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同步探究学案
课题 26.3 二次函数与一元二次方程(第2课时) 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.会利用二次函数图象求对应一元二次方程的近似解． 2.能够结合函数图象判断代数式取值、不等式大致解集． 3.进一步强化数形结合思想方法．
重点 借助二次函数图象求一元二次方程的近似根．
难点 利用函数图象分析函数值正负，理解近似根的估算原理．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说二次函数与一元二次方程的关系？ 答案：一般地，从二次函数的图象，可得如下结论： (1)如果抛物线与轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是一元二次方程的一个根. (2)二次函数的图象与轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助二次函数的图象，研究一元二次方程的近似根。 例：利用函数图象求方程的根的近似值(结果保留小数点后一位). 解：如图所示画出函数的图象，它与轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程的实数根为 注意：由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. 观察思考：什么时候，什么时候？ 答案：当x<-0.7或x>2.7时， 当-0.7课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 答案：C 2．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 答案： 3．利用二次函数与一次函数的图象，求一元二次方程的近似根． 解：在同一平面直角坐标系中分别作出函数与的图象，如图所示： 由图形可知，二次函数与一次函数的交点坐标是（ 0.8，1.2），（1.3，3.3）， 所以一元二次方程的近似根为． 选做题： 4．下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（ ）
A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．如图，利用函数的图象，解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)该函数图象的顶点坐标是 ，当时，随的增大而减小； (3)当时，的取值范围是 ； (4)当时，的取值范围是 ． 解：（1）由图象可得抛物线经过，， ，为方程的解， 故答案为：，． （2）， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 抛物线开口向上， 时，随增大而减小， 故答案为：，． （3）抛物线开口向上，顶点坐标为， 函数最小值为， 将代入得， 当时，， 故答案为：． （4）由图象可得抛物线经过， 抛物线对称轴为直线， 抛物线经过， 当或时，， 故答案为：或．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x11.11.21.31.4y0.040.591.16
那么方程的一个近似根是（ ） A．1 B．1.19 C．1.3 D．1.4 答案：B 2．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______． 答案： 3．利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 解：方程的根是函数与x轴交点的横坐标． 作出二次函数的图像，如图所示： 由图像可知，方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间． 先求0和之间的根， 当时，；当时，， 因此，是方程的一个近似根， 同理，是方程的另一个近似根． 所以方程的两个近似根是：或． 选做题： 4．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： xy0.250.560.89
则方程的一个较大的根的范围是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类作业】 5．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）观察图象可知：不等式的解集为； （3）由图象可知，时，方程有且只有一个实数根．
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课题 26.3 二次函数与一元二次方程(第2课时) 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.会利用二次函数图象求对应一元二次方程的近似解． 2.能够结合函数图象判断代数式取值、不等式大致解集． 3.进一步强化数形结合思想方法．
重点 借助二次函数图象求一元二次方程的近似根．
难点 利用函数图象分析函数值正负，理解近似根的估算原理．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说二次函数与一元二次方程的关系？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助二次函数的图象，研究一元二次方程的近似根。 例：利用函数图象求方程的根的近似值(结果保留小数点后一位). 解：如图所示画出函数的图象，它与轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程的实数根为 注意：由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. 观察思考：什么时候，什么时候？ 我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根. 观察函数的图象，可以发现：点在轴的下方，即当自变量为2时的函数值小于________，点在轴的上方，即当自变量为3时的函数值大于________.因为抛物线是一条连续不断的曲线，所以抛物线在这一段经过轴.也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为________，即方程在________，________之间有根. 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数________，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为________，与自变量为3时的函数值________，所以这个根在________，________之间.再取2.5，3的平均数________，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为________，与自变量为2.5时的函数值________，所以这个根在________，________之间. 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875-2.75|=________<0.1，我们可以将________作为根的近似值. 试一试：你能用这种方法得出方程的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)？ 这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 2．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 3．利用二次函数与一次函数的图象，求一元二次方程的近似根． 选做题： 4．下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（ ）
A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图，利用函数的图象，解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)该函数图象的顶点坐标是 ，当时，随的增大而减小； (3)当时，的取值范围是 ； (4)当时，的取值范围是 ．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x11.11.21.31.4y0.040.591.16
那么方程的一个近似根是（ ） A．1 B．1.19 C．1.3 D．1.4 2．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______． 3．利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 选做题： 4．已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： xy0.250.560.89
则方程的一个较大的根的范围是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值．
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