资源简介

(共23张PPT)
培优课2　
成对数据统计分析中的综合问题
课堂探究·素养培育
题型一　回归分析与概率、统计交汇
[典例1] 某新开业的文创商品店的开业天数x与利润y(单位:万元)之间的相关数据统计如表1所示.
表1
x 10 20 30 40 50
y 5 6.5 7 9.5 12
(1)已知y与x呈线性相关关系,求y关于x的经验回归方程.
(2)为了庆祝文创商品店顺利开业,店家组织了消费返利抽奖游戏,游戏规则如下:在抽奖盒中放有5张卡片,其中2张写有“幸运顾客”,3张写有“不要泄气”,一轮次抽奖中参加游戏的消费者有放回地抽取3次,每次抽取1张卡片,每一轮次抽奖之后根据表3计算奖金,消费金额(单位:元)在[40,80],(80,120],(120,160]的消费者分别有1,2,3轮次的抽奖机会.
已知这天顾客的消费情况以及每一轮次抽奖后具体的奖励情况如下,求这天返利总金额X的数学期望.
表2
消费金额 [40,60] (60,80] (80,100] (100,120] (120,140] (140,160]
人数 6 22 25 35 8 4
表3
“幸运顾客”卡片数 3 2 其他情况
奖励金额(单位:元) 30 20 0
[方法迁移] 某网购专营店统计了某月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天的数据,如表所示:
x 1 2 3 4 5
y 75 84 93 98 100
(1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系 若可以,估计该月10日到该专营店购物的人数;若不可以,请说明理由.(人数用四舍五入法取整数,若样本相关系数|r|>0.75,则线性相关程度较强,可以用线性回归模型拟合,r精确到0.01)
题型二　独立性检验与概率、统计交汇
[典例2] 某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平,构建“书香校园”,特举办“课外阅读知识竞赛”,为了调查学生对这次活动是否满意,在所有参加
“课外阅读知识竞赛”的学生中抽取容量为300的样本进行调查,并得到如下2×2列联表:
单位:人
是否满意 性别 合计
男生 女生
满意 120
不满意 150
合计 200
(1)请补全上面的2×2列联表,依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为是否满意与性别有关系
【解】 (1)2×2列联表如下:
单位:人
是否满意 性别 合计
男生 女生
满意 120 30 150
不满意 80 70 150
合计 200 100 300
[方法迁移] 某学校积极推进近视综合防控,开展了近视原因的调查以备有效进行预防.随机调查了各100名已近视学生和未近视学生后,得到如下数据:
电子产品 近视 未近视
非长时间使用电子产品 40 70
长时间使用电子产品 60 30
(1)依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验,能否认为患近视与长时间使用电子产品有关
(2)若利用分层随机抽样的方法从近视学生中抽取5人组成样本数据,再从这5人中抽取 3人进行近视矫正实验,记X表示这3人中长时间使用电子产品的人数,求X的分布列与数学期望.
参考公式和数据:
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828培优课2　成对数据统计分析中的综合问题
题型一　回归分析与概率、统计交汇
[典例1] 某新开业的文创商品店的开业天数x与利润y(单位:万元)之间的相关数据统计如表1所示.
表1
x 10 20 30 40 50
y 5 6.5 7 9.5 12
(1)已知y与x呈线性相关关系,求y关于x的经验回归方程.
(2)为了庆祝文创商品店顺利开业,店家组织了消费返利抽奖游戏,游戏规则如下:在抽奖盒中放有5张卡片,其中2张写有“幸运顾客”,3张写有“不要泄气”,一轮次抽奖中参加游戏的消费者有放回地抽取3次,每次抽取1张卡片,每一轮次抽奖之后根据表3计算奖金,消费金额(单位:元)在[40,80],(80,120],(120,160]的消费者分别有1,2,3轮次的抽奖机会.
已知这天顾客的消费情况以及每一轮次抽奖后具体的奖励情况如下,求这天返利总金额X的数学期望.
表2
消费 金额 [40, 60] (60, 80] (80, 100] (100, 120] (120, 140] (140, 160]
人数 6 22 25 35 8 4
表3
“幸运顾客”卡片数 3 2 其他情况
奖励金额(单位:元) 30 20 0
参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归方程=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为 =,=- .
【解】 (1)依题意得=30,=8,
则(xi-)(yi-)=-20×(-3)+(-10)×(-1.5)+0+10×1.5+20×4=170,
(xi-)2=400+100+0+100+400=1 000,
则===0.17,=8-0.17×30=2.9,
故y关于x的经验回归方程为=0.17x+2.9.
(2)设η表示参加一轮次抽奖所获得的奖励金额,则η的可能取值为0,20,30,
因为抽取一张卡片,抽到“幸运顾客”卡片的概率P==,
所以P(η=0)=×()3+××()2=,
P(η=20)=×()2×=,
P(η=30)=×()3=,
所以E(η)=0+20×+30×=7.68(元),
所以E(X)=(28+2×60+3×12)×7.68=1 413.12(元).
[方法迁移] 某网购专营店统计了某月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天的数据,如表所示:
x 1 2 3 4 5
y 75 84 93 98 100
(1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系 若可以,估计该月10日到该专营店购物的人数;若不可以,请说明理由.(人数用四舍五入法取整数,若样本相关系数|r|>0.75,则线性相关程度较强,可以用线性回归模型拟合,r精确到0.01)
(2)该专营店为了吸引顾客,推出两种促销方案.方案一:购物金额每满100元可减5元.方案二:一次性购物金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率均为,且每次抽奖互不影响,中奖一次打九折,中奖两次打八折,中奖三次打六折.某顾客计划在此专营店购买1 000元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.
参考数据:≈65.88.
参考公式:样本相关系数
r=,
=,=-.
【解】 (1)由题表中数据可得=3,=90,(xi-)2=10,(yi-)2=434,(xi-)(yi-)=64,
所以r==≈0.97>0.75,
所以可以用线性回归模型拟合人数y与时间第x天之间的关系.
而===6.4,则=- =90-6.4×3=70.8,所以=6.4x+70.8,
令x=6,可得=109.2,所以该月10日到该专营店购物的人数约为109.
(2)若选方案一,需付款1 000-50=950(元).
若选方案二,设需付款X元,则X的取值可能为600,800,900,1 000,
则P(X=600)=×()3=,
P(X=800)=×()2×=,
P(X=900)=××()2=,
P(X=1 000)=×()3=,
所以E(X)=600×+800×+900×+1 000×=<950,
因此选择方案二更优惠.
题型二　独立性检验与概率、统计交汇
[典例2] 某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平,构建“书香校园”,特举办“课外阅读知识竞赛”,为了调查学生对这次活动是否满意,在所有参加“课外阅读知识竞赛”的学生中抽取容量为300的样本进行调查,并得到如下2×2列联表:
单位:人
是否满意 性别 合计
男生 女生
满意 120
不满意 150
合计 200
(1)请补全上面的2×2列联表,依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为是否满意与性别有关系
(2)若竞赛成绩在前20的学生进入决赛环节,该环节共设置3道试题,且必须依次作答,至少答对2道才能进入总决赛,且每人答对这3道试题的概率分别为,,,3道试题答对与否互不影响.
①用X表示能进入总决赛的人数,求X的数学期望;
②记有n人进入总决赛的概率为P(n),求P(n)取最大值时n的值.
参考公式和数据:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
【解】 (1)2×2列联表如下:
单位:人
是否满意 性别 合计
男生 女生
满意 120 30 150
不满意 80 70 150
合计 200 100 300
零假设为H0:是否满意与性别无关,χ2==24>10.828=x0.001,
所以依据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即能认为是否满意与性别有关系,此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)①依题意,设Ai=“答对第i道题”(i=1,2,3),B=“某同学进入总决赛”,
则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
所以P(B)=P(A1A2A3)+P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=××+××(1-)+×(1-)×+(1-)××=,
依题意,X~B(20,),所以E(X)=20×=.
②依题意,P(n)=()n(1-)20-n,n=0,1,2,…,20,
若P(n)最大,则
解得≤n≤,因为n∈N*,所以n=12,所以 P(n)取最大值时n的值为12.
[方法迁移] 某学校积极推进近视综合防控,开展了近视原因的调查以备有效进行预防.随机调查了各100名已近视学生和未近视学生后,得到如下数据:
电子产品 近视 未近视
非长时间使用电子产品 40 70
长时间使用电子产品 60 30
(1)依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验,能否认为患近视与长时间使用电子产品有关
(2)若利用分层随机抽样的方法从近视学生中抽取5人组成样本数据,再从这5人中抽取 3人进行近视矫正实验,记X表示这3人中长时间使用电子产品的人数,求X的分布列与数学期望.
参考公式和数据:
χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】 (1)零假设为H0:学生患近视与长时间使用电子产品无关,
χ2==≈18.182>10.828=x0.001,依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为学生患近视与长时间使用电子产品有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)由样本数据可知近视学生中长时间使用电子产品与非长时间使用电子产品的人数比例为3∶2,
所以抽取的5人中有3人长时间使用电子产品,有2人非长时间使用电子产品,
所以X的可能取值为1,2,3,
且P(X=1)==,P(X=2)===,P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以数学期望E(X)=1×+2×+3×=.
课时作业
1.(多选)某质检部门分别对甲、乙两家公司负责的某建设工地中的橡胶弹性垫层进行了抽检,测得10件样品的邵氏A型硬度值如下表所示(单位:度).
样品 编号 甲公司 乙公司 样品 编号 甲公司 乙公司
1 81 88 6 80 80
2 77 85 7 82 76
3 78 76 8 84 87
4 81 84 9 80 81
5 86 74 10 79 72
已知邵氏A型硬度值为80±5(度)的橡胶弹性垫层为符合该项目建设要求的材料,且从供应商丙采购的橡胶弹性垫层的邵氏A型硬度值(单位:度)服从正态分布 N(80,22),则(　　)
参考公式和数据:χ2=,n=a+b+c+d,
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
A.甲公司使用的橡胶弹性垫层的邵氏A型硬度值的第80百分位数为82度
B.两公司使用的橡胶弹性垫层的邵氏A型硬度值的方差,甲公司的更小
C.乙公司未从供应商丙采购橡胶弹性垫层
D.根据α=0.1的独立性检验,可以认为使用的橡胶弹性垫层是否合格与负责建设的公司有关
【答案】 BC
【解析】 对于A,甲公司数据从小到大排列为77,78,79,80,80,81,81,82,84,86,因为10×80%=8,
所以第80百分位数为=83,故A错误;
对于B,甲公司的平均数为×(77+78+79+80+80+81+81+82+84+86)=80.8,
乙公司的平均数为×(72+74+76+76+80+81+84+85+87+88)=80.3,
甲公司的方差为×[(77-80.8)2+(78-80.8)2+…+(86-80.8)2]=6.56,
乙公司的方差为×[(72-80.3)2+(74-80.3)2+…+(88-80.3)2]=28.61,
所以甲公司的方差更小,故B正确;
对于C,因为乙公司的方差为28.61,远远大于4,所以乙公司未从供应商丙采购橡胶弹性垫层,故C正确;
对于D,甲公司合格的有9个,不合格的有1个,
乙公司合格的有6个,不合格的有4个,
所以χ2==2.4<2.706,
所以根据α=0.1的独立性检验,无法认为使用的橡胶弹性垫层是否合格与负责建设的公司有关,故D错误.故选BC.
2.某公司为了解某类数字娱乐产品消费者的群体特征,随机调查了200名消费者,得到如下列联表:
是否为该类 产品的消费者 年龄不超 过40岁 年龄超过 40岁 合计
是 30 45
不是
合计 100 200
(1)根据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为“是该类产品的消费者”与“年龄不超过40岁”有关联
(2)记2022—2026年的年份代码x依次为1,2,3,4,5,下表为2022—2025年该类产品的市场规模及2026年预测的市场规模y(单位:亿元)与x的统计数据:
年份代码x 市场规模y
1 9.4
2 36.8
3 101.7
4 373.9
5 m
根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为 =132.71x-192.85,求样本相关系数r,并判断该经验回归方程是否有价值(若|r|≥0.75,则认为经验回归方程有价值).
参考公式:
χ2=,其中n=a+b+c+d,
样本相关系数r=.
参考数据:=442.03,≈3.16.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】 (1)2×2列联表如下:
是否为该类 产品的消费者 年龄不超 过40岁 年龄超过 40岁 合计
是 30 15 45
不是 70 85 155
合计 100 100 200
零假设为H0:认为“是该类产品的消费者”与“年龄不超过40岁”无关联.
因为χ2=≈6.452>3.841=x0.05,
根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为“是该类产品的消费者”与“年龄不超过40岁”有关联,此推断犯错误的概率不超过0.05.
(2)由x的取值依次为1,2,3,4,5,得=3,(xi-)2=10,
因为经验回归方程为=132.71x-192.85,
所以===132.71,所以(xi-)(yi-)=1 327.1,
所以r=≈≈0.95.
因为|r|=0.95>0.75,所以该经验回归方程有价值.
3.统计显示,我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长,下表为2020—2024年某平台在线直播生活购物用户规模(单位:亿人),其中2020—2024年对应的代码依次为1—5.
年份代码x 1 2 3 4 5
用户规模y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36
(1)由上表数据可知,若用函数模型y=b+a拟合y与x的关系,请估计2028年该平台在线直播生活购物用户的规模(结果精确到0.01);
(2)已知该平台在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为P,现从在线直播生活购物用户中随机抽取 5人,记这5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X,若P(X=5)=P(X=4),求X的数学期望和方差.
参考数据:=5.16,≈1.68,viyi≈45.10,其中vi=.
参考公式:对于一组数据(v1,y1),(v2,y2),…,(vn,yn),其经验回归方程=v+的斜率的最小二乘估计为=,≈1.83.
【解】 (1)设v=,则=v+,
因为=5.16,≈1.68,viyi≈45.10,=xi=15,所以 =≈≈1.98,
所以y与x的经验回归方程为=1.98+1.83,
当x=9时,=1.98×3+1.83=7.77,
则估计2028年该平台在线直播生活购物用户的规模为7.77亿人.
(2)由题意知X~B(5,P),所以P(X=4)=P4(1-P)=5P4(1-P),P(X=5)=P5=P5,
由P(X=5)=P(X=4),可得5P4(1-P)=P5,
因为0所以E(X)=5×=,D(X)=5××(1-)=.
4.(多选)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据.从该地的人群中任选一人,设A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.则下列选项正确的是(　　)
项目 不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
参考公式和数据:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
A.依据α=0.01的独立性检验,可推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
B.利用该调查数据,可得到P(A|B)的估计值为0.4,P(A|)的估计值为0.1
C.R=·
D.利用该调查数据,可得到R的估计值为5
【答案】 ABC
【解析】 对于A,由题意得
χ2==24>6.635.
所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,可推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异,故A正确;
对于B,由已知得P(A|B)==0.4,P(A|)==0.1,故B正确;
对于C,由题意得R=·=···=,
又·=···=,
所以R=·,故C正确;
对于D,由已知得P(A|B)==0.4,P(|B)==0.6,P(A|)==0.1,P(|)==0.9,
所以R=·=6,故D错误.故选ABC.

展开更多......

收起↑