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培优课7　圆锥曲线中的综合问题
课堂探究·素养培育
题型一　范围与最值问题
(2)不过原点O的直线l:y=x+m与椭圆E交于A,B两点,求△ABO面积的最大值以及此时直线l的方程.
解题策略
圆锥曲线中最值与范围的两种求法
(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义,则考虑利用图形性质来解决.
(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值与范围.求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.
(2)若斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为T(1,t)(t>0),求k的取值范围.
题型二　定值与定点问题
(2)若四边形ABCD为矩形,其中点B,D在双曲线E上,求证:直线BD过定点.
解题策略
解析几何中的定点和定值问题需要合理选择参数(坐标、斜率等)来表示动态几何对象和几何量,探究、证明动态图形中的不变性质(定点、定值等),体会“设而不求”“整体代换”在简化运算中的作用.
[方法迁移] 已知点P(1,2)是抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点,点M,N是C上异于点P的不同两点.
(1)求C的标准方程.
(1)【解】 因为点P(1,2)是抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点,
所以22=2p×1,
解得p=2,
所以C的标准方程为y2=4x.
(2)若直线PM,PN的斜率互为相反数,求证:直线MN的斜率为定值,并求出此定值.
题型三　探索性问题
(2)过点F2且垂直于x轴的直线与椭圆E的一个交点为P(P在x轴上方),过点P且平行于AB的直线l与椭圆E交于另一点Q.问:是否存在直线l,使得四边形PABQ为平行四边形 若存在,求出此时四边形PABQ的面积;若不存在,请说明理由.
解题策略
(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素存在;否则不存在.
(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
(1)是否存在“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2) 说明理由.
(2)设“向心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4,求直线AB的方程.
(3)已知三角形ABC是“向心三角形”,证明:点A的横坐标小于2.培优课7　圆锥曲线中的综合问题
题型一　范围与最值问题
[例1] 若椭圆E:+=1(a>b>0)过抛物线x2=4y的焦点,且与双曲线x2-y2=1有相同的焦点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)不过原点O的直线l:y=x+m与椭圆E交于A,B两点,求△ABO面积的最大值以及此时直线l的方程.
【解】 (1)因为抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1),所以b=1.
因为双曲线x2-y2=1的焦点坐标为(-,0),(,0),
所以a2-b2=2,则a2=3.
所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得4x2+6mx+3m2-3=0.
因为直线l:y=x+m与椭圆E交于A,B两点,
所以Δ=36m2-16(3m2-3)>0,
解得0由根与系数的关系可得
x1+x2=-,x1x2=.
由弦长公式可得|AB|=×
=,
点O到直线l的距离d=,
所以S△OAB=d·|AB|
=××|m|××
=≤ ,
当且仅当m2=2,即m=±时,等号成立,
所以△ABO面积的最大值为,此时直线l的方程为y=x±.
圆锥曲线中最值与范围的两种求法
(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义,则考虑利用图形性质来
解决.
(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值与范围.求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.
[方法迁移] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为T(1,t)(t>0),求k的取值范围.
【解】 (1)依题意可得
解得
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2).
因为线段AB的中点为T(1,t)(t>0),
所以
又两式相减可得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0,
即2(x1-x2)+4t(y1-y2)=0,
所以kAB==-.
又点T(1,t)(t>0)在椭圆C内部,
所以解得0所以k=-<-,
即k的取值范围为(-∞,-).
题型二　定值与定点问题
[例2] 已知点F1,F2分别为双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点F1到双曲线E的渐近线的距离为2,点A为双曲线E的右顶点,且|AF1|=2|AF2|.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)若四边形ABCD为矩形,其中点B,D在双曲线E上,求证:直线BD过定点.
(1)【解】 设焦距为2c,则F1(-c,0),
故点F1到双曲线E的渐近线bx±ay=0的距离为=b=2.
由|AF1|=2|AF2|,
知c+a=2(c-a),
得c=3a.
又因为c2=a2+b2,
所以(3a)2=a2+8,
解得a2=1.
所以双曲线E的标准方程为x2-=1.
(2)【证明】 ①当直线BD的斜率不存在时,如图.
由AB⊥AD,设直线BD的方程为x=t.
当t<-1时,
令B(t,-t+1),由点B在双曲线x2-=1上,
得t2-=1,
所以t=-(t=1舍去).
当t>1时,令B(t,t-1),由点B在双曲线 x2-=1上,得t2-=1,所以t=1或t=-,不合题意舍去,
可得直线BD的方程为x=-.
②当直线BD的斜率存在时,如图.设直线BD的方程为y=kx+m,B(x1,y1),D(x2,y2),
由得
(8-k2)x2-2kmx-m2-8=0,
当时,x1+x2=,x1x2=-.
因为四边形ABCD为矩形,
所以AB⊥AD.
所以·=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0.
所以(x1-1)(x2-1)+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+(km-1)(x1+x2)+m2+1=0.
所以-++=0.
所以7m2-2km-9k2=0.
所以(m+k)(7m-9k)=0.
所以m=-k或m=k.
当m=-k时,直线BD的方程为y=kx-k=k(x-1),恒过定点A(1,0),不合题意,舍去.
当m=k时,直线BD的方程为y=kx+k=k(x+),恒过定点(-,0).
综上①②可知,直线BD恒过定点(-,0).
解析几何中的定点和定值问题需要合理选择参数(坐标、斜率等)来表示动态几何对象和几何量,探究、证明动态图形中的不变性质(定点、定值等),体会“设而不求”“整体代换”在简化运算中的作用.
[方法迁移] 已知点P(1,2)是抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点,点M,N是C上异于点P的不同
两点.
(1)求C的标准方程.
(2)若直线PM,PN的斜率互为相反数,求证:直线MN的斜率为定值,并求出此定值.
(1)【解】 因为点P(1,2)是抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点,
所以22=2p×1,
解得p=2,
所以C的标准方程为y2=4x.
(2)【证明】 如图,显然直线PM,PN的斜率存在,且不为0.
设直线PM的方程为y-2=k(x-1),则直线PN的方程为y-2=-k(x-1).
由得
ky2-4y+8-4k=0,Δ=16(k-1)2>0,
所以k≠1,所以yMyP=,
解得yM=,
同理可得yN=-,
所以kMN=====-1,
即直线MN的斜率为定值,该定值为-1.
题型三　探索性问题
[例3] 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=.过F2且斜率为k(k≠0)的直线交椭圆E于A,B两点,△ABF1的周长为8.
(1)求椭圆E的方程.
(2)过点F2且垂直于x轴的直线与椭圆E的一个交点为P(P在x轴上方),过点P且平行于AB的直线l与椭圆E交于另一点Q.问:是否存在直线l,使得四边形PABQ为平行四边形 若存在,求出此时四边形PABQ的面积;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)因为|AB|+|AF1|+|BF1|=8,
所以4a=8,a=2.
又因为e=,即=,所以c=1,
所以b==.
故椭圆E的方程为+=1.
(2)如图,由题意得P(1,),
直线AB的方程为 y=k(x-1),直线l的方程为y-=k(x-1)(k≠0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y,得
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
则x1+x2=,x1x2=.
由消去y,得
(3+4k2)x2-(8k2-12k)x+4k2-12k-3=0,
由Δ>0可知k≠-.
设Q(x3,y3),又P(1,),
则x3+1=,x3·1=.
因为四边形PABQ为平行四边形,
所以=,
即x1-x2=1-x3,
故(x1+x2)2-4x1x2=(1-x3)2.
所以()2-4·=(1-)2,得k=.
此时直线AB为3x-4y-3=0,直线l为3x-4y+3=0,
两平行线间距离d=||=.
又因为|AB|==,
所以四边形PABQ的面积S=×=,
所以存在直线l,使得四边形PABQ为平行四边形,此时四边形PABQ的面积为.
(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素存在;否则不存在.
(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
[方法迁移] 已知抛物线P的焦点为F(1,0),准线l的方程为x=-1.若三角形ABC的三个顶点都在抛物线P上,且++=0,则称该三角形为“向心三角形”.
(1)是否存在“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2) 说明理由.
(2)设“向心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4,求直线AB的方程.
(3)已知三角形ABC是“向心三角形”,证明:点A的横坐标小于2.
(1)【解】 由题意可知,抛物线的标准方程为 y2=4x.
由++=0,可知F为△ABC的重心.
设存在“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2),另外的顶点坐标为(x0,y0),
由解得
显然≠4x0,
故不存在“向心三角形”,其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2).
(2)【解】 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
由两式相减,得
(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
所以==4,所以y1+y2=1.
由题意可知,y1+y2+y3=0,
所以y3=-1,则x3=.
由x1+x2+x3=3,
所以x1+x2=,
所以线段AB的中点坐标为(,),
因此,直线AB的方程为y-=4(x-),
整理得4x-y-5=0.
因此,直线AB的方程为4x-y-5=0.
(3)【证明】 由(2)可知x1+x2+x3=3,
则x2+x3=3-x1,①
由y1+y2+y3=0,y1=-(y2+y3),
等号两边平方可得=+2y2y3+≤2(+),当且仅当y2=y3时,等号成立,
显然y2≠y3,
所以<2(+),
即x1<2(x2+x3),
将①代入可得x1<2(3-x1),解得x1<2,
所以点A的横坐标小于2.
1.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,满足∠F1MF2=的点M总在椭圆C内部,则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(0,]
C.(0,) D.[,1)
【答案】 C
【解析】 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为∠F1MF2=,
所以点M的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又点M总在椭圆C内部,
所以该圆内含于椭圆,即c所以e2=<,所以02.已知直线y=b与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线围成的三角形面积为4,则双曲线的焦距的最小值为(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
【答案】 D
【解析】 双曲线C:-=1的渐近线方程为 bx±ay=0,由解得
因此直线y=b与双曲线C的两条渐近线的交点为(-a,b),(a,b),
则直线y=b与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为·2a·b=4,则ab=4,
所以双曲线C的焦距2c=2≥2=4,当且仅当a=b时,等号成立,
所以双曲线C的焦距的最小值为4.故选D.
3.已知P为椭圆+=1(a>b>0)上异于左、右顶点A1,A2的任意一点,则直线PA1与PA2的斜率之积为定值-.将这个结论类比到双曲线,得出的结论为:P为双曲线-=1(a>0,b>0)上异于左、右顶点A1,A2的任意一点,则(　　)
A.直线PA1与PA2的斜率之和为定值
B.直线PA1与PA2的斜率之积为定值
C.直线PA1与PA2的斜率之和为定值
D.直线PA1与PA2的斜率之积为定值
【答案】 D
【解析】 设P(x0,y0),则-=1,
即=b2(-1)=(-a2).
因为A1(-a,0),A2(a,0),
所以·=·===,所以·为定值.故选D.
4.已知抛物线y2=4x上两点A,B满足 ·=5(O为坐标原点),且A,B分别位于对称轴的两侧,则直线AB过定点(　　)
A.(5,0) B.(1,0) C.(3,0) D.(2,0)
【答案】 A
【解析】 设A(,y1),B(,y2),
则lAB:x=(y-y1)+,
即x=y-.
又因为·=+y1y2=5,
解得y1y2=4(舍去)或y1y2=-20,故lAB:x=y+5,则直线过点(5,0).故选A.
5.如图,已知点P在焦点为F1,F2的椭圆上运动,则与△PF1F2的边PF2相切,且与边F1F2,F1P的延长线相切的圆的圆心M一定在(　　)
A.一条直线上
B.一个圆上
C.一个椭圆上
D.一条抛物线上
【答案】 A
【解析】 如图,设圆M与F1F2的延长线,F1P的延长线,PF2分别相切于点A,B,C.
由切线定理,得|PB|=|PC|,|F2A|=|F2C|,|F1B|=|F1A|.
因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a,为定值.
因为|F1B|+|F1A|=|F1P|+|PB|+|F1F2|+|F2A|=|F1P|+|F2P|+|F1F2|=2a+2c,为定值,所以|BF1|=|AF1|=
a+c,所以切点 A(a,0),所以圆心M在过点A,且垂直于椭圆焦点所在轴的直线上.故选A.
6.(多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在抛物线上,点Q(m,n),点P到点Q和到y轴的距离分别为d1,d2,则(　　)
A.抛物线C的准线方程为y=-1
B.若m=n=1,则△PQF周长的最小值等于3
C.若(m-3)2+n2=1,则d1的最小值等于2
D.若m-n=-4,则d1+d2的最小值等于-1
【答案】 BD
【解析】 对于A,由抛物线方程可知抛物线的准线l的方程为x=-1,A错误.
对于B,当m=n=1时,△PQF的周长L=|PQ|+|PF|+1=d1+dP-l+1≥dQ-l+1=3,B正确.
对于C,因为(m-3)2+n2=1,所以Q(m,n)在圆心为M(3,0),半径为1的圆上,
所以d1≥|PM|-1.
设P(,t),则|PM|2=(-3)2+t2=(t2-4)2+8≥8,
所以|PM|≥2,所以d1的最小值等于2-1,C错误.
对于D,若m-n=-4,则Q(m,n)在直线l1:x-y+4=0上,
d1+d2=d1+|PF|-1≥-1=-1,D正确.故选BD.
7.已知A1,A2是椭圆C:+=1长轴上的两个顶点,点P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,则直线PA1与PA2的斜率之积为定值　 .
【答案】 -
【解析】 设P(x0,y0),A1(-2,0),A2(2,0),
则=,=,
因为=3(1-),
所以·===-.
8.已知F(1,0)为椭圆+=1(b>0)的右焦点,P,Q为椭圆上两个动点,写出△PQF的周长的一个可能取值　　　　.
【答案】 4(答案不唯一)
【解析】 如图,
设椭圆左焦点为F1(-1,0),
则|PF|+|QF|+|PQ|≤|PF|+|QF|+|PF1|+|QF1|=4,当且仅当直线PQ经过左焦点时,取得最大值.
又|PF|≥ -1,|QF|≥ -1,|PQ|>0,
所以|PF|+|QF|+|PQ|>2-2,
所以△PQF的周长的取值范围为(2-2,4].
所以△PQF的周长可以为4.
9.已知椭圆Γ:x2+4y2=λ(λ>0).
(1)若椭圆Γ的焦距为6,求λ的值.
(2)设P(0,1),若椭圆Γ上两点M,N满足=2,求点N横坐标取最大值时λ的值.
【解】 (1)设焦距为2c=6,则c2=λ-=9,
解得λ=12.
(2)如图,要使点N的横坐标最大,需直线MN斜率存在.
设MN:y=kx+1,与椭圆Γ联立得(4k2+1)x2+8kx+4-λ=0.
由根与系数的关系,得
xM+xN=,xMxN=.
由=2知xM=-2xN,
故xN=-(xM+xN)=,
要使点N的横坐标最大,在这里不妨取k>0,
所以xN=≤=2,当且仅当k=时,等号成立.
当k=时,xMxN==-2,
即=-8,此时λ=20.
10.已知点F(2,0)及直线l:x=-2,点Q为直线l上的动点,过点Q垂直于l的直线l1与线段FQ的垂直平分线交于点P.
(1)求点P的轨迹C的方程.
(2)若A,B为(1)中的曲线C上的两个动点,且∠AOB=(O为坐标原点),求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标.
【解】 (1)由题意知,|PF|=|PQ|,且PQ⊥l,
所以点P到定点F(2,0)的距离等于到定直线l:x=-2的距离.又因为直线l不经过点F,
所以由抛物线的定义可知,点P的轨迹为以 F(2,0)为焦点,直线l:x=-2为准线的抛物线.故点P的轨迹C的方程为y2=8x.
(2)如图.
法一　由题可知,直线AB的斜率不为0,且不过原点,故设lAB:x=ty+m(m≠0),
由得
y2-8ty-8m=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1y2=-8m,x1x2=·==m2.
因为∠AOB=,所以·=x1x2+y1y2=m2-8m=0,解得m=8或m=0(舍去).
因为m=8满足Δ=64t2+32m>0,所以直线AB的方程为x=ty+8(t∈R).
故直线AB过定点(8,0).
法二　由题可知,直线AB不过原点,设lAB:
mx+ny=1,
由得y2-8nxy-8mx2=0.
显然x≠0,从而有()2-8n·-8m=0.(※)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则kOA=,kOB=为方程(※)的两根,所以·=-8m.
又∠AOB=,所以kOA·kOB=·=-8m=-1.解得m=,且m=满足Δ=64n2+32m>0,所以直线AB的方程为x+ny=1,
即x=-8ny+8(n∈R).
故直线AB过定点(8,0).
11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点M(-a,0),
N(0,b),点P为线段MN上的动点,当·取得最大值和最小值时,△PF1F2的面积分别为S1,S2,则等于(　　)
A.4 B.8 C.2 D.4
【答案】 A
【解析】 由于双曲线的离心率为
==2,故=,
所以直线MN的方程为y=(x+a).
设P(t,t+a),t∈[-a,0],
又焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0),
则=(-c-t,-t-a),=(c-t,-t-a),
所以·=t2-c2+3(t+a)2=t2-4a2+3(t+a)2=4t2+6at-a2=4(t+a)2-a2.由于t∈[-a,0],
故当t=-a时,·取得最小值,此时 yP=×(-a)+a=a;
当t=0时,·取得最大值,此时yP=a,则==4.故选A.
12.已知抛物线y2=2px(p>0),过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设 |AF|=m,|BF|=n,请写出m与n满足的关系式:　 .
【答案】 =p
【解析】 抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(,0),准线l:x=-,准线交x轴于点K,
由对称性,不妨令n≤m,当n过B作BG⊥AD于点G,交FK于点H,如图,
则|AD|=|AF|=m,
|BE|=|BF|=n,|FK|=p,
|AG|=m-n,|FH|=p-n.
由FH∥AG,得=,
即=,
于是p=+n=.
当n=m时,n=m=p也满足上式,所以=p.
13.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的短轴长是2,且离心率为.
(1)求椭圆E的方程.
(2)已知C(0,1),若直线l:y=kx-与椭圆E相交于A,B两点,线段AB的中点为M,是否存在常数λ,使∠AMC=λ·∠ABC恒成立 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)因为椭圆E:+=1(a>b>0)的短轴长是2,则b=1,而离心率e==,解得a=,所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)假设存在常数λ,使∠AMC=λ·∠ABC恒成立.
由消去y,得(9+18k2)x2-12kx-16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,
又=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),·=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-)(kx2-)=
(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=(1+k2)·-·+=0,
则有⊥,而线段AB的中点为M,于是得 |MC|=|MB|,并且有∠AMC=2∠ABC,
所以存在常数λ=2,使∠AMC=λ·∠ABC恒成立.
14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E:+=1的一个焦点重合,过坐标原点O作两条互相垂直的射线OM,ON,与C分别交于M,N两点,则直线MN过定点(　　)
A.(4,0) B.(-4,0)
C.(-1,0) D.(1,0)
【答案】 A
【解析】 由椭圆E的方程知,其焦点坐标为(±1,0),又抛物线C的焦点F(,0)(p>0),
所以=1,解得p=2,
则抛物线C的方程为y2=4x.由题意知,直线MN斜率不为0,
可设直线MN的方程为x=my+t.
由得y2-4my-4t=0,
则Δ=16m2+16t>0,即m2+t>0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=4m,y1y2=-4t,
所以x1x2==t2.
因为OM⊥ON,
所以·=x1x2+y1y2=t2-4t=0,
解得t=0或t=4.
又M,N与坐标原点O不重合,所以t=4,所以直线MN的方程为x=my+4.
所以当y=0时,x=4,
所以直线MN恒过定点(4,0).故选A.

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