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第二章 5 有理数的乘方 单元测试卷
（考试时间：90分钟 满分：100分）
班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的4次幂应记为（　　）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A.-32 =9 B.（-2）2 =-4 C.-（-4）=4 D.（-2）3 =-6
3. 在 (-2)5 中，底数和指数分别是（ ）
A. -2，5 B. 2，5 C. -2，-5 D. 2，-5
4. 《孙子算经 卷上3》记载：“凡大数之法，万万曰亿，万亿曰兆，万兆曰京”，说明了大数之间的关系：1亿=1万×1万，1兆=1万×1亿，则1京等于（　　）A. 108 B. 1012 C.1016 D.1024
5. 下列四个数：-（-5），|-3|，-22，（-1）5，其中负数的个数是（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（　　）
A.0.1×1011 B.1×109 C.1×1010 D.10×109
7. 若54×54×54=5m，45+45+45+45=4n，则m-n的值为（　　）
A. 3 B.4 C. 5 D. 6
8. 下列各组数中，相等的是（ ）
A. (-2)3 与 -23 B. (-2)2 与 -22 C. 23 与 32 D. (-1)3 与 (-1)2
9. 计算 (-1)2024 + (-1)2025 的结果是（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
10. 若 (a-1)2 + |b+2| = 0，则 a+b 的值为（ ）
A. -1 B. 1 C. 3 D. -3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. (-2) × (-2)× (-2)× (-2) 写成幂的形式可以表示为________。
12. 23×45×()7= ________。
13. 下列说法：①负数没有绝对值；②如果a是正数，那么-a一定是负数；③任何一个数都有相反数；④如果a大于b,那么a的倒数小于b的倒数；⑤互为相反数的两个数的同一正偶数次幂相等．
其中说法正确的有 ________（填序号）
14.据中国信息通讯研究院测算，截止到2025年12月，我国人工智能核心产业规模已突破120000亿元，显示出我国在人工智能领域的强劲势头．数据“120000亿”用科学记数法表示为 ________。
15. 已知n表示正整数，则的结果是________。
16. 计算：(-2)3 × ()2 = ________。
17. 若 |x-2| + (y+3)2 = 0，则 yx = ________。
18. 观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，根据规律，22026的个位数字是 ________。
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19.（本题满分8分，每小题2分）计算下列各题：
(1) (-5)2 (2) -52
(3) (-)3 (4) (-1)100 + (-1)101
20.（本题满分8分，每小题4分）用科学记数法表示下列各数，并说出原数的整数位数：
(1) 地球的表面积约为 510 000 000 平方千米；
(2) 光的速度约为 300 000 000 米/秒。
21.（本题满分8分，每小题4分）计算：
(1) -23 + (-3) × (-2)2 - (-1)2024
(2) (-3)2 ÷ (-) × (-)2
22.（本题满分8分，每小题4分）计算：
(1) -14 - (1 - 0.5) × × [3 - (-3)2]
(2) (-2)3 × ( - ) ÷ (-)2
23.（本题满分6分）
已知 a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，c 是倒数等于本身的数，
求 a2024 + b2024 + c2024 的值。
24.（本题满分8分）
一张纸的厚度约为 0.1 毫米，将它对折1次后，厚度为 0.1×2 = 0.2 毫米。
(1) 对折2次后，厚度为多少毫米？（2分）
(2) 对折10次后，厚度为多少毫米？（用科学记数法表示，3分）
(3) 若每层楼高约为3米，这张纸对折20次后约有多少层楼高？（3分）参考答案与评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C B C D A A A
二、填空题（每小题3分，共24分）
题号 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 (-2)4 ②③⑤ 1.2×1013 0 -2 9 4
三、解答题（共46分）
19.（8分）解：
(1) (-5)2 = (-5)×(-5) = 25 ………………………………（2分）
(2) -52 = -(5×5) = -25 ……………………………………（2分）
(3) (-)3 = (-)×(-)×(-) = - ………（2分）
(4) (-1)100 + (-1)101 = 1 + (-1) = 0 ………………（2分）
20.（8分）解：
(1) 510 000 000 = 5.1×108 ……………………………（2分）
原数的整数位数是9位。 ………………………………（2分）
(2) 300 000 000 = 3×108 ………………………………（2分）
原数的整数位数是9位。 ………………………………（2分）
21.（8分）解：
(1) -23 + (-3) × (-2)2 - (-1)2024
= -8 + (-3) × 4 - 1 ……………………………………（1分）
= -8 + (-12) - 1 ………………………………………（1分）
= -21 ……………………………………………………（2分）
(2) (-3)2 ÷ (-) × (-)2
= 9 ÷ (-) × () …………………………………（1分）
= 9 × (-) × () …………………………………（1分）
= - ……………………………………………………（2分）
22.（8分）解：
(1) -14 - (1 - 0.5) × × [3 - (-3)2]
= -1 - 0.5 × × [3 - 9] …………………………（1分）
= -1 - () × () × (-6) …………………………（1分）
= -1 - (-1) ………………………………………………（1分）
= 0 …………………………………………………………（1分）
(2) (-2)3 × ( - ) ÷ (-)2
= (-8) × () ÷ () ………………………………（1分）
= (-8) × () × 36 ……………………………………（1分）
= (-8) × 6 ………………………………………………（1分）
= -48 ………………………………………………………（1分）
23.（6分）解：
因为 a 是最大的负整数，所以 a = -1 …………………（1分）
因为 b 是绝对值最小的数，所以 b = 0 ………………（1分）
因为 c 是倒数等于本身的数，所以 c = 1 或 c = -1 …（1分）
当 c = 1 时：
a2024 + b2024 + c2024 = (-1)2024 + 02024 + 12024 = 1 + 0 + 1 = 2 …（1分）
当 c = -1 时：
a2024 + b2024 + c2024 = (-1)2024 + 02024 + (-1)2024 = 1 + 0 + 1 = 2 …（1分）
综上所述，原式的值为 2。 ………………………………（1分）
24.（8分）解：
(1) 对折2次后，厚度为 0.1×22 = 0.1×4 = 0.4（毫米）…（2分）
(2) 对折10次后，厚度为 0.1×210 = 0.1×1024 = 102.4（毫米）
= 1.024×102（毫米） …………………………………（3分）
(3) 对折20次后，厚度为 0.1×220 = 0.1×1048576 = 104857.6（毫米）
= 104.8576（米） ………………………………………（1分）
104.8576 ÷ 3 ≈ 35（层） ……………………………（1分）
答：这张纸对折20次后约有35层楼高。 ……………（1分）鲁教版（五四制）六年级上册
第二章 有理数及其运算
5 有理数的乘方
知识点梳理
一、学习目标
1. 理解乘方的概念，掌握幂、底数、指数的含义，能正确进行有理数的乘方运算；
2. 掌握乘方的符号法则，能准确判断正数、负数、0的乘方结果的符号；
3. 掌握有理数混合运算的顺序，能正确进行含乘方的有理数加、减、乘、除、乘方混合运算；
4. 理解科学记数法的意义，会用科学记数法表示绝对值较大的数，并能将科学记数法表示的数还原；
5. 在探索乘方法则和科学记数法的过程中，发展观察、归纳、猜测、验证等数学思维能力，体会数学的简洁美。
二、重点掌握方向
（一）学习重点
1. 乘方的概念：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数。
2. 乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；0的任何非零次幂都是0。
3. 有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里的。
4. 科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10^n的形式（其中1≤a<10，n是正整数）。
（二）学习难点
1. 负数的乘方运算中符号的准确确定，尤其要注意(-a)^n与-a^n的区别；
2. 含乘方的有理数混合运算中运算顺序的把握和符号的正确处理；
3. 科学记数法中指数n的确定（n等于原数的整数位数减1），以及科学记数法表示的数的还原。
三、知识点清单总览
序号 知识点名称 核心内容 对应课时
知识点一 乘方的概念 求n个相同因数的积的运算；幂、底数、指数 第1课时
知识点二 乘方的符号法则 正数任何次幂为正；负数奇次幂为负、偶次幂为正；0的非零次幂为0 第1课时
知识点三 有理数的混合运算 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号 第2课时
知识点四 科学记数法 a×10n（1≤a<10，n为正整数）；n=整数位数-1 第3课时
四、知识点详解与例题精讲
知识点一：乘方的概念
【概念定义】
求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作“a的n次幂”（或“a的n次方”）。
【重要说明】
1. 一个数可以看作它本身的一次方，指数1通常省略不写，例如5 = 51；
2. 二次方通常读作平方，例如a2读作“a的平方”；三次方通常读作立方，例如a3读作“a的立方”；
3. 乘方是一种特殊的乘法运算（因数都相同），书写时指数写在底数的右上角。
【例题1】把下列乘法算式写成乘方的形式，并指出底数和指数： (1) (-2) × (-2) × (-2) × (-2) (2) × × (3) (-1.5) × (-1.5) 【考点解析】本题考查乘方的概念，将相同因数的乘法转化为乘方形式。 解题关键：数清相同因数的个数（即指数），相同因数本身就是底数。注意负数和分数作底数时要加括号。 【解答过程】 (1) 4个(-2)相乘，写成 (-2)4，底数是-2，指数是4； (2) 3个相乘，写成 3，底数是，指数是3； (3) 2个(-1.5)相乘，写成 (-1.5)2，底数是-1.5，指数是2。
【例题2】计算下列各题： (1) (-3)2 (2) -32 (3) (-2)3 (4) -23 【考点解析】本题考查乘方的运算，重点考查(-a)n与-an的区别。 解题关键：(-a)n表示n个(-a)相乘，底数是-a；-an表示an的相反数，底数是a。两者意义不同，结果可能不同。 【解答过程】 (1) (-3)2 = (-3)×(-3) = 9（2个-3相乘，同号得正） (2) -32 = -(3×3) = -9（先算3的平方，再取相反数） (3) (-2)3 = (-2)×(-2)×(-2) = -8（3个-2相乘，负因数有奇数个，积为负） (4) -23 = -(2×2×2) = -8（先算2的立方，再取相反数） 【答案】(1) 9 (2) -9 (3) -8 (4) -8
【例题3】下列说法正确的是（ ） A. -25的底数是-2，指数是5 B. (-2)5的底数是-2，指数是5 C. -25表示5个-2相乘 D. (-2)5与-25的结果不相等 【考点解析】本题考查乘方的概念及(-a)n与-an的区别。 解题关键：明确(-a)n的底数是-a，-an的底数是a；当n为奇数时，(-a)n = -an；当n为偶数时，(-a)n = an。 【解答过程】 A. 错误，-25的底数是2，不是-2； B. 正确，(-2)5的底数是-2，指数是5； C. 错误，-25表示25的相反数，不是5个-2相乘； D. 错误，因为5是奇数，所以(-2)5 = -32，-25 = -32，两者结果相等。 【答案】B
知识点二：乘方的符号法则
【法则内容】
1. 正数的任何次幂都是正数；
2. 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
3. 0的任何非零次幂都是0（注意：0的0次幂无意义）。
【特殊规律】
1. 1的任何次幂都是1；
2. -1的奇数次幂是-1，-1的偶数次幂是1；
3. 互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数。
【运算步骤】
第一步：判断底数是正数、负数还是0；第二步：根据指数的奇偶性确定幂的符号；第三步：计算底数绝对值的幂。
【例题1】不计算，判断下列各幂的符号： (1) (-5)3 (2) (-5)4 (3) 5^3 (4) (-1)2024 (5) (-1)2025 (6) 010 【考点解析】本题考查乘方的符号法则。 解题关键：正数的任何次幂为正；负数看指数奇偶性，奇次幂为负，偶次幂为正；0的非零次幂为0 【解答过程】 (1) (-5)3：底数是负数，指数3是奇数，所以结果为负； (2) (-5)4：底数是负数，指数4是偶数，所以结果为正； (3) 53：底数是正数，所以结果为正； (4) (-1)2024：底数是-1，指数2024是偶数，所以结果为正（等于1）； (5) (-1)2025：底数是-1，指数2025是奇数，所以结果为负（等于-1）； (6) 010：底数是0，指数10非零，所以结果为0。 【答案】(1) 负 (2) 正 (3) 正 (4) 正 (5) 负 (6) 0
【例题2】计算下列各题： (1) (-2)4 (2) ()3 (3) (-0.1)2 (4) (-1)100 (5) (-1)101 (6) -(-3)2 【考点解析】本题考查乘方的符号法则及乘方运算。 解题关键：先根据符号法则确定结果的符号，再计算绝对值的乘方。注意-(-3)2要先算乘方再取相反数。 【解答过程】 (1) (-2)4：负数偶次幂为正，24=16，所以 (-2)^4 = 16 (2) ()3：负数奇次幂为负，()3=，所以 ()3 = (3) (-0.1)2：负数偶次幂为正，0.12=0.01，所以 (-0.1)2 = 0.01 (4) (-1)100：-1的偶次幂为1，所以 (-1)100 = 1 (5) (-1)101：-1的奇次幂为-1，所以 (-1)101 = -1 (6) -(-3)2：先算(-3)2=9，再取相反数，所以 -(-3)2 = -9 【答案】(1) 16 (2) (3) 0.01 (4) 1 (5) -1 (6) -9
【例题3】若 |a+2| + (b-3)2 = 0，求 ab 的值。 【考点解析】本题综合考查绝对值、乘方的非负性及代数式求值。 解题关键：绝对值和平方数都是非负数（即≥0），两个非负数的和为0，说明每个非负数都为0。 【解答过程】 因为 |a+2| ≥ 0，(b-3)2 ≥ 0，且 |a+2| + (b-3)2 = 0 所以 |a+2| = 0，(b-3)2 = 0 即 a+2 = 0，b-3 = 0 解得 a = -2，b = 3 所以 ab = (-2)3 = -8
知识点三：有理数的混合运算
【运算顺序】
1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行；
3. 如果有括号，先算括号里面的，一般按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。
【运算级别】
加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方叫做第三级运算。运算时先算高级运算，再算低级运算。
【注意事项】
1. 每一步运算都要先确定符号，再计算绝对值；
2. 能运用运算律简化计算的，要尽量使用运算律；
3. 注意(-a)n与-an的区别，不要混淆。
【例题1】计算：-23 + (-3) × [(-4)2 + 2] - (-3)2 ÷ (-2) 【考点解析】本题考查含乘方的有理数混合运算。 解题关键：严格按照运算顺序——先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里的。每一步注意符号。 【解答过程】 -23 + (-3) × [(-4)2 + 2] - (-3)2 ÷ (-2) = -8 + (-3) × [16 + 2] - 9 ÷ (-2) （先算乘方：-23=-8，(-4)2=16，(-3)2=9） = -8 + (-3) × 18 - 9 ÷ (-2) （再算括号里的：16+2=18） = -8 + (-54) - (-4.5) （再算乘除：(-3)×18=-54，9÷(-2)=-4.5） = -8 - 54 + 4.5 （减去负数等于加正数） = -62 + 4.5 = -57.5
【例题2】用简便方法计算：2 × 4 + (-2)3 ÷ |-4| + (-1)2024 【考点解析】本题考查乘方、绝对值与有理数混合运算的综合应用。 解题关键：先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减。注意(-1)的偶次幂为1。 【解答过程】 ()2 × 4 + (-2)3 ÷ |-4| + (-1)2024 = () × 4 + (-8) ÷ 4 + 1 （先算乘方和绝对值：()2=)，(-2)3=-8，|-4|=4，(-1)2024=1） = 1 + (-2) + 1 （再算乘除：()×4=1，(-8)÷4=-2） = 0 （最后算加减）
知识点四：科学记数法
【定义】一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
【说明】
1. a必须满足1≤a<10，即a是整数位数只有一位的数（可以等于1，但不能等于10）；
2. 小于-10的数也可以用类似的方法表示，例如-2590000 = -2.59×106；
3. n的确定方法：n等于原数的整数位数减1。
【还原方法】
把科学记数法表示的数a×10n还原成原数，就是把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）。
【例题1】用科学记数法表示下列各数： (1) 40 000 000 (2) 510 000 000 (3) -7 240 000 【考点解析】本题考查用科学记数法表示较大的数。 解题关键：将小数点移到第一个非零数字后面，得到a（1≤a<10）；n等于原数的整数位数减1。负数保留负号。 【解答过程】 (1) 40 000 000：整数位数是8位，a=4，n=8-1=7，所以 40 000 000 = 4×107 (2) 510 000 000：整数位数是9位，a=5.1，n=9-1=8，所以 510 000 000 = 5.1×108 (3) -7 240 000：整数位数是7位，a=7.24，n=7-1=6，保留负号，所以 -7 240 000 = -7.24×106 【答案】(1) 4×107 (2) 5.1×108 (3) -7.24×106
【例题2】下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1) 3×105 (2) 6.4×106 (3) -2.05×104 【考点解析】本题考查将科学记数法表示的数还原成原数。 解题关键：将a的小数点向右移动n位，位数不够时用0补足。负数保留负号。 【解答过程】 (1) 3×105：将3的小数点向右移动5位，得到 300 000 (2) 6.4×106：将6.4的小数点向右移动6位，得到 6 400 000 (3) -2.05×104：将2.05的小数点向右移动4位，保留负号，得到 -20 500 【答案】(1) 300 000 (2) 6 400 000 (3) -20 500
【例题3】下列各数的表示方法中，是科学记数法的是（ ） A. 0.68×105 B. 68×103 C. 6.8×104 D. 6.8×100 【考点解析】本题考查科学记数法的定义。 解题关键：科学记数法要求a满足1≤a<10，且n是正整数。逐一检查各选项是否满足条件。 【解答过程】 A. 0.68×105：a=0.68，不满足1≤a<10（0.68<1），不是科学记数法； B. 68×103：a=68，不满足1≤a<10（68≥10），不是科学记数法； C. 6.8×104：a=6.8，满足1≤6.8<10；n=4，是正整数，是科学记数法； D. 6.8×100：n=0，不是正整数（科学记数法中n应为正整数），不是科学记数法。 【答案】C

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