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(共32张PPT)
4.4*　数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点　数学归纳法
1.定义:一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行.
(1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立;
(2)(归纳递推)以“当 (k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当
时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
n=k
n=k+1
n0
2.证明形式:记P(n)是一个关于正整数n的命题.
条件:(1)P(n0)为真;(2)若P(k)(k∈N*,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真.
结论:P(n)为真.
疑难解惑
数学归纳法是一种直接证明的方法,一般地,与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项公式及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明,但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.
知识清点
1.(人教A版选择性必修第二册P51习题4.4 T1改编)用数学归纳法证明下列等式:1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1),在验证n=1成立时,左边所得的代数式是
(　　)
A.1 B.1+3
C.1+2+3 D.1+2+3+4
C
【解析】 当n=1时,2n+1=2×1+1=3,所以左边的代数式为1+2+3.故选C.
2.用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=n(2n+1)的过程中,从n=k推证n=k+1时,左边增加的代数式是(　　)
A.(2k+1)+(2k+2) B.4k+2
C.2k+2 D.2k+1
A
【解析】 根据数学归纳法的原理,当n=k时,等式为1+2+3+…+2k=k(2k+1),
当n=k+1时,等式为1+2+3+…+2k+(2k+1)+(2k+2)=(k+1)[2(k+1)+1],
则左边增加的代数式是(2k+1)+(2k+2).故选A.
B
4.用数学归纳法证明关于n的恒等式,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+
k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为
　.
1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2
【解析】 当n=k+1时,表达式左侧为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4),表达式右侧为(k+1)(k+2)2,
则当n=k+1时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2.
课堂探究·素养培育
题型一　对数学归纳法的理解
[例1] (1)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于　 .
6
【解析】 (1)由题意得,当n=1时,21<(1+1)2;当n=2时,22<(2+1)2;当n=3时,23< (3+1)2;当n=4时,24<(4+1)2;当n=5时,25<(5+1)2;当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于6.
未用归纳假设
【解析】 (2)本题在由n=k成立证明n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上归纳假设,这与数学归纳法的要求不符.
解题策略
数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,要正确分析式子中项数的变化,弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律,才能清楚增加了哪些项或增加了多少项以及减少了哪些项.
(3)利用假设是核心:在第二步证明n=k+1时,一定要利用归纳假设.
B
题型二　用数学归纳法证明等式
[例2] (苏教版选择性必修第一册P171例2)用数学归纳法证明:当n∈N*时, 1+3+5+…+(2n-1)=n2.
【证明】 (1)当n=1时,等式左边=1,等式右边=1,等式成立.
(2)假设当n=k时等式成立,即1+3+5+…+(2k-1)=k2,
那么,当n=k+1时,
有1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2.
这就是说,当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2)可知,对任何n∈N*,等式都成立.
解题策略
用数学归纳法证明等式的方法
题型三　用数学归纳法证明不等式
[例3] (北师大版选择性必修第二册P41例3)用数学归纳法证明:(1+α)n≥1+nα
(其中α>-1,n∈N*).
【证明】 (1)当n=1时,左边=1+α,右边=1+α,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时,
命题成立,即(1+α)k≥1+kα.
那么,当n=k+1时,
因为α>-1,
所以1+α>0.
根据假设知,(1+α)k≥1+kα,
所以(1+α)k+1=(1+α)k(1+α)≥(1+kα)(1+α)=1+(k+1)α+kα2.
因为kα2≥0,
所以1+(k+1)α+kα2≥1+(k+1)α.
从而(1+α)k+1≥1+(k+1)α.
这表明,当n=k+1时命题也成立.
根据(1)和(2),该命题对于任意正整数n都成立.
解题策略
用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点
题型四　归纳——猜想——证明
(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想.
解题策略
(1)“归纳——猜想——证明”的一般环节.
解题策略
(2)“归纳——猜想——证明”的主要题型.
①已知数列的递推公式,求通项公式或前n项和;
②由一些恒成立的等式、不等式改编的探究性问题,以及求使命题成立的参数值问题;
③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.4.4数学归纳法
【课程标准要求】　
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
知识点　数学归纳法
1.定义:一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行.
(1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立;
(2)(归纳递推)以“当 n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当 n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
2.证明形式:记P(n)是一个关于正整数n的命题.
条件:(1)P(n0)为真;(2)若P(k)(k∈N*,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真.
结论:P(n)为真.
数学归纳法是一种直接证明的方法,一般地,与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项公式及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明,但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.
知识清点
1.(人教A版选择性必修第二册P51习题4.4 T1改编)用数学归纳法证明下列等式:1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1),在验证n=1成立时,左边所得的代数式是(　　)
A.1 B.1+3
C.1+2+3 D.1+2+3+4
【答案】 C
【解析】 当n=1时,2n+1=2×1+1=3,所以左边的代数式为1+2+3.故选C.
2.用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=n(2n+1)的过程中,从n=k推证n=k+1时,左边增加的代数式是(　　)
A.(2k+1)+(2k+2) B.4k+2
C.2k+2 D.2k+1
【答案】 A
【解析】 根据数学归纳法的原理,当n=k时,等式为1+2+3+…+2k=k(2k+1),
当n=k+1时,等式为1+2+3+…+2k+(2k+1)+(2k+2)=(k+1)[2(k+1)+1],
则左边增加的代数式是(2k+1)+(2k+2).故选A.
3.用数学归纳法证明1+++…+1)时,第一步应验证不等式(　　)
A.1+<2
B.1++<2
C.1++<3
D.1+++<3
【答案】 B
【解析】 第一步,当n=2时,验证不等式1++<2.故选B.
4.用数学归纳法证明关于n的恒等式,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为 　.
【答案】 1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2
【解析】 当n=k+1时,表达式左侧为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4),表达式右侧为(k+1)(k+2)2,
则当n=k+1时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2.
题型一　对数学归纳法的理解
[例1] (1)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于　　　　.
(2)用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下:
①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任意n∈N*,等式都成立.上述证明,错误是　　　　　　　　　　　　.
【答案】 (1)6　(2)未用归纳假设
【解析】 (1)由题意得,当n=1时,21<(1+1)2;当n=2时,22<(2+1)2;当n=3时,23<(3+1)2;当n=4时,24<(4+1)2;当n=5时,25<(5+1)2;当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于6.
(2)本题在由n=k成立证明n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上归纳假设,这与数学归纳法的要求不符.
数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,要正确分析式子中项数的变化,弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律,才能清楚增加了哪些项或增加了多少项以及减少了哪些项.
(3)利用假设是核心:在第二步证明n=k+1时,一定要利用归纳假设.
[方法迁移] 用数学归纳法证明“++…+≥”的过程中,从n=k(k∈N*)到n=k+1时,不等式的左边增加了(　　)
A.
B.+-
C.
D.++
【答案】 B
【解析】 用数学归纳法证明不等式++…+≥的过程中,假设当n=k时不等式成立,左边=++…+,
则当n=k+1时,左边=+…++++,
所以从n=k到n=k+1时,不等式的左边增加了++-=+-.故选B.
题型二　用数学归纳法证明等式
[例2] (苏教版选择性必修第一册P171例2)用数学归纳法证明:当n∈N*时,1+3+5+…+(2n-1)=n2.
【证明】 (1)当n=1时,等式左边=1,等式右边=1,等式成立.
(2)假设当n=k时等式成立,
即1+3+5+…+(2k-1)=k2,
那么,当n=k+1时,
有1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2.
这就是说,当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2)可知,对任何n∈N*,等式都成立.
用数学归纳法证明等式的方法
[方法迁移] 证明:++…+=(n∈N+).
【证明】 (1)当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即有
++…+=,
则当n=k+1时,
++…++=+===
=.
所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知,对一切n∈N+等式都成立.
题型三　用数学归纳法证明不等式
[例3] (北师大版选择性必修第二册P41例3)用数学归纳法证明:(1+α)n≥1+nα(其中α>-1,n∈N*).
【证明】 (1)当n=1时,左边=1+α,右边=1+α,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时,
命题成立,即(1+α)k≥1+kα.
那么,当n=k+1时,
因为α>-1,
所以1+α>0.
根据假设知,(1+α)k≥1+kα,
所以(1+α)k+1=(1+α)k(1+α)≥(1+kα)(1+α)=1+(k+1)α+kα2.
因为kα2≥0,
所以1+(k+1)α+kα2≥1+(k+1)α.
从而(1+α)k+1≥1+(k+1)α.
这表明,当n=k+1时命题也成立.
根据(1)和(2),该命题对于任意正整数n都成立.
用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点
[方法迁移] 用数学归纳法证明:++…+>1-+-+…+-(n∈N*).
【证明】 (1)当n=1时,左边=1,右边=1-=,左边>右边,所以不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立,
即++…+>1-+-+…+-,
则当n=k+1时,
++…++
>1-+-+…+-+
>1-+-+…+-+
=1-+-+…+-+-,
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)知,原不等式对任何n∈N*都成立.
题型四　归纳——猜想——证明
[例4] (2025·浙江嘉兴期中)已知在各项均为正数的数列{an}(n∈N*)中,数列的前n项和Sn满足Sn=(an+).
(1)求a1,a2,a3;
(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想.
【解】 (1)由S1=a1=(a1+)得=1,
因为an>0,所以a1=1;
由S2=a1+a2=(a2+),
得+2a2-1=0,所以a2=-1;
又由S3=a1+a2+a3=(a3+),
得+2a3-1=0,所以a3=-.
(2)猜想an=-.
下面用数学归纳法证明.
①当n=1时,a1=1=-,猜想成立;
②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=-,则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=(ak+1+)-(ak+),
即ak+1=(ak+1+)-(-+)=(ak+1+)-,
所以+2ak+1-1=0,
所以ak+1=-(ak+1=-- 舍去).即n=k+1时猜想也成立.
由①②知,an=-.
(1)“归纳——猜想——证明”的一般环节.
(2)“归纳——猜想——证明”的主要题型.
①已知数列的递推公式,求通项公式或前n项和;
②由一些恒成立的等式、不等式改编的探究性问题,以及求使命题成立的参数值问题;
③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
[方法迁移] (2025·陕西渭南期中)已知在数列{an}中,a1=,an+1=(n=1,2,3,…).
(1)求a2,a3,a4;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
【解】 (1)a2===,a3===,a4===.
(2)猜想数列{an}的通项公式为an=,下面用数学归纳法证明此结论正确.
①当n=1时,左边=a1=,右边==,结论成立;
②假设当n=k(k≥1)时,结论成立,
即ak=,
那么ak+1====,
也就是说,当n=k+1时结论成立.
根据①和②可知,结论对任意正整数n都成立,即an=.
课时作业
1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步应验证n等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】 边数最少的凸n边形是三角形.故选C.
2.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…+-=2(++…+)时,若已假设n=k(k≥2)为偶数时命题为真,则还需要用归纳假设再证(　　)
A.n=k+1时等式成立
B.n=k+2时等式成立
C.n=2k+2时等式成立
D.n=2(k+2)时等式成立
【答案】 B
【解析】 因为n为正偶数,所以当n=k时,下一个偶数为k+2.故选B.
3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”时,第二步归纳假设应写成(　　)
A.假设n=2k+1(k∈N*)时正确,再推证n=2k+3正确
B.假设n=2k-1(k∈N*)时正确,再推证n=2k+1正确
C.假设n=k(k∈N*)时正确,再推证n=k+2正确
D.假设n≤k(k∈N*)时正确,再推证n=k+2正确
【答案】 B
【解析】 因为命题为“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,所以第二步归纳假设应写成:假设n=2k-1(k∈N*)时正确,再推证n=2k+1正确.故选B.
4.(2025·河南驻马店期中)用数学归纳法证明不等式++…+>,从n=k到n=k+1时,不等式左边需要增加的项为(　　)
A. B.+
C.- D.-
【答案】 D
【解析】 根据数学归纳法可知,
当n=k时,++…+>,
当n=k+1时,++…+>,
相比从n=k到n=k+1,不等式左边多增加的项为+-=-.故选D.
5.(2025·甘肃嘉峪关期中)用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为(　　)
A.5(5k-2k)+3×2k
B.(5k-2k)+4×5k-2k
C.(5-2)(5k-2k)
D.2(5k-2k)-3×5k
【答案】 A
【解析】 假设当n=k时命题成立,即5k-2k能被3整除,
则当n=k+1时,5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.故选A.
6.若命题A(n)(n∈N*)在n=k(k∈N*)时成立,则有n=k+1时命题也成立.现知命题对n=n0(n0∈N*)成立,则有(　　)
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立
C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立
D.以上说法都不正确
【答案】 C
【解析】 由已知得当n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有n=n0+1时命题成立.在n=n0+1时命题成立的前提下,又可推得n=(n0+1)+1时命题也成立,依此类推,可知选C.
7.利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1),n∈N,n≥1”,从“n=k”变到“n=k+1”时,左边应增乘的因式是　　　　.
【答案】 2(2k+1)
【解析】 当n=k时,左边式子为(k+1)(k+2)…(k+k),
当n=k+1时,左边式子为(k+2)(k+3)…(k+k)·(2k+1)(2k+2),
故左边增乘的因式是=2(2k+1).
8.若数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n=1,2,3,…),则a5=　　　　,归纳猜想an=　　　　.
【答案】 31　2n-1
【解析】 因为an+1=2an+1(n=1,2,3,…),且a1=1,
所以a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2×15+1=31.猜想an=2n-1,用数学归纳法证明:①当n=1时,显然猜想成立;②假设当n=k时,ak=2k-1成立,则ak+1=2ak+1=2×(2k-1)+1=2k+1-1.故n=k+1时,猜想也成立.综上,对所有正整数n,都有an=2n-1.
9.证明:+++…++=1-(n∈N*).
【证明】 (1)当n=1时,左边=,右边=1-=,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即+++…++=1-,
那么当n=k+1时,+++…+++=1-+=1-=1-.
所以当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任意n∈N*都成立.
10.若各项均为正数的数列{xn}对一切n∈N*均满足xn+<2.证明:xn>1-.
【证明】 因为xn>0,且对一切n∈N*均满足xn+<2,即<2-xn,则2-xn>0,所以0.
以下用数学归纳法证明:
①当n=1时,xn>0显然成立;
②假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即xk>1-;
③当n=k+1时,xk+1>>==1-,即当n=k+1时不等式也成立.
综上可得,对一切n∈N*均满足xn>1-.
11.(多选)已知一个命题p(k),k=2n(n∈N*),若当n=1,2,…,1 000时,p(k)成立,且当n=1 001 时也成立,则下列判断中正确的是(　　)
A.p(k)对k=528成立
B.p(k)对每一个自然数k都成立
C.p(k)对每一个正偶数k都成立
D.p(k)对某些偶数可能不成立
【答案】 AD
【解析】 由题意知p(k)对k=2,4,6,…,2 002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立.
故选AD.
12.用数学归纳法证明>对任意的n≥k(n,k∈N*)都成立,则k的最小值为　　　　.
【答案】 3
【解析】 由题意得(n+1)(2n-1)>n(2n+1),即2n>2n+1,
当n=1时,2<3,不符合;
当n=2时,4<5,不符合;
当n=3时,23>7,不等式成立;
当n=4时,24>9,不等式成立;
当n>4时,根据指数函数与一次函数的性质可得2n>2n+1.
所以满足题意的k的最小值为3.
13.试比较2n+2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.
【解】 当n=1时,21+2=4>n2=1;当n=2时,22+2=6>n2=4;当n=3时,23+2=10>n2=9;当n=4时,24+2=18>n2=16,由此可以猜想,2n+2>n2成立.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,左边=21+2=4,右边=1,所以左边>右边,所以原不等式成立;
当n=2时,左边=22+2=6,右边=22=4,所以左边>右边,所以原不等式成立;
当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,所以左边>右边,所以原不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥3且k∈N*)时,不等式成立,即2k+2>k2.
那么当n=k+1时,2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.
又2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,即2k2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立.根据(1)和(2),原不等式对于任意n∈N*都成立.
14.(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么下列命题不成立的是(　　)
A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
【答案】 ABC
【解析】 对于A,若f(3)≥9成立,由题意只可得出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A符合题意;
对于B,若f(5)≥25成立,则当k≥5时,均有f(k)≥k2成立,故B符合题意;
对于C,因为f(7)<49不满足题设条件,故不能得出相应结论,故C符合题意;
对于D,若f(4)=25>16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立,故D不符合题意.故选ABC.

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