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(共39张PPT)
8.3　列联表与独立性检验
8.3.1　分类变量与列联表
8.3.2　独立性检验
1.理解独立性检验的基本思想及其实施步骤,提升逻辑推理的核心素养.
2.了解运用2×2列联表的方法,解决独立性检验的简单实际问题.
3.了解χ2的含义及其应用,培养数学运算的核心素养.
4.通过对数据的处理,提高解决实际问题的能力,培养数据分析、数学建模的核心素养.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点一　分类变量
为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用 表示.
知识点二　2×2列联表
1.定义:列出的两个分类变量的频数表,称为列联表.
实数
2.一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{0,1},其样本频数列联表为
X Y 合计
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合计 a+c b+d n=a+b+c+d
最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的频数;最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的频数;右下角格中的数n是样本容量.
知识点三　等高堆积条形图
1.等高堆积条形图与表格相比,更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响.常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.
知识点四　独立性检验
1.零假设或原假设
2.临界值:对于任何小概率值α,可以找到相应的正实数xα,使P(χ2≥xα)=α.称xα为α的临界值,临界值可作为判断χ2大小的标准.概率值α越小,临界值xα越大.
3.基于小概率值α的检验规则
当χ2≥xα时,推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;
当χ2这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验.
4.χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值如下表.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
知识清点
1.某品牌公司在海外设立了多个分支机构,现需要国内公司外派大量中、青年员工,该企业为了解这两个年龄层的员工是否愿意被外派,采用分层随机抽样的方法从中、青年员工中随机抽取了100位进行调查,得到数据如下表:
项目 愿意被外派 不愿意被外派 合计
中年员工 25 25 50
青年员工 40 10 50
合计 65 35 100
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
得到的正确结论是(　　)
A.根据小概率值α=0.001的独立性检验,可以认为“是否愿意被外派与年龄有关”
B.根据小概率值α=0.001的独立性检验,可以认为“是否愿意被外派与年龄无关”
C.根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为“是否愿意被外派与年龄有关”
D.根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为“是否愿意被外派与年龄无关”
C
2.假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表如下:
X Y 合计
y1 y2
x1 a b a+b
x2 c d c+d
合计 a+c b+d a+b+c+d
对于以下数据,对同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(　　)
A.a=90,b=80,c=70,d=60
B.a=90,b=70,c=60,d=80
C.a=80,b=60,c=90,d=70
D.a=60,b=70,c=80,d=90
B
对于A,当a=90,b=80,c=70,d=60时,|ad-bc|=|90×60-80×70|=200;
对于B,当a=90,b=70,c=60,d=80时,|ad-bc|=|90×80-70×60|=3 000;
对于C,当a=80,b=60,c=90,d=70时,|ad-bc|=|80×70-60×90|=200;
对于D,当a=60,b=70,c=80,d=90时,|ad-bc|=|60×90-70×80|=200.
因为3 000>200,所以B中的值最大,即B对应的χ2值最大,说明X与Y有关系的可能性最大.故选B.
课堂探究·素养培育
题型一　利用2×2列联表分析变量关系
列出2×2列联表如下:
X Y 合计
Y=0 Y=1
X=0 43 21 64
X=1 27 33 60
合计 70 54 124
解题策略
(1)作2×2列联表时,关键是对涉及的变量分清类别.要对Ω中的对象定义分类变量X和Y,计算时要准确无误.
[方法迁移] 假设有两个分类变量X与Y,它们的可能取值分别为{0,1},其2×2列联表为
X Y 合计
Y=0 Y=1
X=0 10 18 28
X=1 m 26 m+26
合计 10+m 44 54+m
当m取下面何值时,X与Y的关系最弱(　　)
A.8 B.9 C.14 D.19
C
题型二　等高堆积条形图及其应用
[例2] 某学校对高三学生进行了一项调查,发现在平时的模拟考试中,性格内向的426人中有 332人在考前心情紧张,性格外向的594人中有213人在考前心情紧张.作出等高堆积条形图,利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系.
【解】 列出2×2列联表如下:
考前心情 性格 合计
内向 外向
紧张 332 213 545
不紧张 94 381 475
合计 426 594 1 020
相应的等高堆积条形图如图所示.
图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张的学生中性格内向的学生的比例.从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张的样本中性格内向占的比例高,可以认为考前心情紧张与性格类型有关.
解题策略
利用等高堆积条形图判断两个分类变量是否相关的步骤
(1)收集数据,统计结果.
(2)列出2×2列联表,计算频率,粗略估计.
(3)画等高堆积条形图,直观分析.
[方法迁移] 某同学为了解不同群体对甲、乙两款社交应用的首选情况,统计了周围老师和同学关于首选甲或乙的比例,得到如图所示的等高堆积条形图.根据等高堆积条形图中的信息,可以判断下列说法正确的是(　　)
A.对老师而言,更倾向于首选甲
B.对学生而言,更倾向于首选乙
C.首选甲的老师比首选甲的同学多
D.如果首选甲的老师比首选甲的同学多,则该同学统计的老师人数一定比学生人数多
A
【解析】 对老师群体而言,首选甲与首选乙的比例约为9∶1,故对老师而言,更倾向于首选甲,即A正确;对学生群体而言,首选甲与首选乙的比例约为 3∶2,故对学生而言,更倾向于首选甲,即B错误;由于老师群体与学生群体人数不定,即首选甲的老师人数与首选甲的学生人数无法比较,即C错误;设老师群体有x人,学生群体有y人,则有 0.9x>0.6y,即3x>2y,则该同学统计的老师人数不一定比学生人数多,即D错误.故选A.
题型三　独立性检验
[例3] 为了解观看A,B这两部影片的观众中男、女观众的占比情况,某机构采用简单随机抽样的方法,调查了200人,得到如下数据.
观众 性别 合计
男 女
观看A影片 50 50 100
观看B影片 40 60 100
合计 90 110 200
(1)根据小概率值α=0.1的独立性检验判断,观看这两部影片的观众的男女比例是否有差异
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
解题策略
应用独立性检验解决实际问题的步骤
(1)提出零假设H0:X与Y相互独立,并给出在问题中的解释.
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较.
(3)根据检验规则得出推断结论:
当χ2≥xα时,推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α.
当χ2(4)在X与Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.
[方法迁移] (2025·贵州黔东南期中)数据显示,AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解AI大模型用户年龄分布,A公司调查了500名 AI大模型用户,统计他们的年龄,都在[15,65]内,按照[15,25),[25,35),[35,45),[45,55),[55,65]分组,得到如下频率分布直方图.
(1)估计AI大模型用户年龄的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
【解】 (1)AI大模型用户年龄的平均数为20×0.010×10+30×0.030×10+
40×0.040×10+50×0.015×10+60×0.005×10=37.5.
(2)估计AI大模型用户年龄的中位数;
【解】 (2)设AI大模型用户年龄的中位数为a,
因为0.010×10+0.030×10=0.4<0.5,0.010×10+0.030×10+0.040×10=
0.8>0.5,
所以35所以0.4+(a-35)×0.040=0.5,解得a=37.5.
(3)目前AI大模型已经能够应用于医疗领域,医生可以在工作中使用AI大模型辅助工作,以提升工作效率,A公司调查了200名用户,统计他们是否愿意将前期体检情况交由AI大模型判断,得到下面的2×2列联表.
意愿 男性 女性 合计
愿意 62
不愿意 60
合计 98 200
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】 (3)补充2×2列联表如下:
意愿 男性 女性 合计
愿意 62 38 100
不愿意 40 60 100
合计 102 98 200
零假设为H0:性别与是否愿意将前期体检情况交由AI大模型判断无关.
所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即性别与是否愿意将前期体检情况交由AI大模型判断有关,此推断犯错误的概率不大于0.01.8.3.1　分类变量与列联表
8.3.2　独立性检验
【课程标准要求】　
1.理解独立性检验的基本思想及其实施步骤,提升逻辑推理的核心素养.
2.了解运用2×2列联表的方法,解决独立性检验的简单实际问题.
3.了解χ2的含义及其应用,培养数学运算的核心素养.
4.通过对数据的处理,提高解决实际问题的能力,培养数据分析、数学建模的核心素养.
知识点一　分类变量
为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.
知识点二　2×2列联表
1.定义:列出的两个分类变量的频数表,称为列联表.
2.一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{0,1},其样本频数列联表为
X Y 合计
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合计 a+c b+d n=a+b+c+d
最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的频数;最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的频数;右下角格中的数n是样本容量.
知识点三　等高堆积条形图
1.等高堆积条形图与表格相比,更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响.常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.
2.观察等高堆积条形图发现和相差很大,就判断两个分类变量之间有关系.
知识点四　独立性检验
1.零假设或原假设
判断假定关系H0:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立,通常称H0为零假设或原假设.也可改述为H0:分类变量X和Y独立.χ2=,统计学家建议,用随机变量χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据,当它比较大时推断H0不成立,否则认为H0成立.
2.临界值:对于任何小概率值α,可以找到相应的正实数xα,使P(χ2≥xα)=α.称xα为α的临界值,临界值可作为判断χ2大小的标准.概率值α越小,临界值xα越大.
3.基于小概率值α的检验规则
当χ2≥xα时,推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;
当χ2这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验.
4.χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值如下表.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
知识清点
1.某品牌公司在海外设立了多个分支机构,现需要国内公司外派大量中、青年员工,该企业为了解这两个年龄层的员工是否愿意被外派,采用分层随机抽样的方法从中、青年员工中随机抽取了100位进行调查,得到数据如下表:
项目 愿意被外派 不愿意被外派 合计
中年员工 25 25 50
青年员工 40 10 50
合计 65 35 100
参考公式和数据:
χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
得到的正确结论是(　　)
A.根据小概率值α=0.001的独立性检验,可以认为“是否愿意被外派与年龄有关”
B.根据小概率值α=0.001的独立性检验,可以认为“是否愿意被外派与年龄无关”
C.根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为“是否愿意被外派与年龄有关”
D.根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为“是否愿意被外派与年龄无关”
【答案】 C
【解析】 由列联表,可得χ2=≈9.89>6.635,所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为“是否愿意被外派与年龄有关”.故选C.
2.假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表如下:
X Y 合计
y1 y2
x1 a b a+b
x2 c d c+d
合计 a+c b+d a+b+c+d
对于以下数据,对同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(　　)
A.a=90,b=80,c=70,d=60
B.a=90,b=70,c=60,d=80
C.a=80,b=60,c=90,d=70
D.a=60,b=70,c=80,d=90
【答案】 B
【解析】 根据χ2=(其中n=a+b+c+d),χ2值越大,说明X与Y有关系的可能性越大,对于同一样本,|ad-bc|越大,说明X与Y之间的关系越强.
对于A,当a=90,b=80,c=70,d=60时,|ad-bc|=|90×60-80×70|=200;
对于B,当a=90,b=70,c=60,d=80时,|ad-bc|=|90×80-70×60|=3 000;
对于C,当a=80,b=60,c=90,d=70时,|ad-bc|=|80×70-60×90|=200;
对于D,当a=60,b=70,c=80,d=90时,|ad-bc|=|60×90-70×80|=200.
因为3 000>200,所以B中的值最大,即B对应的χ2值最大,说明X与Y有关系的可能性最大.故选B.
题型一　利用2×2列联表分析变量关系
[例1] 在对人们饮食习惯的一次调查中,共调查了124人,其中六十岁及以上的有70人,六十岁以下的有54人.六十岁及以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主,另外27人则以肉类为主;六十岁以下的人中有21人的饮食以蔬菜为主,另外 33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表,并利用与判断两者是否有关系.
【解】 用Ω表示调查的124人构成的集合,考虑以Ω为样本空间的古典概型,对于Ω中的每个人,定义分类变量X和Y如下:
X=
Y=
列出2×2列联表如下:
X Y 合计
Y=0 Y=1
X=0 43 21 64
X=1 27 33 60
合计 70 54 124
将表中数据代入公式得==0.671 875.
==0.45.
显然两组数据具有较为明显的差距,据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系.
(1)作2×2列联表时,关键是对涉及的变量分清类别.要对Ω中的对象定义分类变量X和Y,计算时要准确无误.
(2)利用2×2列联表分析两变量间的关系时,首先要根据题中数据获得2×2列联表,然后根据频率特征,即将与(或与)的值相比,直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,但方法较粗略.
[方法迁移] 假设有两个分类变量X与Y,它们的可能取值分别为{0,1},其2×2列联表为
X Y 合计
Y=0 Y=1
X=0 10 18 28
X=1 m 26 m+26
合计 10+m 44 54+m
当m取下面何值时,X与Y的关系最弱(　　)
A.8 B.9 C.14 D.19
【答案】 C
【解析】 由=,解得m≈14.4,所以当m=14时,X与Y的关系最弱.故选C.
题型二　等高堆积条形图及其应用
[例2] 某学校对高三学生进行了一项调查,发现在平时的模拟考试中,性格内向的426人中有 332人在考前心情紧张,性格外向的594人中有213人在考前心情紧张.作出等高堆积条形图,利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系.
【解】 列出2×2列联表如下:
考前心情 性格 合计
内向 外向
紧张 332 213 545
不紧张 94 381 475
合计 426 594 1 020
相应的等高堆积条形图如图所示.
图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张的学生中性格内向的学生的比例.从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张的样本中性格内向占的比例高,可以认为考前心情紧张与性格类型有关.
利用等高堆积条形图判断两个分类变量
是否相关的步骤
(1)收集数据,统计结果.
(2)列出2×2列联表,计算频率,粗略估计.
(3)画等高堆积条形图,直观分析.
[方法迁移] 某同学为了解不同群体对甲、乙两款社交应用的首选情况,统计了周围老师和同学关于首选甲或乙的比例,得到如图所示的等高堆积条形图.根据等高堆积条形图中的信息,可以判断下列说法正确的是(　　)
A.对老师而言,更倾向于首选甲
B.对学生而言,更倾向于首选乙
C.首选甲的老师比首选甲的同学多
D.如果首选甲的老师比首选甲的同学多,则该同学统计的老师人数一定比学生人数多
【答案】 A
【解析】 对老师群体而言,首选甲与首选乙的比例约为9∶1,故对老师而言,更倾向于首选甲,即A正确;对学生群体而言,首选甲与首选乙的比例约为 3∶2,故对学生而言,更倾向于首选甲,即B错误;由于老师群体与学生群体人数不定,即首选甲的老师人数与首选甲的学生人数无法比较,即C错误;设老师群体有x人,学生群体有y人,则有 0.9x>0.6y,即3x>2y,则该同学统计的老师人数不一定比学生人数多,即D错误.故选A.
题型三　独立性检验
[例3] 为了解观看A,B这两部影片的观众中男、女观众的占比情况,某机构采用简单随机抽样的方法,调查了200人,得到如下数据.
观众 性别 合计
男 女
观看A影片 50 50 100
观看B影片 40 60 100
合计 90 110 200
(1)根据小概率值α=0.1的独立性检验判断,观看这两部影片的观众的男女比例是否有差异
(2)若将表中所有数据都扩大为原来的k(k∈N*)倍,在相同的检验标准下,再用小概率值α=0.01的独立性检验推断,观看这两部影片的观众的男女比例有差异,求k的最小值.
参考公式和数据:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
【解】 (1)零假设为H0:观看这两部影片的观众的男女比例没有差异.
根据列联表中的数据,经计算得到χ2==≈2.020<2.706=x0.1.根据小概率值α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即观看这两部影片的观众的男女比例没有差异.
(2)χ′2==
=,
令≥6.635,即k≥,取≈,则≈3.317 5,
因为k∈N*,所以k的最小值为4.
应用独立性检验解决实际问题的步骤
(1)提出零假设H0:X与Y相互独立,并给出在问题中的解释.
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较.
(3)根据检验规则得出推断结论:
当χ2≥xα时,推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α.
当χ2(4)在X与Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.
[方法迁移] (2025·贵州黔东南期中)数据显示,AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解AI大模型用户年龄分布,A公司调查了500名 AI大模型用户,统计他们的年龄,都在[15,65]内,按照[15,25),[25,35),[35,45),[45,55),[55,65]分组,得到如下频率分布直方图.
(1)估计AI大模型用户年龄的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)估计AI大模型用户年龄的中位数;
(3)目前AI大模型已经能够应用于医疗领域,医生可以在工作中使用AI大模型辅助工作,以提升工作效率,A公司调查了200名用户,统计他们是否愿意将前期体检情况交由AI大模型判断,得到下面的2×2列联表.
意愿 男性 女性 合计
愿意 62
不愿意 60
合计 98 200
请补充2×2列联表,并根据小概率值α=0.01的独立性检验,分析是否可以认为性别与是否愿意将前期体检情况交由AI大模型判断有关.
参考公式和数据:
χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】 (1)AI大模型用户年龄的平均数为20×0.010×10+30×0.030×10+40×0.040×10+50×0.015×10+60×0.005×10=37.5.
(2)设AI大模型用户年龄的中位数为a,
因为0.010×10+0.030×10=0.4<0.5,0.010×10+0.030×10+0.040×10=0.8>0.5,
所以35所以0.4+(a-35)×0.040=0.5,解得a=37.5.
(3)补充2×2列联表如下:
意愿 男性 女性 合计
愿意 62 38 100
不愿意 40 60 100
合计 102 98 200
零假设为H0:性别与是否愿意将前期体检情况交由AI大模型判断无关.
因为χ2=≈9.684>6.635=x0.01.
所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即性别与是否愿意将前期体检情况交由AI大模型判断有关,此推断犯错误的概率不大于0.01.
课时作业
1.(2025·山东烟台期中)下列关于独立性检验的说法正确的是(　　)
A.独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C.在利用χ2独立性检验推断某种药物预防某疾病的效果时,根据小概率值α=0.01的独立性检验,认为服用药物与达到预防效果未患病有关系时,我们可以说在100名服用药物的人中,有99人未患病
D.对于独立性检验,随机变量χ2的值越小,判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【答案】 D
【解析】 独立性检验是通过计算χ2来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法,并非检验二者是否具有线性相关关系,故A错误;独立性检验并不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系,故B错误;99%是指“服用药物”和“达到预防效果未患病”存在关联的可能性,并非服用药物的人中疾病预防效果的概率,故C错误;根据χ2计算的定义可知D正确.故选D.
2.(2025·四川达州模拟)某校为了解学生的高考科目首选意愿,对部分高一学生进行了抽样调查,制作出下列两个等高堆积条形图.根据条形图信息,下列结论正确的是(　　)
A.样本中首选物理意愿的男生人数少于首选历史意愿的女生人数
B.样本中女生首选历史意愿的人数多于男生首选历史意愿的人数
C.样本中首选物理意愿的人数较多
D.样本中男生人数少于女生人数
【答案】 C
【解析】 根据等高堆积条形图图(1)可知样本中首选物理意愿的人数较多,故C正确;根据等高堆积条形图图(2)可知样本中男生人数多于女生人数,故D错误;样本中首选物理意愿的人数多于首选历史意愿的人数,而首选物理意愿的男生比例高,首选历史意愿的女生比例低,所以样本中首选物理意愿的男生人数多于首选历史意愿的女生人数,故A错误;样本中女生首选历史意愿的人数少于男生首选历史意愿的人数,故B错误.故选C.
3.考察棉花种子处理情况跟得病之间的关系得到下表数据:
得病情况 种子 合计
处理 未处理
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合计 93 314 407
根据以上数据,可得出(　　)
A.根据α=0.1的独立性检验,认为种子是否经过处理跟得病有关
B.根据α=0.1的独立性检验,认为种子是否经过处理跟得病无关
C.根据α=0.1的独立性检验,认为种子是否经过2处理决定是否得病
D.以上都是错误的
【答案】 B
【解析】 由χ2=≈0.164<2.706=x0.1,即根据α=0.1的独立性检验,认为种子是否经过处理跟得病无关.故选B.
4.某市在一次调查“通勤方式与居住区域”关系的活动中,获得了如下数据,以下结论最准确的是(　　)
通勤方式 中心城区居民 郊区居民
公共交通 90 20
私家车 60 30
参考公式和数据:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
A.根据α=0.05的独立性检验,可以认为通勤方式与居住区域无关
B.根据α=0.1的独立性检验,可以认为通勤方式与居住区域无关
C.在犯错误的概率不超过0.1的前提下,可以认为通勤方式与居住区域有关
D.在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可以认为通勤方式与居住区域有关
【答案】 D
【解析】 列出2×2列联表如下:
通勤方式 中心城区居民 郊区居民 合计
公共交通 90 20 110
私家车 60 30 90
合计 150 50 200
χ2==≈6.061>3.841=x0.05,
故在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可以认为通勤方式与居住区域有关.故选D.
5.某销售部门为了研究销售人员具有相关经验和能按时完成销售任务的关系,对本部门200名销售人员进行调查,整理数据得到2×2列联表如下.
是否具有 相关经验 能否按时完成销售任务 合计
能 不能
是 57 42 99
否 36 65 101
合计 93 107 200
根据上述数据能得出结论:根据小概率值α=　　　　的独立性检验可以认为销售人员具有相关经验与能按时完成销售任务是有关系的.
【答案】 0.005
【解析】 由公式
χ2=,
得χ2=≈9.67>7.879=x0.005,根据小概率值α=0.005的独立性检验,可以认为销售人员具有相关经验与能按时完成销售任务是有关系的.
6.针对“阅读习惯与购书偏好的关系”问题,某公司对顾客做了一次调查,其中每天阅读时长不足1 h的人数是每天阅读时长超过1 h人数的,在每天阅读时长超过1 h的顾客中,有的人喜欢购买电子书,在每天阅读时长不足1 h的顾客中,有的人喜欢购买纸质书.若根据α=0.05的独立性检验,认为阅读习惯与购书偏好有关,则调查的每天阅读时长超过1 h的人数至少有　　　　.
参考公式和数据:χ2=,其中n=a+b+c+d,χ2≥3.841=x0.05.
【答案】 30
【解析】 设每天阅读时长超过1 h的人数为x,由题意得列联表如下:
阅读习惯 购买电子书 购买纸质书 合计
每天阅读 时长≥1 h x x x
每天阅读 时长<1 h x x x
合计 x x x
计算χ2==x≥3.841,解得x≥≈26;
又x=6k,k∈N*,所以xmin=30,
即根据α=0.05的独立性检验,认为阅读习惯与购书偏好有关,所以调查的每天阅读时长超过1 h的人数至少有30.
7.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:
项目 一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少
(2)依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有
差异
参考公式和数据:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
【解】 (1)甲机床生产的产品中一级品的频率为=0.75.
乙机床生产的产品中一级品的频率为=0.6.
(2)零假设为H0:甲机床的产品质量与乙机床的产品质量没有差异.
由题意得χ2=≈10.256>6.635=x0.01,所以依据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异,此推断犯错误的概率不大于0.01.
8.为提高居家养老服务质量,某机构组织调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区抽取了500位老年人,统计结果如下:
性别 志愿者
需要 不需要
男 40 160
女 30 270
(1)估计在该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的比例.
(2)依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关
(3)根据(2)中的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的比例 说明理由.
参考公式和数据:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
【解】 (1)调查的500位老年人中有70人需要志愿者提供帮助,因此在该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为×100%=14%.
(2)零假设为H0:老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关.
χ2=≈9.967>6.635=x0.01,所以推断H0不成立,即认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关,该推断犯错误的概率不超过0.01.
(3)由(2)的结论可知,该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关,并且从样本数据中能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要志愿者提供帮助的比例有明显的差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层随机抽样方法,比采用简单随机抽样方法更好.
9.观察下面各等高堆积条形图,其中两个分类变量x,y相关关系最强的是　　　　.
【答案】 乙
【解析】 等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形,每个矩形都有两个颜色,观察下方颜色区域的高度,如果高度差越大,则两个分类变量关系越强,观察四个选项可知,乙图中带颜色区域的高度差最大,两个分类变量x,y相关关系最强.
10.某地旅游局统计了该地某景区2025年1月份到5月份接待的游客人数y(单位:万人),统计结果如下:
月份x 1 2 3 4 5
接待游客人数y 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8
(1)求样本相关系数r的值,当|r|>0.75时,线性相关程度较强,请说明2025年1—5月份x与接待游客人数y之间线性关系的强弱;若线性相关,求出y关于x的经验回归方程.
(2)为打造群众满意的旅游区,该地旅游部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查,下表是从接待游客中随机抽取的300位游客的满意度调查表,请将下述2×2列联表补充完整,并依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析游客对本地景区的满意度是否与报团游或自助游有关联.
满意度 报团游 自助游 合计
满意 30 180
不满意 50
合计 100 300
参考公式:经验回归方程=x+的斜率及截距的最小二乘估计分别为=, =-,样本相关系数r=,χ2=,其中n=a+b+c+d.
参考数据:≈6.603.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
【解】 (1)由题中数据可得===3,===2.5,
所以(xi-)(yi-)=(-2)×(-1.3)+(-1)×(-0.7)+0+1×0.7+2×1.3=6.6,
又(xi-)2=10,(yi-)2=4.36,
r===≈≈1>0.75.
故2025年1-5月份x与接待游客人数y之间的线性相关程度较强.
由上述可知,===0.66,所以=-=2.5-0.66×3=0.52,
所以y关于x的经验回归方程为=0.66x+0.52.
(2)零假设为H0:游客对本地景区满意度与报团游或自助游无关联,
依题意,完善表格如表所示:
满意度 报团游 自助游 合计
满意 150 30 180
不满意 50 70 120
合计 200 100 300
根据列联表中的数据,经计算得到χ2==56.25>10.828=x0.001,
根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为游客对本地景区满意度与报团游或自助游有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.
11.(2025·广东中山期末)某市举行了首届阅读大会,为调查市民对阅读大会的满意度,相关部门随机抽取男、女市民各50人,每位市民对大会给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
性别 满意 不满意 合计
男 60-m m-10 50
女 m+10 40-m 50
合计 70 30 100
当m≤25,m∈N*时,若根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们没有充分的证据推断男、女市民对大会的评价有差异,则m的最小值为　　　　.
参考公式和数据:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.005
xα 2.706 3.841 7.879
【答案】 21
【解析】 由题意得χ2===,并令χ2=<3.841,即(2 500-100m)2<201 652.5,近似解得-450<2 500-100m<450,
即20.5

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