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(共22张PPT)
培优课6　抛物线的焦点弦问题
抛物线的焦点弦有很多性质,比如,设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
课堂探究·素养培育
[例1] 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线m与抛物线C交于A,B两点,点O为坐标原点,则∠AOB是(　　)
A.直角 B.锐角
C.钝角 D.锐角、直角或钝角
C
解题策略
通过抛物线的特殊性质,脱离传统的联立方程组求解,可较为迅速地得到结果.
A.-4 B.4 C.p2 D.-p2
A
解题策略
[方法迁移] 经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为7,则p=　 .
2
[例3] 过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|=6,则 |BF|等于(　　)
A.9或6 B.6或3
C.9 D.3
D
解题策略
将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系,转化为焦半径问题.
[方法迁移] 如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且 |AF|=4,则线段AB的长为(　　)
C
题型四　以弦AB为直径的圆与准线相切的应用
[例4] 以抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB为直径的圆与准线相切于点(-2,-3).
(1)求这个圆的方程;
(2)求△AOB的面积.
解题策略
把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切,进行问题的求解.
[方法迁移] 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,以AB为直径的圆与准线l的公共点为M,若∠AMF=60°,则∠MFO的大小为(　　)
A.15° B.30° C.45° D.不确定
B
【解析】 如图,取AB的中点G,连接MG,
则以AB为直径的圆与准线l切于点M,
根据抛物线性质,得MG∥x轴,
且MF⊥AB.
因为∠AMF=60°,
所以∠GAM=∠GMA=30°.所以∠MFO=∠GMF=30°.
故选B.培优课6　抛物线的焦点弦问题
抛物线的焦点弦有很多性质,比如,设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1x2=,y1y2=-p2;
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切;
(3)|AB|=x1+x2+p=(α是直线AB的倾斜角,α≠0°);
(4)+=.
运用这些性质可以减少运算,使问题的解决变得更加快捷.
题型一　x1x2=,y1y2=-p2的应用
[例1] 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线m与抛物线C交于A,B两点,点O为坐标原点,则∠AOB是(　　)
A.直角 B.锐角
C.钝角 D.锐角、直角或钝角
【答案】 C
【解析】 法一　由题意知抛物线C的焦点F的坐标为(0,1).由题意分析可知,直线m的斜率一定存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线m的方程为 y=kx+1,与抛物线C:x2=4y联立,得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,所以·=x1x2+y1y2=x1x2+·=-4+1=-3<0,所以∠AOB为钝角.故
选C.
法二　因为抛物线焦点在y轴上,所以x1x2=-p2=-4,y1y2==1,则·=x1x2+y1y2=-4+1=-3<0,故∠AOB为钝角.故选C.
通过抛物线的特殊性质,脱离传统的联立方程组求解,可较为迅速地得到结果.
[方法迁移] 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于(　　)
A.-4 B.4 C.p2 D.-p2
【答案】 A
【解析】 因为x1x2=,y1y2=-p2,
所以=-4.故选A.
题型二　|AB|=x1+x2+p=的应用
[例2] 过抛物线y2=2x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,求|AF|.
【解】 由题知p=1,抛物线焦点F(,0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1显然直线AB的斜率存在,
设AB的方程为y=k(x-)(k≠0),
将直线方程与抛物线方程联立,
消去y,得k2x2-(k2+2)x+k2=0,①
则x1+x2=.
因为|AB|=p+(x1+x2)=1+=,
所以k2=24,方程①即12x2-13x+3=0,
解得x1=,x2=,
故|AF|=x1+=+=.
利用|AB|=x1+x2+p=(α是直线AB的倾斜角,α≠0°)求解焦点弦的长度问题,首先要确定抛物线的标准方程,然后结合几何条件(斜率、端点坐标等)转化问题,注意参数关系和弦过焦点的验证.
[方法迁移] 经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为7,则p=　 .
【答案】 2
【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2).
因为AB的中点M的横坐标为7,
所以x1+x2=14.
所以14+p=.所以p=2.
题型三　 的应用
[例3] 过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|=6,则 |BF|等于(　　)
A.9或6 B.6或3
C.9 D.3
【答案】 D
【解析】 由题知p=4,由抛物线焦点弦的性质可得+=,
所以=-=,
所以|BF|=3.故选D.
将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系,转化为焦半径问题.
[方法迁移] 如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且 |AF|=4,则线段AB的长为(　　)
A.5
B.6
C.
D.
【答案】 C
【解析】 如图,过点A作AD⊥l,垂足为D,则
|AD|=|AF|=|AC|=4,
|OF|==4×=1,
所以p=2.
因为+=,
|AF|=4,所以|BF|=.
所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=.
故选C.
题型四　以弦AB为直径的圆与准线相切的应用
[例4] 以抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB为直径的圆与准线相切于点(-2,-3).
(1)求这个圆的方程;
(2)求△AOB的面积.
【解】 (1)由抛物线的方程知其准线方程为x=-.设焦点弦AB的中点为M(x0,y0),如图.
因为以焦点弦AB为直径的圆与抛物线准线相切于点(-2,-3),
所以
所以所以抛物线的方程为y2=8x,其焦点F(2,0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+2,代入抛物线方程得y2-8my-16=0,Δ=(-8m)2+64>0,
y1+y2=8m,y1y2=-16,
所以=-3.
所以m=-.
所以直线AB的方程为x=-y+2,
y1+y2=-6,y1y2=-16,
所以x1+x2=-(y1+y2)+4=.
所以AB的中点坐标为M(,-3),
|AB|=x1+x2+p=+4=,
所以以AB为直径的圆的方程为(x-)2+(y+3)2=()2=,
即所求圆的方程为(x-)2+(y+3)2=.
(2)S△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|·|y1-y2|=×2·=
=10.
把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切,进行问题的求解.
[方法迁移] 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,以AB为直径的圆与准线l的公共点为M,若∠AMF=60°,则∠MFO的大小为(　　)
A.15° B.30° C.45° D.不确定
【答案】 B
【解析】 如图,取AB的中点G,连接MG,
则以AB为直径的圆与准线l切于点M,
根据抛物线性质,得MG∥x轴,
且MF⊥AB.
因为∠AMF=60°,
所以∠GAM=∠GMA=30°.所以∠MFO=∠GMF=30°.
故选B.
1.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则|AB|等于(　　)
A.4 B. C.5 D.6
【答案】 B
【解析】 因为|AF|=2|BF|,所以+=+===1,解得|BF|=,|AF|=3,
故|AB|=|AF|+|BF|=.故选B.
2.已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在 x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若·=-12,则抛物线C的方程为(　　)
A.x2=8y B.x2=4y
C.y2=8x D.y2=4x
【答案】 C
【解析】 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),直线AB的方程为x=my+,
A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,
得·=x1x2+y1y2=-p2=-p2=-12,解得p=4(负值已舍去),即抛物线C的方程为 y2=8x.
故选C.
3.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 运用焦点弦倾斜角相关的面积公式,则S△OAB===.故选D.
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A,B两点,则+的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 A
【解析】 由题知p=2,由抛物线焦点弦的性质可得,+==1.
故选A.
5.(多选)设O为坐标原点,直线 y=-(x-1)经过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F,且与E交于A,B两点(点A在x轴上方),与E的准线交于点D,下列说法正确的是(　　)
A.p=2 B.|DF|=4
C.|AB|=4 D.|AD|=2|AF|
【答案】 ABD
【解析】 由题意得,F(1,0),故=1,p=2,A正确;
由A得,抛物线的标准方程为 y2=4x,准线方程为x=-1,
所以D(-1,2),故|DF|==4,B正确;
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得3x2-10x+3=0,
所以x1+x2=,
故|AB|=x1+x2+p=+2=,C错误;
由3x2-10x+3=0,得x1=,x2=3,
所以|AF|=+=+1=,
故|AD|=4-=,
所以|AD|=2|AF|,D正确.
故选ABD.
6.(多选)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为直线l,直线PQ与C交于P,Q两点,则下列说法正确的是(　　)
A.点F到直线l的距离是4
B.若PQ的方程是2x-y-4=0,则△FPQ的面积为3
C.若PQ的中点G到直线l的距离为3,则|FP|+|FQ|=8
D.若点(4,0)在直线PQ上,则OP⊥OQ
【答案】 BD
【解析】 对于选项A,由题意可知抛物线C的焦点为F(1,0),准线l的方程为x=-1,所以点F到直线l的距离是2,故A错误.
对于选项B,由得y2-2y-8=0,解得y=-2或y=4,所以|yP-yQ|=6.
由题可知PQ与x轴的交点为E(2,0),所以 |EF|=1.所以△FPQ的面积为|EF|·|yP-yQ|=3,
故B正确.
对于选项C,因为PQ的中点G到直线l的距离为3,所以+1=3,即xP+xQ=4.
所以 |FP|+|FQ|=xP+xQ+2=6,故C错误.
对于选项D,设PQ:x=my+4,P(x1,y1),Q(x2,y2).
由得y2-4my-16=0,Δ=16m2+64>0,y1+y2=4m,y1y2=-16.
因为kOP·kOQ=·===-1,所以OP⊥OQ,故D正确.
故选BD.
7.已知直线l:y=x-1经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=　　　　.
【答案】 8
【解析】 设直线AB的倾斜角为α,则sin α=.由题意知,直线l:y=x-1过点(1,0),所以 =1,解得p=2,则|AB|===8.
8.已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,弦AB经过点F,且·=-3,O为坐标原点,当AB的倾斜角等于60°时,tan∠AOB=　 .
【答案】 -
【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),
此时直线AB的方程为y=(x-),
即x=+,
将它代入抛物线方程y2=2px,
得y2--p2=0,
则y1y2=-p2,x1x2==.
由·=x1x2+y1y2=-3,得-p2=-3,解得p=2,
此时直线AB的方程为y=(x-1),抛物线方程为y2=4x.
不妨设点A在第一象限,因此可以解得A(3,2),B(,-),
所以tan∠AOF=,tan∠BOF=2,
所以 tan∠AOB=tan(∠AOF+∠BOF)==-.
9.已知抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.
【解】 依题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
则|AB|=,所以=8,所以p=2,
故所求抛物线的方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x.
综上,抛物线方程为y2=±4x.
10.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l1与l2过焦点F与抛物线分别交于A,B,C,D四点.
(1)求证:|AB|≥2p.
(2)若2|AB|=|CD|,求直线l2的倾斜角的取值范围.
(1)【证明】 当直线l1斜率不存在时,
|AB|=2p;
当直线l1斜率存在时,设斜率为k1,则直线l1的方程为y=k1(x-),
代入抛物线方程y2=2px,化简得
x2-(p+2p)x+=0,
所以xA+xB=p+,xAxB=,
xA≠xB,|AB|=xA+xB+p>2+p=2p.
综上所述,|AB|≥2p.
(2)【解】 因为2|AB|=|CD|,
由(1)知,直线l2斜率存在,
设斜率为k2,
同理得|CD|=2p+.
当直线l1斜率不存在时,
2p+=4p,所以=1;
当直线l1斜率存在时,
2p+=2(2p+),
所以=1+>1,0<<1,
于是0<≤1,-1≤k2<0或0所以直线l2的倾斜角的取值范围为(0,]∪[,π).
11.已知抛物线M:y=2px2(p>0)的焦点为F,过点F且斜率为的直线l与抛物线M交于A(点A在第二象限),B两点,则等于(　　)
A. B. C.4 D.5
【答案】 A
【解析】 抛物线方程为x2=y,故焦点坐标为 F(0,),则直线l方程为y-=x,
与M:y=2px2(p>0)联立,得16p2x2-6px-1=0,即(2px-1)(8px+1)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1<0,
则x1=-,x2=,
y1=x1+=,y2=x2+=,
则|AF|=y1+=+=,|AB|=y1+y2+=+=,
所以=.
故选A.
12.(多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,点P在l上的射影为P1,则下列说法正确的是(　　)
A.若x1+x2=6,则|PQ|=8
B.以PQ为直径的圆与准线l相切
C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥
D.过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【答案】 ABC
【解析】 对于选项A,因为p=2,所以x1+x2+2=|PQ|,则|PQ|=8,故A正确.
对于选项B,由抛物线焦点弦的性质可知,B正确.
对于选项C,因为F(1,0),所以|PM|+|PP1|=|PM|+|PF|≥|MF|=,当且仅当P为线段MF与抛物线的交点时,等号成立,故C正确.
对于选项D,显然直线x=0,y=1与抛物线只有一个公共点.设过点M的直线方程为y=kx+1(k≠0),
由得k2x2+(2k-4)x+1=0.令 Δ=0,得k=1,所以直线y=x+1与抛物线也只有一个公共点,此时有3条直线符合题意,故D错误.故选ABC.
13.已知抛物线C的顶点为原点,焦点F与圆x2+y2-2x=0的圆心重合.
(1)求抛物线C的标准方程.
(2)设定点A(3,2),当点P在C上何处时,|PA|+|PF|的值最小 求出最小值及点P的坐标.
(3)若弦MN过焦点F,求证:+为定值.
(1)【解】 由已知易得F(1,0),
则所求抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)【解】 设点P在抛物线C的准线上的射影为点B.
将x=3代入抛物线C的方程得y=±2,
则点A在抛物线内部.
根据抛物线定义知|PF|=|PB|,要使|PA|+|PF|的值最小,则P,A,B三点共线,
可得P(x1,2),22=4x1 x1=1,即P(1,2).此时|PA|+|PF|=2+2=4.
(3)【证明】 因为MN为焦点弦,
所以+=.
又p=2,所以+=1为定值.
14.(多选)已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),F为抛物线的焦点,则下列说法正确的是(　　)
A.抛物线的准线方程为x=-1
B.若++=0,则2||=||+||
C.若A,F,C三点共线,则y1y2=-1
D.若|AC|=6,则AC的中点到y轴距离的最小值为2
【答案】 ABD
【解析】 把点B(1,2)代入抛物线方程y2=2px,得 p=2,所以抛物线的准线方程为x=-1,
故A正确.
因为A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),F(1,0),所以=(x1-1,y1),=(0,2),=(x2-1,y2).由++=0,得x1+x2=2,
所以||+||=x1+1+x2+1=4=2||,故B正确.
因为A,F,C三点共线,所以直线AC是焦点弦.所以y1y2=-p2=-4,故C不正确.
设AC的中点为M(x0,y0).
因为|AF|+|CF|≥|AC|,|AF|+|CF|=x1+1+x2+1=2x0+2,所以2x0+2≥6,得x0≥2,
即AC的中点到y轴距离的最小值为2,故D正确.故选ABD.
精练作业七(3.3)
一、选择题
1.已知抛物线C:x2=16y的焦点为F,点 M(x0,y0)为抛物线C上一点,若|MF|=3y0,则|x0|等于(　　)
A.4 B.4 C.8 D.8
【答案】 B
【解析】 由抛物线定义可得|MF|=3y0=y0+4,
即y0=2,所以|x0|==4.
故选B.
2.已知抛物线x2=2py(p>0)上一点A(-2,),则点A到其焦点的距离为(　　)
A. B. C.4 D.
【答案】 B
【解析】 因为点A(-2,)在抛物线x2=2py(p>0)上,所以(-2)2=2p×,解得p=4.
所以抛物线方程为x2=8y,其准线方程为y=-2.
所以点A到其焦点的距离为|AF|=-(-2)=.故选B.
3.顶点在原点,关于y轴对称,并且经过点M(-2,1)的抛物线方程为(　　)
A.y2=x B.y2=-x
C.x2=4y D.x2=-4y
【答案】 C
【解析】 依题意,设抛物线方程为x2=ay(a≠0),
将M(-2,1)代入得(-2)2=a×1,则a=4,
所以所求抛物线方程为x2=4y.故选C.
4.(2025·江苏常州期中)过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若直线l的倾斜角为120°,则的值为(　　)
A.3 B.2 C. D.
【答案】 C
【解析】 设A(x1,y1)(x1>0,y1>0),B(x2,y2),由题意知F(1,0).因为直线l的倾斜角为120°,
故l:x=-y+1,
由得y2+y-4=0,
解得y=-2或y=,
故y1=,y2=-2,x1=,x2=3,
故=.故选C.
5.(2025·山西运城期中)已知抛物线C:y2=2x,过点M(,)的直线l与C相交于A,B两点,且M为弦AB的中点,则直线l的方程为(　　)
A.6x+6y-7=0 B.6x-6y-1=0
C.2x-6y-5=0 D.12x-6y-5=0
【答案】 D
【解析】 显然直线l不垂直于y轴,设直线l的方程为x-=t(y-),如图.
由消去x,得
y2-2ty+t-=0.
由弦AB的中点为M(,),
得t=,此时方程y2-y-=0有两个不等实根,所以直线l的方程为x-=(y-),即12x-6y-5=0.故选D.
6.(2025·河北保定月考)已知抛物线y=x2的焦点为F,P为抛物线上一动点﹐点Q(,),记P到x轴的距离为d,则d+|PQ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 记l:y=-是抛物线的准线,过P作 PH⊥l,垂足为H,如图所示,
则|PF|=|PH|,F(0,).
因为点P到x轴的距离比点P到l的距离少,
所以d+|PQ|=|PH|-+|PQ|=|PF|+|PQ|-.
易知当P为线段FQ与抛物线的交点时,d+|PQ| 最小,
且最小值为-=2-=.故选C.
7.(多选)已知方程C:(m-2)x2+(5-m)y2=1,则(　　)
A.当2B.当m>5时,方程C表示焦点在x轴上的双曲线
C.存在m,使得方程C表示两条直线
D.存在m,使得方程C表示抛物线
【答案】 BC
【解析】 当m≠2,且m≠5时,方程C为+=1,
若=,即m=,此时方程C表示圆.
若≠,即m≠,
当20,>0,≠,方程C表示椭圆,故A错误.
当m>5时,>0,<0,方程C表示焦点在x轴上的双曲线,故B正确.
当m=2时,方程C为y2=,表示两条直线;
当m=5时,方程C为x2=,表示两条直线.故C正确.
方程C不可能表示抛物线,故D错误.故选BC.
8.(多选)(2025·江苏南京期中)已知抛物线C:y2=4x,直线l:y=kx-k与抛物线C交于P,Q两点,分别过P,Q两点作抛物线准线的垂线PM,QN,垂足分别是M,N,则下列说法正确的是(　　)
A.直线l过抛物线C的焦点
B.当k=1时,P,Q两点横坐标的和为5
C.当k=1时,直线l截抛物线所得的弦长为8
D.以MN为直径的圆与直线l相切
【答案】 ACD
【解析】 由题意知抛物线C的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,直线l:y=kx-k过定点(1,0),所以直线过抛物线的焦点,故A正确;
当k=1时,直线的方程为y=x-1,
由消去y,得x2-6x+1=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=6,所以P,Q两点横坐标的和为6,故B错误;
由抛物线的定义可知,|PQ|=|PM|+|QN|=x1+x2+2=8,故C正确;
设线段PQ的中点为E,过点E作抛物线准线的垂线EE′,垂足为E′(图略),
则|EE′|=(|PM|+|QN|)=|PQ|,
所以以MN为直径的圆与直线l相切,故D正确.故选ACD.
二、填空题
9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A为C上第一象限内一点,|AF|=6,则直线AF的斜率为　　　　.
【答案】
【解析】 由题可设A(x0,y0)(x0>0,y0>0).
由题可知抛物线焦点坐标为F(1,0),准线方程为 x=-1,则|AF|=x0+1=6 x0=5,将x0=5代入C:y2=4x得y0=2,所以A(5,2),
则直线AF的斜率为k==.
10.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(x0,y0)是抛物线E上异于原点O的一点,过点P且斜率为的直线l与x轴交于点M,与 y轴交于点N,则∠MNF=　　　　.
【答案】 90°
【解析】 因为P(x0,y0)是抛物线E上异于原点O的一点,所以=2px0(x0≠0,y0≠0).
由题意知,直线l的方程为y-y0=(x-x0),
即y-y0=(x-),即y=x+,
所以M(-,0),N(0,),F(,0).
所以=(-,-),=(,-).
所以·=(-)·+·=0.
所以⊥,即∠MNF=90°.
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点F的直线l与C相交于P,Q两点,且+=,若|PQ|=54,则直线l的斜率为　　　　.
【答案】 ±
【解析】 如图,设P(x1,y1),Q(x2,y2),F(,0),由题意设直线l:y=k(x-),
由得
k2x2-(k2p+2p)x+=0,
x1+x2=,x1x2=.
由抛物线的定义可得|PF|=x1+,|FQ|=x2+,
所以+=+==
====,
所以p=3.又因为|PQ|=x1+x2+p=2p(1+)=6(1+)=54,
所以1+=9,解得k=±.
三、解答题
12.在平面直角坐标系中,点P到点(1,0)的距离比点P到直线x=-3的距离小2,记动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程.
(2)已知直线l过点C(2,0),且与曲线E交于A,B两点,求·的值.
【解】 (1)由点P到点(1,0)的距离比点P到直线x=-3的距离小2,得点P到点(1,0)的距离等于点P到直线x=-1的距离,
因此点P的轨迹是以点(1,0)为焦点、直线 x=-1为准线的抛物线,
所以点P的轨迹E的方程为y2=4x.
(2)显然直线AB不垂直于y轴,设其方程为 x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去x,得y2-4ty-8=0,Δ>0恒成立,y1y2=-8,
所以·=x1x2+y1y2=·+y1y2=-8=-4.
13.(2025·山西晋城月考)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,准线交x轴于点G,点P(1,2)在C上.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若A是抛物线C上第一象限内的一点,过线段AF的中点M向y轴引垂线,垂足为点N,且|MN|=|NF|,求四边形GFMN的面积.
【解】 (1)因为抛物线C:y2=2px过点 P(1,2),
所以4=2p,p=2,则抛物线方程为y2=4x.
(2)由题可得F(1,0),如图.
设A(x0,y0),x0>0,y0>0,
则M(,),N(0,),
=4x0,
所以|MN|=,|NF|==.
因为|MN|=|NF|,所以=,解得x0=3或x0=-1(舍去),
故A(3,2),M(2,),N(0,),
|MN|=2.
又点G(-1,0),|GF|=2,所以|MN|=|GF|.
又MN∥GF,
所以四边形GFMN是平行四边形,所以四边形GFMN的面积为|GF|·|ON|=2.
14.已知顶点为O的抛物线y2=12x的焦点为F,直线l与抛物线交于A,B两点.
(1)若直线l过点M(5,0),且其倾斜角 θ=,求S△OAB的值.
(2)是否存在斜率为1的直线l,使得 FA⊥FB 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)由题可知F(3,0),且直线l的斜率不为0,
设A(x1,y1),B(x2,y2).因为θ=,则直线l的斜率k=,
直线l的方程为 x-y-5=0,
因此点O到直线l的距离d=.
由得y2-4y-60=0,显然Δ>0,
所以y1+y2=4,y1y2=-60,
则|AB|=·=×=8,
所以S△OAB=d|AB|=30.
(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=x+b,即x=y-b.
由得y2-12y+12b=0,
故Δ=144-48b>0,即b<3.
又y1+y2=12,y1y2=12b,
易知=(x1-3,y1),=(x2-3,y2).
因为FA⊥FB,
所以·=0.
因为x1=y1-b,
x2=y2-b,
所以2y1y2-(b+3)(y1+y2)+(b+3)2=0,
即b2+18b-27=0,解得b=-9+6或b=-9-6,故存在斜率为1的直线l,使得 FA⊥FB.此时直线l的方程为y=x-9+6或y=x-9-6.

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