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7.2　离散型随机变量及其分布列
1.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,能根据概率的性质获得并掌握离散型随机变量分布列的性质.
2.会求简单的离散型随机变量的分布列,提升逻辑推理与数学运算素养.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点一　随机变量
(1)定义:一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为 .
(2)表示法:通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
(3)可能取值为有限个或可以 的随机变量,我们称为离散型随机变量.
随机变量
一一列举
温馨提示
离散型随机变量的特征
(1)可以用数值表示.
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值,但不能确定取何值.
(3)试验结果能一一列出.
知识点二　离散型随机变量的分布列的定义及性质
(1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率 P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.以表格的形式表示如下:
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(2)离散型随机变量分布列的性质.
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn= .
1
知识点三　两点分布
我们称X服从两点分布或0-1分布.
X 0 1
P 1-p p
知识辨析
两步法判断一个分布是否为两点分布
(1)看取值:随机变量只取两个值0和1.
(2)验概率:检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立.
如果一个分布满足以上两点,则该分布是两点分布,否则不是两点分布.
知识清点
1.(多选)下列四个命题中正确的是(　　 )
A.某次数学期中考试前,其中一个考场的30名考生中做对选择题第11题的人数是随机变量
B.黄河每年的最大流量是随机变量
C.某体育馆共有6个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量
D.方程x2-2x-3=0的根的个数是随机变量
ABC
【解析】 选项A,B,C对应的量都是随机的实数,故正确;选项D中方程x2-2x-3=0的根有2个,是确定的值,不是随机变量.故选ABC.
2.下列表中能称为随机变量X的分布列的是(　　)
C
A.
X -1 0 1
P 0.3 0.4 0.4
B.
X 1 2 3
P 0.4 0.7 -0.1
C.
X -1 0 1
P 0.3 0.4 0.3
D.
X 1 2 3
P 0.3 0.4 0.4
【解析】 对于A,由0.3+0.4+0.4=1.1≠1,故A错误;对于B,由-0.1<0,故B错误;对于C,由0.3+0.4+0.3=1,故C正确;对于D,由0.3+0.4+0.4=1.1≠1,故D错误.故选C.
3.已知离散型随机变量X的分布列为
则m=　　　　,P(X<3)=　　　　.
课堂探究·素养培育
题型一　离散型随机变量
[例1](1)下面给出四个随机变量:①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ;②一个沿x轴进行随机运动的质点,它在x轴上的位置η;③某派出所一天内接到的报警电话次数X;④某同学上学路上离开家的距离Y.其中是离散型随机变量的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
B
【解析】 (1)对于①,十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来,①是离散型随机变量;对于②,沿x轴进行随机运动的质点,质点在直线上的位置不能一一列举出来,②不是离散型随机变量;对于③,一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来,③是离散型随机变量;对于④,某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值,不能一一列举出来,④不是离散型随机变量.所以其中是离散型随机变量的有①③.故选B.
(2)(2025·湖南常德开学考试)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数,则{X≤1}表示　　　 　　　　　　.
所选3人中至多有1名女生
【解析】 (2){X≤1}包含两种情况:{X=1}和{X=0}. 故{X≤1}表示所选3人中至多有1名女生.
解题策略
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法
(1)明确随机试验的所有可能结果.
(2)将随机试验的试验结果数量化.
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.
[方法迁移] (多选)下列变量中,属于离散型随机变量的是( 　 　)
A.某机场一年中每天运送乘客的人数
B.某校学生参加数学竞赛并顺利获奖的学生人数
C.明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数
D.一瓶果汁的容量为500±2 mL
ABC
【解析】 对于A,某机场一年中每天运送乘客的人数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量,故A正确;对于B,某校学生参加数学竞赛并顺利获奖的学生人数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量,故B正确;对于C,明年5月1日到10月1日期间,所查酒驾的人数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量,故C正确;对于D,由于果汁的容量在498 mL~502 mL之间波动,是随机变量,但不是离散型随机变量,故D错误.故选ABC.
题型二　离散型随机变量的分布列
[例2] 某水果店的草莓每盒进价20元,售价30元,草莓保鲜度为两天,若两天之内未售出,以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量,统计了本店过去40天草莓的日销售量(单位:盒),获得如下数据:
日销售量/盒 70 80 90 100
天数/天 8 12 16 4
假设草莓每日销售量相互独立,且销售量的分布规律保持不变,将频率视为概率.记每两天中销售草莓的总盒数为X(单位:盒),求X的分布列.
解题策略
求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
[方法迁移] 某地要从2名男运动员、4名女运动员中随机选派3人外出比赛.
(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员,则共有多少种选派方法
(2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为X,求X的分布列.
题型三　离散型随机变量分布列的性质
解题策略
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件发生的概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.7.2离散型随机变量及其分布列
【课程标准要求】　
1.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,能根据概率的性质获得并掌握离散型随机变量分布列的性质.
2.会求简单的离散型随机变量的分布列,提升逻辑推理与数学运算素养.
知识点一　随机变量
(1)定义:一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.
(2)表示法:通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
(3)可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.
离散型随机变量的特征
(1)可以用数值表示.
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值,但不能确定取何值.
(3)试验结果能一一列出.
知识点二　离散型随机变量的分布列的定义及性质
(1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率 P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.以表格的形式表示如下:
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(2)离散型随机变量分布列的性质.
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
知识点三　两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X=如果 P(A)=p,则P()=1-p,那么X的分布列如表所示.
X 0 1
P 1-p p
我们称X服从两点分布或0-1分布.
两步法判断一个分布是否为两点分布
(1)看取值:随机变量只取两个值0和1.
(2)验概率:检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立.
如果一个分布满足以上两点,则该分布是两点分布,否则不是两点分布.
知识清点
1.(多选)下列四个命题中正确的是(　　)
A.某次数学期中考试前,其中一个考场的30名考生中做对选择题第11题的人数是随机变量
B.黄河每年的最大流量是随机变量
C.某体育馆共有6个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量
D.方程x2-2x-3=0的根的个数是随机变量
【答案】 ABC
【解析】 选项A,B,C对应的量都是随机的实数,故正确;选项D中方程x2-2x-3=0的根有2个,是确定的值,不是随机变量.故选ABC.
2.下列表中能称为随机变量X的分布列的是(　　)
A.
X -1 0 1
P 0.3 0.4 0.4
B.
X 1 2 3
P 0.4 0.7 -0.1
C.
X -1 0 1
P 0.3 0.4 0.3
D.
X 1 2 3
P 0.3 0.4 0.4
【答案】 C
【解析】 对于A,由0.3+0.4+0.4=1.1≠1,故A错误;对于B,由-0.1<0,故B错误;对于C,由0.3+
0.4+0.3=1,故C正确;对于D,由0.3+0.4+0.4=1.1≠1,故D错误.故选C.
3.已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P m
则m=　　　　,P(X<3)=　　　　.
【答案】 　
【解析】 由分布列的性质得+m+=1,m=.
P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=.
题型一　离散型随机变量
[例1](1)下面给出四个随机变量:①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ;②一个沿x轴进行随机运动的质点,它在x轴上的位置η;③某派出所一天内接到的报警电话次数X;④某同学上学路上离开家的距离Y.其中是离散型随机变量的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)(2025·湖南常德开学考试)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数,则{X≤1}表示　　　　　　　　　　　　.
【答案】 (1)B　(2)所选3人中至多有1名女生
【解析】 (1)对于①,十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来,①是离散型随机变量;对于②,沿x轴进行随机运动的质点,质点在直线上的位置不能一一列举出来,②不是离散型随机变量;对于③,一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来,③是离散型随机变量;对于④,某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值,不能一一列举出来,④不是离散型随机变量.所以其中是离散型随机变量的有①③.故选B.
(2){X≤1}包含两种情况:{X=1}和{X=0}. 故{X≤1}表示所选3人中至多有1名女生.
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法
(1)明确随机试验的所有可能结果.
(2)将随机试验的试验结果数量化.
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.
[方法迁移] (多选)下列变量中,属于离散型随机变量的是(　　)
A.某机场一年中每天运送乘客的人数
B.某校学生参加数学竞赛并顺利获奖的学生人数
C.明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数
D.一瓶果汁的容量为500±2 mL
【答案】 ABC
【解析】 对于A,某机场一年中每天运送乘客的人数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量,故A正确;对于B,某校学生参加数学竞赛并顺利获奖的学生人数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量,故B正确;对于C,明年5月1日到10月1日期间,所查酒驾的人数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量,故C正确;对于D,由于果汁的容量在498 mL~502 mL之间波动,是随机变量,但不是离散型随机变量,故D错误.故选ABC.
题型二　离散型随机变量的分布列
[例2] 某水果店的草莓每盒进价20元,售价30元,草莓保鲜度为两天,若两天之内未售出,以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量,统计了本店过去40天草莓的日销售量(单位:盒),获得如下数据:
日销售量/盒 70 80 90 100
天数/天 8 12 16 4
假设草莓每日销售量相互独立,且销售量的分布规律保持不变,将频率视为概率.记每两天中销售草莓的总盒数为X(单位:盒),求X的分布列.
【解】 日销售量为70盒、80盒、90盒、100盒的概率依次为,,,,
根据题意可得X的所有可能取值为140,150,160,170,180,190,200,
则P(X=140)=×=,
P(X=150)=××2=,
P(X=160)=××2+×=,
P(X=170)=××2+××2=,
P(X=180)=××2+×=,
P(X=190)=××2=,
P(X=200)=×=,
所以X的分布列为
X 140 150 160 170 180 190 200
P
求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
[方法迁移] 某地要从2名男运动员、4名女运动员中随机选派3人外出比赛.
(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员,则共有多少种选派方法
(2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为X,求X的分布列.
【解】 (1)共有=12(种)选派方法.
(2)由题意知,X的可能取值为-3,-1,1,P(X=-3)==,P(X=-1)==,P(X=1)==,所以X的分布列为
X -3 -1 1
P
题型三　离散型随机变量分布列的性质
[例3] (2025·河北衡水期中)设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1,2,3,4,5),则a的值为　　　　.
【答案】
【解析】 依题意,由分布列的性质,得P(X=)+P(X=)+P(X=)+P(X=)+P(X=1)=a+2a+3a+4a+
5a=1,所以a=.
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件发生的概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
[方法迁移1] 设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1,2,3,4,5),则P(X<)=　　　　.
【答案】
【解析】 法一　由分布列的性质,得a=.
P(X≥)=P(X=)+P(X=)+P(X=1)=3×+4×+5×=.
所以P(X<)=1-P(X≥)=1-=.
法二　由分布列的性质,得a=,所以P(X<)=P(X=)+P(X=)=1×+2×=.
[方法迁移2] 设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1,2,3,4,5),则P(【答案】
【解析】 由分布列的性质,得a=.
所以P([方法迁移3] 设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1,2,3,4,5),随机变量 Y=5X-1,则P(Y=3)=　　　　.
【答案】
【解析】 由分布列的性质,得a=.
令Y=3,则X=.
所以P(Y=3)=P(X=)=.
课时作业
1.(多选)下列随机变量中属于离散型随机变量的是(　　)
A.高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X
B.测量一个年级所有学生的体重,在60 kg~70 kg 范围内的体重记为X
C.测量全校所有同学的身高,在170 cm~175 cm 范围内的人数记为X
D.某电子元件的寿命X
【答案】 AC
【解析】 对于A,半小时内经过的车辆数可以一一列举出来,是离散型随机变量,故A正确;对于B,体重无法一一列举,故B错误;对于C,人数可以列举,故C正确;对于D,某电子元件的寿命可为任意值,不能一一列举出来,故D错误.故选AC.
2.一串钥匙有6把,只有1把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的可能取值为(　　)
A.1,2,3,…,6 B.0,1,2,…,6
C.0,1,2,…,5 D.1,2,3,…,5
【答案】 D
【解析】 由试验次数X的含义可知,至少试验一次才可能刚好打开,如果第五次依然没有打开,此时不管开锁是否成功,都能确定能开锁的钥匙.所以X的所有可能取值为1,2,3,4,5.故
选D.
3.设某项试验成功的概率是失败概率的 2倍,记Y=则P(Y=0)等于(　　)
A.0 B. C. D.
【答案】 C
【解析】 由题意知,可设P(Y=1)=p,则 P(Y=0)=1-p.又p=2(1-p),解得p=,故P(Y=0)=.故选C.
4.(2025·广东清远期中)下表是离散型随机变量ξ的概率分布,则P(ξ≥2)=(　　)
ξ 1 2 3 4
P
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 由题意可得+++=1,解得a=2,
所以P(ξ≥2)=1-P(ξ=1)=1-=.故选B.
5.已知随机变量ξ的分布列如表:
ξ -2 0 2
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则P(|ξ|=2)的值是(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 因为a,b,c成等差数列,所以b=,
根据随机变量分布列的性质得a+b+c=1,
所以=1,即a+c=,
所以P(|ξ|=2)=P(ξ=2)+P(ξ=-2)=.
故选A.
6.(多选)(2025·四川巴中模拟)已知随机变量ξ的分布列,若P(ξ2ξ -2 -1 0 1 2 3
P
A.4 B.5 C.7 D.9
【答案】 BCD
【解析】 由随机变量ξ的分布列,知ξ2的可能取值为0,1,4,9,
且P(ξ2=0)=,
P(ξ2=1)=+=,
P(ξ2=4)=+=,
P(ξ2=9)=,
则P(ξ2≤4)=++=,P(ξ2≤9)=1.
若P(ξ27.已知随机变量X的分布列P(X=i)=(i=1,2,3),则a=　　　　.
【答案】
【解析】 已知P(X=i)=(i=1,2,3),
则由分布列的性质可得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=a(++)=a=1,
解得a=.
8.近年来,空气质量成为人们越来越关注的话题.环保部门记录了某地区7天的空气质量情况,其中,有4天空气质量为优,有2天空气质量为良,有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究,则抽取的3天中至少有1天空气质量为良的概率为　　　;记X表示抽取的3天中空气质量为优的天数,则P(X=1)=　　　　.
【答案】 　
【解析】 设事件A表示“抽取3天中至少有一天空气质量为良”,事件B表示“抽取的3天空气质量都不为良”,则事件A与事件B互为对立事件,所以P(A)=1-P(B)=1-=1-=;由已知得X=1表示“抽取的3天中只有1天空气质量为优”,故空气质量不为优的有2天,所以P(X=1)=
==.
9.(2025·河北秦皇岛月考)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求:(1)2X+1的分布列;
(2)|X-1|的分布列.
【解】 由分布列的性质知,
0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,
所以m=0.3.
列表为
X 0 1 2 3 4
2X+1 1 3 5 7 9
|X-1| 1 0 1 2 3
(1)2X+1的分布列为
2X+1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)|X-1|的分布列为
|X-1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
10.(2025·河北邯郸期中)设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.
(1)设“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件;
(2)设ξ=m2,求ξ的分布列.
【解】 (1)由x2-x-6≤0得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,
所以ξ=m2的所有不同取值为0,1,4,9,且有
P(ξ=0)=,P(ξ=1)==,P(ξ=4)==,P(ξ=9)=.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 4 9
P
11.已知随机变量X的分布列如下,
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
则P(X=10)等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 P(X=10)=1--…-=.故选C.
12.如图,A,B两点由五条线路并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线路且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ,则P(ξ≥8)=　　　　.
【答案】
【解析】 法一　(直接法)由已知得,ξ的所有可能取值为7,8,9,10,
五条线路从上到下依次记为C,D,E,F,G,
ξ=7,即从D,F两条线路中选一条,且C,G均选,共有=2(种)选法;
ξ=8,即从C,G两条线路中选一条,且D,F均选或选C,E,G三条线路,共有+1=3(种)选法;
ξ=9,即从C,G中选一条,从D,F中选一条,并选上E,共有=4(种)选法;
ξ=10,即选D,E,F三条线路,共有1种选法.
从五条线路中选三条,共有=10(种)选法,
则P(ξ=7)==,P(ξ=8)=,
P(ξ=9)==,P(ξ=10)=,
所以ξ的分布列为
ξ 7 8 9 10
P
所以P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=++=.
法二　(间接法)由已知得,ξ的所有可能取值为7,8,9,10,故P(ξ≥8)与P(ξ=7)是对立事件.
由法一可得,P(ξ=7)=,
所以P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1-=.
13.(2025·河北张家口开学考试)同学甲进行一种闯关游戏,该游戏共设两个关卡,闯关规则:在闯每个关卡前需先投掷一枚硬币,若正面朝上,则顺利进入闯关界面,可以开始闯关游戏;若反面朝上,游戏直接终止.甲同学在每次进入闯关界面后能够成功通过关卡的概率均为,且第一关是否成功通过都不影响第二关的进行.
(1)求同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率;
(2)同学甲成功通过关卡的个数为ξ,求ξ的分布列.
【解】 (1)同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率P=×××=.
(2)同学甲成功通过关卡的个数ξ的可能取值为0,1,2,
P(ξ=0)=+××+×××=,
P(ξ=1)=××+××××2=,
P(ξ=2)=×××=,
所以同学甲成功通过关卡的个数ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
14.若离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=(1≤k≤5,k∈Z),则P(A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 因为P(X=k)==
m(-),
所以由P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=5)=1,可得m
=1,
即m(1-)=1,所以m=,
所以P(

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