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第2课时　等比数列的判定及实际应用
1.能利用等比数列的定义等方法判定与证明等比数列.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
【课程标准要求】　
课堂探究·素养培育
题型一　等比数列的判定与证明
[例1] (人教B版选择性必修第三册P32例3)已知数列{an}的通项公式为an=3× 2n,判断这个数列是不是等比数列.如果是,求出公比;如果不是,说明理由.
解题策略
判断一个数列是不是等比数列的常用方法
(2)求证:数列{an}是等比数列.
题型二　等比数列的实际应用
[例2] (湘教版选择性必修第一册P26例3)为推进各类资源节约集约利用,某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时,还能生产出有用的肥料和清洁用水,在处理过程中,污水处理厂每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12%.
(1)一天后污染物含量降低到什么程度
(2)使污染物含量减半至少要多少小时(log0.88 0.5≈5.42,结果保留整数)
【解】 (2)当污染物含量减半时,由题意可得an=0.88na0=0.5a0,
解得n=log0.880.5≈5.42.
故使污染物含量减半至少要6 h.
解题策略
等比数列实际应用的求解思路
(1)认真审题,弄清题意,将实际问题转化为适当的数学模型;
(2)合理设出未知数,建立等比数列模型,如相同的增长率或减少率的问题是等比数列,依据其性质或方程思想求出未知元素;
(3)针对所求结果作出合理解释.
[方法迁移] (2025·陕西西安期中)按复利计算利率的储蓄,存入银行2万元,如果年利率为3%,5年后支取,本利和应为(　　)
A.2×0.035万元 B.2(1+0.03)5万元
C.2×0.034万元 D.2(1+0.03)4万元
B
【解析】 依题意可知,本利和所成的数列是等比数列,且首项为a1=2,公比为q=1+0.03,5年后为a6=a1·q5=2(1+0.03)5.故选B.第2课时　等比数列的判定及实际应用
【课程标准要求】　
1.能利用等比数列的定义等方法判定与证明等比数列.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
题型一　等比数列的判定与证明
[例1] (人教B版选择性必修第三册P32例3)已知数列{an}的通项公式为an=3×2n,判断这个数列是不是等比数列.如果是,求出公比;如果不是,说明理由.
【解】 因为an=3×2n,所以==2,
所以数列{an}是等比数列,且首项为6,公比为2.
判断一个数列是不是等比数列的常用方法
(1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或=q(n≥2,且n∈N*,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法:若=anan+2(n∈N*且an≠0),则数列{an}为等比数列.
[方法迁移1] 如果在数列{an}中,=在n≥3时恒成立,求证:{an}是等比数列.
【证明】 根据题意有===…==,
因此,从第2项起,每一项与它的前一项的比都相等,所以{an}是等比数列.
[方法迁移2] 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an-1)(n∈N*).
(1)求a1,a2;
(2)求证:数列{an}是等比数列.
(1)【解】 由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),所以a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.
(2)【证明】 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-.
又a1=-,
所以{an}是首项为-、公比为-的等比数列.
题型二　等比数列的实际应用
[例2] (湘教版选择性必修第一册P26例3)为推进各类资源节约集约利用,某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时,还能生产出有用的肥料和清洁用水,在处理过程中,污水处理厂每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12%.
(1)一天后污染物含量降低到什么程度
(2)使污染物含量减半至少要多少小时(log0.88 0.5≈5.42,结果保留整数)
【解】 设污水中污染物的初始含量为a0,n h后残留在池中的污染物含量为an,
则
因此,数列{an}是以0.88a0为首项,以0.88为公比的等比数列.利用通项公式,得an=0.88na0.
(1)a24=0.8824a0≈0.05a0,所以一天后污染物含量大约降低到原来的5%.
(2)当污染物含量减半时,由题意可得an=0.88na0=0.5a0,解得n=log0.880.5≈5.42.
故使污染物含量减半至少要6 h.
等比数列实际应用的求解思路
(1)认真审题,弄清题意,将实际问题转化为适当的数学模型;
(2)合理设出未知数,建立等比数列模型,如相同的增长率或减少率的问题是等比数列,依据其性质或方程思想求出未知元素;
(3)针对所求结果作出合理解释.
[方法迁移] (2025·陕西西安期中)按复利计算利率的储蓄,存入银行2万元,如果年利率为3%,5年后支取,本利和应为(　　)
A.2×0.035万元 B.2(1+0.03)5万元
C.2×0.034万元 D.2(1+0.03)4万元
【答案】 B
【解析】 依题意可知,本利和所成的数列是等比数列,且首项为a1=2,公比为q=1+0.03,5年后为a6=a1·q5=2(1+0.03)5.故选B.
课时作业
1.若a,b,c成等比数列且公比为q,那么,,(　　)
A.不一定是等比数列
B.一定不是等比数列
C.一定是等比数列,且公比为
D.一定是等比数列,且公比为q
【答案】 C
【解析】 因为a,b,c成等比数列且公比为q,所以=q,b2=ac,可得=,==,由等比中项可判断得,,成等比数列,且公比为.故选C.
2.设A和G分别是a,b的等差中项和等比中项,则a2+b2的值为(　　)
A.2A2-G2 B.4A2-G2
C.2A2-2G2 D.4A2-2G2
【答案】 D
【解析】 由题意得2A=a+b,G2=ab,a2+b2=(a+b)2-2ab=4A2-2G2.故选D.
3.(2025·辽宁大连月考)假如一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了4个伙伴;第2天,
5只蜜蜂飞出去,各自找回了4个伙伴……按照这个规律继续下去,第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂(　　)
A.420只 B.520只
C.只 D.只
【答案】 B
【解析】 第一天蜂巢里一共有5只蜜蜂,第二天蜂巢里一共有5+5×4=5×5=52(只)蜜蜂……
按照这个规律,每天的蜜蜂数构成以5为首项,公比为5的等比数列,
则第n天的蜜蜂数an=5×5n-1=5n,第20天蜜蜂都归巢后,蜂巢中共有蜜蜂520只.故选B.
4.(2025·江苏常州期中)在数列{an}中,a1=,am+n=aman( m,n∈N*),则a6等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 由于 m,n∈N*,有am+n=aman,且a1=,令m=1,则an+1=a1an=an,即数列{an}是首项为,公比为的等比数列,所以an=a1qn-1=×()n-1=()n,故a6=()6=.故选C.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=2Sn,则a2 026等于(　　)
A.32 024 B.32 025
C.2×32 025 D.2×32 024
【答案】 D
【解析】 由an+1=2Sn,得an+1=Sn+1-Sn=2Sn,所以Sn+1=3Sn,又S1=a1=1,
所以{Sn}是等比数列,首项为1,公比为3,所以Sn=3n-1,所以a2 026=2S2 025=2×32 024.故选D.
6.(多选)已知数列{an}和{bn}(n∈N*)是等比数列,则下列结论正确的是(　　)
A.{}是等比数列
B.{an+bn}一定不是等差数列
C.{an·bn}是等比数列
D.{an+bn}一定不是等比数列
【答案】 AC
【解析】 设{an},{bn}的公比分别为m,n,则=·=m2,数列{}是公比为m2的等比数列,A正确;=·=mn,数列{an·bn}是公比为mn的等比数列,C正确;an=1,bn=2满足数列{an}和{bn}是等比数列,此时,数列{an+bn}既是等比数列,也是等差数列,B,D错误.故选AC.
7.在正项数列{an}中,ln an+1-ln an=2,且a1a5=e6,则a2=　　　　.
【答案】 e
【解析】 ln an+1-ln an=ln=2,可得=e2,所以数列{an}是公比为e2的等比数列,
因为a1a5==e6,且a3>0,则a3=e3,所以a2==e.
8.(2025·北京顺义期末)碳14原子的半衰期长达5 730年(半衰期是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间),所以经常用于考古年代鉴定.对某块化石鉴定时,碳14含量约为原来的1%,则这块化石距今约　　　　万年.(“四舍五入”到0.1万年,lg 2≈0.301)
【答案】 3.8
【解析】 设第n个半衰期结束时,碳14含量为an,由题意可得,第一个半衰期结束时,碳14含量为a1=,第二个半衰期结束时,碳14含量为a2=……以此类推,{an}是首项为a1=,公比为q=的等比数列,所以第n个半衰期结束时,碳14含量为an=()n,令an=()n=1%,
解得n=lo 10-2==≈6.64.
所以这块化石距今约5 730×6.64=38 047.2(年),即约3.8万年.
9.已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N*.
(1)求证:{an-}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)【证明】 由已知得an+1-=an-=(an-),即=,
因为a1=,所以a1-=,所以{an-}是以为首项,为公比的等比数列.
(2)【解】 由(1)知,{an-}是以为首项,为公比的等比数列,所以an-=×()n-1,
所以an=×()n-1+.
10.受国际油价大环境影响,某燃油汽车销售公司的销售额下跌严重,从2025年1月销售收入128万元,到3月跌至32万元,你能求出该公司1月到3月之间平均每月下降的百分比吗 若按此计算,到什么时候月销售收入跌至8万元
【解】 设平均每月下降的百分比为x,则每月的销售收入构成等比数列{an},
a1=128,则a2=a1(1-x),a3=a1(1-x)2=128(1-x)2=32,解得x=50%.
设an=8,an=128(1-50%)n-1=8,解得n=5,即从2025年1月算起第5个月,也就是在2025年5月该公司的销售收入跌至8万元.
11.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=,过点A作BC边的垂线,垂足为A1,过点A1作AC边的垂线,垂足为A2,过点A2作A1C边的垂线,垂足为A3,……,依此类推.设BA=a1, AA1=a2,A1A2=a3,…,A6A7=a8,则a7等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 依题意,数列{an}的相邻两项an,an+1分别为同一个等腰直角三角形的底边和腰,即=,因此数列{an}是首项为a1=BC=1,公比为q=的等比数列,an=a1qn-1=()n-1,所以a7=()6=.故选B.
12.(多选)已知数列{an}(n∈N*),下列选项不正确的是(　　)
A.若=4n,则{an}为等比数列
B.若anan+2=,则{an}为等比数列
C.若aman=2m+n,则{an}为等比数列
D.若anan+3=an+1an+2,则{an}为等比数列
【答案】 ABD
【解析】 对于A选项,由=4n知|an|=2n,则数列{an}不一定是等比数列;对于B,D选项,满足条件的数列中可以存在零项,故数列{an}不一定是等比数列;对于C选项,由aman=2m+n知, aman+1=2m+n+1,两式相比得=2,故数列{an}是等比数列.故选ABD.
13.已知数列{an}和{bn}满足a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数.
(1)求证:对任意实数λ,数列{an}不是等比数列;
(2)试判断{bn}是否为等比数列.
(1)【证明】 因为an+1=an+n-4且a1=λ,所以a2=λ-3,a3=λ-4.
假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则=a1·a3,即(λ-3)2=λ(λ-4),
即λ2-4λ+9=λ2-4λ,该方程无解,所以{an}不是等比数列.
(2)【解】 因为bn=(-1)n(an-3n+21),
所以bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1·(an-2n+14)=-(-1)n(an-3n+21)=-bn,
因为b1=-(λ+18),所以当λ=-18时,b1=0,此时数列{bn}不是等比数列;
当λ≠-18时,b1≠0,此时=-,数列{bn}是等比数列.
综上,当λ=-18时,{bn}不是等比数列;
当λ≠-18时,{bn}是等比数列.
14.(2025·江苏常州月考)若a1=1,对任意的n∈N*,都有an>0,且n-(2n-1)an+1an-2=0.设M(x)表示整数x的个位数字,则M(a2 026)=　　　　　.
【答案】 2
【解析】 因为n-(2n-1)an+1an-2=0,整理得(nan+1+an)(an+1-2an)=0,由已知得an>0,
所以nan+1+an>0,则有an+1-2an=0,所以an+1=2an,所以数列{an}是以a1=1为首项,2为公比的等比数列,
则其通项公式为an=2n-1,所以a2 026=22 025,
又21=2,个位数字为2;22=4,个位数字为4;23=8,个位数字为8;24=16,个位数字为6;25=32,个位数字为2……
数列的项的个位数字从第二项起形成一个周期为4的循环,所以a2 026与a2的个位数字相同,
所以M(a2 026)=M(a2)=M(2)=2.

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