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5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.
2.能利用导数求某些函数的极大(小)值.
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点　极值点与极值的概念
项目 极小值 极大值
图象
定义 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都 ,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 .把 叫做函数y=f(x)的极小值点,
叫做函数y=f(x)的极小值 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都 ,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 ,右侧
.把 叫做函数y=f(x)的极大值点, 叫做函数y=f(x)的极大值
极小值点、极大值点统称为 ,极小值和极大值统称为
小
f′(x)<0
f′(x)>0
a
f(a)
大
f′(x)>0
f′(x)<0
b
f(b)
极值点
极值
疑难解惑
对极值点与极值概念的正确理解
(1)极值点不是点而是一个具体的自变量的值.
(2)极值是函数的局部性质.
(3)函数的极值不唯一,极大值与极小值两者的大小不确定.
(4)极值点出现在区间的内部,端点不能是极值点.
(5)若f′(x0)=0,则x0不一定是极值点,即 f′(x0)=0是f(x)在x=x0处取到极值的必要不充分条件,函数y=f′(x)的变号零点,才是函数的极值点,如y=x3中x=0不是极值点.
知识清点
1.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f′(x)的部分图象如图所示,则下列结论错误的是(　　)
A.在(1,2)上函数f(x)单调递增
B.在(3,4)上函数f(x)单调递减
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
D
【解析】 根据导函数图象知,当x∈(1,2)时,f′(x)>0;当x∈(2,4)时,f′(x)<0;当x∈(4,5)时,f′(x)>0.所以f(x)在(1,2),(4,5)上单调递增,在(2,4)上单调递减,x=2是f(x)在[1,5]上的极大值点,x=4是极小值点.故选D.
2.设函数f(x)=xex,则(　　)
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
D
【解析】 令f′(x)=ex+x·ex=(1+x)ex=0,得x=-1.当x<-1时,f′(x)<0;当x>-1时,
f′(x)>0.
故x=-1为f(x)的极小值点.故选D.
A
2
-4
课堂探究·素养培育
题型一　导函数的图象与极值的关系
[例1] (多选)(2025·山东枣庄月考)已知函数y=xf′(x)的图象如图所示,则以下说法正确的是( 　　)
A.函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增
B.函数f(x)在区间(-1,1)上无单调性
AD
【解析】 观察题中函数y=xf′(x)的图象可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf′(x)>0,于是f′(x)>0,故函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故A正确;
当x∈(-1,0)时,xf′(x)>0,于是f′(x)<0,当x∈(0,1)时,xf′(x)<0,于是f′(x)<0,故函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减,故B,C错误;
由于f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,因此函数f(x)在x=1处取得极小值,故D正确.故选AD.
解题策略
与导函数有关的图象问题的解题策略
解答此类问题要先弄清楚所给的图象是原函数还是导函数的,然后再根据图象的细节具体推断.
(1)对于导函数的图象,重点关注导函数的值在哪个区间上为正,在哪个区间上为负,导函数图象在哪个点处与x轴相交,在交点附近导函数值的变化情况.
(2)对于函数的图象,重点关注函数在哪个区间上单调递增,在哪个区间上单调递减,哪个点是极大值点,哪个点是极小值点.
[方法迁移] 已知函数f(x)的定义域为(a,b),其导函数f′(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极小值点共有(　　)
A.3个 B.2个
C.1个 D.4个
C
【解析】 根据极小值点存在的条件①f′(x0)=0,②在x=x0的左侧f′(x)<0,在 x=x0的右侧f′(x)>0,可以判断出函数f(x)的极小值点共有1个.故选C.
题型二　利用导数求函数的极值
[例2] 求函数 g(x)=x2(3-x)的极大值和极小值.
【解】 求导得g′(x)=6x-3x2.
令g′(x)=0,解得x=0或x=2.
当x变化时,g′(x)和g(x)的变化情况如下表所示:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
g′(x) - 0 + 0 -
g(x) 单调递减 0 单调递增 4 单调递减
故g(x)有极大值点x=2,对应的极大值为g(2)=4;
g(x)有极小值点x=0,对应的极小值为g(0)=0.
解题策略
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.
(4)根据f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号,来分析f(x)在这个根处取极值的情况.
[方法迁移] 设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0),求函数f(x)的单调区间与极值点.
题型三　由函数的极值求参数值(范围)
【解】 f′(x)=x2-(m+3)·x+m+6.因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以f′(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
解题策略
由函数极值求参数的方法
对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极值存在的条件:
(1)极值点处的导数值为0,极值点附近两侧的导数值异号,利用待定系数法列方程(不等式)求解.
(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
【课程标准要求】　
1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.
2.能利用导数求某些函数的极大(小)值.
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
知识点　极值点与极值的概念
项目 极小值 极大值
图象
定义 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小, f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值
极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值
对极值点与极值概念的正确理解
(1)极值点不是点而是一个具体的自变量的值.
(2)极值是函数的局部性质.
(3)函数的极值不唯一,极大值与极小值两者的大小不确定.
(4)极值点出现在区间的内部,端点不能是极值点.
(5)若f′(x0)=0,则x0不一定是极值点,即 f′(x0)=0是f(x)在x=x0处取到极值的必要不充分条件,函数y=f′(x)的变号零点,才是函数的极值点,如y=x3中x=0不是极值点.
知识清点
1.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f′(x)的部分图象如图所示,则下列结论错误的是(　　)
A.在(1,2)上函数f(x)单调递增
B.在(3,4)上函数f(x)单调递减
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
【答案】 D
【解析】 根据导函数图象知,当x∈(1,2)时,f′(x)>0;当x∈(2,4)时,f′(x)<0;当x∈(4,5)时,f′(x)>0.所以f(x)在(1,2),(4,5)上单调递增,在(2,4)上单调递减,x=2是f(x)在[1,5]上的极大值点,x=4是极小值点.故选D.
2.设函数f(x)=xex,则(　　)
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
【答案】 D
【解析】 令f′(x)=ex+x·ex=(1+x)ex=0,得x=-1.当x<-1时,f′(x)<0;当x>-1时,f′(x)>0.
故x=-1为f(x)的极小值点.故选D.
3.(人教A版选择性必修第二册P92练习T2改编)函数y=x+(-2A.-2 B.2
C.- D.不存在
【答案】 A
【解析】 因为y=x+(-2令y′>0,解得-2故函数在(-2,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,
故当x=-1时,函数取得极大值,函数的极大值是-2.故选A.
4.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是f(x)的极值点,则a=　　　　,b=　　　　.
【答案】 2　-4
【解析】 f′(x)=3x2+2ax+b,
由题意知即
解得
经验证知符合题意.
题型一　导函数的图象与极值的关系
[例1] (多选)(2025·山东枣庄月考)已知函数y=xf′(x)的图象如图所示,则以下说法正确的是(　　)
A.函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增
B.函数f(x)在区间(-1,1)上无单调性
C.函数f(x)在x=-处取得极大值
D.函数f(x)在x=1处取得极小值
【答案】 AD
【解析】 观察题中函数y=xf′(x)的图象可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf′(x)>0,于是f′(x)>0,故函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故A正确;
当x∈(-1,0)时,xf′(x)>0,于是f′(x)<0,当x∈(0,1)时,xf′(x)<0,于是f′(x)<0,故函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减,故B,C错误;
由于f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,因此函数f(x)在x=1处取得极小值,故D正确.故选AD.
与导函数有关的图象问题的解题策略
解答此类问题要先弄清楚所给的图象是原函数还是导函数的,然后再根据图象的细节具体
推断.
(1)对于导函数的图象,重点关注导函数的值在哪个区间上为正,在哪个区间上为负,导函数图象在哪个点处与x轴相交,在交点附近导函数值的变化情况.
(2)对于函数的图象,重点关注函数在哪个区间上单调递增,在哪个区间上单调递减,哪个点是极大值点,哪个点是极小值点.
[方法迁移] 已知函数f(x)的定义域为(a,b),其导函数f′(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极小值点共有(　　)
A.3个 B.2个 C.1个 D.4个
【答案】 C
【解析】 根据极小值点存在的条件①f′(x0)=0,②在x=x0的左侧f′(x)<0,在 x=x0的右侧f′(x)>0,可以判断出函数f(x)的极小值点共有1个.故选C.
题型二　利用导数求函数的极值
[例2] 求函数 g(x)=x2(3-x)的极大值和极小值.
【解】 求导得g′(x)=6x-3x2.
令g′(x)=0,解得x=0或x=2.
当x变化时,g′(x)和g(x)的变化情况如下表所示:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
g′(x) - 0 + 0 -
g(x) 单调递减 0 单调递增 4 单调递减
故g(x)有极大值点x=2,对应的极大值为g(2)=4;
g(x)有极小值点x=0,对应的极小值为g(0)=0.
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.
(4)根据f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号,来分析f(x)在这个根处取极值的情况.
[方法迁移] 设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0),求函数f(x)的单调区间与极值点.
【解】 f′(x)=3(x2-a)(a≠0),x∈R.
当a<0时,f′(x)>0恒成立,此时函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,没有极值点.
当a>0时,令f′(x)=0,得x1=,x2=-.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表所示.
x (-∞,-) - (-,) (,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-),(,+∞),单调递减区间是(-,),
极大值点为x=-,极小值点为x=.
综上,当a<0时,函数f(x)在R上为增函数,没有极值点;
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-)和(,+∞),单调递减区间是(-,),此时x=- 是f(x)的极大值点,x=是f(x)的极小值点.
题型三　由函数的极值求参数值(范围)
[例3] 已知函数f(x)=x3-(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围.
【解】 f′(x)=x2-(m+3)·x+m+6.因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以f′(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
所以
解得m>3.
故实数m的取值范围是(3,+∞).
由函数极值求参数的方法
对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极值存在的条件:
(1)极值点处的导数值为0,极值点附近两侧的导数值异号,利用待定系数法列方程(不等式)
求解.
(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
[方法迁移] 已知函数f(x)=,a∈R,若f(x)在x=2处取得极值,求a的值.
【解】 f′(x)=,因为f(x)在x=2处取得极值,所以f′(2)=0,即1-2+a=0,所以a=1.
当a=1时,f′(x)=.令f′(x)>0,即2-x>0,得x<2;令f′(x)<0,即2-x<0,得x>2,
所以f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.所以f(x)在x=2处取得极大值,符合题意.所以a=1.
课时作业
1.下列函数中存在极值的是(　　)
A.y= B.y=x-ex
C.y=2 D.y=x3
【答案】 B
【解析】 对于y=x-ex,y′=1-ex,
令y′=0,得x=0.
在区间(-∞,0)上,y′>0;在区间(0,+∞)上,y′<0.
故当x=0时,函数y=x-ex取得极大值.故选B.
2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
【答案】 D
【解析】 由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-22时,f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.
3.(2025·江苏连云港期末)函数f(x)=x3-12x+1的极小值为(　　)
A.-17 B.-15 C.15 D.17
【答案】 B
【解析】 由函数f(x)=x3-12x+1,求导得f′(x)=3x2-12,
令f′(x)=3x2-12=0,得x=±2,当x<-2时,f′(x)>0,函数单调递增;当-22时,f′(x)>0,函数单调递增.
所以x=2是极小值点,所以函数的极小值为 f(2)=-15.故选B.
4.(2025·山西太原期中)已知函数f(x)=x3+x2-5x+3ln x,则函数f(x)的极值点个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=x3+x2-5x+3ln x,定义域为(0,+∞),
f′(x)=x2+x-5+=,f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点,极值点个数为0.故选A.
5.(多选)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的值可以是(　　)
A.-4　 B.-3　 C.6　 D.8
【答案】 AD
【解析】 由题意知f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不相等的根,
所以Δ=4a2-12(a+6)>0,解得a>6或a<-3.故选AD.
6.(2025·广东潮州期末)已知函数f(x)=x2-(1+a)x+aln x在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,1) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)=x2-(1+a)x+aln x,x>0,
则f′(x)=x-(1+a)+=,令f′(x)=0得x=a或x=1,
当a≤0时,x=a不在函数f(x)的定义域内,不符合条件;
当a>0时,
若a>1,在(0,1),(a,+∞)上f′(x)>0,f(x)单调递增,在(1,a)上f′(x)<0,f(x)单调递减,此时x=a为f(x)的极小值点,不符合条件;
若a=1,在(0,+∞)上f′(x)≥0,f(x)单调递增,不存在极值,不符合条件;
若00,f(x) 单调递增,在(a,1)上f′(x)<0,f(x)单调递减,此时x=a为f(x)的极大值点.故选B.
7.函数f(x)=的极小值为　　　　.
【答案】 -
【解析】 f′(x)==
.
令f′(x)<0,得x<-2或x>1;令f′(x)>0,得-2所以f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上单调递减,在(-2,1)上单调递增,
所以f(x)极小值=f(-2)=-.
8.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a=　　　　.
【答案】 -
【解析】 因为f′(x)=+2bx+1,由题意得解得a=-.经检验,符合题意.
9.设函数f(x)=aln x++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
【解】 (1)f′(x)=-+(x>0),
由题意知,曲线在x=1处的切线斜率为0,即 f′(1)=0,从而a-+=0,解得a=-1.
(2)由(1)知f(x)=-ln x++x+1(x>0),f′(x)=--+==
.
令f′(x)=0,解得x1=1,x2=-(舍去).
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上单调递增.
故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=3,无极大值.
10.已知函数f(x)=bln x+x2+2ax+a2-3a在x=1处取得极小值,求的值.
【解】 由f(x)=bln x+x2+2ax+a2-3a求导得,f′(x)=+3x+2a,
依题意,即解得或
当a=4,b=-11时,f(x)=-11ln x+x2+8x+4,x>0,
f′(x)=-+3x+8==,
当01时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增,
即当x=1时,函数f(x)取得极小值f(1)=,符合题意,此时=-;
当a=-3,b=3时,f(x)=3ln x+x2-6x+18,x>0,
因为f′(x)=+3x-6==≥0,
所以函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,无极值,与题意不符,舍去.
故的值为-.
11.(2025·山西晋中期末)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)的图象是一条连续不断的曲线,f(x) 的导函数为f′(x),若函数g(x)=(x+2)f′(x)的图象如图所示,则(　　)
A.f(x)的单调递减区间是(-∞,0)
B.f(x)的单调递增区间是(-1,1),(2,+∞)
C.当x=2时,f(x)有极值
D.当x=1时,f′(x)<0
【答案】 A
【解析】 根据题图可知当x<-2时,g(x)=(x+2)f′(x)>0,可得f′(x)<0;
当-2当x≥0时,g(x)=(x+2)f′(x)≥0,可得 f′(x)≥0,其中f′(2)=0.
对于A,B,易知x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减,
当x∈(0,+∞)时,f′(x)≥0且f′(x)不恒等于0,此时f(x)单调递增,
因此f(x)的单调递减区间是(-∞,0),f(x)的单调递增区间是(0,+∞),故A正确,B错误;
对于C,易知当00,当x>2时,f′(x)>0,
即在x=2处左右函数f(x)的单调性不改变,故C错误;
对于D,因为当00,可得f′(x)>0,因此f′(1)>0,故D错误.故选A.
12.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为　　　　.
【答案】 [1,5)
【解析】 因为f′(x)=3x2+2x-a,
函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值点,即函数f′(x)在(-1,1)内恰有一个变号零点.
又函数f′(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-.
所以应满足即解得1≤a<5.
13.已知函数f(x)=aln x+x2+(2a+1)·x,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有极小值,且极小值大于0,求a的取值范围.
【解】 (1)函数f(x)=aln x+x2+(2a+1)x的定义域为(0,+∞),
求导得f′(x)=+2x+2a+1=,
当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a<0时,由f′(x)<0,得00,得x>-a,
因此函数f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增.
所以当a≥0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
当a<0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,-a),单调递增区间为(-a,+∞).
(2)由(1)知,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值,
当a<0时,函数f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增,
函数f(x)在x=-a处取得极小值f(-a)=aln(-a)-a2-a>0,
整理得ln(-a)-a-1<0,令-a=t>0,函数 g(t)=ln t+t-1<0,g′(t)=+1>0,
函数g(t)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0,由g(t)<0,解得0所以a的取值范围是(-1,0).
14.(多选)初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成,并可用一个数学式子表示的函数,如函数 f(x)=xx(x>0),我们可以作变形:f(x)=xx=
==et(t=xln x),所以f(x)可看作是由函数h(t)=et和t=xln x复合而成的,即f(x)=xx(x>0)为初等函数.根据以上材料,关于初等函数h(x)=(x>0)的说法正确的是(　　)
A.无极小值　 B.有极小值1
C.无极大值　 D.有极大值
【答案】 AD
【解析】 根据材料知,h(x)===,所以h′(x)=·(ln x)′=·(-ln x+)=
(1-ln x),令h′(x)=0得x=e,当00,此时函数h(x)单调递增,当x>e时,h′(x)<0,此时函数h(x)单调递减.所以h(x)有极大值且为h(e)=,无极小值.故选AD.

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