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7.4.2　超几何分布
1.通过具体实例,了解超几何分布及其均值.
2.能利用超几何分布解决简单的实际问题,提升数学建模的核心素养.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点一　超几何分布的定义
知识点二　超几何分布的性质
知识清点
1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)
A.将一枚硬币连抛3次,记正面向上的次数为X
B.盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
C.某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X
D.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部,记选出女生的人数为X
D
【解析】 对于A,硬币正面向上的次数X服从二项分布,故A错误;
对于B,第一次摸出黑球时的总次数X不是超几何分布,故B错误;
对于C,射手对目标射击1次,命中目标的次数X服从两点分布,故C错误;
对于D,选出女生的人数X服从超几何分布,故D正确.故选D.
C
3.有10件产品,其中4件是次品,从中不放回地任取3件,若X表示取得次品的个
数,则E(2X+1)=　　　　.
课堂探究·素养培育
题型一　超几何分布的辨析
[例1] 下列问题中,哪些属于超几何分布问题 说明理由.
(1)抛掷3枚质地均匀的骰子,所得向上的点数是6的骰子的个数记为X,求X的概率分布列;
(2)有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,把试验中发芽的种子的个数记为X,求X的概率分布列;
(3)盒子中有红球3个,黄球4个,蓝球5个(球除颜色外,其他均相同),任取3个球,把不是红色的球的个数记为X,求X的概率分布列;
(4)现有100台机器未经检测,抽取10台送检,把检验结果为不合格的机器的台数记为X,求X的概率分布列.
【解】 (1)(2)中样本没有分类,不是超几何分布问题,是二项分布问题.
(3)符合超几何分布的特征,对象分为两类.随机变量X表示抽取的n个个体中某类个体的个数,是超几何分布问题.
(4)中没有给出不合格的机器的台数,无法计算X的概率分布列,所以不属于超几何分布问题.
解题策略
判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点:
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中某类个体的个数.
[方法迁移]一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量:①X表示取出的最大号码;②X表示取出的最小号码;③X表示取出的白球个数;④取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分减去4的差. 这四
种变量中服从超几何分布的是(　　)
A.①② B.③④
C.①②④ D.①②③④
B
【解析】 ①②中的变量不符合超几何分布的定义,无法用超几何分布的数学模型计算概率,故①②错误;③中的变量符合超几何分布的定义选项,将白球视作甲类物品,黑球视作乙类物品,则可以用超几何分布的数学模型计算概率,故③正确;④中的变量可以对应取出的黑球个数,符合超几何分布的定义选项,可以用超几何分布的数学模型计算概率,故④正确.故选B.
题型二　超几何分布的概率及分布列
[例2] 某校为了参加市里举办的足球联赛,从学校的足球队中选出了水平较高的18人组成了代表队参加比赛,已知这18名队员来自高二年级的4个班级,每班对应的人数如下表所示.
班级 高二
(1)班 高二
(2)班 高二
(3)班 高二
(4)班
人数 4 6 3 5
(1)从这18名队员中随机选出两人,求这两人来自同一个班级的概率;
(2)经过队员们的奋力拼搏,获得了这次联赛的冠军,若要从这18人中选出两人作为球员代表发言,设选出的两人中来自高二(1)班的人数为X,求X的分
布列.
解题策略
求超几何分布的分布列的步骤
第一步:验证随机变量服从超几何分布,并确定N,n,M的值.
第二步:根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的
概率.
第三步:用表格的形式列分布列.
[方法迁移] (2025·北京期中)近年来,随着5G网络、人工智能等技术的发展,智能辅助驾驶技术也日趋成熟.为了尽快在实际生活中应用智能辅助驾驶技术,国内各大汽车研发企业都在积极进行智能辅助驾驶汽车的道路安全行驶测试.某机构调查了部分企业参与测试的若干辆智能辅助驾驶汽车,按照每辆车的行驶里程(单位:万千米)将这些汽车分为4组:[5,6),[6,7),[7,8),[8,9]并整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
【解】 (1)由频率分布直方图的性质,可得(0.1+0.2+0.4+a)×1=1,解得a=0.3.
(2)该机构用分层随机抽样的方法从上述4组智能辅助驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本.从样本中行驶里程不小于7万千米的智能辅助驾驶汽车中随机抽取2辆,其中有X辆汽车行驶里程不小于8万千米,求X的分布列.
题型三　超几何分布的均值
[例3]为了解高三(1)班和(2)班的数学建模水平,现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模比赛(满分100分),成绩如下:
数据Ⅰ[高三(1)班]:68,80,58,75,65,70,54,90,88,92;
数据Ⅱ[高三(2)班]:72,55,83,59,56,90,83,52,80,95.
(1)求数据Ⅰ[高三(1)班]的第80百分位数;
(2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人做下一步建模培训,设被抽到的3人中来自高三(2)班的学生人数为X,求X的概率分布列和数学期望.
解题策略
超几何分布的均值
超几何分布的均值与二项分布的均值都是np,但是n,p的意义不同,超几何分布中n是不放回地随机抽取的产品数,p是次品率.
B
培优拓展3　二项分布与超几何分布的辨析
[典例] 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:2g),质量的分组区间为[490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求质量超过505 g 的产品数量;
【解】 (1)质量超过505 g的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,
所以质量超过505 g的产品数量为40×0.3=12(件).
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505 g的产品数量,求X的分布列,并求其均值;
(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505 g的产品数量,求E(Y).
反思总结
在n次试验中,某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布.
区别 (1)当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球),X服从二项分布;
(2)当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球),X服从超几何分布
联系 在不放回n次试验中,如果总体数量N很大,而试验次数n很小,此时超几何分布可近似看作二项分布
[跟进巩固] 甲、乙、丙三人进行投篮比赛,共比赛10场,规定每场比赛分数最高者获胜,三人得分(单位:分)情况统计如下:
场次 1 2 3 4 5
甲 8 10 10 7 12
乙 9 13 8 12 14
丙 12 11 9 11 11
场次 6 7 8 9 10
甲 8 8 10 10 13
乙 11 7 9 12 10
丙 9 9 8 9 11
(1)从上述10场比赛中随机选择一场,求甲获胜的概率;
(2)在上述10场比赛中,从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场,设X表示乙得分大于丙得分的场数,求X的分布列和数学期望E(X);
(3)假设每场比赛获胜者唯一,且各场相互独立,用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛,设Y1为甲获胜的场数,Y2为乙获胜的场数,Y3为丙获胜的场数,写出方差D(Y1), D(Y2),D(Y3)的大小关系,并说明理由.7.4.2　超几何分布
【课程标准要求】　
1.通过具体实例,了解超几何分布及其均值.
2.能利用超几何分布解决简单的实际问题,提升数学建模的核心素养.
知识点一　超几何分布的定义
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
知识点二　超几何分布的性质
若随机变量X服从超几何分布,则 E(X)=n·.
知识清点
1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)
A.将一枚硬币连抛3次,记正面向上的次数为X
B.盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
C.某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X
D.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部,记选出女生的人数为X
【答案】 D
【解析】 对于A,硬币正面向上的次数X服从二项分布,故A错误;
对于B,第一次摸出黑球时的总次数X不是超几何分布,故B错误;
对于C,射手对目标射击1次,命中目标的次数X服从两点分布,故C错误;
对于D,选出女生的人数X服从超几何分布,故D正确.故选D.
2.在100张奖券中,有4张能中奖,从中任取2张,则2张都能中奖的概率是(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 记X为抽出的2张奖券中有奖奖券的数量,
则P(X=2)==.故选C.
3.有10件产品,其中4件是次品,从中不放回地任取3件,若X表示取得次品的个数,则E(2X+1)=　　　　.
【答案】
【解析】 由题意可得X服从超几何分布,
且E(X)=3×=,
所以E(2X+1)=2E(X)+1=.
题型一　超几何分布的辨析
[例1] 下列问题中,哪些属于超几何分布问题 说明理由.
(1)抛掷3枚质地均匀的骰子,所得向上的点数是6的骰子的个数记为X,求X的概率分布列;
(2)有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,把试验中发芽的种子的个数记为X,求X的概率分布列;
(3)盒子中有红球3个,黄球4个,蓝球5个(球除颜色外,其他均相同),任取3个球,把不是红色的球的个数记为X,求X的概率分布列;
(4)现有100台机器未经检测,抽取10台送检,把检验结果为不合格的机器的台数记为X,求X的概率分布列.
【解】 (1)(2)中样本没有分类,不是超几何分布问题,是二项分布问题.
(3)符合超几何分布的特征,对象分为两类.随机变量X表示抽取的n个个体中某类个体的个数,是超几何分布问题.
(4)中没有给出不合格的机器的台数,无法计算X的概率分布列,所以不属于超几何分布问题.
判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点:
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中某类个体的个数.
[方法迁移]一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量:①X表示取出的最大号码;②X表示取出的最小号码;③X表示取出的白球个数;④取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分减去4的差. 这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A.①② B.③④
C.①②④ D.①②③④
【答案】 B
【解析】 ①②中的变量不符合超几何分布的定义,无法用超几何分布的数学模型计算概率,故①②错误;③中的变量符合超几何分布的定义选项,将白球视作甲类物品,黑球视作乙类物品,则可以用超几何分布的数学模型计算概率,故③正确;④中的变量可以对应取出的黑球个数,符合超几何分布的定义选项,可以用超几何分布的数学模型计算概率,故④正确.故选B.
题型二　超几何分布的概率及分布列
[例2] 某校为了参加市里举办的足球联赛,从学校的足球队中选出了水平较高的18人组成了代表队参加比赛,已知这18名队员来自高二年级的4个班级,每班对应的人数如下表所示.
班级 高二 (1)班 高二 (2)班 高二 (3)班 高二 (4)班
人数 4 6 3 5
(1)从这18名队员中随机选出两人,求这两人来自同一个班级的概率;
(2)经过队员们的奋力拼搏,获得了这次联赛的冠军,若要从这18人中选出两人作为球员代表发言,设选出的两人中来自高二(1)班的人数为X,求X的分布列.
【解】 (1)设事件A为“从这18名队员中随机选出两人,这两人来自同一个班级”,
则P(A)===.
(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,依题意,X服从超几何分布,
故P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
求超几何分布的分布列的步骤
第一步:验证随机变量服从超几何分布,并确定N,n,M的值.
第二步:根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率.
第三步:用表格的形式列分布列.
[方法迁移] (2025·北京期中)近年来,随着5G网络、人工智能等技术的发展,智能辅助驾驶技术也日趋成熟.为了尽快在实际生活中应用智能辅助驾驶技术,国内各大汽车研发企业都在积极进行智能辅助驾驶汽车的道路安全行驶测试.某机构调查了部分企业参与测试的若干辆智能辅助驾驶汽车,按照每辆车的行驶里程(单位:万千米)将这些汽车分为4组:[5,6),[6,7),[7,8),[8,9]并整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)该机构用分层随机抽样的方法从上述4组智能辅助驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本.从样本中行驶里程不小于7万千米的智能辅助驾驶汽车中随机抽取2辆,其中有X辆汽车行驶里程不小于8万千米,求X的分布列.
【解】 (1)由频率分布直方图的性质,可得(0.1+0.2+0.4+a)×1=1,解得a=0.3.
(2)4组智能辅助驾驶汽车的数量比为1∶2∶4∶3,
若采用分层随机抽样抽取10辆汽车,则行驶里程在[7,8)这一组的智能辅助驾驶汽车有10×=4(辆),
行驶里程在[8,9)这一组的智能辅助驾驶汽车有10×=3(辆),
由题意知,随机变量X的可能取值为0,1,2,
可得P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
题型三　超几何分布的均值
[例3]为了解高三(1)班和(2)班的数学建模水平,现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模比赛(满分100分),成绩如下:
数据Ⅰ[高三(1)班]:68,80,58,75,65,70,54,90,88,92;
数据Ⅱ[高三(2)班]:72,55,83,59,56,90,83,52,80,95.
(1)求数据Ⅰ[高三(1)班]的第80百分位数;
(2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人做下一步建模培训,设被抽到的3人中来自高三(2)班的学生人数为X,求X的概率分布列和数学期望.
【解】 (1)将数据Ⅰ从小到大排列为54,58,65,68,70,75,80,88,90,92,
因为10×80%=8,所以数据Ⅰ的第80百分位数为=89.
(2)数据Ⅰ中60分以下的有54分,58分,
数据Ⅱ中60分以下的有52分,55分,56分,59分,
即符合题意的共有6人,其中高三(1)班有2人,高三(2)班有4人.
可知X的所有可能取值为1,2,3,
则P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===,
所以X的概率分布列为
X 1 2 3
P
数学期望E(X)=1×+2×+3×=2.
超几何分布的均值
超几何分布的均值与二项分布的均值都是np,但是n,p的意义不同,超几何分布中n是不放回地随机抽取的产品数,p是次品率.
[方法迁移](2025·广西梧州月考)一个盒子中装有4个白色乒乓球和 5个橘黄色乒乓球(球除颜色外,其余均相同).现从盒子中任取 3个乒乓球,记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为X,则E(X)=(　　)
A.1 B. C. D.2
【答案】 B
【解析】 法一　显然X的可能取值为0,1,2,3,
其中P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
故E(X)=0×+1×+2×+3×=.故选B.
法二　X服从超几何分布,由超几何分布的期望公式可得E(X)=3×=.故选B.
培优拓展3　二项分布与超几何分布的辨析
[典例] 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:2g),质量的分组区间为[490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求质量超过505 g 的产品数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505 g的产品数量,求X的分布列,并求其均值;
(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505 g的产品数量,求E(Y).
【解】 (1)质量超过505 g的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,
所以质量超过505 g的产品数量为40×0.3=12(件).
(2)质量超过505 g的产品数量为12件,则质量未超过505 g的产品数量为28件,X的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布.
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以X的均值为E(X)=0×+1×+2×=.
(3)根据样本估计总体的思想,取1件产品,该产品的质量超过505 g的概率为=.
从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2重伯努利试验,质量超过505 g的件数Y的可能取值为0,1,2,且Y~B(2,),
P(Y=k)=·()k·(1-)2-k,k=0,1,2,
所以P(Y=0)=×()2=,
P(Y=1)=××=,
P(Y=2)=×()2=.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)=0×+1×+2×=.
在n次试验中,某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布.
区别 (1)当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球),X服从二项分布; (2)当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球),X服从超几何分布
联系 在不放回n次试验中,如果总体数量N很大,而试验次数n很小,此时超几何分布可近似看作二项分布
[跟进巩固] 甲、乙、丙三人进行投篮比赛,共比赛10场,规定每场比赛分数最高者获胜,三人得分(单位:分)情况统计如下:
场次 1 2 3 4 5
甲 8 10 10 7 12
乙 9 13 8 12 14
丙 12 11 9 11 11
场次 6 7 8 9 10
甲 8 8 10 10 13
乙 11 7 9 12 10
丙 9 9 8 9 11
(1)从上述10场比赛中随机选择一场,求甲获胜的概率;
(2)在上述10场比赛中,从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场,设X表示乙得分大于丙得分的场数,求X的分布列和数学期望E(X);
(3)假设每场比赛获胜者唯一,且各场相互独立,用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛,设Y1为甲获胜的场数,Y2为乙获胜的场数,Y3为丙获胜的场数,写出方差D(Y1),D(Y2),D(Y3)的大小关系,并说明理由.
【解】 (1)根据三人投篮得分统计数据,在 10场比赛中,甲共获胜3场,分别是第3场、第8场、第10场.
设A表示“从10场比赛中随机选择一场,甲获胜”,则P(A)=.
(2)根据三人投篮得分统计数据,在10场比赛中,甲得分不低于10分的场次有6场,
分别是第2场、第3场、第5场、第8场、第9场、第10场,其中乙得分大于丙得分的场次有4场,分别是第2场、第5场、第8场、第9场.
所以X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×+1×+2×=.
(3)由题意,每场比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,丙获胜的概率为,还需要进行6场比赛,
而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布,
所以D(Y1)=6×0.3×(1-0.3)=1.26,D(Y2)=6×0.5×(1-0.5)=1.5,D(Y3)=6×0.2×(1-0.2)=0.96,
故D(Y2)>D(Y1)>D(Y3).
课时作业
1.有15本书,其中有7本文学书,现从中任意选 10本书,用ξ表示10本书中文学书的数量,下列概率中等于的是(　　)
A.P(ξ=2) B.P(ξ≤2)
C.P(ξ=4) D.P(ξ≤4)
【答案】 C
【解析】 对于A,P(ξ=2)=;
对于B,P(ξ≤2)=P(ξ=2)≠;
对于C,P(ξ=4)=;
对于D,P(ξ≤4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)>.故选C.
2.(2025·山东潍坊月考)某县有7个自然村,其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游而被评为“旅游示范村”.现要从该县7个自然村里选出3个作宣传,则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 由题可得,恰有2个村是“旅游示范村”的概率为P==.故选B.
3.盒中有10颗螺丝钉,其中3颗是坏的.现从盒中随机抽取4颗,则概率是 的事件为(　　)
A.恰有1颗是坏的 B.4颗全是好的
C.恰有2颗是好的 D.至多有2颗是坏的
【答案】 C
【解析】 对于A,事件的概率为=;对于B,事件的概率为=;对于C,事件的概率为=;对于D,事件的概率为=.故选C.
4.在10个排球中有6个正品,4个次品,从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 正品数比次品数少,有两种抽取情况:0个正品4个次品,1个正品3个次品,由超几何分布的概率公式可知,当抽到0个正品4个次品时,P==;当抽到1个正品3个次品时,P===,所以抽到正品数比次品数少的概率为+=.故选A.
5.(2025·山东东营月考)某学校有一个体育运动社团,该社团中会打篮球,但不会踢足球的有3人,打篮球、踢足球都会的有2人,从该社团中任取2人,设X为选出的人中打篮球、踢足球都会的人数,若P(X>0)=,则该社团的人数为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.10
【答案】 C
【解析】 设该社团的人数为n,所以P(X=0)==.因为P(X=0)=1-P(X>0)=,所以=,即(11n-18)(n-7)=0,又因为n∈N*且n≥5,所以n=7.故选C.
6.(多选)(2025·重庆北培月考)一个袋子中有10个除颜色外完全相同的小球,其中有4个黄球,6个白球,分别采用有放回和不放回的方式,从袋子中随机摸出2个球作为样本,用X表示样本中黄球的个数,下列说法正确的有(　　)
A.如果采用有放回地摸球,则两次都摸到黄球的概率是
B.如果采用不放回地摸球,第一次摸到黄球的条件下,则第二次也摸到黄球的概率为
C.如果采用不放回地摸球,则第二次摸到黄球的概率为
D.无论是采用有放回地摸球还是不放回地摸球,X的均值都是一样的
【答案】 BCD
【解析】 对于A,有放回地摸球,每次摸到黄球的概率为,且相互独立,则两次都摸到黄球的概率是×=,故A错误;
对于B,C,不放回地摸球,设A1=“第一次摸到黄球”,A2=“第二次摸到黄球”,
则P(A2|A1)==,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=,故B,C正确;
对于D,当分别采用有放回地摸球和不放回地摸球时,样本中的黄球个数X分别服从二项分布和超几何分布,其均值均为2×=,故D正确.故选BCD.
7.数学教师从6道习题中随机抽3道让同学解答,规定至少要正确解答2道题才能及格.某同学只能正确解答其中的 4道题,则他能及格的概率是　　　　.
【答案】
【解析】 设X表示解答正确的题的个数,由超几何分布的概率公式可得,他能及格的概率是P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
8.(2025·上海高二月考)已知在12件产品中可能存在次品,从中抽取2件检测,设次品数为ξ.若P(ξ=1)=,且该产品的次品率不超过40%,则这12件产品的次品率为　　　　.
【答案】 25%
【解析】 设这12件产品中的次品数为x,P(ξ=1)=,
则P(ξ=1)==,且≤40%,解得x=3,
故这12件产品的次品率为=25%.
9.(2025·辽宁大连期中)某植物园种植一种观赏花卉,这种观赏花卉的高度(单位:cm)介于[15,25]之间,现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量,所得数据统计如下图所示.
(1)求a的值;
(2)若从高度在[15,17)和[17,19)中采用分层随机抽样的方法抽取5株,在这5株中随机抽取3株,记高度在[15,17)内的株数为X,求X的分布列.
【解】 (1)依题意可得(0.05+0.075+a+0.15+0.1)×2=1,解得a=0.125.
(2)结合(1)的结论,可得高度在[15,17)和[17,19)的频率分别为0.1和0.15,
所以分层抽取的5株中,高度在[15,17)和[17,19)的株数分别为2和3,
则X可取0,1,2,
P(X=0)==,
P(X=1)===,
P(X=2)===.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
10.拟从5名医学专家中抽选人员分批次参与某次援助活动,援助活动共分3批次进行,每次援助需要同时派送2名专家,且每次派送专家均从这5人中随机抽选.已知这5名医学专家中,2人有援助经验,3人没有援助经验.
(1)求5名医学专家中的甲在这3批次援助活动中恰有两次被抽选到的概率;
(2)求第一次抽选到没有援助经验专家的人数X的分布列与数学期望.
【解】 (1)由题意可知5名医学专家中的甲在每批次抽选中,被抽选到的概率为,
则三次抽选中,甲恰有两次被抽选到的概率为
P=×()2×=.
(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,且X服从超几何分布.
P(X=0)==,
P(X=1)===,
P(X=2)==.
所以分布列为
X 0 1 2
P
所以X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=.
11.(多选)(2025·山东聊城期末)如图,我国传统计算工具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面2颗叫上珠,下面5颗叫下珠,若从某一档的7颗算珠中任选3颗,记上珠的个数为X,下珠的个数比上珠的个数多Y,则(　　)
A.P(X≠1)= B.E(X)=
C.E(Y)= D.D(Y)=
【答案】 BCD
【解析】 由题意知,X=0,1,2.
则P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,
则E(X)=0×+1×+2×=,P(X≠1)==,故A错误,B正确;
由题意知,Y=-1,1,3.
P(Y=-1)=P(X=2)=,P(Y=1)=P(X=1)=,P(Y=3)=P(X=0)=,
E(Y)=-1×+1×+3×=,D(Y)=×(-1-)2+×(1-)2+×(3-)2=,故C,D正确.故选BCD.
12.在30瓶饮料中,有3瓶已过保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过保质期的饮料的概率为　　　　;抽取的2瓶饮料中过保质期的饮料的瓶数的数学期望是　　　　.
(用最简分数作答)
【答案】 　
【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶,设“至少取到 1瓶已过保质期的饮料”为事件A,则P(A)=+=.
设抽取的2瓶饮料中过保质期的饮料的瓶数为X,则E(X)=2×=.
13.(2025·河南新乡模拟)某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间(单位:h),从这批次电池中随机抽取50组进行测试,把测得数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值;
(2)从抽取的50组电池中任取2组,求恰有1组电池续航时间不少于35 h的概率;
(3)将样本分布的频率视为总体分布的概率,从该批次电池组中任取2组,设X为续航时间不少于35 h的电池组的数量,求X的分布列及数学期望.
【解】 (1)根据频率之和等于1可得,
5×(0.01+0.06+0.07+a+0.02)=1,解得a=0.04.
(2)由频率分布直方图可知,电池续航时间不少于35 h的频率等于(0.04+0.02)×5=0.3,
所以电池续航时间不少于35 h的电池有50×0.3=15(组),
电池续航时间少于35 h的电池有50×0.7=35(组),
所以从抽取的50组电池中任取2组,
恰有1组电池续航时间不少于35 h的概率为==.
(3)由(2)知,每次抽到电池续航时间不少于35 h 的概率等于,
由题可知,随机变量X服从二项分布,所以X~B(2,),
所以X所有可能的取值有0,1,2,
所以P(X=0)=()2×()0=,
P(X=1)=()1×()1==,
P(X=2)=()0×()2=,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×=0.6.
14.(2025·安徽马鞍山模拟)有甲、乙两个不透明的袋子,甲袋子里有1个白球,乙袋子里有5个白球和5个黑球,球除颜色外完全相同.现从乙袋子里随机取出k(1≤k≤10,k∈N*)个球放入甲袋子里,再从甲袋子里随机取出一个球,记取到的白球的个数为X,则当k(1≤k≤10,k∈N*)变大时(　　)
A.E(X)变小
B.E(X)先变小再变大
C.E(X)变大
D.E(X)先变大再变小
【答案】 A
【解析】 由题意可知,从乙盒子里随机取出k(1≤k≤10,k∈N*)个球,其中白球的个数X服从超几何分布,则E(X)=k·=.故从甲盒子里随机取一球,相当于从含有(+1)个白球的(k+1)个球中取一球,取到白球的个数为X,
易知随机变量X服从两点分布,故P(X=1)==+,
所以E(X)=P(X=1)=+,随着k变大,E(X)变小.故选A.

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