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4.3　等比数列
4.3.1　等比数列的概念
第1课时　等比数列的概念及通项公式
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.理解等比数列的通项公式的意义.
4.体会等比数列与指数函数的关系.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点一　等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的 一项的 都等于 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
2
前
比
同一个
公比
疑难解惑
对等比数列概念的理解
知识点二　等比中项的概念
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的
,此时, .
等比
中项
G2=ab
疑难解惑
对等比中项的理解
(1)若G2=ab,则a,G,b不一定成等比数列.
(2)只有同号的两个实数才有等比中项.
(3)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.
知识点三　等比数列的通项公式及其与函数的关系
1.通项公式:若等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则an= (n∈N*).
2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系
a1qn-1
an=f(n)
(2)任给函数f(x)=kax(k,a为常数,k≠0,a>0且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=
kan,…构成一个等比数列{kan},其首项为 ,公比为 .
ka
a
「知识拓展」
(1)当a1>0,q>1时,数列{an}为正项的递增等比数列.
(2)当a1>0,0(3)当a1<0,q>1时,数列{an}为负项的递减等比数列.
(4)当a1<0,0(5)当q=1时,数列{an}为常数列.
(6)当q<0时,数列{an}为摆动数列;奇数项符号相同,偶数项符号相同.
知识清点
1.(2025·贵州毕节期中)下列三个数依次成等比数列的是(　　)
A.1,4,8 B.-1,2,4
C.9,6,4 D.4,6,8
C
B
【解析】 设4和9的等比中项为a,则a2=4×9,所以a=±6.故选B.
3.若数列{an}是公比为q的递增等比数列,则(　　)
A.a1>0,q>1 B.a1(q-1)>0
C.(a1-1)q>0 D.(a1-1)q<0
B
4.(人教A版选择性必修第二册P31练习T2改编)已知数列{an}为等比数列,若a1=2,a5=32,则a3的值为　　　　　.
8
【解析】 设数列{an}的公比为q,则a5=a1q4=2q4=32,所以q2=4,
所以a3=a1q2=2×4=8.
课堂探究·素养培育
题型一　等比数列的概念
(2)1,1,1,…,1;
【解】 (2)是公比q=1的等比数列.
(3)1,2,4,8,12,16,20;
(4)a,a2,a3,…,an.
【解】 (4)当a≠0时,它是公比q=a的等比数列;当a=0时,它不是等比数列.
解题策略
利用定义法判断一个数列是不是等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列,否则不是等比数列.注意等比数列中任意一项不能为0,对于含参的数列需要分类讨论.
A
题型二　等比数列基本量的运算
[例2] 在等比数列{an}中,
(1)若a1=1,a4=8,求an;
【解】 (1)因为a4=a1q3,所以8=q3,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1.
(2)若a4=625,q=5,求a1;
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
解题策略
关于等比数列基本量的运算
(1)a1和q是等比数列的两个基本量,解决相应问题时,只要求出这两个基本量,其余的量便可以得出.
(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意3个就能求出另外1个,解题时常列方程(组)来解决.
[方法迁移] 设{an}是等比数列,且a2+a3=2,a5+a6=-16,则公比q等于(　　)
A.-2 B.2
C.-8 D.8
A
【解析】 由题得,{an}是等比数列,又a2+a3=2,a5+a6=-16,
则a1q+a1q2=2,a1q4+a1q5=-16,即a1q(1+q)=2,a1q4(1+q)=-16,
可得q3=-8,即q=-2.故选A.
题型三　等比中项及其应用
[例3] (多选)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么(　 　)
A.b=3 B.b=-3
C.ac=9 D.ac=-9
BC
【解析】 由题意得b2=ac,a2=-b>0,c2=-9b>0,故b4=9b2,b=-3,ac=b2=9.故选BC.
解题策略
A4.3.1　等比数列的概念
第1课时　等比数列的概念及通项公式
【课程标准要求】　
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.理解等比数列的通项公式的意义.
4.体会等比数列与指数函数的关系.
知识点一　等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
对等比数列概念的理解
(1)定义的符号表示:=q(n∈N*且n≥2)或=q(n∈N*).
(2)定义强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(3)比必须是同一个常数.
(4)等比数列中任意一项都不能为0.
(5)公比可以为正数、负数,但不能为0.
知识点二　等比中项的概念
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时,G2=ab.
对等比中项的理解
(1)若G2=ab,则a,G,b不一定成等比数列.
(2)只有同号的两个实数才有等比中项.
(3)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.
知识点三　等比数列的通项公式及其与函数的关系
1.通项公式:若等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则an=a1qn-1(n∈N*).
2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1)当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).
(2)任给函数f(x)=kax(k,a为常数,k≠0,a>0且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…构成一个等比数列{kan},其首项为ka,公比为a.
知识拓展
(1)当a1>0,q>1时,数列{an}为正项的递增等比数列.
(2)当a1>0,0(3)当a1<0,q>1时,数列{an}为负项的递减等比数列.
(4)当a1<0,0(5)当q=1时,数列{an}为常数列.
(6)当q<0时,数列{an}为摆动数列;奇数项符号相同,偶数项符号相同.
知识清点
1.(2025·贵州毕节期中)下列三个数依次成等比数列的是(　　)
A.1,4,8 B.-1,2,4
C.9,6,4 D.4,6,8
【答案】 C
【解析】 42≠1×8,A选项错误;22≠-1×4,B选项错误;因为==,所以9,6,4依次成等比数列,C选项正确;62≠4×8,D选项错误.故选C.
2.两个数4和9的等比中项是(　　)
A.6 B.±6 C. D.±
【答案】 B
【解析】 设4和9的等比中项为a,则a2=4×9,所以a=±6.故选B.
3.若数列{an}是公比为q的递增等比数列,则(　　)
A.a1>0,q>1 B.a1(q-1)>0
C.(a1-1)q>0 D.(a1-1)q<0
【答案】 B
【解析】 依题意,不妨设a1=1,q=2,数列{an}是递增的等比数列,所以C,D选项错误;设a1=-1,q=,数列{an}是递增的等比数列,所以A选项错误;因为数列{an}是公比为q的递增等比数列,所以a1>0,q>1或a1<0,00,所以选项B正确.故选B.
4.(人教A版选择性必修第二册P31练习T2改编)已知数列{an}为等比数列,若a1=2,a5=32,则a3的值为　　　　　.
【答案】 8
【解析】 设数列{an}的公比为q,则a5=a1q4=2q4=32,所以q2=4,所以a3=a1q2=2×4=8.
题型一　等比数列的概念
[例1] (北师大版选择性必修第二册P23例1)以下数列中,哪些是等比数列
(1)1,-,,-,;
(2)1,1,1,…,1;
(3)1,2,4,8,12,16,20;
(4)a,a2,a3,…,an.
【解】 按照等比数列的定义,需要验证从第2项起,每一项与它前一项的比值是不是同一个常数.
(1)是等比数列,公比q=-.
(2)是公比q=1的等比数列.
(3)因为≠,所以该数列不是等比数列.
(4)当a≠0时,它是公比q=a的等比数列;当a=0时,它不是等比数列.
利用定义法判断一个数列是不是等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列,否则不是等比数列.注意等比数列中任意一项不能为0,对于含参的数列需要分类讨论.
[方法迁移] (2025·安徽合肥期末)已知数列{an}为等差数列,则下列数列一定为等比数列的是(　　)
A.{} B.{lg an}
C.{} D.{}
【答案】 A
【解析】 设{an}的公差是d,即an+1-an=d,
显然≠0,且==2d是常数,{}是等比数列;若an=1,则lg an=0,则{lg an}不是等比数列;只要d≠0,{},{}都不可能是等比数列,如an=n,=n2,=.故选A.
题型二　等比数列基本量的运算
[例2] 在等比数列{an}中,
(1)若a1=1,a4=8,求an;
(2)若a4=625,q=5,求a1;
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
【解】 (1)因为a4=a1q3,所以8=q3,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1.
(2)a1===5,故a1=5.
(3) 因为
由,得q=,从而a1=32.又an=1,所以32×()n-1=1,即26-n=20,故n=6.
关于等比数列基本量的运算
(1)a1和q是等比数列的两个基本量,解决相应问题时,只要求出这两个基本量,其余的量便可以得出.
(2)等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意3个就能求出另外1个,解题时常列方程(组)来解决.
[方法迁移] 设{an}是等比数列,且a2+a3=2,a5+a6=-16,则公比q等于(　　)
A.-2 B.2 C.-8 D.8
【答案】 A
【解析】 由题得,{an}是等比数列,又a2+a3=2,a5+a6=-16,
则a1q+a1q2=2,a1q4+a1q5=-16,即a1q(1+q)=2,a1q4(1+q)=-16,
可得q3=-8,即q=-2.故选A.
题型三　等比中项及其应用
[例3] (多选)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么(　　)
A.b=3 B.b=-3
C.ac=9 D.ac=-9
【答案】 BC
【解析】 由题意得b2=ac,a2=-b>0,c2=-9b>0,故b4=9b2,b=-3,ac=b2=9.故选BC.
(1)由等比中项的定义可知= G2=ab G=±,所以只有a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中项.
(2)在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
[方法迁移] 在等比数列{an}中,a1=8,q=,则a4与a8的等比中项是(　　)
A.± B.4 C.±4 D.
【答案】 A
【解析】 由an=8×()n-1=()n-4知,a4=1,a8=,所以a4与a8的等比中项是±.故选A.
课时作业
1.已知在数列{an}中,an=3an+1,a1=3,则a6等于(　　)
A.()4 B.()5 C.36 D.37
【答案】 A
【解析】 由题意得=,故{an}是公比为的等比数列,又a1=3,则a6=a1()5=()4.故选A.
2.若m是2和8的等比中项,则实数m的值是(　　)
A.5 B.-5或5
C.4 D.-4或4
【答案】 D
【解析】 依题意,m2=2×8,所以m=±4.故选D.
3.(2025·河北泊头期中)在等比数列{an}中,a4=a2a3=27,则a6等于(　　)
A.27 B.81 C.81 D.243
【答案】 D
【解析】 设数列{an}的公比为q,则a1q3=a1q·a1q2=27,解得a1=1,q=3,所以a6=a1q5=243.
故选D.
4.已知各项均为正数的等比数列{an},若a5=9,则log3a4+log3a6等于(　　)
A.3 B.4 C.8 D.9
【答案】 B
【解析】 由题意得a4a6==81,所以log3a4+log3a6=log3(a4a6)=log381=4.故选B.
5.(2025·安徽安庆期末)在等比数列{an}中,a1=2,a1+a2+a3=6,则a6+a7+a8等于(　　)
A.6 B.192
C.-6或192 D.6或-192
【答案】 D
【解析】 由题意,n∈N*,在等比数列{an}中,a1=2,a1+a2+a3=6,
设公比为q,所以a1+a1q+a1q2=6,即2+2q+2q2=6,解得q=-2或q=1,
所以a6+a7+a8=(a1+a2+a3)q5=6q5,
当q=1时,a6+a7+a8=6,
当q=-2时,a6+a7+a8=-192.故选D.
6.(多选)在等比数列{an}中,a1a2=2,a3=4,则(　　)
A.{an}的公比为
B.{an}的公比为2
C.a3+a5=20
D.数列{log2}为递增数列
【答案】 BC
【解析】 设等比数列{an}的公比为q,依题意得解得所以an=2n-1,
故a3+a5=22+24=20,故A错误,B,C正确;
对于D,log2=1-n,则数列{log2}为递减数列,故D错误.故选BC.
7.在等比数列a,2a+2,3a+3,…中,a=　　　　.
【答案】 -4
【解析】 由题意,得(2a+2)2=a(3a+3),解得a=-4或a=-1,
当a=-1时,2a+2=0,3a+3=0,不满足条件.
当a=-4时,等比数列为-4,-6,-9,…,满足条件.所以a=-4.
8.(2025·陕西榆林模拟)已知在递增的等比数列{an}中,a1a2a3=1,++=,则数列{an}的通项公式为an=　　　　.
【答案】 2n-2
【解析】 设等比数列{an}的公比为q,因为 a1a2a3=1,所以=1,解得a2=1,
又++=,所以有由{an}是递增的等比数列,解得a1=,a3=2,
所以q==2, 即an=×2n-1=2n-2.
9.(人教B版选择性必修第三册P32例2)已知等比数列{an}的首项为a1=27,公比q=.
(1)求a8;
(2)判断18是不是这个数列中的项.如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
【解】 (1)由已知可得a8=a1q7=27×()7=.
(2)由题意得an=27×()n-1=()n-4,设18是数列{an}的第n项,则()n-4=18,
化简得32-n=2,因为这个方程无正整数解,所以18不是数列{an}中的项.
10.(1)在2和9之间插入两个数,使前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,试写出这个
数列;
(2)在320与5中间插入五个数,使这七个数成等比数列,求这个等比数列.
【解】 (1)设插入的两个数分别为a,b,即这四个数为2,a,b,9,
因为前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,所以解得或
所以这个数列为2,4,6,9或2,,-,9.
(2)设这个等比数列的公比为q,由题意得a1=320,a7=5,
所以320q6=5,解得q=或q=-,
当q=时,a2=320×=160,a3=160×=80,a4=80×=40,a5=40×=20,a6=20×=10,
当q=-时,a2=320×(-)=-160,a3=-160×(-)=80,a4=80×(-)=-40,
a5=-40×(-)=20,a6=20×(-)=-10,
所以这个等比数列为320,160,80,40,20,10,5或320,-160,80,-40,20,-10,5.
11.已知不等式x2-5x-6<0的解集中有三个整数解构成等比数列{an}的前三项,则数列{an}的第四项是(　　)
A.8 B.
C.8或2 D.8或
【答案】 D
【解析】 不等式x2-5x-6<0的解集为{x|-1若数列前三项为1,2,4,则第四项为8,若数列前三项为4,2,1,则第四项为.故选D.
12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若7a1+2S2=2S3,则等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 设等比数列{an}的公比为q,7a1+2S2=2S3,
则7a1+2a1+2a2=2(a1+a2+a3),==q2,故==.故选D.
13.(2025·江苏徐州期中)在①a3=5,a2+a5=6b2;②b2=2,a3+a4=3b3;③S3=9,a4+a5=8b2三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
已知等差数列{an}的公差为d(d>1),前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,且a1=b1,d=q,
　　　　,求数列{an},{bn}的通项公式.
【解】 选条件①:
因为a3=5,所以a1+2d=5,
因为a2+a5=6b2,a1=b1,d=q,所以2a1+5d=6a1d,
联立
解得或(舍去),
则a1=b1=1,d=q=2,
故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1.
选条件②:
因为b2=2,a1=b1,d=q,所以a1d=2,
因为a3+a4=3b3,所以2a1+5d=3a1d2,
联立
解得或(舍去),
则a1=b1=1,d=q=2,
故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1.
选条件③:
因为S3=9,
所以3a1+3d=9,
因为a4+a5=8b2,a1=b1,d=q,
所以2a1+7d=8a1d,
联立
解得或(舍去),
则a1=b1=1,d=q=2,
故an=a1+(n-1)d=2n-1,bn=b1qn-1=2n-1.
14.如图给出了一个“三角形数阵”,已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij(i,j∈N*),则a53的值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 第一列的数构成首项为,公差为的等差数列,所以a51=+(5-1)×=.又因为从第三行起每一行的数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第五行构成首项为,公比为的等比数列,所以a53=×()2=.故选C.

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