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第3课时　等比数列的性质及应用
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质,并能运用这些性质简化运算.
2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
3.掌握等比数列的综合应用问题.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点　等比数列的常用性质
1.等比数列通项公式的推广和变形:an= .
2.设数列{an}为等比数列,
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 .
(2)若m,p,n成等差数列,则 成等比数列.
amqn-m
ak·al=am·an
am,ap,an
温馨提示
(1)性质的推广:若m+n+p=x+y+z,有amanap=axayaz.
(2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数和相同.
(3)在有穷等比数列中,与首、末两项等距离的两项之积都相等,即a1·an= a2·an-1=….
知识清点
1.(人教A版选择性必修第二册P30例2改编)在等比数列{an}中,若a3=8,公比q=2,则a6等于(　　)
A.8 B.16
C.32 D.64
D
【解析】 由题意得a6=a3q3=8×8=64.故选D.
2.已知数列{an}是等比数列,若a1=2,a2a3=32,则a4的值为(　　)
A.-4 B.-2
C.4 D.16
D
3.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=　　　　.
1
4.在数列1,x,y,15中,若1,x,y成等比数列,且x,y,15成等差数列,则x,y的值分别是
　　　　.
课堂探究·素养培育
题型一　等比数列的性质及应用
解题策略
利用等比数列的性质解题
(1)基本思路:充分发挥项的下标的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.
(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
B
题型二　灵活设项求解等比数列
[例2] 有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们的和为12,求这四个数.
解题策略
几个数成等比数列的设法
[方法迁移] 有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列,则这四个数的和是　　　　.
45
题型三　等差、等比数列的综合应用
(2)记数列{bn}前n项的乘积为Tn,试问:Tn是否有最大值 如果有,请求出此时n的值以及最大值;若没有,请说明理由.
解题策略
解决等差、等比数列综合问题的基本策略
(1)灵活运用等差数列、等比数列公式和性质.
(2)对于解答题,注意基本量间方程思想的运用.
(3)注重问题的转化,利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列,以便利用公式和性质解题.
(4)当题中出现两个或两个以上数列时,既要纵向考虑单一数列的项与项之间的关系,又要横向考虑各数列之间的内在联系.
[方法迁移] 在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.
(1)求d,q的值;
(2)是否存在常数a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.第3课时　等比数列的性质及应用
【课程标准要求】　
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质,并能运用这些性质简化运算.
2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
3.掌握等比数列的综合应用问题.
知识点　等比数列的常用性质
1.等比数列通项公式的推广和变形:an=amqn-m.
2.设数列{an}为等比数列,
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.
(2)若m,p,n成等差数列,则am,ap,an成等比数列.
(1)性质的推广:若m+n+p=x+y+z,有amanap=axayaz.
(2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数和相同.
(3)在有穷等比数列中,与首、末两项等距离的两项之积都相等,即a1·an=a2·an-1=….
知识清点
1.(人教A版选择性必修第二册P30例2改编)在等比数列{an}中,若a3=8,公比q=2,则a6等于(　　)
A.8 B.16 C.32 D.64
【答案】 D
【解析】 由题意得a6=a3q3=8×8=64.故选D.
2.已知数列{an}是等比数列,若a1=2,a2a3=32,则a4的值为(　　)
A.-4 B.-2 C.4 D.16
【答案】 D
【解析】 因为{an}是等比数列,所以a1a4=a2a3,所以a4==16.故选D.
3.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=　　　　.
【答案】 1
【解析】 由等比数列的性质,知=a3a11=16.又数列{an}的各项都是正数,所以a7=4.又a7=a5×q2,则a5==1.
4.在数列1,x,y,15中,若1,x,y成等比数列,且x,y,15成等差数列,则x,y的值分别是　　　　.
【答案】 或
【解析】 1,x,y成等比数列,且x,y,15成等差数列,则x2=y,2y=x+15,联立得到2x2=x+15,解得x=3或x=-.
当x=3时,y=9,此时1,3,9成等比数列,且3,9,15成等差数列,符合题意;
当x=-时,y=,此时1,-,成等比数
列,且-,,15成等差数列,符合题意.
综上所得,x,y的值分别是或
题型一　等比数列的性质及应用
[例1] (人教B版选择性必修第三册P34例7)在4与之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的3个数.
【解】 法一　依题意,a1=4,a5=,由等比数列的通项公式,得=4×q4,解得q=±.
当q=时,插入的3个数分别为
4×=2,2×=1,1×=;
当q=-时,插入的3个数分别为
4×(-)=-2,(-2)×(-)=1,1×(-)=-.
因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-.
法二　因为等比数列共有5项,即a1,a2,a3,a4,a5,
又因为2×3=1+5,所以=a1a5=4×=1,
即a3=±1.
又因为a3与a1同号,所以a3=1.
类似地,有=a1a3,=a3a5,而且a2与a4同号,因此当a2===2时,
a4===;
当a2=-=-=-2时,
a4=-=-=-.
因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-.
利用等比数列的性质解题
(1)基本思路:充分发挥项的下标的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.
(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
[方法迁移] (2025·安徽黄山一模)在等比数列{an}中,a1,a13是方程x2-13x+9=0的两根,则的值为(　　)
A. B.3
C.± D.±3
【答案】 B
【解析】 因为a1,a13是方程x2-13x+9=0的两根,所以a1a13=9,a1+a13=13,
所以a1>0,a13>0,又{an}为等比数列,则a7=a1q6>0,又a1a13=a2a12==9,
所以a7=3或a7=-3(舍去),所以=a7=3.故选B.
题型二　灵活设项求解等比数列
[例2] 有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们的和为12,求这四个数.
【解】 法一　设前三个数分别为,a,aq,则·a·aq=216,所以a=6.
因此前三个数为,6,6q.由题意知第四个数为12q-6.所以6+6q+12q-6=12,解得q=.
故所求的四个数为9,6,4,2.
法二　设后三个数为4-d,4,4+d,则第一个数为(4-d)2,由题意知(4-d)2×(4-d)×4=216,解得d=-2.
故所求得的四个数为9,6,4,2.
几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为,a,aq.
推广到一般:奇数个数成等比数列设为…,,,a,aq,aq2,….
(2)四个符号相同的数成等比数列设为,,aq,aq3.
推广到一般:偶数个符号相同的数成等比数列设为…,,,,aq,aq3,aq5,….
(3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号是否相同时,可设为a,aq,aq2,aq3.
[方法迁移] 有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列,则这四个数的和是　　　　.
【答案】 45
【解析】 设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,则a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差数列.
即
整理得解得
因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为45.
题型三　等差、等比数列的综合应用
[例3] (2025·福建福州期末)已知等比数列{an}的首项a1=16,公比q=,在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2)记数列{bn}前n项的乘积为Tn,试问:Tn是否有最大值 如果有,请求出此时n的值以及最大值;若没有,请说明理由.
【解】 (1)由已知得,数列{bn}的首项b1=16,b5=a2=16×=1,
设数列{bn}的公比为q1(q1>0),即===,所以q1=,
即bn=b1=16×()n-1=25-n.
(2)Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·25-n=24+3+2+…+(5-n)===
,
即当n=4或n=5时,Tn有最大值=210=1 024.
解决等差、等比数列综合问题的基本策略
(1)灵活运用等差数列、等比数列公式和性质.
(2)对于解答题,注意基本量间方程思想的运用.
(3)注重问题的转化,利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列,以便利用公式和性质解题.
(4)当题中出现两个或两个以上数列时,既要纵向考虑单一数列的项与项之间的关系,又要横向考虑各数列之间的内在联系.
[方法迁移] 在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.
(1)求d,q的值;
(2)是否存在常数a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)由a2=b2,a8=b3,得
即
解方程组得或(舍去),所以d=5,q=6.
(2)由(1)知an=1+(n-1)·5=5n-4,bn=b1qn-1=6n-1.
由an=logabn+b,得5n-4=loga6n-1+b,
即5n-4=nloga6+b-loga6,
所以解得
所以存在a=,b=1,使得对一切自然数n,都有an=logabn+b成立.
课时作业
1.(2025·江苏镇江期中)在等比数列{an}中,若a5=4,a7=8,则a11等于(　　)
A.-32 B.-16 C.16 D.32
【答案】 D
【解析】 设等比数列{an}的公比为q,因为=q2=2,所以a11=a7·q4=a7·(q2)2=8×22=32.故选D.
2.已知公差不为0的等差数列的第3,6,10项依次构成一个等比数列,则该等比数列的公比为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 设等差数列为{an},公差为d≠0,由题意可知a3,a6,a10成等比数列,设公比为q,
则可得两式作比可得=,解得q=.故选C.
3.已知等比数列{an}为递增数列,若a3·a6=6,a4+a5=5,则公比q等于(　　)
A. B.6 C. D.
【答案】 D
【解析】 由a4+a5=5,a3·a6=a4·a5=6,解得或
因为数列{an}是由正数组成的递增数列,所以且q>0,所以q=.故选D.
4.(2025·河南郑州期末)在各项均为正数的等比数列{an}中,a8与a10的等比中项为2,则log2a6+log2a12等于(　　)
A.4 B.3 C.1 D.2
【答案】 D
【解析】 因为a8与a10的等比中项为2,所以a8a10=22=4,
所以log2a6+log2a12=log2(a6·a12)=log2(a8·a10)=log24=2.故选D.
5.(2025·福建漳州期中)已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,若a1+a2+a12=12,
b1b3b11=27,则等于(　　)
A. B. C.1 D.
【答案】 C
【解析】 在等差数列{an}中,设公差为d,由a1+a2+a12=12,
即a1+a1+d+a1+11d=3a1+12d=3(a1+4d)=3a5=12,则a5=4.
在等比数列{bn}中,设公比为q,由b1b3b11=27,即b1b3b11=b1·b1q2·b1q10=q12=(b1q4)3==27,
则b5=3.
把a5=4,b5=3代入,得==1.故选C.
6.(多选)已知等比数列{an},则下列式子对任意正整数k都成立的是(　　)
A.ak·ak+1>0
B.ak·ak+2>0
C.ak·ak+1·ak+2>0
D.ak·ak+1·ak+2·ak+3>0
【答案】 BD
【解析】 对于A,当q<0时,ak·ak+1<0,A不成立;对于B,ak·ak+2=(akq)2>0,B成立;对于C,若ak+1<0,则ak·ak+1·ak+2=(ak+1)3<0,C不成立;对于D,ak·ak+1·ak+2·ak+3=(ak+1·ak+2)2>0,D成立.故选BD.
7.已知数列{an}为等比数列,数列{bn}为等差数列,若a2a7a12=3,b1+b7+b13=6π,则tan =
　　　　.
【答案】
【解析】 由等比数列的性质知a2a7a12==3,解得a7=,又数列{bn}为等差数列,
b1+b7+b13=3b7=6π,解得b7=2π,又b2+b12=2b7=4π,a3a11==3,所以tan =tan =tan =.
8.已知三个数成等比数列,其积为512,若第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列,则原来的三个数的和等于　　　　.
【答案】 28
【解析】 设原来的三个数依次为,a,aq,因为·a·aq=512,所以a=8.
又第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列,
所以(-2)+(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,解得q=2或q=,
所以原来的三个数依次为4,8,16或16,8,4.
因为4+8+16=16+8+4=28,所以原来的三个数的和等于28.
9.已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.
【解】 因为{an}为等比数列,所以a1·a9=a3·a7=64.又a3+a7=20,所以a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.设数列{an}的公比为q,
①当a3=4,a7=16时,=q4=4,此时a11=a3q8=4×42=64;
②当a3=16,a7=4时,=q4=,此时a11=a3q8=16×()2=1.
综上所述,a11的值为64或1.
10.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S1+1,S3,S4成等差数列,且a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若S4,S6,Sn成等比数列,求n的值及此等比数列的公比.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0).
因为S1+1,S3,S4成等差数列,且a1,a2,a5成等比数列,
所以2S3=S1+1+S4,=a1a5,即a2+a3=1+a4,(a1+d)2=a1(a1+4d),
解得a1=1,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)由(1)可得Sn==n2,所以S4=42=16,S6=62=36,
所以此等比数列的公比q==.
因为S4,S6,Sn成等比数列,所以=S4·Sn,所以362=16n2,解得n=9.
11.在正项等差数列{an}和正项等比数列{bn}中,有a1=b1,a2k-1=b2k-1,则ak与bk的大小关系为(　　)
A.ak>bk B.akC.ak≥bk D.ak≤bk
【答案】 C
【解析】 由题意知,在正项等比数列{bn}中,b1b2k-1=,b1+b2k-1≥2,当且仅当b1=b2k-1时,等号成立,所以ak==≥=bk,当且仅当b1=b2k-1时,等号成立.故选C.
12.设共有4项的数列{an}的前3项成等比数列,其和为m,后3项成等差数列,其和为6,则实数m的取值范围为(　　)
A.[6,+∞) B.[,+∞)
C.(-∞,-6] D.[2,+∞)
【答案】 B
【解析】 因为后3项成等差数列,其和为6,所以可设公差为d,后3项可依次写成2-d,2,2+d.又前3项成等比数列,所以根据等比中项的性质,可知第1项为,所以数列{an}为,2-d,2,2+d.所以m=+2-d+2=d2-3d+6=(d-3)2+≥.则m的取值范围为[,+∞).故选B.
13.(2025·山东青岛期中)记数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a2是a1和a4的等比
中项.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若数列{bn}满足b1=a1-1,b2=a3+3,bn+2=3bn+1-2bn-10.
①求证:{bn+1-bn-10}为等比数列;
②求bn取最大值时n的值.
(1)【解】 设{an}的公差为d,则(a1+d)2=a1(a1+3d),
所以d2-a1d=0,即d2-2d=0,而d≠0,故d=2,故an=2+(n-1)×2=2n.
(2)①【证明】 b1=a1-1=1,b2=a3+3=9,
而bn+2=3bn+1-2bn-10,故bn+2-bn+1-10=2(bn+1-bn-10),
而b2-b1-10=-2≠0,即bn+1-bn-10≠0,所以=2,
所以{bn+1-bn-10}是公比为2,首项为-2的等比数列.
②【解】 由①可得bn+1-bn-10=-2×2n-1=-2n,所以bn+1-bn=10-2n,
故当1≤n≤3时,bn+1-bn>0;当n≥4时,bn+1-bn<0,
故b1b5>…>bn>…,
所以bn取最大值时n的值为4.
14.(2025·江苏泰州期中)高斯是历史上著名的数学家之一,在他读小学进行1+2+3+…+100的求和运算时,他是这样算的:1+100=101,2+99=101,…,50+51=101,共有50组,所以50×101=5 050.这就是高斯算法,课本上推导等差数列前n项和公式的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列{an}是公比不等于1的等比数列,且a1a2 026=1,请根据提示探求:若f(x)=,则f(a1)+f(a2)+…+
f(a2 026)等于(　　)
A.1 011 B.2 026 C.1 013 D.2 022
【答案】 C
【解析】 根据a1a2 026=1可得a2 026=,所以f(a1)+f(a2 026)=+=+=+=1.
由等比数列性质可得a1a2 026=a2a2 025=a3a2 024=…=a1 013a1 014=1,
因此可得f(a1)+f(a2)+…+f(a2 026)=f(a1)+f(a2 026)+f(a2)+f(a2 025)+…+f(a1 013)+f(a1 014)=1 013.
故选C.

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