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第2课时　数列的递推公式
1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.
2.了解累加法、累乘法,会用其求通项公式.
3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点一　数列的递推公式
如果一个数列的 之间的关系可以用 来表示,那么这个 叫做这个数列的递推公式,知道了首项或前几项,以及递推公式,就能求出数列的每一项了.
相邻两项或多项
一个式子
式子
疑难解惑
通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.
知识点二　数列的通项公式与前n项和
1.数列{an}的前n项和:数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn= .
2.数列{an}的前n项和公式:如果数列{an}的前n项和Sn与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
a1+a2+…+an
序号n
温馨提示
应用数列前n项和公式的易错点
在应用数列的前n项和公式求通项公式时,往往容易忽略验证n=1时的情况,而是直接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1的形式,但它只适用于n≥2时的情形.
知识清点
1.已知数列{an}满足an+1=an+2,且a1=2,那么a3=(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
C
【解析】 因为an+1=an+2,a1=2,所以a2=a1+2=2+2=4,a3=a2+2=4+2=6.故选C.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则a7=(　　)
A.11 B.12
C.13 D.14
D
【解析】 因为a7=S7-S6=(72+7)-(62+6)=14.故选D.
B
【解析】 a2=22-2+1=3,a3=9-6+1=4,所以an=n+1符合题意.故选B.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,且Sn=n2,则an=　　　　.
2n-1
【解析】 当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
而a1=2×1-1=1,即a1也满足上式,所以an=2n-1.
课堂探究·素养培育
题型一　由递推公式求数列的项
[例1] (苏教版选择性必修第一册P136例3)试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项:
(1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*;
【解】 (1)因为a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*,
所以a3=a2+2a1=2+2×1=4,
a4=a3+2a2=4+2×2=8,
a5=a4+2a3=8+2×4=16.
因此,数列{an}的前5项依次为1,2,4,8,16.
解题策略
由递推公式写出数列的项的方法
(1)首先要清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.
(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的
形式.
(3)若序号很大,则应考虑数列是否具有规律性(或周期性).
题型二　由递推公式求通项公式
B
解题策略
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式(只适用于选择题、填空题).
(2)迭代法、累加法或累乘法:递推公式对应的有以下几类.
①an+1-an=常数或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法;
②an+1=pan(p为非零常数)或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法;
③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决.
[方法迁移] 若数列{an}满足a1=1,ln an-ln an-1=1(n≥2),则an=　　　　.
en-1
题型三　利用an与Sn的关系求通项公式
[例3] 设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2n2-30n,求a1及an.
【解】 因为Sn=2n2-30n,
所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1=-28,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32,
且当n=1时,a1=4×1-32=-28,依然成立,所以数列的通项公式是an=4n-32.
解题策略
利用an与Sn的关系求通项公式的步骤
(1)当n=1时,a1=S1.
(2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.
[方法迁移1] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n+2n+1,求{an}的通项公式.
[方法迁移2] 已知数列{an}满足2a1+7a2+12a3+…+(5n-3)an=4n,求an.
培优拓展2　斐波那契数列
【培优链接】
1.斐波那契数列的概念:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….这个数列称为斐波那契数列,因以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”.
2.斐波那契数列的递推公式:a1=1,a2=1,当n≥3时,an=an-1+an-2.
【题型演绎】
[方法] 观察下列各式:
a+b=1;
a2+b2=3;
a3+b3=4;
a4+b4=7;
a5+b5=11;
….
则a10+b10=(　　)
A.28 B.76 C.123 D.10
C
【解析】 设an+bn=f(n),
则f(3)=f(1)+f(2)=4,f(4)=f(2)+f(3)=7,f(5)=f(3)+f(4)=11,….
通过观察不难发现:f(n)=f(n-2)+f(n-1)(n≥3,n∈N*).
从而f(6)=f(4)+f(5)=18,f(7)=f(5)+f(6)=29,f(8)=f(6)+f(7)=47,f(9)=f(7)+f(8)=76,
f(10)=f(8)+f(9)=123,故a10+b10=123.故选C.
反思总结
an+bn=(an-1+bn-1)(a+b)-abn-1-an-1·b=(an-1+bn-1)(a+b)-ab(an-2+bn-2)=
(an-1+bn-1)+(an-2+bn-2),显然符合斐波那契数列的递推关系.
[跟进巩固] 斐波那契数列在十三世纪由意大利数学家斐波那契发现,具体数列为1,1,2,3,5,8,13,….已知数列{an}为斐波那契数列,数列{an}的前n项和Sn= a1+a2+…+an,观察规律,若a2 027=m,则S2 026-S2 024=　　　　.
m
【解析】 观察斐波那契数列得到递推公式为an+2=an+1+an,由此递推公式可知a2 027=a2 026+a2 025=S2 026-S2 024=m.第2课时　数列的递推公式
【课程标准要求】　
1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.
2.了解累加法、累乘法,会用其求通项公式.
3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式.
知识点一　数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式,知道了首项或前几项,以及递推公式,就能求出数列的每一项了.
通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.
知识点二　数列的通项公式与前n项和
1.数列{an}的前n项和:数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.
2.数列{an}的前n项和公式:如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
3.an与Sn的关系式:an=
应用数列前n项和公式的易错点
在应用数列的前n项和公式求通项公式时,往往容易忽略验证n=1时的情况,而是直接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1的形式,但它只适用于n≥2时的情形.
知识清点
1.已知数列{an}满足an+1=an+2,且a1=2,那么a3=(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】 C
【解析】 因为an+1=an+2,a1=2,所以a2=a1+2=2+2=4,a3=a2+2=4+2=6.故选C.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则a7=(　　)
A.11 B.12 C.13 D.14
【答案】 D
【解析】 因为a7=S7-S6=(72+7)-(62+6)=14.故选D.
3.(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)设数列{an}满足an+1=-nan+1,a1=2,通过求a2,a3得出an的通项公式可以是(　　)
A.an=n-1 B.an=n+1
C.an=n D.an=n+2
【答案】 B
【解析】 a2=22-2+1=3,a3=9-6+1=4,所以an=n+1符合题意.故选B.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,且Sn=n2,则an=　　　　.
【答案】 2n-1
【解析】 当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
而a1=2×1-1=1,即a1也满足上式,所以an=2n-1.
题型一　由递推公式求数列的项
[例1] (苏教版选择性必修第一册P136例3)试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项:
(1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*;
(2)a1=2,an+1=2-,其中n∈N*.
【解】 (1)因为a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*,
所以a3=a2+2a1=2+2×1=4,
a4=a3+2a2=4+2×2=8,
a5=a4+2a3=8+2×4=16.
因此,数列{an}的前5项依次为1,2,4,8,16.
(2)因为a1=2,an+1=2-,其中n∈N*,所以
a2=2-=2-=,
a3=2-=2-=,
a4=2-=2-=,
a5=2-=2-=.
因此,数列{an}的前5项依次为2,,,,.
由递推公式写出数列的项的方法
(1)首先要清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.
(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
(3)若序号很大,则应考虑数列是否具有规律性(或周期性).
[方法迁移] (2025·江苏盐城期中)已知数列{an}满足an+1=若a1=,则a2 025的值为　　　　.
【答案】
【解析】 由a1=,得a2=2×-1=,a3=2×-1=,可得a4=2×==a1,进而可得 a5=a2,a6=a3,…,即a3k+n=an,k∈N*,所以a2 025=a3×674+3=a3=.
题型二　由递推公式求通项公式
[例2] 在数列{an}中,a1=1,an+1=an+-,n∈N*,则an=(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 法一(归纳法)　数列的前5项分别为
a1=1,a2=1+1-=2-=,a3=+-=2-=,a4=+-=2-=,a5=+-=2-=,
又a1=1,归纳可得数列的一个通项公式为 an=.故选B.
法二(迭代法)　由题意得a2=a1+1-,a3=a2+-,…,an=an-1+-(n≥2),
则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2).
因为a1=1也适合上式,所以数列的通项公式是an=.故选B.
法三(累加法)　an+1-an=-,
a1=1,a2-a1=1-,a3-a2=-,a4-a3=-,…,an-an-1=-(n≥2),
以上各项相加得an=1+1-+-+…+-,
所以an=(n≥2).
因为a1=1也适合上式,所以数列的通项公式是an=.故选B.
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式(只适用于选择题、填空题).
(2)迭代法、累加法或累乘法:递推公式对应的有以下几类.
①an+1-an=常数或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法;
②an+1=pan(p为非零常数)或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法;
③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决.
[方法迁移] 若数列{an}满足a1=1,ln an-ln an-1=1(n≥2),则an=　　　　.
【答案】 en-1
【解析】 因为ln an-ln an-1=1,所以ln =1,即=e(n≥2).
所以an=··…··a1=·1=en-1(n≥2),
又a1=1也符合上式,所以数列的通项公式是 an=en-1.
题型三　利用an与Sn的关系求通项公式
[例3] 设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2n2-30n,求a1及an.
【解】 因为Sn=2n2-30n,
所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1=-28,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32,
且当n=1时,a1=4×1-32=-28,依然成立,所以数列的通项公式是an=4n-32.
利用an与Sn的关系求通项公式的步骤
(1)当n=1时,a1=S1.
(2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.
(3)如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;否则数列{an}的通项公式要分段表示为an=
[方法迁移1] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n+2n+1,求{an}的通项公式.
【解】 当n=1时,a1=S1=6,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2×3n-1+2,
由于a1不适合此式,
因此an=
[方法迁移2] 已知数列{an}满足2a1+7a2+12a3+…+(5n-3)an=4n,求an.
【解】 当n=1时,2a1=4,所以a1=2;
当n≥2时,由2a1+7a2+12a3+…+(5n-3)an=4n,得2a1+7a2+12a3+…+(5n-8)an-1=4(n-1),
两式相减得(5n-3)an=4,解得an=.
因为a1=2满足an=,所以an=.
培优拓展2　斐波那契数列
【培优链接】
1.斐波那契数列的概念:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….这个数列称为斐波那契数列,因以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”.
2.斐波那契数列的递推公式:a1=1,a2=1,当n≥3时,an=an-1+an-2.
3.斐波那契数列的通项公式:an=[()n-()n].
【题型演绎】
[方法] 观察下列各式:
a+b=1;
a2+b2=3;
a3+b3=4;
a4+b4=7;
a5+b5=11;
….
则a10+b10=(　　)
A.28 B.76 C.123 D.10
【答案】 C
【解析】 设an+bn=f(n),
则f(3)=f(1)+f(2)=4,f(4)=f(2)+f(3)=7,f(5)=f(3)+f(4)=11,….
通过观察不难发现:f(n)=f(n-2)+f(n-1)(n≥3,n∈N*).从而f(6)=f(4)+f(5)=18,f(7)=f(5)+f(6)=29,f(8)=f(6)+f(7)=47,f(9)=f(7)+f(8)=76,f(10)=f(8)+f(9)=123,故a10+b10=123.故选C.
an+bn=(an-1+bn-1)(a+b)-abn-1-an-1·b=(an-1+bn-1)(a+b)-ab(an-2+bn-2)=(an-1+
bn-1)+(an-2+bn-2),显然符合斐波那契数列的递推关系.
[跟进巩固] 斐波那契数列在十三世纪由意大利数学家斐波那契发现,具体数列为1,1,2,3,5,8,13,….已知数列{an}为斐波那契数列,数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an,观察规律,若a2 027=m,则S2 026-S2 024=　　　　.
【答案】 m
【解析】 观察斐波那契数列得到递推公式为an+2=an+1+an,由此递推公式可知a2 027=a2 026+a2 025=S2 026-S2 024=m.
课时作业
1.数列1,3,7,15,31,63,…应满足的递推公式为(　　)
A.an+1=an+2 B.an+1=2an+1
C.an+1=3an D.an+1=an+2n-1
【答案】 B
【解析】 将a2=3,a3=7代入四个选项中,
对于A,a3=a2+2=3+2=5≠7,所以A不满足题意;
对于C,a3=3a2=9≠7,所以C不满足题意;
对于D,a3=a2+21=3+2=5≠7,所以D不满足题意,经检验只有B满足题意.故选B.
2.(2025·福建福州期末)已知数列{an}满足a1=2,an=an-1+(n≥2),则a3=(　　)
A.7 B.8 C.10 D.11
【答案】 A
【解析】 依题意,得a2=a1+=2+3=5,a3=a2+=5+2=7.故选A.
3.下列给出的图形中,星星的个数构成一个数列,则该数列的一个递推公式可以是(　　)
A.an+1=an+n,n∈N*
B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2
C.an+1=an+(n+1),n∈N*,n≥2
D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2
【答案】 B
【解析】 结合题中图形易知,a1=1,a2=3=a1+2,a3=6=a2+3,a4=10=a3+4,
所以an=an-1+n,n∈N*,n≥2.故选B.
4.已知数列{an}满足an=+1(n≥2,n∈N*),若a3=,则a1=(　　)
A. B. C.1 D.2
【答案】 C
【解析】 因为an=+1(n≥2,n∈N*),且 a3=,
所以=+1,解得a2=2,则a2=+1,即2=+1,解得a1=1.故选C.
5.已知数列{an}满足an+2+an+1+an=1,a1=2,a2=1,则a300=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】 A
【解析】 因为an+2+an+1+an=1,a1=2,a2=1,所以a3=-2,a4=2,a5=1,a6=-2,…,
所以{an}是以3为周期的周期数列,所以a300=a3×99+3=a3=-2.故选A.
6.(2025·四川成都期中)定义(n∈N*)为n个正数P1,P2,…,Pn的“均倒数”.若数列{an}的前n项的“均倒数”为,则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an=3n-1 B.an=6n-2
C.an=6n-4 D.an=6n-5
【答案】 C
【解析】 由题意得=,所以=3n-1,
所以a1+a2+…+an=(3n-1)n,
当n≥2时,a1+a2+…+an-1=(3n-4)(n-1),
两式相减得an=(3n-1)n-(3n-4)(n-1)=6n-4,
又因为==,即a1=2,满足上式,所以an=6n-4.故选C.
7.已知数列{an}满足a1=,an=an-1+(n≥2),则an=　　　　.
【答案】
【解析】 因为an=an-1+(n≥2),所以an-an-1==-,
所以a2-a1=-,a3-a2=-,…,an-an-1=-(n≥2).以上各式相加,
得an-a1=-(n≥2),所以an=a1+-=(n≥2),又a1=适合上式,
所以 an=.
8.如图,雪花曲线可以从一个等边三角形开始画.把一个等边三角形的每边分成相同的三份,然后在各边中间的三分之一处向外画出一个等边三角形,再去掉底边,这样一来就做成了一个六角星,六角星的每一条边再用同样的方法向外画一个等边三角形……以此类推.设第n个雪花曲线的边数为an,则a3=　　　　,an+1与an的关系是　　　　　.
【答案】 48　an+1=4an
【解析】 a1=3,a2=3×4=12,a3=3×42=48,…,an+1=4an.
9.设Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan,求数列{an}的通项公式.
【解】 因为a2=1,2Sn=nan,
当n=1时,2a1=a1,即a1=0,
当n=3时,2(1+a3)=3a3,即a3=2,
当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1,所以2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1=2an,
整理得(n-2)an=(n-1)an-1,
当n≥3时,易知an≠0,则=,
所以=··…·=··…·=n-1,则an=n-1,
当n=1,2时,a1=0,a2=1都满足上式,所以数列{an}的通项公式是an=n-1.
10.已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=2+1.
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解】 (1)因为a1=1,an+1=2+1,所以a2=2+1=2+1=3.
(2)法一　由an+1=2+1,得Sn+1-Sn=2+1,故Sn+1=(+1)2.
因为an>0,所以Sn>0,所以=+1,即-=1,则-=1(n≥2),
由累加法可得=1+(n-1)=n,所以Sn=n2(n≥2).
又S1=a1=1,满足上式,所以Sn=n2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
又a1=1适合上式,所以an=2n-1.
法二　由an+1=2+1,得(an+1-1)2=4Sn,当n≥2时,(an-1)2=4Sn-1,
所以(an+1-1)2-(an-1)2=4(Sn-Sn-1)=4an,
所以--2an+1-2an=0,即(an+1+an)·(an+1-an-2)=0.
因为an>0,所以an+1-an=2(n≥2),
所以当n≥3时,an-an-1=2,
由累加法可得an=3+(n-2)×2=2n-1(n≥3).
又a1=1,a2=3均适合上式,所以an=2n-1.
11.(多选)已知数列{an}满足a1∈N*,且an+1=(n=1,2,…),a1,a2,…,aN的最小项记为am.若a1=20,N=10,则(　　)
A.2a3=a8 B.m=6
C.a9>a5　 D.a10=22
【答案】 BD
【解析】 因为数列{an}满足a1=20,且an+1=(n=1,2,…),
所以a2=20+4=24,a3=24+4=28,a4=28+4=32,a5=32+4=36,a6==6,a7=6+4=10,a8=10+4=14,a9=
14+4=18,a10=18+4=22,所以2a3≠a8,所以A不正确;a1,a2,…,a10中的最小项为a6,故m=6,所以B正确;a912.(2025·安徽安庆月考)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,第k项满足5【答案】 7
【解析】 当n=1时,a1=S1=-5;
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2-6(n-1)=n2-8n+7,则an=Sn-Sn-1=2n-7(n≥2).
当n=1时,a1=-5符合上式,所以{an}的通项公式为an=2n-7,所以ak=2k-7.
由5<2k-7<8,解得613.(人教B版选择性必修第三册P13练习B T4)如图,已知直线l:y=x与曲线C:y=()x,设P1为曲线C上横坐标为1的点.过P1作x轴的平行线交l于Q2,过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2;再过P2作x轴的平行线交l于Q3,过Q3作x轴的垂线交曲线C于P3……设点P1,P2,…,Pn,…的纵坐标分别为a1,a2,…,an,…,试求数列{an}的前两项以及递推关系.
【解】 令x=1,所以a1=()1=,所以Q2的横坐标和纵坐标都是,
令x=,所以a2=()=,
所以数列{an}的前两项为,.
因为Pn的纵坐标为an,所以Qn+1的横纵坐标都为an,所以Pn+1的纵坐标为an+1=(),
所以数列{an}的递推关系为an+1=().
14.(2025·山东济南期末)已知斐波那契数列的递推公式为a1=a2=1,an=an-1+an-2(n≥3),该数列有着广泛的应用.下面这个问题便与斐波那契数列有关:长为 233 cm 的铁丝,要截成n(n>2)小段,每段的长度不小于 1 cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则n的最大值为(　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】 C
【解析】 因为每段的长度不小于1 cm,所以设最小的两段的长度都是1 cm,
因为其中任意三小段都不能拼成三角形,
所以这些小段的长度只能是1 cm,1 cm,2 cm,3 cm,5 cm,8 cm,13 cm,21 cm,34 cm,55 cm,89 cm,上述这些数之和为232,与233相差1,
长度再大时,各个小段的和大于233 cm,不满足题意,
故取1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,90,这时n的值最大,n=11.故选C.

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