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4.2　等差数列
4.2.1　等差数列的概念
第1课时　等差数列的概念及通项公式
1.理解等差数列的概念.
2.理解通项公式的意义,并能运用通项公式解决一些简单的问题.
3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点一　等差数列的概念
1.概念:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母 表示.
2.符号表示:an+1-an=d(d为常数,n∈N*).
2
差
同一个常数
公差
d
疑难解惑
理解等差数列的概念应注意以下几点:
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)差必须是同一个常数.
(3)公差d可以是正数、负数、零.
(4)当d>0时,是递增数列;当d=0时,是常数列;当d<0时,是递减数列.
知识点二　等差中项
1.条件:如果三个数a,A,b成 数列.
2.结论:那么A叫做a与b的等差 .
3.满足的关系式:2A= .
等差
中项
a+b
疑难解惑
理解等差中项应注意以下几点:
(1)任意两个实数都有等差中项,且唯一.
知识点三　等差数列的通项公式
1.等差数列的通项公式:首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=
.
2.从函数角度认识等差数列:若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d).
(1)点(n,an)落在直线f(x)=dx+(a1-d)上,这条直线的斜率为 ,在y轴上的截距为 .
(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加 .
a1+(n-1)d
d
a1-d
d
知识清点
D
2.(人教A版选择性必修第二册P15练习T2改编)2与8的等差中项是(　　)
A.-5 B.5　
C.4　 D.±4
B
【解析】 设2与8的等差中项是x,则2x=2+8,解得x=5.故选B.
3.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-4n,则数列{an}的首项与公差分别是
(　　)
A.1,4 B.-1,-4
C.4,1 D.-4,-1
B
【解析】 当n=1时,a1=-1,当n=2时,a2=3-4×2=-5,所以公差d=a2-a1=-4.
故选B.
4.若数列{an}是首项a1=2,公差d=4的等差数列,如果an=2 026,则n=　　　　.
507
【解析】 由题意知,数列的通项公式为an=2+4(n-1)=4n-2,若an=2 026,则4n-2=2 026,解得n=507.
课堂探究·素养培育
题型一　等差数列的概念
[例1] (人教B版选择性必修第三册P17例1)判断以下数列是不是等差数列 如果是,指出公差;如果不是,说明理由.
(1)7,13,19,25,31;
【解】 (1)因为13-7=19-13=25-19=31-25=6,所以该数列是等差数列,且公差为6.
(2)2,4,7,11;
【解】 (2)因为4-2=2,7-4=3,4-2≠7-4,所以该数列不是等差数列.
(3)-1,-3,-5,-7.
【解】 (3)因为-3-(-1)=-5-(-3)=-7-(-5)=-2,所以该数列是等差数列,且公差为-2.
解题策略
利用定义法判断等差数列
从第2项起,检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数,若是同一个常数,则是等差数列,否则不是等差数列.
[方法迁移] (多选)下列数列中,是等差数列的是(　 　)
A.2,5,8,11
B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16
C.25,24,23,22
D.10,8,6,4,2
ABD
【解析】 A,B,D项满足等差数列的定义,是等差数列;C中,因为24-25≠23-24≠ 22-23,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列.故选ABD.
题型二　等差中项及简单应用
[例2] 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
解题策略
等差中项的应用策略
[方法迁移] 已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则2m-n和2n-m的等差中项是(　　)
A.8 B.6
C.4.5 D.3
D
题型三　等差数列的通项公式及其应用
[例3] 已知等差数列{an}的前四项分别为8,5,2,-1.
(1)求该数列的第20项;
【解】 (1)因为5-8=2-5=-1-2=-3,所以公差d=-3,
由a1=8,d=-3,得数列的通项公式是an=8-3(n-1)=-3n+11.
于是,该数列的第20项a20=-3×20+11=-49.
(2)试问-121是不是该等差数列的项 如果是,指明是第几项;如果不是,试说明理由;
【解】 (2)如果-121是这个数列的项,则方程-3n+11=-121有正整数解.
解这个方程,得n=44,故-121是该等差数列的第44项.
(3)该数列共有多少项位于区间[-200,0]内
解题策略
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差即可.
(2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.
[方法迁移] 等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为n.
(1)已知a1=3,d=2,求a6;
【解】 (1)因为数列{an}为等差数列,a1=3,d=2,
所以an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1,所以a6=2×6+1=13.
(2)已知a1=1,d=2,an=15,求n;
【解】 (2)因为数列{an}为等差数列,a1=1,d=2,an=15,
所以15=1+(n-1)×2,解得n=8.4.2.1　等差数列的概念
第1课时　等差数列的概念及通项公式
【课程标准要求】
1.理解等差数列的概念.
2.理解通项公式的意义,并能运用通项公式解决一些简单的问题.
3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
知识点一　等差数列的概念
1.概念:一般地,如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d表示.
2.符号表示:an+1-an=d(d为常数,n∈N*).
理解等差数列的概念应注意以下几点:
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)差必须是同一个常数.
(3)公差d可以是正数、负数、零.
(4)当d>0时,是递增数列;当d=0时,是常数列;当d<0时,是递减数列.
知识点二　等差中项
1.条件:如果三个数a,A,b成等差数列.
2.结论:那么A叫做a与b的等差中项.
3.满足的关系式:2A=a+b.
理解等差中项应注意以下几点:
(1)任意两个实数都有等差中项,且唯一.
(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数,即A=.
(3)a3是a1和a5的等差中项,特别注意序号之间的关系.
知识点三　等差数列的通项公式
1.等差数列的通项公式:首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.
2.从函数角度认识等差数列:若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d).
(1)点(n,an)落在直线f(x)=dx+(a1-d)上,这条直线的斜率为 d,在y轴上的截距为 a1-d.
(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加 d.
知识清点
1.下列数列不是等差数列的是(　　)
A.1,1,1,1,1
B.4,7,10,13,16
C.,,1,,
D.-3,-2,-1,1,2
【答案】 D
【解析】 由等差数列的定义得,A项,d=0,故该数列是等差数列;B项,d=3,故该数列是等差数列;C项,d=,故该数列是等差数列;D项,从第2项起,每一项与它的前一项的差不是同一个常数,故该数列不是等差数列.故选D.
2.(人教A版选择性必修第二册P15练习T2改编)2与8的等差中项是(　　)
A.-5 B.5　 C.4　 D.±4
【答案】 B
【解析】 设2与8的等差中项是x,则2x=2+8,解得x=5.故选B.
3.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-4n,则数列{an}的首项与公差分别是(　　)
A.1,4 B.-1,-4
C.4,1 D.-4,-1
【答案】 B
【解析】 当n=1时,a1=-1,当n=2时,a2=3-4×2=-5,所以公差d=a2-a1=-4.故选B.
4.若数列{an}是首项a1=2,公差d=4的等差数列,如果an=2 026,则n=　　　　.
【答案】 507
【解析】 由题意知,数列的通项公式为an=2+4(n-1)=4n-2,若an=2 026,则4n-2=2 026,解得n=507.
题型一　等差数列的概念
[例1] (人教B版选择性必修第三册P17例1)判断以下数列是不是等差数列 如果是,指出公差;如果不是,说明理由.
(1)7,13,19,25,31;
(2)2,4,7,11;
(3)-1,-3,-5,-7.
【解】 (1)因为13-7=19-13=25-19=31-25=6,所以该数列是等差数列,且公差为6.
(2)因为4-2=2,7-4=3,4-2≠7-4,所以该数列不是等差数列.
(3)因为-3-(-1)=-5-(-3)=-7-(-5)=-2,所以该数列是等差数列,且公差为-2.
利用定义法判断等差数列
从第2项起,检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数,若是同一个常数,则是等差数列,否则不是等差数列.
[方法迁移] (多选)下列数列中,是等差数列的是(　　)
A.2,5,8,11
B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16
C.25,24,23,22
D.10,8,6,4,2
【答案】 ABD
【解析】 A,B,D项满足等差数列的定义,是等差数列;C中,因为24-25≠23-24≠22-23,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列.故选ABD.
题型二　等差中项及简单应用
[例2] 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
【解】 因为-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1与7的等差中项,则b==3,
又a是-1与3的等差中项,所以a==1,又c是3与7的等差中项,所以c==5.
所以该数列为-1,1,3,5,7.
等差中项的应用策略
(1)求两个数a,b的等差中项A,根据等差中项的定义可得A=.
(2)证明三项成等差数列,只需证中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则有a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
[方法迁移] 已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则2m-n和2n-m的等差中项是(　　)
A.8 B.6 C.4.5 D.3
【答案】 D
【解析】 因为m+2n=8,2m+n=10,所以3m+3n=18,所以m+n=6,
所以2m-n和2n-m的等差中项是==3.故选D.
题型三　等差数列的通项公式及其应用
[例3] 已知等差数列{an}的前四项分别为8,5,2,-1.
(1)求该数列的第20项;
(2)试问-121是不是该等差数列的项 如果是,指明是第几项;如果不是,试说明理由;
(3)该数列共有多少项位于区间[-200,0]内
【解】 (1)因为5-8=2-5=-1-2=-3,所以公差d=-3,
由a1=8,d=-3,得数列的通项公式是an=8-3(n-1)=-3n+11.
于是,该数列的第20项a20=-3×20+11=-49.
(2)如果-121是这个数列的项,则方程-3n+11=-121有正整数解.
解这个方程,得n=44,故-121是该等差数列的第44项.
(3)由题意可得-200≤-3n+11≤0,从而3<≤n≤<71.
因此,该数列从第4项起直至第70项共67项位于区间[-200,0]内.
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差即可.
(2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.
[方法迁移] 等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为n.
(1)已知a1=3,d=2,求a6;
(2)已知a1=1,d=2,an=15,求n;
(3)已知a1=,a5=8,求d;
(4)已知d=-,a12=-8,求a1.
【解】 (1)因为数列{an}为等差数列,a1=3,d=2,
所以an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1,所以a6=2×6+1=13.
(2)因为数列{an}为等差数列,a1=1,d=2,an=15,
所以15=1+(n-1)×2,解得n=8.
(3)因为数列{an}为等差数列,a1=,a5=8,
所以a5=+(5-1)d=8,解得d=.
(4)因为数列{an}为等差数列,d=-,a12=-8,
所以a12=a1+(12-1)×(-)=-8,解得 a1=.
课时作业
1.下列数列不是等差数列的是(　　)
A.0,0,0,…,0,…
B.-2,-1,0,…,n-3,…
C.1,3,5,…,2n-1,…
D.0,1,3,…,,…
【答案】 D
【解析】 选项A中,后项减前项所得的差均为0,是等差数列;
选项B中,后项减前项所得的差都是1,是等差数列;
选项C中,后项减前项所得的差都是2,是等差数列;
选项D中,1-0≠3-1,不是等差数列.故选D.
2.若a,b是方程x2-2x-3=0的两根,则a,b的等差中项为(　　)
A.-1 B.- C.1 D.
【答案】 C
【解析】 因为a+b=-=2,所以a,b的等差中项为=1.故选C.
3.(2025·湖南长沙月考)已知等差数列2,0,-2,-4,…,则-48是这个数列的(　　)
A.第24项 B.第25项
C.第26项 D.第27项
【答案】 C
【解析】 由等差数列前几项可得,该等差数列首项为2,公差为-2,
则该等差数列通项公式为2+(n-1)×(-2)=4-2n,
令-48=4-2n,解得n=26,则-48是这个数列的第26项.故选C.
4.(2025·云南昆明月考)已知等差数列{an}的前3项分别为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为(　　)
A.2n-5 B.2n-3
C.2n-1 D.2n+1
【答案】 B
【解析】 因为a-1,a+1,2a+3为等差数列的前3项,
所以2(a+1)=(a-1)+(2a+3),解得a=0,
可知等差数列{an}的前3项分别为-1,1,3,即首项为-1,公差为2,
所以此数列的通项公式为an=-1+2(n-1)=2n-3.故选B.
5.用木棒按如图所示的方法搭三角形,按图示的规律搭下去,则第100个图形所用木棒数为(　　)
A.199 B.201 C.203 D.205
【答案】 B
【解析】 由题图可知,图(1)中用了三根木棒,从图(2)开始每一个图形所用的木棒都比前一个图形所用的木棒多两根,设第n个图形所需要的木棒数量为an,则an=3+2(n-1)=2n+1,则第100个图形所用木棒数为2×100+1=201.故选B.
6.(多选)已知数列{an}满足an+1=an-3,n∈N*,a1=27,则下列说法正确的是(　　)
A.该数列为等差数列
B.公差为3
C.a5=15
D.-3是该数列的第11项
【答案】 ACD
【解析】 由条件可知an+1-an=-3,所以该数列为等差数列,公差为-3,故A正确,B错误;又a1=27,则an=-3n+30,所以a5=-3×5+30=15,又由-3n+30=-3,得n=11,故C,D正确.故选ACD.
7.在-3和6之间插入两个数a,b,使这四个数成等差数列,则公差为　　　　.
【答案】 3
【解析】 设该等差数列为{an},其首项为a1,公差为d,由题意知,a1=-3,a4=6,
即解得d=3.
8.已知在数列{an}中,a3=2,a7=1.若为等差数列,则a5=　　　　.
【答案】
【解析】 由为等差数列,得=+=+1=,解得a5=.
9.在等差数列{an}中,
(1)已知a1=3,d=-2,求a6;
(2)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;
(3)已知a1+a6=12,a4=7,求an;
(4)已知a1+a2+a3=-24,a17+a18+a19=72,求a20.
【解】 (1)由等差数列的通项公式,得a6=3+(6-1)×(-2)=-7.
(2)由题意知解得
(3)由题意知
即解得
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1,即an=2n-1,n∈N*.
(4)由题意知,
即解得
所以a20=-10+19×2=28.
10.(2025·北京怀柔期中)已知在等差数列{an}中,a3=4,a7=-8.
(1)求这个数列的第10项.
(2)-56和-40是不是这个数列中的项 如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
【解】 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
则解得所以an=10+(n-1)×(-3)=13-3n,故a10=13-3×10=-17.
(2)由(1)知an=13-3n,由-56=13-3n,得到n=23∈N*,由-40=13-3n,得到n= N*,
所以-56是该数列中的项,是第23项,-40不是该数列中的项.
11.(2025·江苏苏州月考)若f(n+1)=(n=1,2,3,…),且f(1)=2,则 f(101)=(　　)
A.49 B.50 C.51 D.52
【答案】 D
【解析】 因为f(n+1)=,所以f(n+1)-f(n)=,记an=f(n),则an+1-an=,a1=f(1)=2,所以{an}是首项为2,公差为的等差数列,所以f(101)=a101=2+(101-1)×=52.故选D.
12.已知△ABC的三边长a,b,c成等差数列,,, 也成等差数列,则△ABC的形状为　　　　　.
【答案】 等边三角形
【解析】 由a,b,c成等差数列得a+c=2b,①
由,,成等差数列得+=2,②
由②2-①得2=2b,即b2=ac,由①平方得a2+2ac+c2=4b2,
将b2=ac代入得a2+2ac+c2=4ac,即(a-c)2=0,得a=c.
又a+c=2b,所以2a=2b,所以a=b,所以a=b=c.所以△ABC是等边三角形.
13.已知在等差数列{an}和{bn}中,a1=b1=1,b3=a3+2,a5+b5=22.
(1)求{an}和{bn}的通项公式.
(2)求证:b1,b3,…,b2n-1均是{an}中的项,b2,b4,…,b2n均不是{an}中的项.
(1)【解】 设等差数列{an}的公差为d1,等差数列{bn}的公差为d2,
由得
解得所以an=1+2(n-1)=2n-1,bn=1+3(n-1)=3n-2.
(2)【证明】 由(1)知,b2n-1=6n-5,b2n=6n-2,
设b2n-1是数列{an}的第k(k为正整数)项,则 6n-5=2k-1,解得k=3n-2,k为正整数,
则b2n-1是数列{an}的第(3n-2)项,
所以b1,b3,…,b2n-1均是数列{an}中的项;
设b2n是数列{an}的第m(m为正整数)项,
则6n-2=2m-1,解得m=3n-,所以m不是正整数,则b2n不是数列{an}中的项,
所以b2,b4,…,b2n均不是数列{an}中的项.
14.已知等差数列{an}有无穷项,且每一项均为自然数,若75,99,235为{an}中的项,则下列自然数中一定是{an}中的项的是(　　)
A.2 025 B.2 027 C.2 021 D.2 023
【答案】 B
【解析】 因为数列是等差数列,而75,99,235是数列中的三项,故得到每两项的差一定是公差的整数倍,99-75=24,235-75=160,235-99=136,即24,160,136均是公差的整数倍,可求得这三个数的最大公约数为8,故不妨设数列的公差为8,首项为3.B选项,2 027-3=2 024,2 024是8的253倍,A,C,D选项减去3之后均不是8的倍数.故选B.

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