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第2课时　等差数列的判定与实际应用
1.能利用等差数列的定义等方法判定与证明等差数列.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
【课程标准要求】　
课堂探究·素养培育
题型一　等差数列的判定与证明
解题策略
判断一个数列是不是等差数列的方法
(1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*) 数列{an}为等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*) 数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法:数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数) 数列{an}为等差数列.
注意:要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列
即可.
题型二　等差数列的实际应用
[例2] (北师大版选择性必修第二册P15练习T5)在通常情况下,从海平面到
10 km高空,海拔每增加1 km,气温就下降一固定数值.如果海拔1 km高空的气温是9 ℃,海拔5 km高空的气温是-15 ℃,那么海拔2 km,4 km和8 km高空的气温各是多少
【解】 设从海平面到10 km高空气温成等差数列{an}(1≤n≤10),
且a1=9,a5=-15,设公差为d,则a5=a1+(5-1)d,即-15=9+4d,解得d=-6,
所以a2=9-6=3,a4=9-6×(4-1)=-9,a8=9-6×(8-1)=-33,
所以海拔2 km高空的气温是3 ℃,海拔4 km高空的气温是-9 ℃,海拔8 km高空的气温是-33 ℃.
解题策略
解决等差数列实际应用问题的步骤
注意:在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.
[方法迁移] 甲虫是行动较快的昆虫之一,下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度:
时间t/s 1 2 3 … … 60
距离s/cm 9.8 19.6 29.4 … 49 …
(1)请你建立一个等差数列模型来表示甲虫的爬行距离s和时间t之间的关系;
【解】 (1)由题表中数据可知,该数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数9.8,所以该模型是一个公差为9.8的等差数列模型.因为a1=9.8,所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s=9.8t.
(2)利用建立的模型计算,甲虫1 min能爬多远 它爬行49 cm需要多长时间 第2课时　等差数列的判定与实际应用
【课程标准要求】　
1.能利用等差数列的定义等方法判定与证明等差数列.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
题型一　等差数列的判定与证明
[例1] 已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n>1),记bn=.求证:数列{bn}是等差数列.
【证明】 法一(定义法)　bn+1-bn=-=-==,
所以数列{bn}是首项为=,公差为的等差数列.
法二(等差中项法)　bn=,bn+1===,bn+2===,所以bn+bn+2-2bn+1=+-2×=0,
所以bn+bn+2=2bn+1(n∈N*),又b1==,b2-b1=-=,所以数列{bn}是首项为,公差为的等差数列.
判断一个数列是不是等差数列的方法
(1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*) 数列{an}为等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*) 数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法:数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数) 数列{an}为等差数列.
注意:要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
[方法迁移] (2025·全国Ⅰ卷,T16节选)设数列{an}满足a1=3,=+.证明:{nan}为等差数列.
【证明】 在数列{an}中,
a1=3,=+,
所以(n+1)an+1=nan+1,
即(n+1)an+1-nan=1,
所以{nan}是以a1=3为首项,1为公差的等差数列.
题型二　等差数列的实际应用
[例2] (北师大版选择性必修第二册P15练习T5)在通常情况下,从海平面到10 km高空,海拔每增加1 km,气温就下降一固定数值.如果海拔1 km高空的气温是9 ℃,海拔5 km高空的气温是 -15 ℃,那么海拔2 km,4 km和8 km高空的气温各是多少
【解】 设从海平面到10 km高空气温成等差数列{an}(1≤n≤10),且a1=9,a5=-15,设公差为d,则a5=a1+(5-1)d,即-15=9+4d,解得d=-6,
所以a2=9-6=3,a4=9-6×(4-1)=-9,a8=9-6×(8-1)=-33,
所以海拔2 km高空的气温是3 ℃,海拔4 km高空的气温是-9 ℃,海拔8 km高空的气温是 -33 ℃.
解决等差数列实际应用问题的步骤
注意:在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.
[方法迁移] 甲虫是行动较快的昆虫之一,下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度:
时间 t/s 1 2 3 … … 60
距离 s/cm 9.8 19.6 29.4 … 49 …
(1)请你建立一个等差数列模型来表示甲虫的爬行距离s和时间t之间的关系;
(2)利用建立的模型计算,甲虫1 min能爬多远 它爬行49 cm需要多长时间
【解】 (1)由题表中数据可知,该数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数9.8,所以该模型是一个公差为9.8的等差数列模型.因为a1=9.8,所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s=9.8t.
(2)当t=1 min=60 s时,s=9.8t=9.8×60=588(cm).
当s=49 cm时,t===5(s).
所以甲虫1 min能爬588 cm,爬行49 cm需要5 s.
课时作业
1.若数列{an}的通项公式为an=2n+5,则此数列是(　　)
A.公差为2的等差数列
B.公差为5的等差数列
C.首项为5的等差数列
D.公差为n的等差数列
【答案】 A
【解析】 an+1-an=[2(n+1)+5]-(2n+5)=2,a1=7.故选A.
2.(2025·福建龙岩期中)如图,该塔为七层仿楼阁式石塔,假设该塔底层(第一层)的底面直径为
8 m,且每往上一层,底面直径减少0.6 m,则该塔顶层(第七层)的底面直径为(　　)
A.3.1 m
B.3.8 m
C.4.4 m
D.5 m
【答案】 C
【解析】 由题意,从第一层到顶层的底面直径构成首项为8,公差为-0.6的等差数列,所以a7=8+6×(-0.6)=4.4.故选C.
3.在数列{an}中,a1=3,a10=21,已知an=pn+q(p,q为常数),则a2 026=(　　)
A.4 050　 B.4 051 C.4 052　 D.4 053
【答案】 D
【解析】 根据题意可知数列{an}为等差数列,设公差为d,则a10=a1+9d,即21=3+9d,可得d=2,故a2 026=a1+(2 026-1)d=3+2 025×2=4 053.故选D.
4.哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周,因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷在1682年观测到这颗彗星,则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为(　　)
A.2041年~2042年 B.2061年~2062年
C.2081年~2082年 D.2101年~2102年
【答案】 B
【解析】 由题意,可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1 682,公差是76的等差数列{an},则等差数列{an}的通项公式为an=1 682+76(n-1)=76n+1 606,
所以a5=76×5+1 606=1 986,a6=76×6+1 606=2 062,
所以人们最有可能观测到这颗彗星的时间为2062年.故选B.
5.已知数列{an}满足+=2,且a1=1,a2=,则a2 026=(　　)
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 由+=2,可得+=,故可得-=-,
所以-=-=…=-=-,
又a1=1,a2=,则=1,-=3-1=2,
所以是以1为首项,2为公差的等差数列,
所以=1+2(n-1)=2n-1,则an=,故a2 026==.故选D.
6.(2025·广东深圳期末)若数列{an}是等差数列,则下列数列不一定是等差数列的是(　　)
A.{|an|}
B.{an+1-an}
C.{pan+q}(p,q为常数)
D.{2an+n}
【答案】 A
【解析】 因为数列{an}为等差数列,设公差为d,可得an+1-an=d.
对于A,假设an=n-2,则|a1|=1,|a2|=0,|a3|=1,|a4|=2,此时数列{|an|}不是等差数列,所以A符合题意;
对于B,在数列{an+1-an}中,可得an+1-an=d,所以数列{an+1-an}为常数列,所以数列{an+1-an}一定是等差数列,所以B不符合题意;
对于C,在数列{pan+q}中,可得(pan+1+q)-(pan+q)=p(an+1-an)=pd(常数),
所以数列{pan+q}一定是等差数列,所以C不符合题意;
对于D,在数列{2an+n}中,可得(2an+1+n+1)-(2an+n)=2(an+1-an)+1=2d+1,
所以数列{2an+n}一定是等差数列,所以D不符合题意.故选A.
7.已知数列{an}(n∈N*)满足a1=1,若点(,)在直线x-y+1=0上,则an=　　　　.
【答案】 n2
【解析】 由题设可得-+1=0,即-=1,
所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列,
故通项公式为=n,所以an=n2.
8.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往16 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付的车费为　　　　元.
【答案】 25.6
【解析】 根据题意,当出租车的行程大于或等于 4 km时,每增加1 km,车费增加1.2元,可知车费构成等差数列,记a1=11.2表示行驶至4 km处的车费,公差d=1.2,
那么,当出租车行驶至16 km处时,n=13,所以a13=11.2+(13-1)×1.2=25.6.
9.已知在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2,n∈N*).
(1)记bn=log2(an+1),判断{bn}是不是等差数列,并说明理由;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解】 (1){bn}是等差数列,理由如下:
因为a1=1,an=2an-1+1(n≥2),
所以an>0,b1=log2(a1+1)=log22=1,
当n≥2时,bn-bn-1=log2(an+1)-log2(an-1+1)=log2=log2=log2=log22=1,
所以{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)得bn=1+(n-1)×1=n,
所以an+1==2n,所以an=2n-1.
10.(北师大版选择性必修第二册P19习题1-2 A组T6)某城市环境噪声平均值见下表:
年份 2014 2015 2016 2017
噪声平均值/dB 57.8 57.2 56.6 56.0
如果噪声平均值依此规律逐年减少,那么从2017年起,至少经过多少年,噪声平均值将小于
42 dB
【解】 设2014年噪声平均值为a1,2015年噪声平均值为a2,2016年噪声平均值为a3,2017年噪声平均值为,…,
从题表中数据可知,a2-a1=-0.6,a3-a2=-0.6,a4-a3=-0.6,
所以数列{an}为等差数列,an=57.8+(n-1)×(-0.6)=-0.6n+58.4,
由题意可知,an<42,即-0.6n+58.4<42,解得n>27,
因此从2014年起,至少需要28年,噪声平均值将小于42 dB,
所以从2017年起,至少需要25年,噪声平均值将小于42 dB.
11.(2025·福建福州一模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,新本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何 ”意思是:“现有一根金箠,一头粗,一头细,在粗的一段截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤,问依次每一尺各重几斤 ”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,则中间三尺的质量为(一米=3尺,1千克=2斤)(　　)
A.6斤 B.9斤 C.10斤 D.12斤
【答案】 B
【解析】 依题意,金箠由粗到细各尺构成一个等差数列,设首项a1=4,则a5=2,a5=a1+4d,解得 d=-,
故a2+a3+a4=a1+d+a1+2d+a1+3d=3a1+6d=9,所以中间三尺的质量为9斤.故选B.
12.(多选)已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N*),则下列说法正确的有(　　)
A.数列{an}是等差数列
B.a2k=7-2k(k∈N*)
C.a2k-1=12-2k(k∈N*)
D.an+an+1=18-3n
【答案】 BC
【解析】 由an-an+2=2得a3=a1-2=8,因为 2a2≠a1+a3,所以{an}不是等差数列,故A错误;由an-an+2=2,知{an}的偶数项,奇数项分别构成等差数列,公差都为-2,当n=2k(k∈N*)时, a2k=a2+(k-1)×(-2)=7-2k,当n=2k-1(k∈N*)时,a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,故B,C正确;当n=2时, a2+a3=5+8=13不满足an+an+1=18-3n,故D错误.故选BC.
13.已知数列{an}的前n项积为Tn.
(1)若an+Tn=1(n∈N*),求证:数列为等差数列.
(2)若Tn+1=2Tn-,a1=,证明数列{Tn}是等差数列,并求其通项公式.
【证明】 (1)因为an+Tn=1,所以Tn=1-an,
当n=1时,a1+T1=2a1=1,所以a1=;
当n≥2且n∈N*时,Tn-1=1-an-1,
所以an==,
整理可得an=,所以-=-=-=1(n≥2).
又=2,所以数列是以2为首项,1为公差的等差数列.
(2)由数列{an}的前n项积为Tn,得an=(n≥2),
由题设Tn+1=2Tn-,可得Tn+1=2Tn-Tn-1(n≥2),即2Tn=Tn+1+Tn-1,所以数列{Tn}是等差数列.
由题设a1=,故T1=,T2=2T1-=2×-1=-,T2-T1=-,
所以{Tn}是首项为,公差为-的等差数列,故Tn=+(n-1)×(-)=-n+1.
14.(2025·云南昆明期末)中国自古便有十天干与十二地支计时法.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,以此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”“乙亥”,之后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推.已知2026年是丙午年,则100年后的2126年为(　　)
A.丙戌年 B.辛丑年
C.庚亥年 D.戊戌年
【答案】 A
【解析】 由题意得,天干可看作公差为10的等差数列,地支可看作公差为12的等差数列,
由于100÷10=10,余数为0,故100年后天干为丙,
由于100÷12=8……4,余数为4,故100年后地支为戌,
综上,100年后的2126年为丙戌年.故选A.

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