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(共23张PPT)
培优课3　与圆有关的最值问题
课堂探究·素养培育
题型一　与距离有关的最值问题
B
(2)当直线l:(m+1)x+(2m+1)y-7m-4=0(m∈R)被圆C:(x-2)2+(y-1)2=25截得的弦最短时,实数m的值为　　　　.
解题策略
(1)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题.
(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离,然后利用数形结合确定距离的最值.
[方法迁移] (1)从点P(1,-2)向圆x2+y2-2mx-2y+m2=0作切线,当切线长最短时,
m的值为(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.0
B
(2)已知O为坐标原点,点P在单位圆上,过点P作圆C:(x-4)2+(y-3)2=4的切线,切点为Q,则|PQ|的最小值为　　　　.
题型二　与面积有关的最值问题
[例2] (1)已知点O(0,0),A(0,2),点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,则△OAM面积的最小值为　　　　.
1
【解析】 (1)如图,根据题意,得圆(x-3)2+(y+1)2=4的圆心为(3,-1),半径 r=2,
(2)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k=　　　　.
2
解题策略
求解与圆的面积有关的最值问题,一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法、基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.
[方法迁移] 直线y=kx+3与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则△OAB面积的最大值为(　　)
B
题型三　利用代数式的几何意义求解最值问题
[例3] 已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上.
(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值;
(3)求x+y的最大值与最小值.
解题策略
[方法迁移] (2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　)
C培优课3　与圆有关的最值问题
题型一　与距离有关的最值问题
[例1] (1)在平面直角坐标系Oxy中,已知(x1-2)2+=5,x2-2y2+4=0,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为(　　)
A. B. C. D.
(2)当直线l:(m+1)x+(2m+1)y-7m-4=0(m∈R)被圆C:(x-2)2+(y-1)2=25截得的弦最短时,实数m的值为　　　　.
【答案】 (1)B　(2)-
【解析】 (1)由已知得点(x1,y1)在圆(x-2)2+y2=5上,点(x2,y2)在直线x-2y+4=0上,
故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圆(x-2)2+y2=5上的点和直线x-2y+4=0上点的距离的平方,
而距离的最小值为-=,
故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为.故选B.
(2)直线l:(m+1)x+(2m+1)y-7m-4=0,即m(x+2y-7)+(x+y-4)=0,
圆C:(x-2)2+(y-1)2=25的圆心C(2,1),半径为5.
由解得
故直线l经过定点A(1,3).
要使直线l被圆C截得的弦长最短,需CA和直线l垂直,
故kCA·kl=-1,
即·(-)=-1,
解得m=-.
(1)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值
问题.
(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离,然后利用数形结合确定距离的最值.
[方法迁移] (1)从点P(1,-2)向圆x2+y2-2mx-2y+m2=0作切线,当切线长最短时,m的值为(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.0
(2)已知O为坐标原点,点P在单位圆上,过点P作圆C:(x-4)2+(y-3)2=4的切线,切点为Q,则|PQ|的最小值为　　　　.
【答案】 (1)B　(2)2
【解析】 (1)x2+y2-2mx-2y+m2=0可化为(x-m)2+(y-1)2=1,圆心C(m,1),半径为1,
切线长最短时,|CP|最小,|CP|=,
即当m=1时,|CP|最小,切线长最短.故选B.
(2)根据题意,圆C:(x-4)2+(y-3)2=4,其圆心C(4,3),半径r=2,过点P作圆C:(x-4)2+(y-3)2=4的切线,切点为Q,则 |PQ|=,当|PC|最小时,|PQ|最小,又由点P在单位圆上,则|PC|的最小值为|OC|-1=-1=4,则|PQ|的最小值为=2.
题型二　与面积有关的最值问题
[例2] (1)已知点O(0,0),A(0,2),点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,则△OAM面积的最小值为　　　　.
(2)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k=　　　　.
【答案】 (1)1　(2)2
【解析】 (1)如图,根据题意,得圆(x-3)2+(y+1)2=4的圆心为(3,-1),半径 r=2,
O(0,0),A(0,2),OA所在的直线是y轴,
当M到直线AO的距离最小时,△OAM的面积最小,
则M到直线AO的距离的最小值d=3-2=1,
则△OAM的面积最小值S=×|OA|×d=1.
(2)如图,圆C:x2+y2-2y=0的圆心为C(0,1),半径r=1,
由圆的性质可知,四边形PACB的面积S=2S△PBC,
又四边形PACB的最小面积是2,则S△PBC的最小值S=1=r|PB|min=|PB|min,
则|PB|min=2,
因为|PB|==,
所以当|PC|取最小值时,|PB|最小.
又点P(x,y)是直线kx+y+4=0上的动点,
当CP垂直于直线kx+y+4=0时,|PC|最小,即为圆心C(0,1)到直线的距离,
所以==,
解得k=±2,
因为k>0,所以k=2.
求解与圆的面积有关的最值问题,一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法、基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.
[方法迁移] 直线y=kx+3与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则△OAB面积的最大值为(　　)
A.1 B. C. D.
【答案】 B
【解析】 设圆心到直线的距离为d(0则|AB|=2,
所以S△ABO=·2·d=,
由基本不等式,可得S△ABO=≤=,
当且仅当d=时,等号成立,即△OAB面积的最大值为.故选B.
题型三　利用代数式的几何意义求解最值问题
[例3] 已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值;
(3)求x+y的最大值与最小值.
【解】 方程x2+y2-6x-6y+14=0可化为(x-3)2+(y-3)2=4.
(1)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率,如图①所示,显然PO(O为坐标原点)与圆相切时,斜率最大或最小.
设切线方程为y=kx(由题意知,斜率一定存在),即kx-y=0,由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2,可得=2,解得k=,所以的最大值为,最小值为.
(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2,它表示圆上的点P到点E(-1,0)的距离的平方再加2,所以当点P与点E的距离最大或最小时,所求式子取得最大值或最小值,如图②所示,显然点E在圆C的外部,所以点P与点E距离的最大值|P1E|=|CE|+2,点P与点E距离的最小值|P2E|=|CE|-2.又|CE|==5,所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51,最小值为(5-2)2+2=11.
(3)设x+y=b,则b表示动直线y=-x+b在y轴上的截距,如图③所示,显然当动直线y=-x+b与圆(x-3)2+(y-3)2=4相切时,b取得最大值或最小值,此时圆心C(3,3)到切线x+y=b的距离等于圆的半径2,则 =2,即|b-6|=2,解得b=6±2,所以 x+y的最大值为6+2,最小值为6-2.
(1)形如u=形式的最值问题,可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线斜率的最值问题.
(2)形如l=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线y=-x+的截距的最值问题.
[方法迁移] (2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　)
A.1+ B.4
C.1+3 D.7
【答案】 C
【解析】 由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9,其表示圆心为(2,1),半径为3的圆.
设x-y=k,则圆心到直线x-y=k的距离 d=≤3,解得1-3≤k≤1+3.故选C.
1.已知过点(1,1)的直线l与圆x2+y2-4x=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　)
A. B.2 C.2 D.4
【答案】 C
【解析】 将圆的方程x2+y2-4x=0化为标准方程(x-2)2+y2=4,
则圆心为(2,0),半径r=2,则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为,
|AB|最小值为2=2.故选C.
2.已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　　)
A. B. C.1 D.3
【答案】 A
【解析】 因为圆C:(x-1)2+(y-1)2=2的圆心 C(1,1),半径r=,
所以圆心C(1,1)到直线l:x-y+4=0的距离d===2>r,
故圆C上的点到直线l的距离的最小值为d-r=2-=.故选A.
3.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-1=0,则y-2x的最小值和最大值分别为(　　)
A.-9,1 B.-10,1
C.-9,2 D.-10,2
【答案】 A
【解析】 x2+y2-4x-1=0即为(x-2)2+y2=5,
y-2x可看作是直线y=2x+b在y轴上的截距,
当直线y=2x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,
此时=,解得b=-9或1.
所以y-2x的最大值为1,最小值为-9.故选A.
4.直线x+y+1=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)
A.[,] B.[1,5]
C.[,] D.[,]
【答案】 A
【解析】 因为直线x+y+1=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,
所以A(-1,0),B(0,-1),所以|AB|=.
又因为圆(x-2)2+y2=2的圆心为(2,0),半径为,
所以圆心到直线x+y+1=0的距离为d==>,
所以点P到直线x+y+1=0的最大距离为+=,最小距离为-=,
所以△ABP的最大面积是××=,△ABP的最小面积为××=.
故选A.
5.(多选)已知点A(0,4),B(2,2),直线l:kx+y-2k-2=0,M为圆C:(x-3)2+(y-3)2=4上的动点,下列选项中正确的是(　　)
A.若圆C关于l对称,则k=1
B.l与圆C总有公共点
C.△MAB面积的最大值为2+2
D.△MAB面积的最小值为2+2
【答案】 BC
【解析】 若圆C关于l对称,则直线l过圆心 C(3,3),
则3k+3-2k-2=0,解得k=-1,故A错误;
因为直线l:kx+y-2k-2=0,
即y-2=-k(x-2)恒过点B(2,2),
又(2-3)2+(2-3)2=2<4,所以点B在圆C的内部,
所以l与圆C总有公共点,故B正确;
因为|AB|==2,
且kAB==-1,
所以直线AB的方程为y-4=-x,
即x+y-4=0,所以圆心C到直线AB的距离为 d==,即点M到直线AB的距离的取值范围为[0,2+],
所以△MAB面积的取值范围为[0,2+2],
故C正确,D错误.
故选BC.
6.(多选)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
【答案】 ACD
【解析】 设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),由题易知直线AB的方程为+=1,即x+2y-4=
0,则圆心M到直线AB的距离d==>4,所以直线AB与圆M相离,所以点P到直线AB的距离的最大值为4+d=4+,4+<5+=10,故A正确;
易知点P到直线AB的距离的最小值为d-4=-4,-4<-4=1,故B不正确;
过点B作圆M的两条切线,切点分别为N,Q,如图所示,连接MB,MN,MQ,则当∠PBA最小时,点P与N重合,|PB|===3,当∠PBA最大时,点P与Q重合,|PB|=3,故C,D都正确.
故选ACD.
7.若圆C:(x-2)2+(y-1)2=1关于直线 ax+2by+2=0对称,则点(a,b)与圆心C的距离的最小值是　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题意可知直线经过圆心,所以2a+2b+2=0,即a+b+1=0,点(a,b)到圆心距离的最小值就是圆心到直线a+b+1=0的距离的最小值,
d==2.
8.已知A(-1,0),B(1,0),点M满足=,则△ABM面积的最大值为　　　　.
【答案】 2
【解析】 设点M(x,y),由|MA|=|MB|,
得=,
平方化简为(x-3)2+y2=8,所以点M的轨迹是以点(3,0)为圆心,2为半径的圆,如图.
所以△ABM面积的最大值为 |AB|r=×2×2=2.
9.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点 A(-1,0),B(1,0),点P为圆上的动点,求 |PA|2+|PB|2 的最大值.
【解】 设点P(a,b).因为点A(-1,0),B(1,0),所以|PA|2+|PB|2=(a+1)2+b2+(a-1)2+b2=2(a2+b2)+2,
其中a2+b2的几何意义为点P(a,b)到原点的距离的平方.
因为点P为圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,圆心C(3,4)到原点的距离为5,
所以点P(a,b)到原点的距离的最大值为5+1=6,
所以|PA|2+|PB|2=2(a2+b2)+2的最大值为2×36+2=74.
10.已知A(-2,0),B(2,0)两点,动点M(x,y)到点A的距离是它到点B的距离的 倍.
(1)设动点M的轨迹为曲线C,求C的标准方程;
(2)设直线l:(k-1)x-2y+5-3k=0(k∈R),若直线l与曲线C交于P,Q两点,当|PQ|最小时,求直线l的方程.
【解】 (1)由题意得
=×,
化简得(x-4)2+y2=12,即为动点M的轨迹方程.
(2)由直线l:(k-1)x-2y+5-3k=0(k∈R),即k(x-3)+5-x-2y=0,
可令解得
则直线l过定点N(3,1),
设(x-4)2+y2=12的圆心为C,
当CN与直线l垂直时,|PQ|最小,
此时kCN×kl=-1,
即×=-1,得k=3,
所以直线l的方程为x-y-2=0.
11.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】 C
【解析】 法一　由x2+y2+2x-4y+3=0,
得(x+1)2+(y-2)2=2,
依题意得圆心C(-1,2)在直线2ax+by+6=0上,
即2a×(-1)+2b+6=0,
整理得a=b+3.①
易知由点(a,b)向圆所作的切线长
l=,②
将①代入②,得
l==.
又b∈R,所以当b=-1时,lmin=4.
故选C.
法二　因为过圆外一点的圆的切线长l、半径r和该点到圆心的距离d满足勾股定理,
即l2=d2-r2,所以切线长最短时该点到圆心的距离最小,则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.
由题意知圆心C(-1,2),半径r=,点(a,b)满足a=b+3,即点(a,b)在直线y=x-3上;
所以点(a,b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y=x-3的距离d′,
易求得d′==3,所以切线长的最小值为=4.
故选C.
12.已知直线l:x-y=1与圆M:x2+y2-2x+2y-1=0相交于A,C两点,点B,D分别在圆M上运动,且位于直线AC两侧,则四边形ABCD面积的最大值为　　　　.
【答案】
【解析】 因为x2+y2-2x+2y-1=0可变形为(x-1)2+(y+1)2=3,
所以其圆心为M(1,-1),半径为r=,
所以圆心M(1,-1)到直线l:x-y=1的距离为=.
由题知,当BD为过圆心M且垂直于AC的直径时,四边形ABCD的面积取最大值,
为×|AC|×|BD|=×2×2=.
13.已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;
(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.
【解】 (1)由圆C的方程x2+y2-4x-14y+45=0化为标准方程得(x-2)2+(y-7)2=8,
所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.
又|QC|==4,
所以|MQ|max=4+2=6,
|MQ|min=4-2=2.
(2)由题意可知表示直线MQ的斜率,
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,则=k.
由直线MQ与圆C有交点,
得≤2,
可得2-≤k≤2+,
所以的最大值为2+,最小值为2-.
14.已知点A(-2,0),B(0,-2),点P在圆C:(x-2)2+y2=2上运动,∠PAB的最大值为α,最小值为β,则sin α+sin β等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 如图,过点A向圆引两条切线,切点分别为P1,P2,
则∠P1AB与∠P2AB分别为∠PAB的最大、最小角.
设∠P1AC=θ,由|AC|=4,|CP1|=,
可得sin θ=,cos θ=,
由A(-2,0),B(0,-2)可知∠BAC=45°,
所以sin α+sin β=sin(45°+θ)+sin(45°-θ)=cos θ=.
故选D.

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