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7.3.2　离散型随机变量的方差
1.通过具体实例,理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题,提升数学运算和数学建模素养.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法,会利用公式求它们的方差,提升逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点一　方差的定义
设离散型随机变量X的分布列如表所示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
知识点二　方差的意义
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
知识点三　方差的性质
(1)设a,b为常数,则D(aX+b)= .
(2)D(X)=E(X2)-(E(X))2.
a2D(X)
知识清点
1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值
E(X甲)=E(X乙),方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计(　　)
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
B
【解析】 因为11>3.4,根据方差的意义知,乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.故选B.
A.m B.2m(1-m)
C.m(m-1) D.m(1-m)
D
【解析】 显然X服从两点分布,其分布列为
X 0 1
P 1-m m
则E(X)=0×(1-m)+1×m=m,
D(X)=(0-m)2×(1-m)+(1-m)2×m=m(1-m).故选D.
3.已知X的分布列为
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则D(X)等于(　　)
A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0
B
【解析】 E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,
D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.故选B.
1
课堂探究·素养培育
题型一　求离散型随机变量的方差、标准差
[例1] 已知袋中有20个大小相同的球,其中标数字0的有10个,标数字n(n=
1,2,3,4)的有n个.现从袋中任取1个球,随机变量X表示所取球上标的数字,求X的方差、标准差.
解题策略
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体,一般在试题中综合在一起考查,其关键是求出分布列.
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计算.
D
题型二　方差的性质及应用
[例2] 已知X的分布列如表:
(1)求X2的分布列,并计算X2的方差;
(2)计算X的方差;
(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
【解】 (3)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.
解题策略
(1)对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X).这样处理既避免了求随机变量Y=aX+b的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计算过程.
(2)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p),其中p为成功概率,应用上述性质可大大简化解题过程.
题型三　均值、方差的实际应用
[例3] 某公司为了宣传新产品,现有以下两种宣传方案:
方案一,投放该平台广告,据市场调研,其收益X分别为0元,20万元,40万元,且P(X=20)=0.3,期望E(X)=30.
方案二,投放传统广告,据市场调研,其收益Y分别为10万元,20万元,30万元,其概率依次为0.3,0.4,0.3.
(1)请写出方案一中X的分布列,并求方差D(X).
【解】 (1)设P(X=0)=a,P(X=40)=b,依题意得a+b+0.3=1,①
又E(X)=0×a+20×0.3+40b=30,②
由①②解得,a=0.1,b=0.6,所以X的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则D(X)=(0-30)2×0.1+(20-30)2×0.3+(40-30)2×0.6=180.
(2)请你根据所学知识给出建议,该公司宣传应该投放哪种广告 并说明你的理由.
【解】 (2)由题得Y的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则E(Y)=10×0.3+20×0.4+30×0.3=20,D(Y)=(10-20)2×0.3+(20-20)2×0.4+(30-20)2×
0.3=60.
由E(X)>E(Y)可知投放平台广告的期望收益较大,又D(X)>D(Y),说明平台广告投放的风险较高.
综上所述,如果公司期望高收益,选择投放平台广告;如果公司期望收益稳定,选择投放传统广告.
解题策略
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.
[方法迁移] 随着五一假期的到来,各大旅游景点热闹非凡,为了解A,B两个旅游景点游客的满意度,某研究性学习小组采用随机抽样的方法,获得关于A旅游景点的问卷100份,关于B旅游景点的问卷80份.问卷中,对景点的满意度等级为非常满意、满意、一般、不满意,对应分数分别为4分、3分、2分、1分,数据统计如下:
景点 满意度
非常满意 满意 一般 不满意
A旅游景点 50 30 5 15
B旅游景点 35 30 7 8
假设用频率估计概率,且游客对A,B两个旅游景点的满意度评价相互独立.
(1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人,从所有(人数足够多)在B旅游景点的游客中随机抽取2人,估计这4人中恰有2人给出“非常满意”评价的概率.
(2)根据上述数据,你若旅游,你会选择A,B中的哪个旅游景点 并说明你的理由.7.3.2　离散型随机变量的方差
【课程标准要求】　
1.通过具体实例,理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题,提升数学运算和数学建模素养.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法,会利用公式求它们的方差,提升逻辑推理的核心素养.
知识点一　方差的定义
设离散型随机变量X的分布列如表所示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
我们称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称为随机变量X的标准差,记为σ(X).
知识点二　方差的意义
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
知识点三　方差的性质
(1)设a,b为常数,则D(aX+b)=a2D(X).
(2)D(X)=E(X2)-(E(X))2.
知识清点
1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值E(X甲)=E(X乙),方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计(　　)
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
【答案】 B
【解析】 因为11>3.4,根据方差的意义知,乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.故选B.
2.设随机试验的结果只有A发生和A不发生,且P(A)=m,令随机变量X=则X的方差D(X)等于(　　)
A.m B.2m(1-m)
C.m(m-1) D.m(1-m)
【答案】 D
【解析】 显然X服从两点分布,其分布列为
X 0 1
P 1-m m
则E(X)=0×(1-m)+1×m=m,
D(X)=(0-m)2×(1-m)+(1-m)2×m=m(1-m).故选D.
3.已知X的分布列为
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则D(X)等于(　　)
A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0
【答案】 B
【解析】 E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,
D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.故选B.
4.已知随机变量X,D(X)=,则D(2X+1)=　　　　.
【答案】 1
【解析】 D(2X+1)=4D(X)=4×=1.
题型一　求离散型随机变量的方差、标准差
[例1] 已知袋中有20个大小相同的球,其中标数字0的有10个,标数字n(n=1,2,3,4)的有n个.现从袋中任取1个球,随机变量X表示所取球上标的数字,求X的方差、标准差.
【解】 由题意知,随机变量X的所有可能取值有0,1,2,3,4,且P(X=0)==,P(X=1)=,P(X=2)==,P(X=3)=,P(X=4)==.所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5,
所以D(X)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.
所以σ(X)===.
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体,一般在试题中综合在一起考查,其关键是求出分布列.
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计算.
[方法迁移] (2025·广东中山月考)设随机变量X的分布列为P(X=i)=,i=1,2,3,则D(X)=(　　)
A.3 B. C.2 D.
【答案】 D
【解析】 因为随机变量X的分布列为P(X=i)=,i=1,2,3,
所以P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
由分布列的性质可得,=1,解得a=3,
所以P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=1×+2×+3×=,
所以D(X)=×+(2-)2×+×=.故选D.
题型二　方差的性质及应用
[例2] 已知X的分布列如表:
X -1 0 1
P a
(1)求X2的分布列,并计算X2的方差;
(2)计算X的方差;
(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
【解】 (1)由分布列的性质,知++a=1,故a=,从而X2的分布列为
X2 0 1
P
法一　E(X2)=0×+1×=,故X2的方差为D(X2)=(0-)2×+(1-)2×=.
法二　D(X2)=×(1-)=.
(2)法一　由(1)知a=,所以X的均值为
E(X)=-1×+0×+1×=-.
故X的方差为D(X)=(-1+)2×+(0+)2×+(1+)2×=.
法二　由(1)知a=,所以X的均值为E(X)=-1×+0×+1×=-,X2的均值E(X2)=0×+1×=,所以X的方差D(X)=E(X2)-(E(X))2=.
(3)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.
(1)对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X).这样处理既避免了求随机变量Y=aX+b的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计算过程.
(2)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p),其中p为成功概率,应用上述性质可大大简化解题过程.
[方法迁移] (2025·浙江金华期中)已知随机变量X的分布列如下:
X 2 3 4
P x y
若E(X)=,则实数x=　　　　,若随机变量Y=2X-3,则D(Y)=　　　　.
【答案】 　
【解析】 由题意得解得x=y=,
所以D(X)=×+×+×=,
所以D(Y)=4D(X)=4×=.
题型三　均值、方差的实际应用
[例3] 某公司为了宣传新产品,现有以下两种宣传方案:
方案一,投放该平台广告,据市场调研,其收益X分别为0元,20万元,40万元,且P(X=20)=0.3,期望E(X)=30.
方案二,投放传统广告,据市场调研,其收益Y分别为10万元,20万元,30万元,其概率依次为0.3,0.4,0.3.
(1)请写出方案一中X的分布列,并求方差D(X).
(2)请你根据所学知识给出建议,该公司宣传应该投放哪种广告 并说明你的理由.
【解】 (1)设P(X=0)=a,P(X=40)=b,依题意得a+b+0.3=1,①
又E(X)=0×a+20×0.3+40b=30,②
由①②解得,a=0.1,b=0.6,所以X的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则D(X)=(0-30)2×0.1+(20-30)2×0.3+(40-30)2×0.6=180.
(2)由题得Y的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则E(Y)=10×0.3+20×0.4+30×0.3=20,D(Y)=(10-20)2×0.3+(20-20)2×0.4+(30-20)2×0.3=60.
由E(X)>E(Y)可知投放平台广告的期望收益较大,又D(X)>D(Y),说明平台广告投放的风险
较高.
综上所述,如果公司期望高收益,选择投放平台广告;如果公司期望收益稳定,选择投放传统
广告.
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.
[方法迁移] 随着五一假期的到来,各大旅游景点热闹非凡,为了解A,B两个旅游景点游客的满意度,某研究性学习小组采用随机抽样的方法,获得关于A旅游景点的问卷100份,关于B旅游景点的问卷80份.问卷中,对景点的满意度等级为非常满意、满意、一般、不满意,对应分数分别为4分、3分、2分、1分,数据统计如下:
景点 满意度
非常满意 满意 一般 不满意
A旅游景点 50 30 5 15
B旅游景点 35 30 7 8
假设用频率估计概率,且游客对A,B两个旅游景点的满意度评价相互独立.
(1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人,从所有(人数足够多)在B旅游景点的游客中随机抽取2人,估计这4人中恰有2人给出“非常满意”评价的概率.
(2)根据上述数据,你若旅游,你会选择A,B中的哪个旅游景点 并说明你的理由.
【解】 (1)设“这4人中恰有2人给出‘非常满意’的评价”为事件C,由表中数据可知,
游客在A旅游景点给出“非常满意”评价的概率为=,游客在B旅游景点给出“非常满意”评价的概率为=,
则P(C)=()2(1-)2+·(1-)··(1-)+(1-)2()2=.
(2)设一位游客对A旅游景点的满意度评分为X,一位游客对B旅游景点的满意度评分为Y,
由题表中数据得X的分布列为
X 1 2 3 4
P
Y的分布列为
Y 1 2 3 4
P
则E(X)=4×+3×+2×+1×=3.15,
D(X)=0.852×+(-0.15)2×+(-1.15)2×+(-2.15)2×=1.127 5,
E(Y)=4×+3×+2×+1×=3.15,
D(Y)=0.852×+(-0.15)2×+(-1.15)2×+(-2.15)2×=0.902 5,
显然E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以选择B旅游景点.
课时作业
1.(2025·江苏盐城期中)已知随机变量X的取值为0,1,2,若 P(X=0)=,E(X)=1,则标准差为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 设P(X=1)=p,则可得分布列如表,
X 0 1 2
P p -p
根据期望公式得E(X)=0×+1×p+2×(-p)=-p=1,解得p=,
所以根据方差公式得D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=,
即标准差为=.故选C.
2.(2025·青海期末)已知一组数据1,2,2,5,5,6的第60百分位数为m,随机变量X的分布列为
X 2 m 14
P 0.3 0.6 0.1
则D(X)=(　　)
A.5 B.6 C.9.8 D.10.8
【答案】 D
【解析】 因为6×60%=3.6,所以m=5,
所以E(X)=2×0.3+5×0.6+14×0.1=5,
所以D(X)=(2-5)2×0.3+(5-5)2×0.6+(14-5)2×0.1=10.8.故选D.
3.设a>0,若随机变量X的分布列如表所示,
X -1 0 2
P a 2a 3a
则下列方差中最大的是(　　)
A.D(X) B.D(|X|)
C.D(2X-1) D.D(2|X|-1)
【答案】 C
【解析】 由题意,得a+2a+3a=1,则a=,
所以E(X)=-1×+0×+2×=,
E(|X|)=1×+0×+2×=,
所以D(X)=×(-1-)2+×(0-)2+×(2-)2=,
D(|X|)=×(1-)2+×(0-)2+×(2-)2=,
所以D(2X-1)=4D(X)=4×=,D(2|X|-1)=4D(|X|)=,即D(2X-1)最大.故选C.
4.(多选)(2025·四川模拟)已知随机变量X的分布列如下,则(　　)
X 1 2 3 4
P 4p 3p 2p p
A.p=0.2 B.P(X<3)=0.7
C.E(X)= D.D(X)=1
【答案】 BD
【解析】 由4p+3p+2p+p=1,可得p=0.1,
P(X<3)=4p+3p=0.7,
E(X)=1×0.4+2×0.3+3×0.2+4×0.1=2,
D(X)=(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.3+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1.故选BD.
5.(2025·河南南阳期末)盒中装有除颜色外完全相同的3个黄球和1个红球,现从盒中每次随机取出1个球且不放回,直至取出红球.设在此过程中,取到黄球的个数为X,则D(X)=(　　)
A.1 B. C. D.2
【答案】 B
【解析】 由题意得,X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,P(X=1)=×=,
P(X=2)=××=,P(X=3)=×××1=,
所以X的期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=,
所以D(X)=×=.故选B.
6.设a∈(0,),随机变量X的分布列如表所示,随机变量Y满足Y=2X+1,则当a在(0,)上增大时,下列关于D(Y)的表述正确的是(　　)
X 0 1 3
P a b-a b
A.D(Y)增大
B.D(Y)减小
C.D(Y)先增大后减小
D.D(Y)先减小后增大
【答案】 A
【解析】 由a+(b-a)+b=1,得b=,
则E(X)=1×(-a)+3×=2-a,
D(X)=(0-2+a)2a+(1-2+a)2(-a)+(3-2+a)2×=-a2+3a+1.
由Y=2X+1得D(Y)=D(2X+1)=4D(X)=-4+13,
当a在(0,)上增大时,D(Y)增大.故选A.
7.(2025·广西桂林期末)一名足球运动员在有人防守的情况下,射门命中的概率p=0.3,用随机变量X表示他一次射门的命中次数,则D(X)=　　　　.
【答案】 0.21
【解析】 由题知,一次射门命中次数为0次或1次,
P(X=0)=1-0.3=0.7,P(X=1)=0.3,
因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3,
E(X2)=0×0.7+1×0.3=0.3,
D(X)=E(X2)-(E(X))2=0.3-0.32=0.21.
8.(2025·广东广州期末)随机变量ξ有3个不同的取值,且其分布列如下,
ξ -1 0 1
P
则D(ξ2)的值为　　　　.
【答案】
【解析】 依题意,ξ2的取值为0,1,且P(ξ2=0)=,P(ξ2=1)=,则ξ2的期望E(ξ2)=0×+1×=,
所以ξ2的方差D(ξ2)=(0-)2×+(1-)2×=.
9.(2025·山东日照月考)甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则换对方投篮,第一次由甲投,已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为,,在前3次投篮中,乙投篮的次数为ξ,求随机变量ξ的分布列、数学期望和方差.
【解】 依题意,ξ的所有可能取值为0,1,2,
P(ξ=0)=×=;
P(ξ=1)=×+×=;
P(ξ=2)=×=,
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
数学期望E(ξ)=0×+1×+2×=,方差D(ξ)=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×=.
10.(2025·北京房山期末)某公司推出的某款人工智能(简称AI)软件主要有四项功能:“视频创作”“图像修复”“语言翻译”“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况,从该地区随机抽取了100名大学生,统计他们喜爱使用该款AI软件的功能(每人只能选一项),统计结果如下:
软件功能 视频 创作 图像 修复 语言 翻译 智绘 设计
大学生人数 30 20 30 20
假设大学生对该款AI软件的喜爱倾向互不影响.
(1)从该地区的大学生中随机抽取1人,试估计此人喜爱“视频创作”功能的概率;
(2)采用按比例分配的分层随机抽样的方式从喜爱“视频创作”功能和“图像修复”功能的大学生中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,其中喜爱“视频创作”功能的人数为X,求X的分布列、数学期望以及方差.
【解】 (1)由表格中的数据,可得该地区的100名大学生中喜爱“视频创作”功能的人数为30,
所以该地区的大学生喜爱“视频创作”功能的概率为P==.
(2)在该地区的100名大学生中喜爱“视频创作”功能和“图像修复”功能的人数分别为30和20,
采用分层随机抽样的方式从喜爱“视频创作”功能和“图像修复”功能的大学生中随机抽取
5人,
可得喜爱“视频创作”功能和“图像修复”功能的人数分别为3和2,
从这5人中随机抽取2人,其中喜爱“视频创作”功能的人数为X,可得X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
则数学期望E(X)=0×+1×+2×=,
方差D(X)=×+×+×=.
11.若离散型随机变量X有两个不同的取值,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1D(X)=,则x1+x2的值为　　　　.
【答案】 3
【解析】 由已知得
即
解得或
又x1所以x1+x2=3.
12.编号为1,2,3的三名学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每名学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是ξ,则E(ξ)=　　　　,D(ξ)=　　　　.
【答案】 1　1
【解析】 ξ的所有可能取值为0,1,3,ξ=0表示三名同学全坐错了,有2种情况,即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生,
则P(ξ=0)==;
ξ=1表示三位同学只有1名同学坐对了,
则P(ξ=1)==;
ξ=3表示三名同学全坐对了,即对号入座,
则P(ξ=3)==.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 3
P
E(ξ)=0×+1×+3×=1.
D(ξ)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(3-1)2=1.
13.(2025·云南昆明期末)某投资公司计划将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个“低碳”项目供选择.项目一:新能源汽车,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利40%,也可能亏损10%,且这两种情况发生的概率分别为和;项目二:通信设备,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,,.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为ξ1万元和ξ2万元.
(1)试分别写出随机变量ξ1和ξ2的分布列;
(2)针对以上两个投资项目,请你从投资收益的角度,为投资公司选择一个合理的投资项目,并说明理由.
【解】 (1)由题意,随机变量ξ1和ξ2的分布列为
ξ1 400 -100
P
ξ2 500 -300 0
P
(2)E(ξ1)=400×+(-100)×=200,E(ξ2)=500×+(-300)×+0×=200,
又D(ξ1)=(400-200)2×+(-100-200)2×=60 000,
D(ξ2)=(500-200)2×+(-300-200)2×+(0-200)2×=140 000,
由E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)14.(2025·福建厦门期末)某高二学生在参加物理、历史考试中,成绩是否取得A等级相互独立,记X为“该学生取得A等级的考试科目数”,其分布列如表所示,则D(X)的最大值是(　　)
X 0 1 2
P a b
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 由题意可得X,X2的分布列如表所示,
X 0 1 2
X2 0 1 4
P a b
由分布列的性质可得a+b=1-=,所以a=-b,
所以E(X)=0+b+2×=b+,E(X2)=0+b+4×=b+,
所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=b+-=-b2+b+,
设该生物理、历史考试获得A等级的概率分别为p1,p2,则有p1p2=,
则b=p1(1-p2)+p2(1-p1)=p1+p2-2p1p2=p1+p2-≥2-=,
当且仅当p1=p2=时,等号成立,所以≤b<,
因为函数f(b)=-b2+b+在[,)上单调递减,
所以D(X)=-b2+b+≤-+×+=.故选B.

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