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基本不等式常考题型归纳
知识梳理：
知识点一 基本不等式
1．重要不等式
（1）公式：一般地，对于任意实数，，有，当且仅当时，等号成立．
（2）证明，当时，，当时，．
所以，即．
拓展：不等式可以变形为，等．
2．基本不等式
（1）公式：如果，，那么（当且仅当时，等号成立）．
（2）证明：因为，所以，即．显然，当且仅当时，．
我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．因而，这一定理又可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（3）几何法：如图，以长度为的线段为直径作圆，在直径上取一点，使，，过点作垂直于直径的弦，连接，，
易证，则，即．
这个圆的半径为，显然它大于或等于，即，当且仅当与圆心重合，即时，等号成立．
3.使用条件
在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三相等.
①一正：各项均为正数，遇到负数时，先提负号，把变量变成正的，然后再用基本不等式.
例：已知，求的最大值.
解：，因为，所以，
所以，即当时，的最大值为
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值，如果不是定值，则需要通过配凑等方法凑出来定值.
例：已知，求的最小值.
解：如果直接用基本不等式，发现的乘积不是定值，无法使用基本不等式，所以这个时候需要配凑，即，所以当时，的最小值为4.
③三相等：此条件常考判断题，需注意等号成立的条件是否能取到.
例：判断对错：的最小值为2.
解：，如果直接使用基本不等式，满足一正二定的条件，最小值似乎确实是2，但需注意，等号成立的时候，应该有，该方程在实数范围内无解，故等号成立的条件无法取到，所以错误.
4.常考值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立．
常考题型归纳：
题型一、直接使用基本不等式
若实数且满足，则的最大值为________．
【答案】/0.25
【详解】
由基本不等式得，当且仅当时取等号，所以的最大值为.
已知，，且，则的最小值为________．
【答案】4
【详解】因为，，
所以，又因为，
所以，
当且仅当时取等号，
所以当时，有最小值，
故答案为：4
若，则的最小值为_____.
【答案】.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，，
所以，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
因此
所以 的最小值为 .
故答案为：.
已知，则的最大值为______.
【答案】
【详解】，
当且仅当时，等号成立．
即的最大值为，
故答案为：
题型二、判断不等式是否能成立
下列说法中正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为1
【答案】D
【详解】对于A,当时，，故A错误，
对于B,当时，，，则，故B错误，
对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误，
对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确，故选：D
下列说法错误的是（ ）
A．的最小值是2 B．的最小值是
C．的最小值是2 D．的最大值是
【答案】C
【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，A正确；
当时，，当且仅当，即时取等号，D正确；
，而，则，当且仅当时取等号，B正确；
，因，有，，
则有，当等号成立时，在实数范围内无解，C不正确.
故选：C
（多选题）下列代数式，最小值为2的有（ ）
A．当时， B．当时，
C． D．
【答案】BC
【详解】选项A：当时，满足，但此时，故最小值不为2，故A错误；
选项B：因为，所以同号，则，
所以，当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为2，故B正确；
选项C：，
所以当时，的最小值为2，故C正确；
选项D：因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
但此时显然不成立，所以的最小值不为2，故D错误；
故选：BC
题型三、常规配凑法求最值
已知 ，则代数式 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．无最小值
【答案】B
【详解】因为，
所以，
当且仅当 ，即 时取等号，
则代数式 的最小值为4.
函数的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．9 D．4
【答案】A
【详解】，
，，，
由基本不等式可得：，
当且仅当，即时，等号成立，故选A.
已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】由得，，
，
当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立；
的最大值为，
故选:A.
题型四、分离常数型
方法讲解：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数
例1：
例2：
当时，的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【详解】因为，则，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
已知，，则的最小值为________．
【答案】/
【详解】由，，得，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
题型五、“1”的妙用
乘“1”法
原理：所求式子乘上一个等于1的式子，值不变.
例：已知，，求最小值.
解：
取等条件：，结合，.
常见变形：等.
已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．11
【答案】C
【详解】，
当且仅当时，取等号，
即的最小值为9.
已知，且，则的最小值为（ ）
A．64 B．8 C． D．
【答案】C
【详解】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： .
.
由基本不等式，得：.
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．5 B．6
C． D．
【答案】D
【详解】已知，，整理，得，
则，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最小值为.
已知 ，且 ，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
.
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
设，，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．4
【答案】B
【详解】由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9.
若正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．13
【答案】B
【详解】因为正实数，满足，
可得，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故选：D.
“1”的代换
例：已知，且，求的最小值.
解：如果直接用乘“1”法，发现无法做出，此时可以选择把数字“1”换成字母，即，当且仅当时等号成立.
已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】已知，，且，
，
当且仅当，结合得时等号成立，
的最小值为．
已知正实数，满足，则的最小值为__________.
【答案】
【详解】∵ 正实数满足,∴ .
∴ .
∵ ，由基本不等式得，
当且仅当，即时等号成立.
将代入，解得，符合为正实数的约束条件.
∴ 的最小值为.
已知，，且，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故选：D
题型六、二次比一次型
例：已知的最小值.
解：此类题可以选择配凑法或者换元法，此处直接用换元法.令，则，原式，当且仅当时等号成立，即原式的最小值为11.
已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【详解】令，则，因为，可得，
可得，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
已知，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】解：因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：A
当时，函数的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4
【答案】B
【详解】因为，所以，
当且仅当 ，即时，等号成立．
故选：B．
题型七、因式分解法
含有 这类结构的式子可以考虑因式分解配凑成的结构再结合整体思想来求最值
例：已知 且，则 的最小值是.
解：将变形得到，令，则，，当且仅当时等号成立.
已知，且，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由，令，得到，所以.当且仅当等号成立.
已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】对等式左边提取公因式得：.
等式两边同时加2，整理得：，即.
由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求.
将目标式变形为：，
根据基本不等式的性质可得，
所以，当且仅当，即时等号成立，
此时的最小值为7.
已知，，则的最小值为____________________．
【答案】
【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值.
【详解】原式变形可得,分解因式得，
因为,所以,即,,
又因为，当且仅当时等号成立，
故的最小值为．
（多选题）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C．的最小值为14 D．的最小值为
【答案】BC
【详解】由，可得，
对于A，令，，则，且，可得，
则，
当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误；
对于B，由，可得，则，当且仅当时，取得最小值，所以B正确；
对于C，由，当且仅当时，即，，即，时，等号成立，所以C正确；
对于D，由，可得，当且仅当时，即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误．
题型八、换元法
该题型是对前面题型的变形，对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑，整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值；换元法是对分母不是单个字母的式子进行换元，必要时可能要解方程组，便可以将题目转化为前面讲过的题型.
单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元
双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元
例：已知，求的最小值.
解：令，
所以，当且仅当时等号成立.
已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【详解】因为，所以，
又，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A
已知正实数x，y满足，则的最小值为________．
【答案】
【详解】设，则，
因为，所以，
所以
，
当且仅当，即，
所以当时，的最小值．
已知，为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ 为正实数，令，，，，
联立得，解得，.
∵ 为正实数，
∴ ，即，满足基本不等式使用条件.
所以.
则，当且仅当，即时取等号.
此时，，均为正实数，等号可取.
∴ 原式，即最大值为.
已知实数，，且，则的最小值是___________.
【答案】
【详解】因为实数，，且，则，
所以，
.
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
题型九、条件等式求值
设正实数满足，则（ ）
A．的最大值是 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值是
【答案】C
【详解】因为正实数满足.
对于选项A：因为，即，解得，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最大值是，故A错误；
对于选项B：因为，即，可得，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最大值为，故B错误；
对于选项C：因为，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为，故C正确；
对于选项D：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是，故D错误.
（多选题）已知，，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为2
C．的最小值为 D．的最小值为3
【答案】AC
【详解】对于A：因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
对于B：由 ，则，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误；
对于C：由，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确；
对于D：由
，
当且仅当，即，时取等号，
又，所以没有最小值，故D错误.
（多选题）设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（ ）
A．xy的最大值为2 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ABC
【详解】对于A，因为，
所以根据基本不等式的性质得，所以.
当且仅当时等号成立，此时的最大值为2，A正确；
对于B，因为，所以，
所以.
因为，所以，所以当时，取最小值为，B正确；
对于C，，
由A可知的最大值为2，所以的最大值为，C正确；
对于D，.
当且仅当即，结合可得时等号成立，
此时的最小值为，D错误；
故选：ABC.
（多选题）已知实数满足，则（ ）
A．有最大值为 B．有最小值为
C．有最小值为1 D．有最大值为2
【答案】ABD
【分析】因为结合题目化简得到， 所以有最大值为，故A正确；设，所以，由，所以，即，所以，故B正确；因为且，所以，故C 错误；因为且，所以，所以，故D正确.
【详解】对于A，因为且，所以，即，当且仅当或
时取等号，有最大值为，故A正确；
对于B，设，则，
所以，由，所以，
所以，即，所以，
当且仅当时，有最小值为故B正确；
对于C，因为且，所以，
当且仅当或时取等号，有最小值为，故C 错误；
对于D，因为且，所以，所以，
当且仅当或时，有最大值为2，故D正确；
故选：ABD.
（多选题）已知，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为2 D．的最小值为
【答案】AC
【分析】借助基本不等式逐项判断即可得.
【详解】对A：由，得，所以，
当且仅当时取等号，故A正确；
对B：由，得，
所以，当且仅当时取等号，故B错误；
对C：由，得，
所以，当且仅当时取等号，故C正确；
对D：由，得，
所以，当且仅当时取等号，故D错误.
故选：AC.
题型十、实际应用问题
《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题图可知，，.
在中，由勾股定理可得.
，.
《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号）
①；②；
③；④．
【答案】①③
【详解】由题意可知，，
由∽可知，即，
所以；
在中，，即，
当时，O，C点重合，，此时，所以①正确；
在中，由∽可得，即，
所以，
由于，所以，
当时，，此时，所以③正确；
由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明．
某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．

(1)用含有的代数式表示；
(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？
【答案】(1)，
(2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为，
所以，可得，又，则，
又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，
可得，即关于的关系式为.
（2）由（1）知，，，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．

(1)证明：．
(2)若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为.
①试用表示面积；
②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明：设折叠后点变成，
在与中，因为，，所以．
因为，，所以，
又，所以，所以．
(2)①；
②存在，且最大值为.
【详解】（1）设折叠后点变成，
在与中，因为，，所以．
因为，，所以，
又，所以，所以．

（2）①由题意可知矩形的周长为．
设，，则，，．
因为为直角三角形，所以，即，
解得，
从而，
所以，
由得可得，
因此，；
②因为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
此时，，满足，
故当时，的面积取得最大值，最大值为.
2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的．
(1)求常数c和k的值；
(2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
【答案】(1)，
(2)百GPU小时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
【详解】（1）因为，又，所以；
所以当时，，又因为在处函数图象是连续不断的，
所以，解得.
（2）由（1）可得，
当时，，，
因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，此时，此时的最大值为4；
当时，，
此时
综上所述，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高.
题型十一、消元法
消元法:当所求最值的代数式中的变量比较多时，或者是用前面讲过的方法无法做出时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
例：若，求的最小值.
解：由，所以原式可化为，当且仅当时，等号成立.
已知，，且，则的最小值为____________.
【答案】
【详解】由题可得，
所以，
令，即，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
的最小值为13.
已知正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】/
【详解】由题意，为正实数，且，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
已知则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取得等号，
所以的最小值是.
若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由可得，由于，，则，可得，
所以，故，
当且仅当时，即当时，此时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C.
题型十二、判别式法（万能法）
求啥设啥，利用一元二次方程一定有解，判别式大于等于0来求解.
例：已知实数满足，求的最小值.
解：令，则，所以原式可化为.该方程有解，则，解得，即得最小值为.
已知正实数满足则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则，
因为，
所以，即：，
所以，
解得：，
又因为，为正实数，
所以，
所以的最大值为.
故选：C.
（多选题）设，若，则的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】BC
【分析】根据题意，由判别式法即可得到的范围，从而得到结果.
【详解】令，则代入可得，
，关于的方程有解，
则，解得，
所以，则BC选项符合题意.
故选：BC
（多选题）已知，，，则（ ）
A．的最大值为2 B．的最小值为4
C．的最小值为3 D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用，可得的最大值，利用，可得的最小值，令，则，利用一元二次方程有解可得的最小值.
【详解】对于A选项：由均值不等式得，
则，
令，，
解得，即，，
当且仅当，时，等号成立，故A正确；
对于B选项：由均值不等式得，
又，
∴，
解得，（舍），
当且仅当，时，等号成立，故B正确；
对于C，D选项：令，，则，
则可化为，
整理，
∵此方程一定有解，
∴，即，
解得，（舍），故C错误，D正确.
故选：ABD.
课后作业
下列结论表述正确的是（ ）
A．若，则恒成立
B．若，则恒成立
C．若，，则成立
D．若，则
【答案】C
【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B：若，则，则，故B错误；
对于C：因为，
又因为，故成立，故C正确；
对于D：若，则，此时，故D错误.
故选：C．
（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为4
B．的最小值为6
C．若，，且，则的最小值为
D．若，，且，则的最小值为
【答案】BC
【详解】若，则，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，故A错误；
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为6，故B正确；
若，，且，则，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，故C正确；
若，，且，则，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为.故D错误.
故选：BC
（多选题）若，，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】由题意可得，，
则，则，等号成立时，，故A正确；
，等号成立时，，
故B正确；
，
等号成立时，故C错误；
令，则可变为，
则，
因为，
等号成立时，，
所以，故D正确.
故选：ABD
（多选题）已知正实数a、b满足，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为8 D．的最大值为
【答案】ABD
【详解】解：选项，由正实数a、b满足，则，
所以，当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，选项正确；
选项，由，则，所以，
则当时，取最小值为，选项正确；
选项，由，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选项错误；
选项，因为，由可知，
所以，当且仅当时取等号，
此时取最大值2，所以的最大值为，选项正确.
已知正实数，满足，则的最小值为________．
【答案】6
【详解】正实数，满足，有，
可得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
已知，则的最小值为_______.
【答案】/
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当即时，等号成立.
所以的最小值为.
若，，则当______时，取得最大值，该最大值为______.
【答案】 / /
【分析】令，则，代入整理得到，利用求出最值及此时的值.
【详解】令，则，
则，
即，
由，解得：，
故，
故，解得：，，
所以当且仅当，时，等号成立，
故答案为：，
回答下列问题
(1)若，求的最小值
(2)已知，且，若恒成立，求的取值范围
【答案】(1)12 (2)
【详解】（1）因为，，
，
当且仅当，得时等号成立，
故最小值为.
（2）令，，
，所以，
，，
即，可得，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，的最小值为，
若恒成立，则，
即的取值范围为.
已知，为正实数，且，
(1)求的最大值.
(2)求的最小值；
(3)求的最小值.
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）因为，为正实数，
所以由，当且仅当时取等号，
因为，为正实数，
所以由
因此当时，有最大值；
（2），
因为，为正实数，
所以，
即，当且仅当时取等号，
所以当时，有最小值；
（3）设，即，
所以，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
所以当时，有最小值.
中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）；
(2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种：
①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备；
②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备.
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额）
【答案】(1)，（，且），从第3年开始盈利
(2)方案①比较合理，理由如下：

当且仅当，即时等号成立，
故第7年，年平均盈利额达到最大值，
工厂共获利万元；
由，
当时，，
故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元，
因为两个方案中盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短，
故方案①比较合理.
【详解】（1）由题意可得，，代入得，解得，
所以
所以，（，且）
令，解得，
因为，所以，
故从第3年开始盈利.
（2）方案①比较合理，理由略.
2基本不等式常考题型归纳
知识梳理：
知识点一 基本不等式
1．重要不等式
（1）公式：一般地，对于任意实数，，有，当且仅当时，等号成立．
（2）证明，当时，，当时，．
所以，即．
拓展：不等式可以变形为，等．
2．基本不等式
（1）公式：如果，，那么（当且仅当时，等号成立）．
（2）证明：因为，所以，即．显然，当且仅当时，．
我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．因而，这一定理又可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（3）几何法：如图，以长度为的线段为直径作圆，在直径上取一点，使，，过点作垂直于直径的弦，连接，，
易证，则，即．
这个圆的半径为，显然它大于或等于，即，当且仅当与圆心重合，即时，等号成立．
3.使用条件
在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三相等.
①一正：各项均为正数，遇到负数时，先提负号，把变量变成正的，然后再用基本不等式.
例：已知，求的最大值.
解：，因为，所以，
所以，即当时，的最大值为
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值，如果不是定值，则需要通过配凑等方法凑出来定值.
例：已知，求的最小值.
解：如果直接用基本不等式，发现的乘积不是定值，无法使用基本不等式，所以这个时候需要配凑，即，所以当时，的最小值为4.
③三相等：此条件常考判断题，需注意等号成立的条件是否能取到.
例：判断对错：的最小值为2.
解：，如果直接使用基本不等式，满足一正二定的条件，最小值似乎确实是2，但需注意，等号成立的时候，应该有，该方程在实数范围内无解，故等号成立的条件无法取到，所以错误.
4.常考值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立．
常考题型归纳：
题型一、直接使用基本不等式
若实数且满足，则的最大值为________．
已知，，且，则的最小值为________．
若，则的最小值为_____.
已知，则的最大值为______.
题型二、判断不等式是否能成立
下列说法中正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为1
下列说法错误的是（ ）
A．的最小值是2 B．的最小值是
C．的最小值是2 D．的最大值是
（多选题）下列代数式，最小值为2的有（ ）
A．当时， B．当时，
C． D．
题型三、常规配凑法求最值
已知 ，则代数式 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．无最小值
函数的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．9 D．4
已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
题型四、分离常数型
方法讲解：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数
例1：
例2：
当时，的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
已知，，则的最小值为________．
题型五、“1”的妙用
乘“1”法
原理：所求式子乘上一个等于1的式子，值不变.
例：已知，，求最小值.
解：
取等条件：，结合，.
常见变形：等.
已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．11
已知，且，则的最小值为（ ）
A．64 B．8 C． D．
已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．5 B．6
C． D．
已知 ，且 ，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
设，，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．4
若正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．13
已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．4 D．3
已知正实数，满足，则的最小值为__________.
已知，，且，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
题型六、二次比一次型
例：已知的最小值.
解：此类题可以选择配凑法或者换元法，此处直接用换元法.令，则，原式，当且仅当时等号成立，即原式的最小值为11.
已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
已知，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
当时，函数的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4
题型七、因式分解法
含有 这类结构的式子可以考虑因式分解配凑成的结构再结合整体思想来求最值
例：已知 且，则 的最小值是.
解：将变形得到，令，则，，当且仅当时等号成立.
已知，且，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
已知，，则的最小值为____________________．
（多选题）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C．的最小值为14 D．的最小值为
题型八、换元法
该题型是对前面题型的变形，对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑，整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值；换元法是对分母不是单个字母的式子进行换元，必要时可能要解方程组，便可以将题目转化为前面讲过的题型.
单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元
双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元
例：已知，求的最小值.
解：令，
所以，当且仅当时等号成立.
已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
已知正实数x，y满足，则的最小值为________．
已知，为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
已知实数，，且，则的最小值是___________.
题型九、条件等式求值
设正实数满足，则（ ）
A．的最大值是 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值是
（多选题）已知，，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为2
C．的最小值为 D．的最小值为3
（多选题）设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（ ）
A．xy的最大值为2 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
（多选题）已知实数满足，则（ ）
A．有最大值为 B．有最小值为
C．有最小值为1 D．有最大值为2
（多选题）已知，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为2 D．的最小值为
题型十、实际应用问题
《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（ ）
A．
B．
C．
D．
《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号）
①；②；
③；④．
某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．
(1)用含有的代数式表示；
(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？
已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．
(1)证明：．
(2)若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为.
①试用表示面积；
②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由．
2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的．
(1)求常数c和k的值；
(2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
题型十一、消元法
消元法:当所求最值的代数式中的变量比较多时，或者是用前面讲过的方法无法做出时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
例：若，求的最小值.
解：由，所以原式可化为，当且仅当时，等号成立.
已知，，且，则的最小值为____________.
已知正实数满足，则的最小值为__________.
已知则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型十二、判别式法（万能法）
求啥设啥，利用一元二次方程一定有解，判别式大于等于0来求解.
例：已知实数满足，求的最小值.
解：令，则，所以原式可化为.该方程有解，则，解得，即得最小值为.
已知正实数满足则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
（多选题）设，若，则的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
（多选题）已知，，，则（ ）
A．的最大值为2 B．的最小值为4
C．的最小值为3 D．的最小值为
课后作业
下列结论表述正确的是（ ）
A．若，则恒成立
B．若，则恒成立
C．若，，则成立
D．若，则
（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为4
B．的最小值为6
C．若，，且，则的最小值为
D．若，，且，则的最小值为
（多选题）若，，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
（多选题）已知正实数a、b满足，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为8 D．的最大值为
已知正实数，满足，则的最小值为________．
已知，则的最小值为_______.
若，，则当______时，取得最大值，该最大值为______.
回答下列问题
(1)若，求的最小值
(2)已知，且，若恒成立，求的取值范围
已知，为正实数，且，
(1)求的最大值.
(2)求的最小值；
(3)求的最小值.
中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备，初步计划使用该设备不超过20年.使用该设备后，预计每年的收入会达到50万元，已知前年累计所需维修、保养费用万元满足如下函数关系式：，且第一年维修、保养费用为12万元，设使用该设备年后盈利额为y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为正值）；
(2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种：
①设年平均盈利额为，当达到最大值时，以30万元价格处理该设备；
②当盈利额y达到最大值时，以12万元价格处理该设备.
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额）
2基本不等式常考题型归纳
知识梳理：
知识点一 基本不等式
1．重要不等式
（1）公式：一般地，对于任意实数a，b ，有a2 +b2 2ab，当且仅当a = b时，等号成立．
2 2 2
（2）证明a2 +b2 2ab = (a b) ，当a b 时， (a b) 0 ，当a = b时， (a b) = 0 ．
2
所以 (a b) 0 ，即a2 +b2 2ab．
2 2 2 2 2 2
拓展：不等式a2 +b2 2ab可以变形为4ab a +b + 2ab = ( a +b ) ，2(a +b ) (a +b) 等．
2．基本不等式
a +b
（1）公式：如果a 0，b 0 ，那么 ab （当且仅当a = b时，等号成立）．
2
2 2
（2）证明：因为 ( a ) + ( b ) 2 ab，所以a +b 2 ab ，即a +b 2 ab ．显然，当且仅当
a +b
a = b时， = ab ．
2
a + b
我们称 为a，b的算术平均数，称 ab为a，b的几何平均数．因而，这一定理又可叙述为：
2
两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（3）几何法：如图，以长度为a +b的线段 AB为直径作圆，在直径 AB 上取一点C，使 AC = a，
CB = b，过点C作垂直于直径 AB的弦DE，连接 AD ，DB，
易证Rt△ACD Rt△DCB，则CD2 =CA CB，即CD = ab ．
a + b a +b
这个圆的半径为 ，显然它大于或等于CD，即 ab ，当且仅当C
2 2
与圆心重合，即a = b时，等号成立．
3.使用条件
在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三相等.
①一正：各项均为正数，遇到负数时，先提负号，把变量变成正的，然后再用基本不等式.
1
例：已知 x 0 ，求 x + 的最大值.
x
1 1
解： x + = x +
1 1
，因为 x 0

，所以 x 0， x + 2 ( x ) = 2， x x x x
1
1 1 1
所以 x + = x + 2，即当 x 0 时， x + 的最大值为 2
x x x
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值，如果不是定值，则需要通过配凑等方
法凑出来定值.
1
例：已知 x 2，求 x + 的最小值.
x 2
1
解：如果直接用基本不等式，发现 x和 的乘积不是定值，无法使用基本不等式，所以
x 2
1 1 1
这个时候需要配凑，即 x + = x 2+ + 2 2 ( x 2 ) + 2 = 4，所以当 x 2时，
x 2 x 2 x 2
1
x + 的最小值为 4.
x 2
③三相等：此条件常考判断题，需注意等号成立的条件是否能取到.
x2 +5
例：判断对错： 的最小值为 2.
x2 + 4
x2 +5 x2 + 4+1 1
解： = = x2 + 4 + ，如果直接使用基本不等式，满足一正二定的
x2 + 4 x2 + 4 x2 + 4
2 1 2
条件，最小值似乎确实是 2，但需注意，等号成立的时候，应该有 x + 4 = ，即x + 4 =1，
x2 + 4
该方程在实数范围内无解，故等号成立的条件无法取到，所以错误.
4.常考值模型
n n
模型一：mx + 2 mn( x 0,m 0,n 0 )，当且仅当 x = 时等号成立；
x m
n n
模型二：mx + =m( x a )+ +ma 2 mn +ma( x a,m 0,n 0 )，当且仅当
x a x a
n
x a = 时等号成立；
m
x 1 1 c
模型三： = ( x 0,a 0 , c 0 )，当且仅当 x = 时等号
ax2 +bx + c c a
ax +b + 2 ac +b
x
成立；
mx( n mx ) 1 mx + n mx 2
模型四：x( n mx ) = （ )2
n n
= (m 0,n 0,0 x )，当且仅
m m 2 4m m
2
n
当 x = 时等号成立．
2m
常考题型归纳：
题型一、直接使用基本不等式
1、 若实数 a 0,b 0且满足 a+b =1，则ab的最大值为________．
2、 已知a 0，b 0，且a +b = 2，则 2a + 2b的最小值为________．
1
3、 若 x 0，则1 2x 的最小值为_____.
x
4
4、 已知 x 0，则1 x 的最大值为______.
x
题型二、判断不等式是否能成立
1、 下列说法中正确的是（ ）
4 a +b
A． x + 的最小值为 4 B． 的最小值为 2
x ab
x2 + 4 1
C． 的最小值为 2 D． x2 + 的最小值为 1
2 x2x +3 +1
3
2、 下列说法错误的是（ ）
2
1 x + 2
A． x + (x 0)的最小值是 2 B． 的最小值是 2
x x2 + 2
x2 +5 4
C． 的最小值是 2 D．2 3x (x 0)的最大值是2 4 3
x2 + 4 x
3、 （多选题）下列代数式，最小值为 2 的有（ ）
b a
A．当ab =1时， a +b B．当ab =1时， +
a b
1
C． a2 2a +3 D． a
2 + 2 +
a2 + 2
题型三、常规配凑法求最值
1
1、 已知 x 2，则代数式 y = x + 的最小值为（ ）
x 2
A．2 B．4 C．3 D．无最小值
9 1
2、 函数 y = 4x x 的最小值是（ ）
2 4x 2
A．8 B．6 C．9 D．4
4
1
3、 已知 x 1，则 x + 的最大值为（ ）
x +1
A． 3 B． 2 C．2 D．3
题型四、分离常数型
方法讲解：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数
2x +1 2x 1 1
例 1： y = x + = x + + = x+ + 2 4 (x 0)
x x x x
2x 2x 2 2 2
例 2： y = 2x + = 2(x 1)+ + = 2(x+1)+ 2+
x 1 x 1 x 1 x 1
2x
1、 当 x 1时， 2x + 的最小值为（ ）
x 1
A．6 B．8 C．9 D．10
x + 2y x
2、 已知 x 0， y 0，则 + 的最小值为________．
2x y
题型五、“1”的妙用
i. 乘“1”法
原理：所求式子乘上一个等于 1 的式子，值不变.
1 2
例：已知 x 0, y 0， x + y =1，求 + 最小值.
x y
1 2 1 2 y 2x y 2x y 2x
解： + = + (x + y) =1+ + + 2 = 3+ + 3+ 2 = 3+ 2 2
x y x y x y x y x y
y 2x
取等条件： = ，结合 x + y =1， x = 2 1, y = 2 2 .
x y
5
x
常见变形： x + y = xy, +1= x等.
y
1 4
1、 已知正数 a,b满足 + =1，则a +b的最小值为（ ）
a b
A．5 B．8 C．9 D．11
2、 已知 x 0, y 0，且3x + 2y = xy，则 x + 2y的最小值为（ ）
A．64 B．8 C．8+ 4 3 D．8+ 2 3
3、 已知正实数a，b满足ab a 2b = 0，则a +b的最小值为（ ）
A．5 B．6
C． 2 +3 D．2 2 +3
4 1
4、 已知 a,b 0 ，且 a + = 2 ，则b + 的最小值为（ ）
b a
9 11
A．4 B． C．5 D．
2 2
6
a
5、 设a 0，b 0，且 4+ = a，则 a +b的最小值为（ ）
b
A．12 B．9 C．8 D．4
x + 2y
6、 若正实数 x， y满足 2x + y =1，则 的最小值是（ ）
xy
A．8 B．9 C．10 D．13
1 4
7、 已知0 x 2，则 + 的最小值为（ ）
x 2 x
3 5 7 9
A． B． C． D．
2 2 2 2
n 1
8、 已知m 0，n 0，且m+ 2n =1，则 + 的最小值为（ ）
m n
16
A． B．5 C．4 D．3
3
7
a 1
9、 已知正实数a，b满足2a +b = 2，则 + 的最小值为__________.
b a
a +1
10、 已知a 0，b 0，且 a+b =1，则 的最小值为（ ）
ab
A．6 B．2 2 C．5+ 2 6 D．3+ 2 2
题型六、二次比一次型
x2 + x + 3
例：已知 x 2,求 的最小值.
x 2
解：此类题可以选择配凑法或者换元法，此处直接用换元法.令 x 2 = t(t 0)，则
(t + 2)2 + (t + 2)+3 t2 +5t +9 9 9
x = t + 2，原式= = = t + + 5 2 t + 5 =11，当且仅当 t = 3, x = 5
t t t t
时等号成立，即原式的最小值为 11.
3x2 5x +5
1、 已知 x 1，则 的最小值为（ ）
x 1
A．4 B．5 C．6 D．7
8
x2 3x + 6
2、 已知 x 1，则 的最小值是（ ）
x 1
A．3 B．4 C．5 D．6
3+ x + x2
3、 当 x 0时，函数 y = 的最小值为（ ）
1+ x
A． 2 3 B． 2 3 1
C． 2 3 +1 D．4
题型七、因式分解法
含有 ax +by + abxy(x 0, y 0) 这类结构的式子可以考虑因式分解配凑成 (ax +1)(by +1)
的结构再结合整体思想来求最值
例：已知 x 0, y 0且 xy + x 2y = 4，则 2x + y 的最小值是 .
解：将 xy + x 2y = 4变形得到 (x 2)(y +1) = 2，令 x 2 = m, y +1= n，则mn = 2，
2x + y = 2m+ 4+ n 1= 2m+ n+3 2 2mn +3 = 7，当且仅当 x = 3, y =1时等号成立.
1、 已知 x 0，y 0，且3xy + x +3y = 3，则 x + 3y的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9
2、 已知 x， y R+， xy 2x y = 2，则 x+ y的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3、 已知m n 0， 2m2 +3mn =1+ 2n2 ，则4m+3n的最小值为____________________．
4、 （多选题）已知a，b为正实数，ab+ a+ 2b = 23，则下列说法正确的是（ ）
b 3 4
A．a + b 7 B． 的最小值为
a + 2 25
1 1 1
C．a + 4b的最小值为 14 D． + 的最小值为
a + 2 b+1 2
题型八、换元法
该题型是对前面题型的变形，对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑，
整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值；换元法是对分母不是
单个字母的式子进行换元，必要时可能要解方程组，便可以将题目转化为前面讲过的题型.
单分母换元：当 2 个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元
双分母换元：当 2 个分母均为字母加减常数时，可以把 2 个分母都换元
y 16x
例：已知 x 0, y 0，求 + 的最小值.
x 2x + y
10
解：令 2x+ y = t,则y = t 2x，
y 16x t 2x 16x t 16x t 16x
所以 + = + = + 2 2 2 = 6，当且仅当 y = 2x时等号成
x 2x + y x t x t x t
立.
1 1
1、 已知 1 m 1，则 + 的最小值为（ ）
1+m 1 m
A．2 B．4 C．6 D．8
2 1
2、 已知正实数 x，y满足 x + y = 2，则 + 的最小值为________．
x +3 y +1
x y
3、 已知 x， y为正实数，则 + 的最大值为（ ）
2x + y x +3y
2 7 3 1
A． B． C． D．
3 12 5 2
2a 2
4、 已知实数a 1，b 1，且3a + 2b = 6，则 + 的最小值是___________.
a 1 b 1
11
题型九、条件等式求值
1、 设正实数 x, y满足 2x + y =1，则（ ）
1
A． xy的最大值是 B． 2x + y的最大值为 2
4
1 2 x
C． 4x2 + y2 的最小值为 D． + 的最小值是1+ 2 2
2 x y
2、 （多选题）已知a 0，b 0，且a+b =1，则（ ）
1
A． ab的最大值为 B． a + b的最大值为 2
4
1 1 4
C． a2 +b2 的最小值为 D． + 的最小值为 3
2 2a +b a + 2b
3、 （多选题）设正实数 x，y满足 x + 2y = 4，则以下说法正确的有（ ）
16
A．xy的最大值为 2 22 B． x + y 的最小值为
5
1 1
C． x + 2y 的最大值为2 2 D． + 的最小值为3+ 2 2
x y
12
、 （多选题）已知实数 满足 x2 24 x, y + y + xy =1，则（ ）
1 2 3
A． xy有最大值为 B． x+ y有最小值为
3 3
． x2C + y2 有最小值为 2 21 D． x + y 有最大值为 2
5、 （多选题）已知a2 + 4b2 + 2ab =1，则（ ）
1 5
A． ab的最大值为 B． a2 + 4b2 的最小值为
6 7
1
C． a2 + 4b2 的最大值为 2 D．ab的最小值为
3
13
题型十、实际应用问题
1、 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原
理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F
在半圆O上，点C在直径 AB上，且OF ⊥ AB，设 AC = a，BC = b，可以直接通过比较线段
OF与线段CF的长度完成的无字证明为（ ）
A． a2 +b2 2ab( a 0,b 0 )
a +b
B． ab( a 0,b 0 )
2
a +b a2 +b2C． ( a 0,b 0 )
2 2
2ab
D． ab( a 0,b 0 )
a +b
2、 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学
家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也
称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段 AB上的点，且 AC = a，BC = b，O为 AB
的中点，以 AB为直径作半圆，过点 C作 AB的垂线交半圆于 D，连接OD， AD，BD，过
点 C作OD的垂线，垂足为 E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为
__________．（填写序号）
a +b
① ( 2 2 ab a 0,b 0)；②a +b 2ab(a 0,b 0)；
2
2
ab (a 0,b 0 2③ )；④ a +b
2 a +b
1 1
+ (a 0,b 0)
．
2 2
a b
14
3、 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为120 m2的花园．图中
阴影部分是宽度为1 m 的小路，中间 A,B,C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中
B,C区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为 x m，鲜花种植的总面积为
S m2 ．
(1)用含有 x的代数式表示 a；
(2)当 x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？
15
4、 已知一矩形纸片 ABCD(AB AD)的周长为8cm，如图，将 ABC沿 AC向 ADC折
叠， AB折过去后交DC于点P．
(1)证明： PA = PC．
(2)若改变 AB的长度 ( 矩形的周长保持不变 ) ，设 AB = x， ADP的面积为 s .
①试用 x表示面积 s；
② s是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由．
16
5、 2025 年被称为“智能体元年”，基于 AI 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变
革．某研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模
型的综合性能评分P (t )（满分 100 分）和有效训练时长 t（单位：百 GPU 小时）的关系分为
两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：

0.4t
2 +8t + c,0 t 10

P (t ) =
k 1.8t +170,10 t 60
t ；已知初始综合性能评分P(0) = 40，且在 t =10处函数
图象是连续不断的．
(1)求常数 c和 k的值；
P (t ) 50
(2)已知大模型的标准化训练效率定义为E (t ) = ， t 0，训练时长取何值时，“天
t
穹”模型的标准化训练效率最高？
17
题型十一、消元法
消元法:当所求最值的代数式中的变量比较多时，或者是用前面讲过的方法无法做出时，
通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本
不等式求最值.
a + 4b + 2b3
例：若 a 0,b 0,ab = 2，求 的最小值.
b2 +1
2
解：由 ab = 2得a = ，所以原式可化为
b
2
+ 4b + 2b3
2+ 4b2 + 2b4b 2(b
2 +1)2 2b2 + 2 2 2
= = = = 2b+ 2 2b = 4 ，当且仅当a = 2,b =1
b2 +1 b3 + b b(b2 +1) b b b
时，等号成立.
1、 已知a 1，b 1，且ab = a +b+3，则4a +b的最小值为____________.
2 1
2、 已知正实数 a,b满足 ab = a +1，则 + +b的最小值为__________.
a b 1
3、 已知 x 0, y 0,x2 + 3xy =1,则7x +3y的最小值是（ ）
A． 6 B． 2 5 C． 2 6 D． 2 7
18
2a +b2
4、 若a 0，b 0，且 a + 2b = ab，则 的最小值为（ ）
b
A．1 B．3 C．5 D．7
题型十二、判别式法（万能 k法）
求啥设啥，利用一元二次方程一定有解，判别式大于等于 0 来求解.
例：已知实数 2 2a,b满足a + 4b ab =1，求 a +b的最小值.
解：令a +b = k，则a = k b，所以原式可化为
(k b)2 + 4b2 (k b)b 1= 6b2 3kb+ k2 1= 0 .该方程有解，则
2 2 2 2 10 2 10 2 10 = 9k 24(k 1) = 24 15k 0，解得 k ，即a +b得最小值为 .
5 5 5
1、 已知正实数 2 2x, y满足 xy = x + y 12,则 x+ y的最大值是（ ）
A． 24 B．12 C． 4 3 D． 2 3
2、 （多选题）设 2 2x, y R ，若 4x + y + xy =1，则 x+ y的值可能为（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
19
3、 （多选题）已知 x， y 0， x + 2y + xy 6 = 0，则（ ）
A． xy的最大值为 2 B． x + 2y的最小值为 4
C． x+ y的最小值为 3 D． x+ y的最小值为4 2 3
课后作业
1、 下列结论表述正确的是（ ）
A．若 a,b R，则 a2 +b2 2ab恒成立
a b
B．若 a,b R，则 + 2恒成立
b a
a +b a2 +b2C．若a 0，b 0，则 成立
2 2
D．若 ，则 4 4x 0 x + 2 x = 4
x x
2、 （多选题）下列说法正确的是（ ）
4 12
A．若 x ，则 x + 1的最小值为 4
3 3x 4
x2 +11
B． 的最小值为 6
x2 + 2
1 1
C．若 3+ 2 2x 0， y 0，且 x + y =1，则 + 的最小值为
1+ x 1+ 2y 5
y 1
D．若 x 0， y 0，且 x + y = 2，则 + 的最小值为1+ 2
x y
20
3、 （多选题）若ab 0，a+3b = 9，则下列结论正确的有（ ）
27 81
A． ab a
2 + 9b2 B．
4 2
1 3 4 a2 9b2 27
C． + 的最小值为 D． + 的最小值为
a b 3 a +1 3b + 2 4
4、 （多选题）已知正实数 a、b满足2a +b =1，则（ ）
1 1
A． ab的最大值为 B．a2 +b2 的最小值为
8 5
1 1
C． + 的最小值为 8 D． 2a + b的最大值为 2
a b
3a 2
5、 已知正实数a，b满足3a+ 2b = 3，则 + 的最小值为________．
b a
1 9
6、 已知0 x 3，则 + 的最小值为_______.
x 3 x
7、 若 x, y R ， 4x2 + y2 + xy =1，则当 x = ______时， x+ y取得最大值，该最大值为______.
21
8、 回答下列问题
3
(1)若 x 2，求3x + 的最小值
x 2
1 6
(2)已知 x 1, y 1，且3x + 2y = 8，若 + m恒成立，求m的取值范围
x 1 y 1
9、 已知a，b为正实数，且ab+ (2a +b) =16，
(1)求 ab的最大值.
(2)求 a +b的最小值；
1 1
(3)求 + 的最小值.
a +1 b+ 2
22
10、 中国自主创新，芯片产业崛起，多项技术取得突破，全球布局加速，展现了强劲实力
和竞争力.现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入 98 万元购进一套生产设备，初步计
划使用该设备不超过 20 年.使用该设备后，预计每年的收入会达到 50 万元，已知前
x (x N*)年累计所需维修、保养费用 2z(x)万元满足如下函数关系式： z(x) = 2x + kx，且第
一年维修、保养费用为 12 万元，设使用该设备 x (x N*)年后盈利额为 y万元.
(1)写出 y与 x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，使用该设备开始盈利（盈利额为
正值）；
(2)使用该设备若干年后，对设备的处理方案有两种：
①设年平均盈利额为 (x) ，当 (x) 达到最大值时，以 30 万元价格处理该设备；
②当盈利额 y达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备.
y
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额 (x) = ）
x
23

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