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(共21张PPT)
5.2.2　导数的四则运算法则
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程,能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点一　f(x)±g(x)的导数
两个函数f(x)和g(x)的和(或差)的导数:[f(x)±g(x)]′= .
f′(x)±g′(x)
「知识拓展」
导数的加法与减法法则,可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化),即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′=u′(x)±v′(x)±…±w′(x).
1.两个函数f(x)和g(x)的乘积的导数:[f(x)g(x)]′= ,特别地,常数与函数积的导数为[cf(x)]′= .
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
cf′(x)
温馨提示
知识清点
1.(人教A版选择性必修第二册P78练习T2(2)改编)若函数f(x)=3x+cos x,则
(　　)
A.f′(x)=3x+sin x
B.f′(x)=3x-sin x
C.f′(x)=3xln 3+sin x
D.f′(x)=3xln 3-sin x
D
【解析】 因为函数f(x)=3x+cos x,所以f′(x)=3xln 3-sin x.故选D.
B
A
4.已知函数f(x)=lg x-ex,则f′(x)=　 .
课堂探究·素养培育
题型一　利用运算法则求函数的导数
[例1] (北师大版选择性必修第二册P71例5)求下列函数的导数:
(1)y=x2(ln x+sin x);
解题策略
利用导数的四则运算法则求函数导数的策略
(1)分析待求导的式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合而成的,确定求导法则,结合导数公式进行求导.
(2)如果待求导的式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和、差式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差式求导,尽量少用积、商的求导法则求导.
[方法迁移] 求下列函数的导数:
(1)y=(x2+1)(x-1);
【解】 (1)因为y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1,所以y′=3x2-2x+1.
(2)y=x2+tan x;
题型二　导数四则运算法则的应用
D
1
解题策略
(1)解决有关切线问题的关注点.
①此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他的条件可以转化为这三个要素间的关系;
②分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点.
解题策略
(2)含f′(c)函数的求导问题的解决策略.
含f′(c)函数在求导时一定要抓住f′(c)为常数这一特点,也就是说,不管应用加、减、乘、除哪一种求导法则,求导时,把f′(c)一律充当常系数处理.
(3)解决有关实际应用问题的关键.
准确利用求导法则求出导函数是解决此类实际问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.
[方法迁移] 假设某车开始行驶的一段时间内,速度v(单位:m/s)与行驶时间t
(单位:s)的关系为v=1.4t+0.3t2,t∈[0,12],则当t=10 s时,该车的加速度为(　　)
A.4.4 m/s2 B.7.4 m/s2
C.17 m/s2 D.20 m/s2
【解析】 因为v=1.4t+0.3t2,t∈[0,12],所以v′=0.6t+1.4,故当t=10时,v′=6+1.4=
7.4,即t=10 s时,该车的加速度为7.4 m/s2.故选B.
B5.2.2　导数的四则运算法则
【课程标准要求】　
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程,能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数.
知识点一　f(x)±g(x)的导数
两个函数f(x)和g(x)的和(或差)的导数:[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).
知识拓展
导数的加法与减法法则,可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化),即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′=u′(x)±v′(x)±…±w′(x).
知识点二　f(x)g(x)和的导数
1.两个函数f(x)和g(x)的乘积的导数:[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),特别地,常数与函数积的导数为[cf(x)]′=cf′(x).
2.两个函数f(x)和g(x)的商的导数:[]′=(g(x)≠0).
(1)注意[]′≠.
(2)对于公式(logax)′=的推导,我们可以先换底再求导:(logax)′=()′=·(ln x)′=.
知识清点
1.(人教A版选择性必修第二册P78练习T2(2)改编)若函数f(x)=3x+cos x,则(　　)
A.f′(x)=3x+sin x
B.f′(x)=3x-sin x
C.f′(x)=3xln 3+sin x
D.f′(x)=3xln 3-sin x
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)=3x+cos x,所以f′(x)=3xln 3-sin x.故选D.
2.(2025·安徽阜阳月考)函数y=sin x的导数为(　　)
A.y′=2sin x+cos x
B.y′=+cos x
C.y′=+cos x
D.y′=-cos x
【答案】 B
【解析】 因为函数y=sin x,所以y′=()′sin x+(sin x)′=+cos x.故选B.
3.已知函数f(x)=,则f′(x)=(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=,所以f′(x)==,即f′(x)=.故选A.
4.已知函数f(x)=lg x-ex,则f′(x)=　 .
【答案】 -ex
【解析】 f′(x)=(lg x-ex)′=(lg x)′-(ex)′=-ex.
题型一　利用运算法则求函数的导数
[例1] (北师大版选择性必修第二册P71例5)求下列函数的导数:
(1)y=x2(ln x+sin x);
(2)y=.
【解】 (1)函数y=x2(ln x+sin x)是函数f(x)=x2与g(x)=ln x+sin x的积.
根据导数公式及求导的加法法则分别得出
f′(x)=2x,g′(x)=+cos x.
根据求导的乘法法则,可得
[x2(ln x+sin x)]′=2x(ln x+sin x)+x2(+cos x)=x+2xln x+2xsin x+x2cos x.
(2)函数y=是函数f(x)=cos x-x与g(x)=x2的商.
根据导数公式及求导的减法法则分别得出
f′(x)=-sin x-1,g′(x)=2x.
根据求导的除法法则,可得
()′=
=-
=-.
利用导数的四则运算法则求函数导数的策略
(1)分析待求导的式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合而成的,确定求导法则,结合导数公式进行求导.
(2)如果待求导的式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和、差式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差式求导,尽量少用积、商的求导法则
求导.
[方法迁移] 求下列函数的导数:
(1)y=(x2+1)(x-1);
(2)y=x2+tan x;
(3)y=.
【解】 (1)因为y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1,所以y′=3x2-2x+1.
(2)因为y=x2+,所以y′=(x2)′+()′=2x+=2x+.
(3)y′===.
题型二　导数四则运算法则的应用
[例2] (1)(2025·河北石家庄月考)记函数f(x)的导函数为f′(x),且f(x)=3xf′(2)-2ln x,则f(1)等于(　　)
A.1 B.2 C. D.
(2)曲线y=(x-1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的图形的面积为　 .
【答案】 (1)D　(2)1
【解析】 (1)f′(x)=3f′(2)-,所以f′(2)=3f′(2)-1,解得f′(2)=,所以f(x)=x-2ln x,所以f(1)=.
故选D.
(2)由题意可知,y′=x·ex,当x=1时,y′=2,所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
令x=0得y=-2;令y=0得x=1.
所以曲线y=(x-1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的图形的面积为S=×2×1=1.
(1)解决有关切线问题的关注点.
①此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他的条件可以转化为这三个要素间的关系;
②分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点.
(2)含f′(c)函数的求导问题的解决策略.
含f′(c)函数在求导时一定要抓住f′(c)为常数这一特点,也就是说,不管应用加、减、乘、除哪一种求导法则,求导时,把f′(c)一律充当常系数处理.
(3)解决有关实际应用问题的关键.
准确利用求导法则求出导函数是解决此类实际问题的第一步,也是解题的关键,务必做到
准确.
[方法迁移] 假设某车开始行驶的一段时间内,速度v(单位:m/s)与行驶时间t(单位:s)的关系为v=1.4t+0.3t2,t∈[0,12],则当t=10 s时,该车的加速度为(　　)
A.4.4 m/s2 B.7.4 m/s2
C.17 m/s2 D.20 m/s2
【答案】 B
【解析】 因为v=1.4t+0.3t2,t∈[0,12],所以v′=0.6t+1.4,故当t=10时,v′=6+1.4=7.4,即t=10 s时,该车的加速度为7.4 m/s2.故选B.
课时作业
1.(多选)下列运算中正确的是(　　)
A.(ax2+bx+c)′=a(x2)′+b(x)′
B.(sin x-2x2)′=(sin x)′-2′(x2)′
C.()′=
D.(cos x·sin x)′=(cos x)′sin x+cos x(sin x)′
【答案】 AD
【解析】 A项中,(ax2+bx+c)′=a(x2)′+b(x)′,故正确;
B项中,(sin x-2x2)′=(sin x)′-2(x2)′,故错误;
C项中,()′=,故错误;
D项中,(cos x·sin x)′=(cos x)′sin x+cos x·(sin x)′,故正确.故选AD.
2.(2025·江苏常州期末)已知曲线y=x2-(a∈R)在x=2处的切线斜率为2,则a=(　　)
A.-18 B.18 C.-8 D.8
【答案】 C
【解析】 y′=2x+,由题意得2×2+=2,解得a=-8.故选C.
3.(2025·福建福州期末)已知函数f(x)=x2-x·f′(1),则f′(2)等于(　　)
A.0 B.2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】 f′(x)=2x-f′(1),令x=1,得f′(1)=2×1-f′(1),得f′(1)=1,则f′(x)=2x-1,得f′(2)=2×2-1=3.
故选C.
4.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)等于(　　)
A.-1 B.-2 C.2 D.0
【答案】 B
【解析】 因为f′(x)=4ax3+2bx,f′(x)为奇函数,所以f′(-1)=-f′(1)=-2.故选B.
5.已知函数f(x)=(x-2 023)(x-2 024)(x-2 025)·(x-2 026),则f(x)的图象在x=2 025 处的切线方程为(　　)
A.2x+y-4 050=0
B.x+y-2 025=0
C.2x-y-4 050=0
D.x-y-2 025=0
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=(x-2 023)(x-2 024)(x-2 025)(x-2 026)=
(x-2 025)(x-2 023)(x-2 024)(x-2 026),
所以f′(x)=(x-2 023)(x-2 024)(x-2 026)+(x-2 025)[(x-2 023)(x-2 024)(x-2 026)]′,
所以f′(2 025)=2×1×(-1)=-2,
又f(2 025)=0,所以f(x)的图象在x=2 025处的切线方程为y=-2(x-2 025),即2x+y-4 050=0.
故选A.
6.(多选)如果函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0,那么x0可以是(　　)
A.a B.0 C.-a D.a2
【答案】 AC
【解析】 y′=()′==,由-a2=0得x0=±a.故选AC.
7.已知函数f(x)=
若f′(a)=12,则实数a的值为　　　　.
【答案】 或-4
【解析】 f′(x)=若f′(a)=12,则-=12(08.(2025·云南曲靖期中)若曲线f(x)=aln x-+b在点(1,f(1))处的切线方程是2x-y-2=0,则a+b=　　　　.
【答案】 2
【解析】 函数的定义域为(0,+∞),
由曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是2x-y-2=0得切线斜率为2,f(1)=0,
由f(x)=aln x-+b得f′(x)=+,所以f′(1)=a+1=2,解得a=1,
又f(1)=0-1+b=0,解得b=1,所以a+b=2.
9.求下列函数的导数.
(1)y=ln x+;
(2)y=;
(3)f(x)=(x2+9)(x-);
(4)f(x)=.
【解】 (1)y′=(ln x+)′=(ln x)′+()′=-.
(2)y′=()′==-.
(3)f(x)=x3+6x-,f′(x)=3x2++6.
(4)f′(x)=
==.
10.已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f′(x)=2x-8.
(1)求a,b的值;
(2)设函数g(x)=exsin x+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.
【解】 (1)因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0),
所以f′(x)=2ax+b,
又f′(x)=2x-8,所以a=1,b=-8.
(2)由(1)可知g(x)=exsin x+x2-8x+3,
所以g′(x)=exsin x+excos x+2x-8,
所以g′(0)=e0sin 0+e0cos 0+2×0-8=-7,
又g(0)=3,所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0),即7x+y-3=0.
11.(2025·河南新乡期末)若曲线y=x3+x+3在点(1,5)处的切线与曲线y=ln x+ax在点(1,a)处的切线平行,则a等于(　　)
A.3 B.2 C. D.
【答案】 A
【解析】 由y=x3+x+3,得y′=3x2+1,当x=1时,y′=3+1=4;由y=ln x+ax,得y′=+a,当x=1时,y′=1+a.曲线y=x3+x+3在点(1,5)处的切线与曲线y=ln x+ax在点(1,a)处的切线平行,则4=1+a,得a=3.故选A.
12.现有一倒放圆锥形容器,该容器深24 m,底面直径为6 m,水以5π m3/s的速度流入,则当水流入时间为1 s时,水面上升的速度为　　　　 m/s.
【答案】
【解析】 如图,设注入水后水面高度为h,水面所在圆的半径为r,=,即r=.
因为水的体积为πr2h=v水流t=5πt,即h=4,h′(t)=4×,
所以当t=1时,h′(1)=,
即当水流入时间为1 s时,水面上升的速度为 m/s.
13.已知函数f(x)=,且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若P(x0,y0)为f(x)图象上的任意一点,直线l与f(x)的图象相切于点P,求直线l的斜率k的取值范围.
【解】 (1)由题意得f′(x)=
=
=,
因为f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切,所以解得
则f(x)=.
(2)由(1)可得,f′(x)=,所以直线l的斜率k=f′(x0)==4[-],
令t=,则t∈(0,1],所以k=4(2t2-t)=8(t-)2-,
则在对称轴t=处取到最小值-,在t=1处取到最大值4,
所以直线l的斜率k的取值范围是[-,4].
14.(多选)(2025·河南南阳期中)小亮研究函数f(x)的图象与导函数,经查阅资料,发现f(x)具有下面的性质:若函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x),且f′(x)在(a,b)上也存在导函数,则称函数y=f(x)在(a,b)上存在二阶导函数,简记为y=f″(x).若在区间(a,b)上f″(x)>0,则称函数y=f(x)在区间(a,b)上为“凹函数”.请你根据以上信息和所学知识,判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有(　　)
A.f(x)=2x+1 B.f(x)=x3
C.f(x)=x2+1 D.f(x)=-lg x
【答案】 CD
【解析】 对于A,f(x)=2x+1,定义域为R,其导数f′(x)=2,则f″(x)=0,不符合“凹函数”的定义,故A错误;
对于B,f(x)=x3,定义域为R,其导数f′(x)=3x2,则f″(x)=6x,在定义域R上f″(x)>0不恒成立,不符合“凹函数”的定义,故B错误;
对于C,f(x)=x2+1,定义域为R,其导数f′(x)=2x,则f″(x)=2>0在R上恒成立,符合“凹函数”的定义,故C正确;
对于D,f(x)=-lg x,定义域为(0,+∞),其导数f′(x)=-,则f″(x)=>0在(0,+∞)上恒成立,符合“凹函数”的定义,故D正确.故选CD.

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