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(共25张PPT)
5.2　导数的运算
5.2.1　基本初等函数的导数
2.掌握导数的基本运算规则,能求简单函数的导数.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点一　几个常用函数的导数
0
1
2x
3x2
知识点二　基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f′(x)=
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f′(x)=
f(x)=sin x f′(x)=
f(x)=cos x f′(x)=
0
αxα-1
cos x
-sin x
axln a
ex
温馨提示
知识清点
B
A
【解析】 因为f(x)=2x,所以f′(x)=2xln 2,所以f′(1)=2ln 2.故选A.
3.曲线f(x)=x2在点A(2,4)处的切线斜率为(　　)
A.4 B.16 C.8 D.2
A
【解析】 函数f(x)=x2的导数为f′(x)=2x,所以曲线在A(2,4)处的切线斜率k=
f′(2)=2×2=4.故选A.
4.(人教A版选择性必修第二册P75练习T3改编)曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线方程是　　　　　　.
x-y-2π=0
【解析】 由y=sin x,得y′=(sin x)′=cos x,
所以曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线斜率为k=cos 2π=1,
所以曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线方程是y-0=1×(x-2π),即x-y-2π=0.
课堂探究·素养培育
题型一　利用导数公式求函数的导数
[例1] 求下列函数的导数:
(1)y=x0(x≠0);
【解】 (1)y′=0.
(2)y=lg x;
解题策略
求简单函数的导函数的基本方法
(1)用导数的定义求导,但运算比较繁琐.
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程,降低运算难度.解题时根据所给问题的结构特点,先将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.比如:根式化为分数指数幂后求导,三角函数解析式可以化简的,先化简后求导.
[方法迁移] 求下列函数的导数:
(1)y=2 026;
【解】 (1)因为y=2 026,所以y′=(2 026)′=0.
(3)y=6x;
【解】 (3)因为y=6x,所以y′=6xln 6.
(4)y=log3x.
题型二　利用导数公式解决切线问题
解题策略
利用导数公式解决切线问题要注意以下两种情况.
(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
(2)若已知点不是切点,则步骤如下:
[方法迁移1] 已知y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线,则k=　　　　.
[方法迁移2] 求曲线y=ln x过点O(0,0)的切线方程.
题型三　导数公式的实际应用
[例3] 某平台订阅用户数近10年间年均上涨率为10%,订阅用户数p(单位:万人)与时间t(单位:年)有如下函数关系:p(t)=p0(1+10%)t,假定p0=1,那么在第5年,订阅用户数上涨的速度大约是多少 (精确到0.01万人/年)
(参考数据:1.15≈1.611,ln 1.1≈0.095)
【解】 由题意得p′(t)=1.1tln 1.1,
所以p′(5)=1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万人/年),
所以在第5年,该平台订阅用户数上涨的速度大约是0.15万人/年.
解题策略
由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化速度,就是求相关函数在某点处的导数.
[方法迁移] 在室内的某种细菌开始增加时使用杀菌剂,刚开始使用时,细菌数量还会继续增加,随着时间的增长,细菌数量增加的幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.已知使用杀菌剂t h后的细菌数量为f(t)=105+104t-103t2,求细菌数量在第5 h时的变化速度.
【解】 依题意,f(t)=105+104t-103t2,
所以f′(t)=-2 000t+10 000,则f′(5)=-2 000×5+10 000=0,
所以细菌数量在第5 h时的变化速度为0.5.2.1　基本初等函数的导数
【课程标准要求】　
1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.
2.掌握导数的基本运算规则,能求简单函数的导数.
知识点一　几个常用函数的导数
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f′(x)=0
f(x)=x f′(x)=1
f(x)=x2 f′(x)=2x
f(x)=x3 f′(x)=3x2
f(x)= f′(x)=-
f(x)= f′(x)=
知识点二　基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f′(x)=0
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f′(x)=αxα-1
f(x)=sin x f′(x)=cos x
f(x)=cos x f′(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=axln a
f(x)=ex f′(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f′(x)=
f(x)=ln x f′(x)=
对于根式f(x)=,要先转化为f(x)=,然后再求导得f′(x)=.
知识清点
1.(2025·天津和平月考)下列各式正确的是(　　)
A.(cos x)′=sin x
B.(ax)′=axln a(a>0,且a≠1)
C.(sin )′=cos
D.(x-5)′=-x-6
【答案】 B
【解析】 (cos x)′=-sin x,A错误;(ax)′=axln a(a>0,且a≠1),B正确;sin 是个常数,所以(sin )′=
0,C错误;(x-5)′=-5x-6,D错误.故选B.
2.函数y=2x在x=1处的导数值为(　　)
A.2ln 2 B.
C.1 D.2
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=2x,所以f′(x)=2xln 2,所以f′(1)=2ln 2.故选A.
3.曲线f(x)=x2在点A(2,4)处的切线斜率为(　　)
A.4 B.16 C.8 D.2
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=x2的导数为f′(x)=2x,所以曲线在A(2,4)处的切线斜率k=f′(2)=2×2=4.故
选A.
4.(人教A版选择性必修第二册P75练习T3改编)曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线方程是　　　　　　.
【答案】 x-y-2π=0
【解析】 由y=sin x,得y′=(sin x)′=cos x,
所以曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线斜率为k=cos 2π=1,
所以曲线y=sin x在点T(2π,0)处的切线方程是y-0=1×(x-2π),即x-y-2π=0.
题型一　利用导数公式求函数的导数
[例1] 求下列函数的导数:
(1)y=x0(x≠0);
(2)y=lg x;
(3)y=;
(4)y=2cos2-1.
【解】 (1)y′=0.
(2)y′=.
(3)因为y==,所以y′=()′==.
(4)因为y=2cos2-1=cos x,所以y′=(cos x)′=-sin x.
求简单函数的导函数的基本方法
(1)用导数的定义求导,但运算比较繁琐.
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程,降低运算难度.解题时根据所给问题的结构特点,先将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.比如:根式化为分数指数幂后求导,三角函数解析式可以化简的,先化简后求导.
[方法迁移] 求下列函数的导数:
(1)y=2 026;
(2)y=;
(3)y=6x;
(4)y=log3x.
【解】 (1)因为y=2 026,所以y′=(2 026)′=0.
(2)因为y==,所以y′=-=-.
(3)因为y=6x,所以y′=6xln 6.
(4)因为y=log3x,所以y′=.
题型二　利用导数公式解决切线问题
[例2] (人教B版选择性必修第三册P78例2)已知f(x)=,求f′(4)以及曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程.
【解】 因为f′(x)==,
所以f′(4)=×=×2=3.又因为f(4)==(22=23=8,所以所求切线方程为y-8=3(x-4),即y=3x-4.
利用导数公式解决切线问题要注意以下两种情况.
(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
(2)若已知点不是切点,则步骤如下:
[方法迁移1] 已知y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线,则k=　　　　.
【答案】
【解析】 设切点坐标为(x0,y0),由题意得y′==k,又y0=kx0+1,y0=ln x0,解得y0=2,x0=e2,所以k=.
[方法迁移2] 求曲线y=ln x过点O(0,0)的切线方程.
【解】 因为O(0,0)不在曲线y=ln x上,所以设切点为Q(x0,y0),则切线的斜率k=.
又切线的斜率k==,所以=,即x0=e,所以Q(e,1),所以k=,
所以切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0.
题型三　导数公式的实际应用
[例3] 某平台订阅用户数近10年间年均上涨率为10%,订阅用户数p(单位:万人)与时间t(单位:年)有如下函数关系:p(t)=p0(1+10%)t,假定p0=1,那么在第5年,订阅用户数上涨的速度大约是多少 (精确到0.01万人/年)
(参考数据:1.15≈1.611,ln 1.1≈0.095)
【解】 由题意得p′(t)=1.1tln 1.1,
所以p′(5)=1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万人/年),
所以在第5年,该平台订阅用户数上涨的速度大约是0.15万人/年.
由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化速度,就是求相关函数在某点处的导数.
[方法迁移] 在室内的某种细菌开始增加时使用杀菌剂,刚开始使用时,细菌数量还会继续增加,随着时间的增长,细菌数量增加的幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.已知使用杀菌剂t h后的细菌数量为f(t)=105+104t-103t2,求细菌数量在第5 h时的变化速度.
【解】 依题意,f(t)=105+104t-103t2,
所以f′(t)=-2 000t+10 000,则f′(5)=-2 000×5+10 000=0,
所以细菌数量在第5 h时的变化速度为0.
课时作业
1.(2025·江苏淮安期末)下列求导运算正确的是(　　)
A.(ln 2)′= B.(e3)′=3e
C.(ax)′=x·ax-1 D.(2x)′=2xln 2
【答案】 D
【解析】 对于A,(ln 2)′=0,故A错误;对于B,(e3)′=0,故B错误;对于C,(ax)′=ax·ln a,故C错误;对于D,(2x)′=2xln 2,故D正确.故选D.
2.(2025·广东东莞月考)若函数f(x)=,则f′(-1)=(　　)
A. B.- C.0 D.-1
【答案】 C
【解析】 由函数f(x)=,可得f′(x)=0,所以f′(-1)=0.故选C.
3.设函数f(x)=,则f′(x)=(　　)
A. B.
C.- D.-
【答案】 D
【解析】 f′(x)=-=-.故选D.
4.(2025·重庆南岸月考)若函数f(x)=cos x,则f′()+f()的值为(　　)
A.0 B.-1 C.1 D.2
【答案】 A
【解析】 f′(x)=-sin x,所以f′()+f()=-sin +cos =0.故选A.
5.曲线f(x)=的倾斜角为的切线的切点坐标为(　　)
A.(1,1) B.(-1,-1)
C.(-1,1) D.(1,1)或(-1,-1)
【答案】 D
【解析】 由题意知切线的斜率k=tan =-1,设切点为(x0,y0),则f′(x0)=-1,又f′(x)=-,所以-=
-1,解得x0=1或x0=-1.当x0=1时,y0=1;当x0=-1时,y0=-1.所以切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故
选D.
6.(多选)若直线y=x+b是函数f(x)图象的一条切线,则函数f(x)可以是(　　)
A.f(x)= B.f(x)=x4
C.f(x)=sin x D.f(x)=ex
【答案】 BCD
【解析】 直线y=x+b的斜率为k=,
由f(x)=可得f′(x)=-<0,故A错误;
由f(x)=x4可得f′(x)=4x3,4x3=有解,故B正确;
由f(x)=sin x可得f′(x)=cos x,cos x=有解,故C正确;
由f(x)=ex可得f′(x)=ex,ex=有解,故D正确.故选BCD.
7.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为　　　　.
【答案】
【解析】 因为y′=(ex)′=ex,所以曲线y=ex在点(2,e2)处的切线斜率为k=e2,
所以曲线y=ex在点(2,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.
当x=0时,y=-e2;当y=0时,x=1.所以S=×1×|-e2|=,即所围成的三角形的面积为.
8.(2025·湖南湘潭期末)已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似表示为y=f(t)=,则在t=4 min 时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为　　　　mm/min.
【答案】
【解析】 因为y=f(t)==,所以f′(t)=()′=,所以f′(4)=×=,故在t=4 min 时的瞬时降雨强度为 mm/min.
9.点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.
【解】 如图,设P(x0,y0),当曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线与直线y=x平行时,点P到直线y=x的距离最近.
则曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线斜率为1,又y′=(ex)′=ex,
所以=1,得x0=0,代入y=ex,得y0=1,即P(0,1).
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
10.已知抛物线y=x2,求过点(-,-2)且与抛物线相切的直线方程.
【解】 设直线的斜率为k,直线与抛物线相切的切点坐标为(x0,y0),
则直线方程为y+2=k(x+),因为y′=2x,所以k=2x0,
又点(x0,y0)在切线上,所以+2=2x0(x0+),
解得x0=1或x0=-2,则k=2或k=-4,
所以直线方程为y+2=2(x+)或y+2=-4(x+),即2x-y-1=0或4x+y+4=0.
11.已知曲线y=ln x在点(1,0)处的切线与圆x2+y2-4mx+2y+3m=0相切,该圆的半径为(　　)
A. B.
C.或 D.或1
【答案】 C
【解析】 由y=ln x,得y′=,故在x=1时切线的斜率k=1,
所以曲线y=ln x在点(1,0)处的切线方程为x-y-1=0.
又因为x-y-1=0与圆(x-2m)2+(y+1)2=4m2-3m+1相切,
所以圆的半径r==,解得m=或m=1,
所以圆的半径为或.故选C.
12.(2025·陕西延安期末)设f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2 026(x)=　　　　.
【答案】 -sin x
【解析】 由题意知f0(x)=sin x,f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,…,易知fn′(x)的周期为4,而2 026=4×506+2,所以f2 026(x)=f2(x)=-sin x.
13.已知点A(,-1),B(2,1),函数f(x)=log2x.
(1)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,求切线方程;
(2)在曲线y=f(x)(≤x≤2)上是否存在点P,使得过点P的切线与直线AB平行 若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)设切点为(m,log2m)(m>0),
因为f(x)=log2x,所以f′(x)=.
由题意可得=,解得m=e,
所以切线方程为y-log2e=(x-e),
即y=x.
(2)过点A(,-1),B(2,1)的直线的斜率为kAB=.
假设存在点P(n,log2n)(≤n≤2),使得过点P的切线与直线AB平行,
则有=,得n=.
又=ln 所以在曲线y=f(x)(≤x≤2)上存在点P,使得过点P的切线与直线AB平行,且点P的横坐标为.
14.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一,内容为如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不间断,在开区间(a,b)内的导数为f′(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)成立,其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理,可得函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”为(　　)
A.1 B.e C.e-1 D.
【答案】 C
【解析】 由f(x)=ln x可得f′(x)=,令x0为函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”,则==,解得x0=e-1.故选C.

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