(A)=,P(B|A)==,所以由概率乘法公式得所求概率为P(C)=P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
应用概率的乘法公式解决实际问题的一般步骤
概率的乘法公式是一种计算“积事件”概率的方法,若不容易直接计算P(AB)时,则可按下列步骤求“积事件”的概率:
(1)首先判断实际问题是否可以应用乘法公式求解,即对任意两个事件A与B,是否有P(A)>0.
(2)根据已知条件表示出各事件的概率.
(3)代入乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)求出所要求的概率.
[方法迁移] 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好去试拨,他第一次失败、第二次成功的概率是(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 记事件A为“第一次失败”,事件B为“第二次成功”,则P(A)=,P(B|A)=,
所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.故选A.
题型四　条件概率性质的应用
[例4] (1)已知事件A,B,C满足A,B是互斥事件,且P(A∪B|C)=,P(BC)=,P(C)=,则P(A|C)的值为(　　)
A. B. C. D.
(2)有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为　　　　.
【答案】 (1)A　(2)
【解析】 (1)由题意,P(B|C)==,由A,B是互斥事件知,P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C),所以P(A|C)=P(A∪B|C)-P(B|C)=-=.故选A.
(2)设事件A为“其中一瓶是蓝色”,事件B为“另一瓶是红色”,事件C为“另一瓶是黑色”,事件D为“另一瓶是红色或黑色”,
则D=B∪C且B与C互斥.
又P(A)==,P(AB)==,
P(AC)==,
故P(D|A)=P(B∪C|A)
=P(B|A)+P(C|A)
=+=.
条件概率的性质及应用
(1)利用公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)可使条件概率的计算较为简单,但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”.
(2)为了求复杂事件的概率,往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件,求出简单事件的概率后,相加即可得到复杂事件的概率.
[方法迁移] (多选)(2025·福建联考模拟)已知某工人需至少使用甲、乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测,记事件A=“该工人在检测过程中使用过甲仪器”,事件B=“该工人在检测过程中使用过乙仪器”,事件C=“该工人在检测过程中使用过甲、乙两种仪器”,事件D=“该工人在检测过程中仅使用过甲、乙两种仪器中的一种”,已知P(A)=0.6,P(B)=0.5,则(　　)
A.A与B相互独立
B.C与D互为对立事件
C.P(|A)=
D.P(A|D)+P(B|D)=1
【答案】 BCD
【解析】 对于A,依题意,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1,则P(AB)=0.6+0.5-1=0.1≠P(A)P(B),故A错误;对于B,C=AB,D=A+B,CD= ,C+D=Ω,则C,D互为对立事件,故B正确; 对于C,P(|A)=
==,故C正确;对于D,P(A|D)+P(B|D)=+===1,故D正确. 故选BCD.
课时作业
1.(2025·江苏盐城月考)已知A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,P(B)=,P(A|B)=,则P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 P(A|B)===,所以P(AB)=,P(B|A)===.故选D.
2.已知P(A|B)=0.6,P(B|A)=0.3,且A,B相互独立,则P(AB)=(　　)
A.0.18 B.0.9
C.0.3 D.无法求解
【答案】 A
【解析】 因为A,B相互独立,所以P(A|B)=P(A)=0.6,P(B|A)=P(B)=0.3,
所以P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.3=0.18.故选A.
3.(多选)(2025·湖南常德模拟)设样本空间Ω={5,6,7,8},且每个样本点是等可能的,已知事件A={5,6},B={5,7},C={5,8},则下列结论正确的是(　　)
A.事件A与B为互斥事件
B.事件A,B,C两两独立
C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
D.P(A|C)=P(C|A)
【答案】 BD
【解析】 对于A,因为A∩B={5},所以事件A与B不互斥,故A错误;对于B,P(AC)=P(BC)=
P(AB)=,P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)·P(C),P(BC)=P(B)·P(C),故B正确;对于C,A,B,C交集为{5},则P(ABC)=,P(A)·P(B)P(C)=,故C错误;对于D,P(A|C)==,
P(C|A)==,故D正确.故选BD.
4.甲和乙是某公司的两名员工,在每个工作日甲和乙外出办事的概率分别为和,且两人同时外出办事的概率为,则某个工作日,在乙外出办事的条件下,甲也外出办事的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 记“乙外出办事”为事件A,“甲外出办事”为事件B,则P(A)=,P(B)=,P(AB)=,故在乙外出办事的条件下,甲也外出办事的概率为P(B|A)==.故选C.
5.(2025·江苏连云港期中)若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形,任何事件都对应样本空间的一个子集,且事件发生的概率对应子集的面积,则如图所示的涂色部分的面积表示(　　)
A.事件A发生的概率
B.事件B发生的概率
C.事件B不发生条件下事件A发生的概率
D.事件A,B同时发生的概率
【答案】 A
【解析】 依题意,图示中涂色部分的面积为P(A|B)·P(B)+[1-P(B)]P(A|)=P(AB)+P()·P(A|)=
P(AB)+P(A)=P(A).故选A.
6.(多选)(2025·安徽高三月考)若随机事件A,B满足P(A)=,P(B)=,P(B|A)=P(B),则(　　)
A.P(AB)= B.P(A)=
C.P(A+B)= D.P(A|B)=
【答案】 AD
【解析】 由P(AB)=P(B|A)P(A)=×=,故A正确;显然P(AB)=P(A)P(B),即A,B相互独立,易知A,也相互独立,所以P(A)=P(A)P()=P(A)[1-P(B)]=,故B错误;P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,故C错误;P(A|B)==,故D正确.故选AD.
7.在某电路上有M,N两个独立工作的元件,每次通电后,需要更换M元件的概率为0.3,需要更换N元件的概率为0.2,则在某次通电后M,N有且只有一个需要更换的条件下,M需要更换的概率是　　　　 .
【答案】
【解析】 记事件A为“在某次通电后M,N有且只有一个需要更换”,事件B为“M需要更换”,则 P(A)=0.3×(1-0.2)+(1-0.3)×0.2=0.38,P(AB)=0.3×(1-0.2)=0.24,由条件概率公式可得P(B|A)=
==.
8.(2025·宁夏吴忠月考)已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级品,则任选一件为一级品的概率为　　　　.
【答案】 72%
【解析】 记“任选一件产品是合格品”为事件A,则P(A)=1-P()=1-4%=96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B,由于一级品必是合格品,所以事件A包含事件B,故P(AB)=P(B).由合格品中75%为一级品知P(B|A)=75%,故P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=96%×75%=72%.
9.抛掷红、蓝两枚质地均匀的骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”.
(1)求P(A),P(B),P(A∩B).
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时,两枚骰子的点数之和大于8的概率为多少
【解】 (1)设x为抛掷红色骰子得的点数,y为抛掷蓝色骰子得的点数,则所有可能的事件为(x,y),建立一一对应的关系,由题意作图如图,
显然,P(A)==,P(B)==,P(A∩B)=.
(2)法一　依题意P(B|A)==.
所以两枚骰子的点数之和大于8的概率为,
法二　P(B|A)===,
所以两枚骰子的点数之和大于8的概率为.
10.在某次抽奖活动中,在甲、乙两人先后进行抽奖前,还有50张奖券,其中共有5张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回,甲抽完之后乙再抽,求:
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率;
(2)甲没中奖而乙中奖的概率.
【解】 (1)设事件A为“甲中奖”,事件B为“乙中奖”,则P(A)==.因为抽完的奖券不放回,所以当甲中奖后乙抽奖时,有49张奖券,且其中只有4张写有“中奖”字样,此时乙中奖的概率为P(A)=.
根据概率的乘法公式可知,甲中奖而且乙也中奖的概率为P(AB)=P(A)P(A)=×=.
(2)因为P(A)+P()=1,所以P()= .因为抽完的奖券不放回,所以当甲没中奖后乙抽奖时,还有49张奖券,且其中还有5张写有“中奖”字样,此时乙中奖的概率为P()=.
根据概率的乘法公式可知,甲没中奖而乙中奖的概率为P(B)=P()P(B|)=×=.
11.某高校两名学生准备从A,B,C,D,E,F这6门选修课程中任选3门,则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下,恰好选择了2门相同课程的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 法一　记“这两名学生所选课程中有相同课程”为事件A,“这两名学生恰好选择了2门相同课程”为事件B.由题意知,所求事件的概率为P(B|A).这两名学生从6门课程中任选3门的不同方法有×=20×20=400(种),其中这两名学生所选课程中有相同课程的不同方法有++=380(种).故事件A的概率为P(A)==.事件AB对应的不同方法数有=180(种),故事件AB的概率为P(AB)==.由条件概率公式可得P(B|A)===.故选C.
法二(压缩基本事件空间)　依题意,这两名学生所选课程中有相同课程的方法种数为++=380,这两名学生恰好选择了2门相同课程的方法种数为=180.所以所求概率P==.故选C.
12.(2025·陕西安康月考)甲、乙和另外5名同学站成两排拍照,前排3人,后排4人.若每个人都随机站队,且前后排不认为是相邻的,则在甲、乙站在同一排的条件下,两人不相邻的概率为　　　　.
【答案】
【解析】 记事件A为“甲与乙站在同一排”,事件B为“甲与乙不相邻”,则n(A)=+
,n(AB)=+3.由条件概率公式,得P(B|A)==.
13.在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,若考生至少能答对其中的4道题即可通过,若至少能答对其中的5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀的概率.
【解】 设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题,而另1道题答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题,而另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=,
P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)=+=+=,
即所求概率为.
14.(2025·河北张家口期末)已知事件A,B发生的概率P(A)=0.3,P(B)=0.4,若P(A|B)=0.5,事件,,A+B分别表示A,B不发生和至少有一个发生,则P(B|A+B)=　　　,P(+|A+B)=　　　.
【答案】 0.8　0.6
【解析】 如图,由题意得P(A|B)===0.5,
P(AB)=0.2,P(B)=0.2,P(A)=0.1,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5,
P(B|A+B)===0.8,
P(+|A+B)===0.6.

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