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7.1.2　全概率公式
1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率,提升逻辑推理和数学抽象的核心素养.
2.了解贝叶斯公式,发展数学抽象的核心素养.
3.能利用全概率公式和贝叶斯公式解决生活中一些简单的实际问题,提升数学建模和数学运算的核心素养.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点一　全概率公式
P(Ai)P(B|Ai)
疑难解惑
某一事件A的发生可能有各种原因,如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)引起,则A发生的概率是P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi),每一个原因都可能导致A发生,故A发生的概率是引起A发生概率的总和,即全概率公式.由此可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.
知识点二　*贝叶斯公式
温馨提示
条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系
温馨提示
知识清点
1.已知某地市场上供应的一种电子产品中,甲厂产品占60%,乙厂产品占
40%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是90%,则从该地市场上买到一个合格产品的概率是(　　)
A.0.92 B.0.93
C.0.94 D.0.95
B
【解析】 由甲、乙两厂所占比例及对应的合格率可得P=60%×95%+
40%×90%=0.93.故选B.
0.94
课堂探究·素养培育
题型一　两个事件的全概率公式
[例1] (多选)甲罐中有4个红球、2个白球,乙罐中有5个红球、3个白球(球除颜色外,其余均相同).整个取球过程分为两步:(1)先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐,记事件A1为“取出的是红球”,事件A2为“取出的是白球”;(2)再从乙罐中随机取出两个球,记事件B为“取出的两球都是红球”,事件C为“取出的两球为一红一白”,则(　　 )
AD
解题策略
两个事件的全概率问题求解策略
(2)计算:利用概率的乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
[方法迁移] (1)(2025·山东泰安月考)一袋中装有10个球(球除颜色外,其余均相同),其中3个黑球、7个白球,从中先后随意各取1个球(不放回),则第二次取出的是黑球的概率为(　　)
C
(2)去某地旅游的游客有民宿和酒店两种入住方式.某游客去该地旅游,第一天随机选择一种方式入住,如果第一天入住民宿,那么第二天还入住民宿的概率为0.8;如果第一天入住酒店,那么第二天入住民宿的概率为0.6,则该游客第二天入住民宿的概率为　　　　.
0.7
【解析】 (2)设“第一天入住民宿”为事件A1,“第一天入住酒店”为事件A2,
“第二天入住民宿”为事件B,
则由题意可得P(A1)P(B|A1)=0.5×0.8=0.4,P(A2)P(B|A2)=0.5×0.6=0.3,
所以由全概率公式可得该游客第二天入住民宿的概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=0.4+0.3=0.7.
题型二　多个事件的全概率公式
[例2] 某支足球队在对球员的安排上进行了数据分析,根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中场和后卫三个位置,且出场率分别为0.2,0.5,0.3,当乙球员担当前锋、中场以及后卫时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.8.当乙球员参加比赛时,该球队这场比赛不输球的概率为(　　)
A.0.32 B.0.68
C.0.58 D.0.64
C
【解析】 设事件A1表示“乙球员担当前锋”,事件A2表示“乙球员担当中场”,事件A3表示“乙球员担当后卫”,事件B表示“当乙球员参加比赛时,球队输球”.
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=
0.2×0.4+0.5×0.2+0.3×0.8=0.42,
所以当乙球员参加比赛时,该球队这场比赛不输球的概率为1-0.42=0.58.
故选C.
解题策略
“化整为零”求多事件的全概率问题
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
题型三　*贝叶斯公式
A
解题策略
如果随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体怎样未知,那么:
(1)若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;
(2)若第二阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率.
熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可以准确地选择方法进行计算,保证正确高效地解题.
[方法迁移]某人从甲地到乙地,可以乘坐高铁、客车、飞机三种交通工具,出行方式如表所示,
0.25
若某人已迟到,则他乘坐飞机迟到的概率为　　　　. 7.1.2　全概率公式
【课程标准要求】　
1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率,提升逻辑推理和数学抽象的核心素养.
2.了解贝叶斯公式,发展数学抽象的核心素养.
3.能利用全概率公式和贝叶斯公式解决生活中一些简单的实际问题,提升数学建模和数学运算的核心素养.
知识点一　全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai).
对全概率公式的理解
某一事件A的发生可能有各种原因,如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)引起,则A发生的概率是P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi),每一个原因都可能导致A发生,故A发生的概率是引起A发生概率的总和,即全概率公式.由此可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.
知识点二　*贝叶斯公式
设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,P(B)>0,有
P(Ai|B)==,i=1,2,…,n.
条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系
条件概率
P(B|A)=概率的乘法公式
　　　　　P(AB)=P(A)P(B|A)
　全概率公式
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)
　　　　　
　　　贝叶斯公式
P(Ai|B)=,i=1,2,…,n.
知识清点
1.已知某地市场上供应的一种电子产品中,甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是90%,则从该地市场上买到一个合格产品的概率是(　　)
A.0.92 B.0.93
C.0.94 D.0.95
【答案】 B
【解析】 由甲、乙两厂所占比例及对应的合格率可得P=60%×95%+40%×90%=0.93.故选B.
2.已知P(A)=,P()=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(B)=　　　　.
【答案】
【解析】 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.
3.假设生产某产品的一个部件来自三个供应商,供货占比分别是,,,而它们的良品率分别是0.96,0.90,0.93,则该部件的总体良品率是　　　　.
【答案】 0.94
【解析】 由题意可知该部件的总体良品率是×0.96+×0.90+×0.93=0.94.
题型一　两个事件的全概率公式
[例1] (多选)甲罐中有4个红球、2个白球,乙罐中有5个红球、3个白球(球除颜色外,其余均相同).整个取球过程分为两步:(1)先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐,记事件A1为“取出的是红球”,事件A2为“取出的是白球”;(2)再从乙罐中随机取出两个球,记事件B为“取出的两球都是红球”,事件C为“取出的两球为一红一白”,则(　　)
A.P(B|A1)= B.P(C|A2)=
C.P(B)= D.P(C)=
【答案】 AD
【解析】 由题意知P(A1)==,P(A2)==,
P(B|A1)==,P(B|A2)==,
P(C|A1)==,P(C|A2)==,
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=,
P(C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)=×+×=.故选AD.
两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分:将样本空间拆分成互斥的两部分如A1,A2(或A与).
(2)计算:利用概率的乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
[方法迁移] (1)(2025·山东泰安月考)一袋中装有10个球(球除颜色外,其余均相同),其中3个黑球、7个白球,从中先后随意各取1个球(不放回),则第二次取出的是黑球的概率为(　　)
A. B. C. D.
(2)去某地旅游的游客有民宿和酒店两种入住方式.某游客去该地旅游,第一天随机选择一种方式入住,如果第一天入住民宿,那么第二天还入住民宿的概率为0.8;如果第一天入住酒店,那么第二天入住民宿的概率为0.6,则该游客第二天入住民宿的概率为　　　　.
【答案】 (1)C　(2)0.7
【解析】 (1)记事件A,B分别表示第一、第二次取出的是黑球,
则P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),
由题设易知P(A)=,P()=,
P(B|A)=,P(B|)=,
于是P(B)=×+×=.故选C.
(2)设“第一天入住民宿”为事件A1,“第一天入住酒店”为事件A2,“第二天入住民宿”为事件B,
则由题意可得P(A1)P(B|A1)=0.5×0.8=0.4,P(A2)P(B|A2)=0.5×0.6=0.3,
所以由全概率公式可得该游客第二天入住民宿的概率为
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=0.4+0.3=0.7.
题型二　多个事件的全概率公式
[例2] 某支足球队在对球员的安排上进行了数据分析,根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中场和后卫三个位置,且出场率分别为0.2,0.5,0.3,当乙球员担当前锋、中场以及后卫时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.8.当乙球员参加比赛时,该球队这场比赛不输球的概率为(　　)
A.0.32 B.0.68 C.0.58 D.0.64
【答案】 C
【解析】 设事件A1表示“乙球员担当前锋”,事件A2表示“乙球员担当中场”,事件A3表示“乙球员担当后卫”,事件B表示“当乙球员参加比赛时,球队输球”.
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.3×0.8=0.42,
所以当乙球员参加比赛时,该球队这场比赛不输球的概率为1-0.42=0.58.故选C.
“化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图,P(B)=P(Ai)P(B|Ai).
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
[方法迁移] (2025·广东惠州月考)已知一套试卷中有8道4选1的单选题,学生甲能完整做对其中5道题,在剩下的3道题中,有2道题有思路,还有1道完全没有思路,有思路的题做对的概率为,没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.甲从这8道题中任选1道题,则他做对的概率为　　　　.
【答案】
【解析】 设“甲从这8道题中任选1道题,且做对”为事件A,“选到能完整做对的5道题”为事件B,“选到有思路的2道题”为事件C,“选到完全没有思路的题”为事件D,则B∪C∪D=Ω,且B,C,D两两互斥,根据题意得P(B)=,P(C)==,P(D)=,
由全概率公式可得P(A)=P(B)·P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)=×1+×+×=.
题型三　*贝叶斯公式
[例3] 高三年级某同学只去食堂一楼和二楼吃饭,周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和.若他周一去了食堂一楼,则周二去食堂二楼的概率为;若他周一去了食堂二楼,则周二去食堂一楼的概率为.现已知该同学周二去了食堂二楼,则周一去食堂一楼的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 记“该同学周一去食堂一楼”为事件A,“周二去食堂一楼”为事件B,则本题所求为P(A|)===.故选A.
如果随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体怎样未知,那么:
(1)若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;
(2)若第二阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率.
熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可以准确地选择方法进行计算,保证正确高效地解题.
[方法迁移]某人从甲地到乙地,可以乘坐高铁、客车、飞机三种交通工具,出行方式如表所示,
交通工具 高铁 客车 飞机
乘坐概率
迟到概率 0.1 0.3 0.3
若某人已迟到,则他乘坐飞机迟到的概率为　　　　.
【答案】 0.25
【解析】 由题意知,所求概率P==0.25.
课时作业
1.(2025·广东江门月考)设A,B为两个事件,已知P(A)=,P(B)=,P(A|)=,则P(A|B)=(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 由P(B)=,得P()=1-=,显然P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|),因此=P(A|B)+×,所以P(A|B)=.故选B.
2.(2025·湖南衡阳月考)甲从10名同学中随机选取一名作为对手,进行一场一对一乒乓球友谊赛,这10名同学中有6名同学球技一般,有4名同学球技高超.甲打赢球技一般的同学的概率为0.9,打赢球技高超的同学的概率为0.1.则甲打赢这场比赛的概率为(　　)
A.0.54 B.0.58 C.0.60 D.0.64
【答案】 B
【解析】 根据题意,用A1,A2分别表示甲随机选取的选手是球技一般的同学、球技高超的同学,用B表示甲打赢这场比赛,可得P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.1,所以由全概率公式,可得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=0.6×0.9+0.4×0.1=0.58.故选B.
3.(2025·浙江宁波期中)某人外出,委托邻居给家里盆栽浇一次水,若不浇水,盆栽枯萎的概率为0.8;若浇水,盆栽枯萎的概率为0.2.若邻居浇水的概率为P,此人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74,则实数P的值为(　　)
A.0.9 B.0.85 C.0.8 D.0.75
【答案】 A
【解析】 记A为事件“盆栽没有枯萎”,W为事件“邻居给盆栽浇水”,
由题意可得P(W)=P,P()=1-P,P(|)=0.8,P(|W)=0.2,
由对立事件的概率公式可得P()=1-P(A)=1-0.74=0.26.
由全概率公式可得P()=P(W)P(|W)+P()·P(|)=P×0.2+(1-P)×0.8=0.26,解得P=0.9.故
选A.
4.两台机床加工同样的零件,第一台机床出现废品的概率为0.03,第二台机床出现废品的概率为0.02,加工出来的零件放在一起,现已知第一台机床加工的零件比第二台机床加工的零件多一倍,则任意取出一个零件是合格品的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 设Ai=“任意取出一个零件是第i台机床生产的”,i=1,2;B=“任意取出一个零件是合
格品”,
所以P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=×(1-0.03)+×(1-0.02)==.故选C.
5.(多选)已知随机事件A,B满足:P(A)=,P(B)=,则下列选项正确的是(　　)
A.若P(AB)=,则A与B相互独立
B.若A与B相互独立,则P( )=
C.若A与B互斥,则P(B)=
D.若P()P(B|)=,则P(B|A)=
【答案】 ACD
【解析】 对于A,P(AB)==P(A)P(B)=×,故A与B相互独立,故A正确;
对于B,若A与B相互独立,则与也相互独立,
则P( )=P()P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]=(1-)(1-)=×=,故B错误;
对于C,若A与B互斥,则P(AB)=0,P(B)=P(AB)+P(B)=P(B)=,故C正确;
对于D,由全概率公式可得P(B)=P()P(B|)+P(A)P(B|A),
所以=+P(B|A),则P(B|A)=,故D正确.故选ACD.
6.(2025·江苏徐州期末)从1,2,3,4中随机取一个数字,记为n,再从1,2,…,n中随机取一个数字,则第二次取到的数字为2的概率是(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 记事件An为“第一次取到的数字为n”,n=1,2,3,4,事件B为“第二次取到的数字为2”,
由题意知A1,A2,A3,A4是两两互斥的事件,且A1∪A2∪A3∪A4=Ω(样本空间),
P(B)=P(BA1∪BA2∪BA3∪BA4)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)+P(BA4)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+
P(A3)·P(B|A3)+P(A4)·P(B|A4)=×0+×+×+×=.故选B.
7.甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球,其中甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,再从乙箱中随机取出一球是红球的概率为　　　　.
【答案】
【解析】 记事件A表示“从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中”,事件B表示“从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中”,事件C表示“从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,再从乙箱中随机取出一球是红球”,
则有P(A)=,P(C|A)==,P(B)=,P(C|B)==,
所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=.
8.一项血液化验结果用来鉴别是否患有某种疾病,在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应,而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应,某地区此种病患者占人口数的0.5%,则:
(1)某人化验结果为阳性的概率为　　　　;
(2)若某人化验结果为阳性,则此人确实患有此病的概率为　　　　.
【答案】 1.47%(或0.014 7)　
【解析】 根据题意,设事件A为“呈阳性反应”,事件B为“患有此种疾病”.
(1)P(A)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%.
(2)P(B|A)===.
9.(2025·河北沧州月考)近年来,由于人们对健康饮品的追求,购买包装茶饮料的消费者日趋增多,调查数据显示,包装茶饮料的消费者中男性占比35%,男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为0.5,0.7.
(1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者,求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率;
(2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料,求该消费者是女性的概率.(结果用分数表示)
【解】(1)记“该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元”为事件A,“从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性”为事件B,
则P(B)=0.35,P()=0.65,P(A|B)=0.5,P(A|)=0.7,
所以P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=0.35×0.5+0.65×0.7=0.63.
(2)由(1)得P(|A)====.
10.(多选)(2025·浙江绍兴月考)某批水稻种子中有5%是变异种,变异种当中有90%是长不大的.在正常的种子中,90%的都能长大.下列说法正确的有(　　)
A.这批水稻长不大的占比超过10%
B.这批水稻种子既是变异种又长不大的概率低于1%
C.如果有种子长不大,那么它是变异种的概率高于30%
D.如果有种子长大了,那么它是变异种的概率高于0.3%
【答案】 ACD
【解析】 这批水稻长不大的占比为5%×90%+(1-5%)×(1-90%)=14%>10%,故A正确;
这批水稻种子既是变异种又长不大的概率为5%×90%=4.5%>1%,故B错误;
种子长不大的概率为14%,则是变异种的概率为≈32%>30%,故C正确;
种子长大的概率为1-14%=86%,它是变异种的概率为≈0.6%>0.3%,故D正确.故选ACD.
11.(2025·上海期末)某校中学生篮球队集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练都从中任意取出2个球,用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球,则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为　　　　.
【答案】
【解析】 记事件Ai(i∈{0,1,2})表示“第一次取到i个新球”,事件B表示“第二次训练时恰好取到1个新球”,
则Ω=A0∪A1∪A2,且A0,A1,A2两两互斥,P(A0)==,P(A1)==,P(A2)==,
P(B|A0)==,P(B|A1)==,P(B|A2)==,
因此P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×+×=,
所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为.
12.(2025·浙江温州期中)有3台车床加工同一型号的零件,第1,2,3台车床加工的次品率分别为6%,5%,4%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数之比为5∶6∶9,现任取一个零件,求:
(1)它是第1台车床生产的概率是多少
(2)它是次品的概率是多少
(3)若取到的这个零件是次品,那么它是哪台车床加工出来的可能性最大 用具体数据说明.
【解】 设事件Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),事件B=“零件为次品”,
(1)由题意知,第1,2,3台车床加工的零件数之比为 5∶6∶9,现任取一个零件,
它是第1台机床生产的概率P(A1)==.
(2)P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==,
P(B|A1)=6%,P(B|A2)=5%,P(B|A3)=4%,
现任取一个零件,它是次品的概率P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×6%+×5%+×4%=0.048.
(3)P(A1|B)====,
P(A2|B)====,
P(A3|B)====,
而>,所以它是第3台车床加工出来的可能性最大.
13.(2025·河北沧州月考)从下列6个函数中任取1个函数,记事件A为“取到的函数是奇函数”,事件B为“取到的函数是偶函数”,则下列结论中正确的是(　　)
①f(x)=+;②f(x)=-;③f(x)=;④f(x)=ln(ex+e-x);⑤f(x)=;⑥f(x)=2x·log2x.
A.P(A)=P(A+B)-P(B)
B.P( )=P()P()
C.P(+)=P()+P()
D.P(|B)=P(|A)
【答案】 B
【解析】 因为f(x)=+的定义域为{1,-1},关于原点对称,且f(x)=0,所以①既是奇函数又是偶函数;
f(-x)=-==-f(x),定义域为{x|x≠0},所以②为奇函数;
f(-x)==-=-f(x),定义域为{x|x≠0},所以③为奇函数;
f(-x)=ln(e-x+ex)=ln(ex+e-x)=f(x),定义域为R,所以④为偶函数;
f(-x)==,所以⑤为非奇非偶函数;
f(x)=2x·log2x的定义域为(0,+∞),所以⑥为非奇非偶函数.
所以事件A包含①②③,事件B包含①④,P(A)=,P(B)=.
对于A,P(A+B)-P(B)=-=≠=P(A),故A错误;
对于B,表示“取到的函数不是奇函数”,表示“取到的函数不是偶函数”,所以P( )=,
P()P()=×=,故B正确;
对于C,因为P( )≠0,所以P(+)=P()+P()-P( ),故C错误;
对于D,P(|B)===,P(|A)===,故D错误.故选B.
精练作业三　(7.1)
一、选择题
1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 P(AB)=P(B|A)P(A)=×=.故选C.
2.(2025·浙江台州模拟)已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球,其中2个红球,2个黑球,现从中任取两球,若已知一个是红球,则另一个也是红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 设事件A表示“在所取的球中有一个是红球”,事件B表示“另一个也是红球”,
则P(A)==,P(AB)==,
已知一个是红球的情况下,另一个也是红球的概率为P(B|A)===.故选A.
3.(2025·江苏南通月考)甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排,在甲和乙相邻的条件下,丙和丁也相邻的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排,甲和乙相邻的情况有=48(种),
甲和乙相邻,丙和丁也相邻的情况有=24(种),
所以在甲和乙相邻的条件下,丙和丁也相邻的概率为=.故选C.
4.(2025·山东济宁模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用3局2胜制,如果每局比赛甲获胜的概率为 0.7,乙获胜的概率为0.3,且各局比赛结果相互独立,那么在甲获胜的条件下,比赛进行了3局的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 设“甲获胜”为事件A,“比赛进行了3局”为事件B,
则P(A)=0.7×0.7+2×0.7×0.3×0.7=0.784,P(AB)=2×0.7×0.3×0.7=0.294,
所以P(B|A)===.故选C.
5.将三枚质地均匀的骰子各掷一次,记事件A=“三个点数都不同”,B=“至少出现一个6点”,则条件概率P(B|A),P(B)分别等于(　　)
A., B.,
C., D.,
【答案】 B
【解析】 由题意知,事件AB=“三个点数都不同且至少出现一个6点”,
因为P(A)===,P(B)==,P(AB)===,
所以P(B|A)===,
P(A|B)===.故选B.
6.(2025·辽宁锦州模拟)为了加快生产进度,公司决定使用某种检测机器对一批加工零件的等级(分为一等品和二等品)进行初筛和复查.已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为,被标记为二等品的概率为,被标记为一等品的零件有的概率为二等品,被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.那么从这批零件中随机抽取一个,恰好为一等品的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 设事件A表示“零件为一等品”,
事件表示“零件为二等品”,
事件B表示“零件被标记为一等品”,事件表示“零件被标记为二等品”,
则P(B)=,P()=,P(|B)=P(A|)=,P(A|B)=1-P(|B)=,
P(A)=P(A|)P()+P(A|B)P(B)=×+×=,
故从这批零件中随机抽取一个,恰好为一等品的概率为.故选B.
7.(多选)(2025·广西南宁月考)在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,病人中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,病人中60%表现出症状S,则下列选项正确的是(　　)
A.任意一位病人有症状S的概率为0.02
B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
【答案】 ABC
【解析】 P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,
P(S|D3)=0.6,
由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02,故A正确.
由贝叶斯公式得P(D1|S)===0.4,故B正确.
P(D2|S)===0.45,故C正确.
P(D3|S)===0.15.故D错误.故选ABC.
8.(多选)已知某高校开展一项课外研学活动,参与活动并提交研学论文可以获得学分,且该高校对论文的评定分为两个等级:合格,不合格.评定为合格可以获得0.2学分,评定为不合格不能获得学分.若评定为不合格,则下一次评定为合格的概率为,若评定为合格,则下一次评定为合格的概率为.已知包括甲与乙在内共n+1(n>2)名同学均参加了3次研学活动,且每次研学活动结束后,这n+1名同学排队依次提交研学论文,则(　　)
A.若甲第一次评定为不合格,则甲最终获得0.4学分的概率为
B.若乙第一次评定为合格,则乙第三次评定为合格的概率为
C.若在某一次研学活动中,甲和乙既不是最先也不是最后提交研学论文,则有(n-2)·(n-1)!种提交顺序
D.若在某一次研学活动中,甲和乙提交研学论文的顺序不相邻,则有(n-1)·n!种提交顺序
【答案】 ABD
【解析】 对于A,若甲第一次评定为不合格,则甲获得0.4学分的概率为×=,故A正确;
对于B,设事件Ai=“第i次评定为合格”,
由全概率公式可得乙第三次合格的概率为P(A3)=P(A3|A2)P(A2)+P(A3|)P()=×+×=,故B正确;
对于C,先排甲,有种方式,再排乙,有种方式,最后排其余所有人,有种方式,
则一共有=(n-1)(n-2)·(n-1)!种方式,故C错误;
对于D,无限制时,排序有(n+1)!种方式,
甲和乙相邻时,将甲和乙视为一组,有2种方式,与其余(n-1)人排序,有2·n!种方式,
所以一共有(n+1)!-2·n!=(n-1)·n!种方式,故D正确.故选ABD.
二、填空题
9.已知0【答案】 0.12
【解析】 因为P(B|A)=P(B),所以A,B相互独立,进而可知B,也相互独立,
因为P()=0.6,
所以P(A)=1-P()=1-0.6=0.4.
因为P(B|)=0.3,所以P(B)=0.3.
所以P(A∩B)=P(A)P(B)=0.4×0.3=0.12.
10.(2025·吉林长春月考)设某批产品中,甲、乙、丙三厂生产的产品分别占55%,25%,20%,各厂产品的次品率分别为2%,4%,5%.现从中任取一件,则取到的是次品的概率是　　　.
【答案】 0.031
【解析】 设A表示“取到一件次品”,Bi表示“取到的产品是由甲、乙、丙三厂生产的,其中i=1,2,3”,
则P(B1)=0.55,P(B2)=0.25,P(B3)=0.20,
且P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.04,P(A|B3)=0.05,
由全概率公式,可得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.55×0.02+0.25×0.04+
0.20×0.05=0.031,
即取到的是次品的概率是0.031.
11.(2025·江西抚州期末)现在给舞蹈机器人编排一个动作,机器人从原点O出发,每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位,共移动3次.求该机器人在有且仅有一次经过(含到达)点M(-1,0)位置的条件下,水平方向移动2次的概率为　　　　.
【答案】
【解析】 设事件A=“有且仅有一次经过M(-1,0)”,事件B=“水平方向移动2次”,
按到M(-1,0)位置需要1步,3步分类讨论.记L=向左,R=向右,U=向上,D=向下.
①若1步到M为事件A1,则满足要求的是LU(L或U或R),LL(L或U或D),LD(L或R或D),
LR(U或D或R),所以P(A1)===;
②若3步到M为事件A2,则满足要求的是ULD,DLU,RLL,UDL,DUL,
所以P(A2)==.
所以P(A)=P(A1)+P(A2)=,
满足AB的情况有LU(L或R),LL(U或D),LD(L或R),LR(U或D),
所以P(AB)==,所以P(B|A)==.
三、解答题
12.某社团共有12名成员,其中大一男生2人,女生4人,大二男生3人,女生3人.现从中随机抽选2人参加数学知识问答.
(1)若恰好抽选了 1名男生与1名女生,求这2人都是大二学生的概率;
(2)若逐个抽选,求在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽选到男生的概率.
【解】 (1)记事件A为“恰好抽选了 1名男生与1名女生”,
事件B为“这2人都是大二学生”.
由题知男生总共5人,女生总共7人.
则n(AB)==9,n(A)==35,
由条件概率可得 P(B|A)==.
(2)记事件C为“第一次抽选到男生”,事件D为“第二次抽选到男生”,则n(C)=+=55,
n(CD)==20,
所以在第一次抽选到男生的条件下,第二次也抽选到男生的概率为P(D|C)===.
13.小张从家到公司上班总共有三条路可以直达,如图所示,但是每条路每天拥堵的可能性不太一样,由于路的长短不同,选择每条路的概率如下:P(L1)=0.5,P(L2)=0.3,P(L3)=0.2.每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)=0.2,P(C2)=0.4,P(C3)=0.7.假设遇到拥堵会迟到,不拥堵便不会迟到.
(1)小张从家到公司不迟到的概率是多少
(2)小张到达公司未迟到且选择第一条路的概率是多少 (结果保留三位小数)
【解】 (1)设事件C为“到公司不迟到”(说明选择的路不拥堵),事件Li为“选择第i条路”(i=1,2,3).
由全概率公式,得P(C)=P(Li)P(C|Li)=P(L1)·P(C|L1)+P(L2)P(C|L2)+P(L3)·P(C|L3)=0.5×0.2+
0.3×0.4+0.2×0.7=0.36.
所以小张从家到公司不迟到的概率是0.36.
(2)P(L1|C)===≈0.278.
所以他选择第一条路的概率约是0.278.
14.(2025·福建泉州期中)甲、乙两个箱子装有除颜色完全相同的小球,甲箱中有5个白球和3个黑球,乙箱中有4个白球和3个黑球.
(1)若从甲箱中任取2个小球,求这2个小球同色的概率;
(2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中,然后再从乙箱中任取1个小球,求从乙箱中取出的球是白球的概率.
【解】 (1)从甲箱中任取2个小球的事件数为=28,
这2个小球同色的事件数为+=13,
所以这2个小球同色的概率为P=.
(2)设事件A为“从乙箱中任取1个小球,取出的这个小球是白球”,
事件B1为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”,
事件B2为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”,
事件B3为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”,
则事件B1,B2,B3彼此互斥.
P(B1)==,P(B2)==,P(B3)==,
P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=,
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=,
所以取出的这个小球是白球的概率为.

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