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第十三章 《实数》教材分析
北京八中 王悦
一、本章主要内容及地位、作用：
本章主要内容包括算术平方根，平方根，立方根以及实数的有关概念和运算。通过本章的学习，学生对数的认识将从有理数的范围扩大到实数范围。
本章的内容不多，篇幅不大。但本章的概念教学内容任务较重。数学知识的抽象性较强。同时，本章内容也是学生今后学习二次根式，一元二次方程以及解三角形等知识的基础。因此在中学学习中占有重要的地位。
二、本章知识结构框图：
1．本章知识的内在结构如下图所示：
　
2．本章知识的展开顺序如下图所示：
从本章知识结构图可见,由于乘方与开方互为逆运算，所以开平方和开立方运算是以平方和立方运算为基础的，因此平方根和立方根的概念离不开平方和立方的概念,无理数的引入使得数的范围由有理数扩大到了实数.
三、本章课程学习目标
1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3．了解无理数和实数的概念，理解实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4．能用有理数估计一个无理数的大致范围．
四、本章中考要求：
1．基本要求：了解无理数和实数概念,了解平方根、立方根及算术平方根的概念,会用根号表示非负数的平方根、算术平方根及一个数的立方根,知道实数与数轴上的点的一一对应关系,会求实数的相反数和绝对值.
2．略高要求：会用有理数估计一个无理数的大致范围,会用平方运算求某些非负数的平方根, 会用立方运算求某些数的立方根,会用计算器求平方根和立方根,会进行简单的实数运算.
五、本章重点、难点：
1．本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法，它们是理解立方根的概念和求法、实数的意义和运算的直接基础．
2．本章的难点是平方根和实数概念的建立与认识．
六、本章课时安排:
本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：
13．1　平方根　　　?????? 3课时
13．2 ?立方根 2课时
13．3　实数?　　　　　　　　　2课时
数学活动
小结????????????? ?1课时　
七、本章教材内容分析：
§13.1平方根
1.算术平方根、平方根概念的教学．
(1)传统教材：先讲平方根，再学算术平方根.
新教材: 先讲算术平方根，再学平方根.
平方根概念的建立与应用.
(1)在具体数学问题的背景下,抽象出平方根的概念.
(2)在对概念的理解的过程中,突出结果的个数,形式,使学生掌握算术 平方根,平方根的符号表示.
(3)落实一个基本功：让学生熟练掌握1到20的平方，便于求常用数的平方根。
（4）及时对算术平方根，平方根概念作出联系，区别的归纳。
例1.求下列各数的算术平方根
（1）100 （2）0.0001 （3） （4）
注意①指出书写形式：切忌100==10或
②（2）（3）（4）题目中认清被开方数.
例2.求下列各数的平方根
（1）0.25 （2）361 （3） （4）
例3.求下列各式的值
（1） （2） （3） （4）
注意：①书写形式
②每个题在做时，先读，再说出各符号的含义，最后再求值。
例4.判断题
-2是4的平方根；4的平方根是-2. （ ）
（2）是的算术平方根. （ ）
（3）没有算术平方根. （ ）
（4）一个数若有平方根，则它的平方根是一正一负的两数.（ ）
（5）无论a取何值，一定没有平方根. （ ）
（6）一个正数的平方根的平方，等于这个数的本身. ( )
3.归纳平方根的性质
（1）一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数.
（2）负数没有平方根.
（3）0的平方根是0.
借助课本页习题11归纳重要结论:

4.初步了解无限不循环小数.
(1)让学生经历用夹逼的办法估计的大小，感受是无限不循环小数.
(2)在具体实例中,了解无限不循环小数的特征.
(3) 会使用计算器求数的平方根.(利用计算器求平方根,较多感受无理数的近似值)
(4) 会用有理数估计无理数的大小.
例5．
(1)
(2)
5. 理解平方与开平方互为逆运算，明确三级运算中的互逆关系．
§13.2立方根
1.在实际背景下引出立方根的概念
立方根是从已知立方体的体积求边长的实际背景下引出的.学习立方根的意义在于,它有着广泛的应用.空间形体是三维的,有关体积的计算,常涉及开立方的问题.
在类比思想的引导下,学习立方根的概念与性质.
例如:概念教学可以从问题入手:
什么数有平方根,只有非负数才有立方根吗?
平方根如何表示,猜想一下立方根可以怎样表示?
回顾平方根的特征,能试着总结一下立方根的特征吗?
它们有什么异同?
求一个数的立方根的运算与什么运算互为逆运算?
会用计算器求立方根．
例6.求下列各数的立方根.
-8 (2)-0.001 (3)
注:①强调书写格式,切忌
②认准被开方数.
例7.求下列各式的值
(1) (2) (3) (4) (5)
注:
①读准各式的符号;并用文字语言说明各式的含义.
②借助课本页习题9归纳重要结论:
; ;
③结合立方根的重要结论,与平方根中的重要结论相比较.
例8.解方程
(2) (3)
注:借助平方根,立方根的定义解高次方程,一方面巩固了定义,另一方面让学生体会到转化思想的应用,即高次化低次;难化易;不会化会.
例9.求下列代数式的值.
若 求 .
若 求
若 有意义, 求
若 ,求
若 的算术平方根,是的立方根,求.
注:①重视对非负数算术根的非负性的认识与应用.
②对平方根,立方根中主要结论的应用.
了解n次方根
(1) 类比平方根,立方根定义,给出n次方根定义.
(2) 渗透分类讨论思想.对n为奇数,或偶数进行分类讨论.
(3) 渗透从特殊到一般的思想,理解n次方根的性质.
认识开n次方与n次方互为逆运算.
例10.计算
§13.3实数
认识无理数
在数的开方的基础上，引进无理数的概念.
理解无理数的意义，强调无限不循环小数与无限循环小数的区别，以便更好的理解有理数和无理数是两类不同的数.
在理解无理数含义的基础上，完成了数的范围的又一次扩充,从有理数到实数.对今后学习数学有重要的意义.在中学阶段，多数数学问题是在实数范围内研究的.
类比有理数的分类，认识实数的分类
3.适当介绍勾股定理，尝试着让学生在数轴上找的一些无理点.（将数学活动1提前。）意义在于感受无理数的存在性，认识更多的无理数。
在实际操作的基础上，让学生体会实数与数轴上的点的一一对应关系 .及平面直角坐标系中的点与有序实数对的一一对应关系.
认识实数中的几个问题
相反数、绝对值、倒数的概念,实数比较大小的方法,以及实数的有关运算.
实数的相反数,绝对值的意义与有理数范围内的意义相同.但会遇到添，去括号法则.
对于数轴上的任意两个点,右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大,但实数比较大小的方法在教学中应不断总结.同时应让学生理解实数与数轴上的点一一对应关系.
实数的运算中,有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍成立.
有关实数计算的教学,需要掌控好尺度.
关于二次根式的运算,以后还会进一步的学习,教学时注意掌握现有计算的难度.
例11.把下列各数分别填入相应的集合中.
,,-3.1415926，, , ,, 0.303003000···, -0.050505···;
正有理数 正无理数
负有理数 负无理数
例12.填空
.的绝对值 .
若则= .
若则= .
在数轴上表示的点与原点的距离是 ;在数轴上与原点距离是的点表示的数是 ;在数轴上与表示的点距离为3的点表示的实数为 ;
大于小于2的整数是 .
实数满足,则的取值范围 .
例13.比较下列各组实数的大小.
与2.23 (2)与 (3)与
与 (5) 3， 4，
例14.计算
注:区分运算符号与性质符号；在运算中,再渗透实数的有关概念.
例15.求下列代数式的值.
若实数满足,求的值.
若且,求的值.
注: ①在问题解决的过程中,注意非负性;配方知识的应用.
②小结非负实数:,,.
例16.化简下列各式
(1) 若化简
(2)
(3)
注:①含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.应遵循逐步渗透,不断加深的原则.
②此处字母的取值范围为全体实数.
③分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识.
④有关实数的化简,在二次根式的学习中还会涉及到,此处不宜太难,应给学生留有继续学习的空间.
几点教学建议：
1.加强与实际的联系
抽象的概念,借助简单实际背景给出.这种编写的特点,分解了学习中的难点,感受了数学的实用性,易于学生接受,也体会到了数学的抽象性.
2.加强知识间的联系
本章内容属于“数与代数”领域，有关数的内容，学生已经系统学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深刻的认识.因而本章很多内容可以类比有理数的相关内容得出.另外平方根,立方根在内容上也有很多类似之处.教学中注意利用类比的方法,既有助于加强知识间的相互联系,同时通过新旧知识的类比,可使学生的学习形成正迁移.思想的教育重于知识,及时进行知识的总结有利于提高学生的学习能力.
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
3.留给学生探索交流的空间
本章编写时注意借助实际背景,让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论．教材中多次设置探究栏目,这些栏目多以填空形式出现.教学中适当给出时间,让学生多实践,引导学生从具体问题发现特征,在交流讨论中归纳出结论.体会从特殊到一般的过程,有利于发展学生的思维能力,可有效地改变学生学习的方式.
4.适当发挥计算器的作用，加强估算能力的培养
估算是一种具有实际应用价值的运算能力．本章安排了利用计算器求数的平方根,立方根,以及利用有理数估计无理数的大致范围等内容.这个环节的设置将有利于帮助学生感受无理数无限不循环的特点,更好的认识无理数.教学中,可结合具体情况,利用多种途径培养学生的运算能力.
5.把握好教学要求
本章对于某些内容采用提前渗透,逐步提高的编写方式:
(1)本章将点的坐标扩展到实数范围,建立点与有序实数对的一一对应关系,为后续学习函数的图像,函数与方程,不等式的关系等打下了基础.
本章通过一个例题学习实数的简单运算.(p85,例2）
为说明有理数的运算法则和运算性质等在实数范围内仍成立.而关于实数的运算在后面的二次根式一章中还要继续研究,此处不必过难.
为了让学生更好地理解数轴上表示无理数的点的存在性,本章涉及到了勾股定理.这个内容后面还会专门再学,此处仅让学生了解即可.
我们的教学,应用一种发展的,动态的观点来看待,不能要求处处一步到位.本章教学中类比思想,分类讨论思想较突出.思想的教学,不一定都体现在题目中,在概念的教学中的渗透,是会迁移到对题目的解决中.希望学生在学习新知识的过程中,更好的感悟数学思想.随着时间的推移,具体的知识也许会在学生的头脑中遗忘,但解决问题的思想还在,将是基础教育实效性的体现.
九．相关练习
填空
的算术平方根是 .
的算术平方根是 .
(1) . (2)= .
的平方根是 .
如果的一个平方根是-3,则是 .
已知,则= .
当 时,有最大值,最大值是 .
的算术平方根是 .
倒数等于它本身的数是 ;相反数等于它本身的数是 .
立方根等于它本身的数是 ;绝对值等于它本身的数是 .
平方根等于它本身的数是 ;算术平方根等于它本身的数是 .
已知互为相反数,互为倒数,,则的值 .
若互为相反数,互为倒数,表示到原点距离为1的有理数,则 .
下列命题中正确的有 (填序号)
(1)若那么; (2)两数的和大于等于这两数的差;
(3)若那么; (4)若 则;
(5)
(6)一个数越大,这个数的倒数越小;
(7)有理数加有理数一定是有理数;
(8)无理数加无理数一定是无理数;
(9)无理数乘无理数一定是无理数;
(10)若为整数,且,则的最小值是-12.
对于任意两个实数对和,规定:当且仅当且时,= ,定义计算:=;若,则 ; .
一个实数的两个平方根是,则这个实数是 .
在数轴上点和点之间表示整数的点有 个.
A B
0
若则的值等于 .
已知 : .
已知:= .
二选择题
下列各式中,无意义的一个是 ( )
A. B. C. D.
的平方根是 ( )
B. C. D. 4
的立方根 ( )
A. 3 B.-3 C. D. -27
若式子有意义,则的取值范围是 ( ).
B. C. D. 以上答案都不对.
若与互为相反数，则a等于 （ ）
A.1 B.-1 C. D.
下列各组数中互为倒数的是 （ ）
（-1）°与-1 B.-2和 C. D.
若，a、b互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是
（ ）
B.与C.与 D.与
已知实数a，b在数轴上对应点如图，则（ ）
A.2b+a B.-2b-a C.a D.b

a 0 b
太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率3.8*千瓦，到达地球的仅20亿分之一，到达地球的辐射能功率为 ( )千瓦
A.1.9× B.2.0× C.7.6× D.1.9×
数轴上A,B两点实数a，b，则下列选择正确的是 （ ）
B. C. D.
B A
b -1 0 a
下列说法中，正确的是 （ ）
A.3的平方根是 B.5的算术平方根是
C.-7的平方根是 D.a的算术平方根是
若，则x，，的大小关系是 （ ）
B. C. D.
三、解答题
已知一个三角形的三边之长为a、b、c，且满足 ，又已知c=41, b=40, 求a.
计算
(1)
(2)
(3)
已知，求的值
已知a、b、c满足，求的值.
若，且求的值.
设a、b、c都是实数，且满足，，求代数式的值。
答案
填空
6 ; 2. 3 ; 3.(1)160;(2)0.06 ; 4.; 5.81; 6.; 7.,3; 8.2; 9.,0,,0,非负数，0，0； 10.-4; 11.2或0;12.(1),(4),(5),(7); 13.1,-2; 14.; 15.4; 16.1996; 17.0.04858; 18.-23600
二.选择
1.C; 2.A; 3.B; 4.A; 5.B; 6.B; 7.C; 8.B; 9.A; 10.C; 11.B; 12.C
三.解答题.
1.9; 2.(1) ,(2)-36,(3)-15; 3.-18; 4.; 5.49或1; 6.

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