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物理　必修 第一册 RJ
专题提升七　轻绳模型和轻杆模型　动态平衡问题
提升1　轻绳模型和轻杆模型
1．轻绳的“活结”和“死结”问题
(1)活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，由于滑轮或挂钩对绳无约束，因此绳上的力大小是相等的，即滑轮或挂钩只改变力的方向不改变力的大小。
(2)死结：若结点不是滑轮，而是固定点时，称为“死结”，这时两侧绳上的弹力大小不一定相等。
2．轻杆的“定杆”和“动杆”问题
(1)动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若轻杆的C端用转轴固定，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
(2)定杆：若轻杆被固定而不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图乙所示。
轻绳、轻杆以及轻弹簧只是理想模型，若绳、杆以及弹簧的质量(重力)不可忽略，则绳、杆、弹簧中各处的弹力大小一般不同。
例1　如图所示，两根直杆竖直固定在水平地面上，一根不可伸长的细绳的两端分别固定在杆上等高的M点和N点，在绳上距离M点为L的P点系一固定绳套，悬挂质量为m的钩码。已知MP和NP段与竖直方向的夹角分别是α和β，sinα＝0.6，sinβ＝0.8，重力加速度为g。则MP和NP段细绳的拉力大小分别是(　　)
A.mg，mg B.mg，mg
C.mg，mg D.mg，mg
[解析]　设MP段细绳的拉力大小为T1，NP段细绳的拉力大小为T2，以水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立直角坐标系，将T1、T2进行正交分解，如图所示，由共点力平衡的条件得T1cosα＋T2cosβ＝mg，T1sinα＝T2sinβ，且由数学知识知cosα＝＝0.8，cosβ＝＝0.6，解得T1＝mg，T2＝mg，D正确，A、B、C错误。
[答案]　D
例2　如图所示，水平横梁一端插在墙壁内，另一端装有轻质滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝8 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(　　)
A．40 N B．40 N
C．80 N D．80 N
[解析]　 设BC段绳上拉力大小为F1，BD段绳上拉力大小为F2，对滑轮B受力分析如图所示，滑轮受到绳子的作用力应为F1和F2的合力，因同一根绳上张力处处相等，有F1＝F2＝mg＝80 N，由于拉力F1和F2的夹角为120°，可知F1和F2的合力大小F＝2F1cos＝80 N，所以滑轮受到绳子的作用力大小为80 N，方向与水平方向成30°角斜向左下方，A、B、D错误，C正确。
[答案]　C
提升2　动态平衡问题
物体在几个力的作用下，如果运动状态变化足够缓慢，则缓慢变化的每一个瞬间，物体都可以看作处于平衡状态，称为动态平衡。这类问题中力的大小、方向都可能变化，与静态平衡不同。解决动态平衡问题的常见方法如下：
一、解析法
1．对研究对象进行受力分析。
2．建立平衡方程，写出各个力之间关系的解析式。
3．根据题目中已知力或夹角的变化，应用数学中的函数知识判断未知力的变化。
二、图解法
1．适用情境：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另两个力中有一个力的方向不变。
2．应用步骤
(1)平行四边形法
①画出与恒力F平衡的等大反向的力F0；
②根据平行四边形定则将F0分解为另外两个力，画出平行四边形边、角的变化，确定未知力大小、方向的变化。
(2)矢量三角形法
①首先对物体进行受力分析，根据物体处于平衡状态时合力为0，依据题图构建初始状态的力的矢量三角形。
1)先画出大小、方向都不变的恒力；
2)再画出方向不变、大小可变的力，可用虚线表示其方向；
3)明确方向变化的力的方向如何变化，并依次画出2～3条矢量线段表示变化趋势。
注意：当方向变化的力垂直已知方向的力时，方向变化的力有最小值。
②根据动态变化过程中，三角形中边的长度、方向的变化情况判断力的大小、方向的变化情况。
例3　如图所示，用竖直木板挡住放在光滑斜面上的小球A，A受到的重力为G，整个装置静止在水平面上。设斜面和木板对小球A的弹力大小分别为F1和F2。保持木板竖直，在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中，A受力的变化情况是(　　)
A．F1增大，F2减小
B．F1减小，F2增大
C．F1减小，F2减小
D．F1不变，F2增大
[解析]　解法一(解析法)：斜面倾角缓慢减小的每一个状态，A均可以看作受力平衡，对A受力分析如图甲所示，根据平衡条件和几何关系可得F1sinθ＝F2，F1cosθ＝G，解得F1＝，F2＝Gtanθ，可知随着θ的减小，F1减小，F2减小，故C正确，A、B、D错误。
解法二(图解法——平行四边形)：小球A受到重力、斜面对小球A的弹力F1和木板对小球的弹力F2，在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中，A的重力G不变，F2的方向不变，画出力的平行四边形如图乙所示，由图可知，F1、F2均减小，故C正确，A、B、D错误。
解法三(图解法——矢量三角形)：小球A受到重力、斜面对小球A的弹力F1和木板对小球的弹力F2，在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中，A的重力G不变，F2的方向不变，画出力的矢量三角形如图丙所示，由图可知，F1、F2均减小，故C正确，A、B、D错误。
[答案]　C
[跟进训练]　如图所示，将一个铅球放在倾角为θ的斜面上，并用挡板挡住，铅球处于静止状态，现将挡板从竖直状态绕O点缓慢转动至与斜面垂直。不考虑铅球受到的摩擦力，挡板转动过程中铅球对挡板的压力和对斜面的压力大小分别为F1、F2。则(　　)
A．F1逐渐变大 B．F1先变小后变大
C．F2逐渐变小 D．F2先变小后变大
答案：C
解析：以铅球为研究对象，在挡板转动过程中，其所受力的矢量三角形的动态变化如图所示，可知挡板对铅球的支持力F1′逐渐变小，斜面对铅球的支持力F2′逐渐变小；由牛顿第三定律可知，铅球对挡板的压力F1逐渐变小，铅球对斜面的压力F2逐渐变小，C正确，A、B、D错误。
例4　如图所示，光滑半球面上的小球被一通过定滑轮的轻绳用力F由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析绳的拉力F及半球面对小球的支持力FN的大小变化情况。
[解析]　如图所示，作出小球的受力示意图，注意弹力FN总与球面垂直。设半球体半径为R，小球半径为r，定滑轮最高点到球面最高点的距离为h，定滑轮最高点与小球球心间的距离为L，根据三角形相似得
＝
＝
由以上两式得绳的拉力F＝mg
半球面对小球的支持力FN＝mg
在将小球由底端缓慢拉到顶端的过程中，h、R、r不变，L变小，故F减小，FN大小不变。
[答案]　F减小，FN大小不变
相似三角形法 (1)适用情境：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另外两个力的方向均发生变化，且在题目中可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形。 (2)应用步骤 ①将表示三个力的有向线段首尾相连构成力的矢量三角形； ②寻找与力的矢量三角形相似的几何三角形； ③利用相似三角形的特点，建立比例关系，把力的变化问题转化为几何三角形边长的变化问题； ④结合几何三角形中边长的变化，得出未知力大小的变化情况。
课后课时作业
题型一　轻绳模型和轻杆模型
1．如图所示，将一细绳的两端固定于两竖直墙的A、B两点，通过一个光滑的挂钩将某重物挂在绳上，下面给出的四幅图中有可能使物体处于平衡状态的是(　　)
答案：C
解析：由于重物是通过一个光滑的挂钩挂在绳上，绳子上的力处处相等，而两边绳子的合力大小等于物体的重力，方向竖直向上，由对称性可知两边绳子与竖直方向的夹角相等，C正确。
2．如图甲所示，吊车是建筑工地常用的一种大型机械。为了便于研究问题，将它简化成如图乙所示的模型：硬杆OB的一端装有定滑轮，另一端固定在车体上；质量不计的绳索绕过定滑轮吊起质量为m的物体匀速上升。不计定滑轮质量和滑轮与轴承之间的摩擦，重力加速度为g，∠BOC＝45°，∠AOC＝60°，sin15°＝，下列说法正确的是(　　)
A．OA段绳索受到的拉力小于mg
B．OB杆受定滑轮的弹力沿杆向下
C．OB杆对定滑轮的弹力大小是mg
D．OB杆对定滑轮的弹力大小是2mg
答案：C
解析：根据题意，OC、OA段绳索受到的拉力大小相等，物体被匀速提升，所以OC段绳索的拉力与物体重力平衡，则OA段绳索受到的拉力大小等于mg，A错误；定滑轮在OA段绳索的拉力FOA、OC段绳索的拉力FOC、OB杆的弹力FOB作用下处于平衡状态，FOA和FOC大小相等，则FOB沿∠AOC的角平分线向上，根据牛顿第三定律可知，OB杆受定滑轮的弹力FOB′沿∠AOC的角平分线向下，根据几何关系可知，FOB′不沿杆向下，B错误；根据平衡条件可知，2FOA·cos＝FOB，可解得FOB＝mg，C正确，D错误。
3．如图所示，AO、CO为不可伸长的轻绳，BO为可绕B点自由转动的轻质细杆，杆长为L，A、B两点的高度差也为L。在O点用轻绳CO悬挂质量为m的重物，杆与绳子AO的夹角α＝30°，下列说法正确的是(　　)
A．轻绳AO、CO对O点作用力的合力沿杆由O指向B
B．轻杆对O点的力垂直BO斜向右上
C．轻绳AO对O点的拉力大小为mg
D．轻杆BO对O点的力大小为mg
答案：A
解析：由题意可知，轻杆为动杆，其产生的弹力沿BO方向，O点受到轻绳AO、CO及杆BO的作用力而处于平衡状态，故轻绳AO、CO对O点作用力的合力与杆的弹力等大反向，即沿杆由O指向B，故A正确，B错误；对O点受力分析如图所示，可知mg、T和FN构成的矢量三角形与几何三角形ABO相似，有＝＝，故T＝mg＝mg＝2mgcos30°＝mg，FN＝mg＝mg，故C、D错误。
题型二　动态平衡问题
4．(多选)如图所示，在光滑墙壁上用网兜把篮球挂在O点，篮球处于静止状态，悬绳与竖直墙壁的夹角为θ。已知篮球的重力为G，网兜的质量不计，悬绳对篮球的拉力为F，墙壁对篮球的支持力为FN，下列说法中正确的是(　　)
A．F＝Gcosθ
B．FN＝Gtanθ
C．若只缩短悬绳的长度，其他条件不变，则FN和F都增大
D．若只缩短悬绳的长度，其他条件不变，则FN增大，F减小
答案：BC
解析：对篮球受力分析如图所示，由平衡条件可知Fcosθ＝G，Fsinθ＝FN，解得F＝，FN＝Gtanθ，A错误，B正确；若只缩短悬绳的长度，其他条件不变，则θ角变大，由F＝和FN＝Gtanθ知，FN和F都增大，C正确，D错误。
5．如图所示，与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到F水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外力，下列判断正确的是(　　)
A．推力F先增大后减小
B．推力F一直减小
C．物块受到的摩擦力先减小后增大
D．物块受到的摩擦力一直不变
答案：B
解析：对物块受力分析，建立如图所示的坐标系。由平衡条件得：Fcosθ－Ff＝0，FN－(mg＋Fsinθ)＝0，又Ff＝μFN，联立可得F＝，可见，当θ减小时，F一直减小，A错误，B正确；摩擦力Ff＝μFN＝μ(mg＋Fsinθ)，可知，当θ、F减小时，Ff一直减小，C、D错误。
6．如图所示是给墙壁粉刷涂料用的涂料滚的示意图，使用时，用撑杆推着粘有涂料的涂料滚沿墙上下缓慢滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上。撑杆的重力不计，撑杆与涂料滚之间的摩擦及涂料滚与墙壁之间的摩擦均不计，且撑杆足够长。粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓向上推涂料滚，设该过程中撑杆对涂料滚的推力为F1，涂料滚对墙壁的压力为F2，则(　　)
A．F1增大，F2减小 B．F1增大，F2增大
C．F1减小，F2减小 D．F1减小，F2增大
答案：C
解析：解法一(平行四边形法)：涂料滚沿墙壁缓慢向上滚动的过程中，处于动态平衡，合力为零，分析涂料滚受力，如图1所示，由牛顿第三定律知F2′＝F2，涂料滚向上滚动的过程中，θ角减小，由图可知，F1和F2′均减小，F2也减小，C正确。
解法二(矢量三角形法)：涂料滚沿墙壁缓慢向上滚动的过程中，处于动态平衡，合力为零，分析涂料滚受力可知，其受到的撑杆的推力F1、墙壁的弹力F2′和自身重力mg首尾相接构成一个封闭的矢量三角形，如图2所示。涂料滚向上滚动过程中，F1与竖直方向的夹角逐渐减小，F1和F2′均逐渐减小，由牛顿第三定律知F2＝F2′，故F2也逐渐减小，C正确。
　
7．如图所示，斜面与水平面、斜面与挡板间的夹角均为30°，一小球放置在斜面与挡板之间，挡板对小球的弹力为FN1，斜面对小球的弹力为FN2，以挡板与斜面连接点所形成的水平直线为轴，将挡板从图示位置开始缓慢地转到竖直位置，不计摩擦，在此过程中(　　)
A．FN1始终减小，FN2始终增大
B．FN1始终减小，FN2始终减小
C．FN1始终减小，FN2先减小后增大
D．FN1先减小后增大，FN2始终减小
答案：B
解析：挡板从图示位置开始缓慢地转到竖直位置的过程中，小球始终处于平衡状态，将挡板的支持力和斜面的支持力平移与小球的重力组成一个矢量三角形，如图所示，mg大小、方向均不变，FN2方向不变，FN1方向改变，当挡板转到竖直位置时，FN1水平，则在挡板由图示位置缓慢绕过O点的水平轴转至竖直位置的过程中，FN1始终减小，FN2始终减小，故A、C、D错误，B正确。
8．如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力大小F和圆环对小球的弹力大小FN的变化情况是(　　)
A．F不变，FN增大
B．F不变，FN减小
C．F减小，FN不变
D．F增大，FN减小
答案：C
解析：小球沿圆环缓慢上移过程，可看作时刻处于平衡状态，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，其中F′＝F，由几何关系可知，G、F′、FN构成的矢量三角形与几何三角形AOB相似，可知＝＝，当A点上移时，AO与BO长度不变，AB长度减小，故F′减小(即F减小)，FN不变，故C正确。
9．如图所示，轻绳a的一端固定于竖直墙壁，另一端拴连一个光滑圆环。轻绳b穿过圆环，一端拴连一个物体，用力拉住另一端C将物体吊起，使其处于静止状态。不计圆环受到的重力，现将C端沿竖直方向上移一小段距离，待系统重新静止时(　　)
A．绳a与竖直方向的夹角不变
B．绳b的倾斜段与绳a的夹角变小
C．绳a中的张力变大
D．绳b中的张力变小
答案：B
解析：由题意可知，轻绳b的拉力始终与物体重力相等，根据平衡条件和平行四边形定则可知，绳a始终与两段绳b夹角的角平分线共线。现将C端沿竖直方向上移一小段距离，两段绳b的夹角α增大，又因为与物体连接的一端始终处于竖直方向，可知绳a与竖直方向的夹角变大，绳b的倾斜段与绳a的夹角变小，故B正确，A、D错误。根据平行四边形定则可知，两段绳b的夹角变大，合力变小，由平衡条件可知绳a中的张力变小，故C错误。
10．(多选)如图所示，轻绳与轻杆的质量均可忽略，轻杆A端用光滑铰链固定，B端吊一重物，滑轮在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计)。现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前(　　)
A．绳子的拉力不变 B．绳子的拉力减小
C．AB杆受力增大 D．AB杆受力不变
答案：BD
解析：以B端为研究对象，分析受力情况：受到连接重物的绳子的拉力FT(等于重物的重力G)、轻杆的支持力FN和绳子的拉力F，如图所示。由平衡条件得知，FN和F的合力与FT大小相等、方向相反，根据三角形相似可得＝＝，又FT＝G，解得FN＝·G，F＝·G；用拉力F将B端缓慢上拉时，AB、AO保持不变，BO变小，则FN保持不变，根据牛顿第三定律可知，AB杆受力不变，F变小，即绳子的拉力减小，B、D正确，A、C错误。
11．如图甲是工人在高层安装空调时吊运室外机的场景，简化图如图乙所示。一名工人在高处控制绳子P，另一名工人站在水平地面上拉住另一根绳子Q。在吊运的过程中，地面上的工人在缓慢后退，同时缓慢放绳，室外机缓慢竖直上升，绳子Q与竖直方向的夹角近似不变，绳子质量忽略不计，则下列说法正确的是(　　)
A．绳子P上的拉力不断变大
B．绳子Q上的拉力先变小后变大
C．地面对工人的支持力不断变大
D．绳子P、Q对室外机的拉力的合力不断变大
答案：A
解析：设绳子P对室外机的拉力为F1，绳子Q对室外机的拉力为F2，室外机受力分析如图1所示，将F1、F2和mg构成矢量三角形，变化过程如图2所示，可知地面上的工人在缓慢后退，同时缓慢放绳过程中，F2方向不变，因为室外机竖直上升，故F1与竖直方向的夹角α逐渐变大，则F1、F2均增大，故A正确，B错误；由于β不变，F2变大，F2在竖直方向的分力变大，由平衡条件可知地面对工人的支持力不断变小，故C错误；由于室外机受到P、Q的拉力F1、F2和自身重力mg而平衡，由平衡条件可知绳子P、Q对室外机的拉力的合力与室外机的重力始终等大反向，所以绳子P、Q对室外机的拉力的合力不变，故D错误。
12．(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的M、N两点，O点下面悬挂一小球。轻绳OM、ON与竖直方向的夹角分别为α＝60°、β＝30°。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是(　　)
A．F1逐渐增大
B．F2先增大再减小
C．F1与F2的水平分量大小相等
D．F1与F2的竖直分量大小相等
答案：AC
解析：解法一(解析法)：设小球质量为m，则其对结点O的拉力大小为mg，方向竖直向下，以结点O为研究对象，受到小球对其拉力mg及OM、ON的拉力F1、F2，小球始终保持静止状态，则三力平衡，所以mg、F1、F2可构成封闭的矢量三角形，由于F1和F2夹角为α＋β＝90°不变，则矢量三角形如图1所示，由几何关系可知，F1＝mgcosα，F2＝mgsinα，两绳同时缓慢顺时针转过45°的过程中，α从60°减小到15°，则F1增大，F2减小，A正确，B错误；由图1可知，F1的水平分量F1x＝F1sinα＝mgcosαsinα，F2的水平分量F2x＝F2sinβ＝mgsinαcosα，则二者大小始终相等，F1的竖直分量F1y＝F1cosα＝mgcos2α，F2的竖直分量F2y＝F2cosβ＝mgsin2α，则只有当α＝45°时，二者才相等，C正确，D错误。
解法二(图解法)：设小球质量为m，则其对结点O的拉力大小为mg，方向竖直向下，以结点O为研究对象，受到小球对其拉力mg及OM、ON的拉力F1、F2，小球始终保持静止状
态，则三力平衡，所以mg、F1、F2可构成封闭的矢量三角形，由于小球重力不变，以及F1和F2夹角为α＋β＝90°不变，则矢量三角形动态图如图2所示，mg始终为矢量三角形外接圆的直径，两绳同时缓慢顺时针转过45°的过程中，F1逐渐增大，F2逐渐减小，故A正确，B错误；由图2可知，F1的水平分量和F2的水平分量均是矢量三角形中以直径mg为底时的高，大小始终相等，F1的竖直分量和F2的竖直分量之和为mg不变，矢量三角形变化时，F1的竖直分量增大，F2的竖直分量减小，仅当α＝β＝45°时，二者才相等，C正确，D错误。
[名师点拨]　图解法之动态圆法
(1)适用情境：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另两个力方向、大小都在变，但它们的夹角不变。
(2)应用步骤
①构造力的矢量三角形；
②画矢量三角形的外接圆，恒力对应弦长不变，其对应圆周角也不变；
③分析变力的变化情况。
注：当两个变力的夹角是90°时，恒力对应外接圆的直径。
16(共48张PPT)
第三章　相互作用——力
专题提升七　轻绳模型和轻杆
模型　动态平衡问题
目录
1
课后课时作业
提升
２
提升
提升1　轻绳模型和轻杆模型
1．轻绳的“活结”和“死结”问题
(1)活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，由于滑轮或挂钩对绳无约束，因此绳上的力大小是相等的，即滑轮或挂钩只改变力的方向不改变力的大小。
(2)死结：若结点不是滑轮，而是固定点时，称为“死结”，这时两侧绳上的弹力大小不一定相等。
2．轻杆的“定杆”和“动杆”问题
(1)动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若轻杆的C端用转轴固定，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
(2)定杆：若轻杆被固定而不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图乙所示。
轻绳、轻杆以及轻弹簧只是理想模型，若绳、杆以及弹簧的质量(重力)不可忽略，则绳、杆、弹簧中各处的弹力大小一般不同。
物体在几个力的作用下，如果运动状态变化足够缓慢，则缓慢变化的每一个瞬间，物体都可以看作处于平衡状态，称为动态平衡。这类问题中力的大小、方向都可能变化，与静态平衡不同。解决动态平衡问题的常见方法如下：
一、解析法
1．对研究对象进行受力分析。
2．建立平衡方程，写出各个力之间关系的解析式。
3．根据题目中已知力或夹角的变化，应用数学中的函数知识判断未知力的变化。
提升2　动态平衡问题
二、图解法
1．适用情境：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另两个力中有一个力的方向不变。
2．应用步骤
(1)平行四边形法
①画出与恒力F平衡的等大反向的力F0；
②根据平行四边形定则将F0分解为另外两个力，画出平行四边形边、角的变化，确定未知力大小、方向的变化。
(2)矢量三角形法
①首先对物体进行受力分析，根据物体处于平衡状态时合力为0，依据题图构建初始状态的力的矢量三角形。
1)先画出大小、方向都不变的恒力；
2)再画出方向不变、大小可变的力，可用虚线表示其方向；
3)明确方向变化的力的方向如何变化，并依次画出2～3条矢量线段表示变化趋势。
注意：当方向变化的力垂直已知方向的力时，方向变化的力有最小值。
②根据动态变化过程中，三角形中边的长度、方向的变化情况判断力的大小、方向的变化情况。
例3　如图所示，用竖直木板挡住放在光滑斜面上的小球A，A受到的重力为G，整个装置静止在水平面上。设斜面和木板对小球A的弹力大小分别为F1和F2。保持木板竖直，在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中，A受力的变化情况是(　　)
A．F1增大，F2减小
B．F1减小，F2增大
C．F1减小，F2减小
D．F1不变，F2增大
解法二(图解法——平行四边形)：小球A受到重力、斜面对小球A的弹力F1和木板对小球的弹力F2，在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中，A的重力G不变，F2的方向不变，画出力的平行四边形如图乙所示，由图可知，F1、F2均减小，故C正确，A、B、D错误。
解法三(图解法——矢量三角形)：小球A受到重力、斜面对小球A的弹力F1和木板对小球的弹力F2，在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中，A的重力G不变，F2的方向不变，画出力的矢量三角形如图丙所示，由图可知，F1、F2均减小，故C正确，A、B、D错误。
[跟进训练]　如图所示，将一个铅球放在倾角为θ的斜面上，并用挡板挡住，铅球处于静止状态，现将挡板从竖直状态绕O点缓慢转动至与斜面垂直。不考虑铅球受到的摩擦力，挡板转动过程中铅球对挡板的压力和对斜面的压力大小分别为F1、F2。则(　　)
A．F1逐渐变大
B．F1先变小后变大
C．F2逐渐变小
D．F2先变小后变大
解析：以铅球为研究对象，在挡板转动过程中，其所受力的矢量三角形的动态变化如图所示，可知挡板对铅球的支持力F1′逐渐变小，斜面对铅球的支持力F2′逐渐变小；由牛顿第三定律可知，铅球对挡板的压力F1逐渐变小，铅球对斜面的压力F2逐渐变小，C正确，A、B、D错误。
例4　如图所示，光滑半球面上的小球被一通过定滑轮的轻绳用力F由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析绳的拉力F及半球面对小球的支持力FN的大小变化情况。
答案　F减小，FN大小不变
相似三角形法
(1)适用情境：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另外两个力的方向均发生变化，且在题目中可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形。
(2)应用步骤
①将表示三个力的有向线段首尾相连构成力的矢量三角形；
②寻找与力的矢量三角形相似的几何三角形；
③利用相似三角形的特点，建立比例关系，把力的变化问题转化为几何三角形边长的变化问题；
④结合几何三角形中边长的变化，得出未知力大小的变化情况。
课后课时作业
题型一　轻绳模型和轻杆模型
1．如图所示，将一细绳的两端固定于两竖直墙的A、B两点，通过一个光滑的挂钩将某重物挂在绳上，下面给出的四幅图中有可能使物体处于平衡状态的是(　　)
解析：由于重物是通过一个光滑的挂钩挂在绳上，绳子上的力处处相等，而两边绳子的合力大小等于物体的重力，方向竖直向上，由对称性可知两边绳子与竖直方向的夹角相等，C正确。　
题型二　动态平衡问题
4．(多选)如图所示，在光滑墙壁上用网兜把篮球挂在O点，篮球处于静止状态，悬绳与竖直墙壁的夹角为θ。已知篮球的重力为G，网兜的质量不计，悬绳对篮球的拉力为F，墙壁对篮球的支持力为FN，下列说法中正确的是(　　)
A．F＝Gcosθ
B．FN＝Gtanθ
C．若只缩短悬绳的长度，其他条件不变，则FN和F都增大
D．若只缩短悬绳的长度，其他条件不变，则FN增大，F减小
5．如图所示，与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到F水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外力，下列判断正确的是(　　)
A．推力F先增大后减小
B．推力F一直减小
C．物块受到的摩擦力先减小后增大
D．物块受到的摩擦力一直不变
6．如图所示是给墙壁粉刷涂料用的涂料滚的示意图，使用时，用撑杆推着粘有涂料的涂料滚沿墙上下缓慢滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上。撑杆的重力不计，撑杆与涂料滚之间的摩擦及涂料滚与墙壁之间的摩擦均不计，且撑杆足够长。粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓向上推涂料滚，设该过程中撑杆对涂料滚的推力为F1，涂料滚对墙壁的压力为F2，则(　　)
A．F1增大，F2减小
B．F1增大，F2增大
C．F1减小，F2减小
D．F1减小，F2增大
解析：解法一(平行四边形法)：涂料滚沿墙壁缓慢向上滚动的过程中，处于动态平衡，合力为零，分析涂料滚受力，如图1所示，由牛顿第三定律知F2′＝F2，涂料滚向上滚动的过程中，θ角减小，由图可知，F1和F2′均减小，F2也减小，C正确。
解法二(矢量三角形法)：涂料滚沿墙壁缓慢向上滚动的过程中，处于动态平衡，合力为零，分析涂料滚受力可知，其受到的撑杆的推力F1、墙壁的弹力F2′和自身重力mg首尾相接构成一个封闭的矢量三角形，如图2所示。涂料滚向上滚动过程中，F1与竖直方向的夹角逐渐减小，F1和F2′均逐渐减小，由牛顿第三定律知F2＝F2′，故F2也逐渐减小，C正确。　
7．如图所示，斜面与水平面、斜面与挡板间的夹角均为30°，一小球放置在斜面与挡板之间，挡板对小球的弹力为FN1，斜面对小球的弹力为FN2，以挡板与斜面连接点所形成的水平直线为轴，将挡板从图示位置开始缓慢地转到竖直位置，不计摩擦，在此过程中(　　)
A．FN1始终减小，FN2始终增大
B．FN1始终减小，FN2始终减小
C．FN1始终减小，FN2先减小后增大
D．FN1先减小后增大，FN2始终减小
解析：挡板从图示位置开始缓慢地转到竖直位置的过程中，小球始终处于平衡状态，将挡板的支持力和斜面的支持力平移与小球的重力组成一个矢量三角形，如图所示，mg大小、方向均不变，FN2方向不变，FN1方向改变，当挡板转到竖直位置时，FN1水平，则在挡板由图示位置缓慢绕过O点的水平轴转至竖直位置的过程中，FN1始终减小，FN2始终减小，故A、C、D错误，B正确。　
8．如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力大小F和圆环对小球的弹力大小FN的变化情况是(　　)
A．F不变，FN增大
B．F不变，FN减小
C．F减小，FN不变
D．F增大，FN减小
9．如图所示，轻绳a的一端固定于竖直墙壁，另一端拴连一个光滑圆环。轻绳b穿过圆环，一端拴连一个物体，用力拉住另一端C将物体吊起，使其处于静止状态。不计圆环受到的重力，现将C端沿竖直方向上移一小段距离，待系统重新静止时(　　)
A．绳a与竖直方向的夹角不变
B．绳b的倾斜段与绳a的夹角变小
C．绳a中的张力变大
D．绳b中的张力变小
10．(多选)如图所示，轻绳与轻杆的质量均可忽略，轻杆A端用光滑铰链固定，B端吊一重物，滑轮在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计)。现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前(　　)
A．绳子的拉力不变
B．绳子的拉力减小
C．AB杆受力增大
D．AB杆受力不变
11．如图甲是工人在高层安装空调时吊运室外机的场景，简化图如图乙所示。一名工人在高处控制绳子P，另一名工人站在水平地面上拉住另一根绳子Q。在吊运的过程中，地面上的工人在缓慢后退，同时缓慢放绳，室外机缓慢竖直上升，绳子Q与竖直方向的夹角近似不变，绳子质量忽略不计，则下列说法正确的是(　　)
A．绳子P上的拉力不断变大
B．绳子Q上的拉力先变小后变大
C．地面对工人的支持力不断变大
D．绳子P、Q对室外机的拉力的合力不断变大
解析：设绳子P对室外机的拉力为F1，绳子Q对
室外机的拉力为F2，室外机受力分析如图1所示，将
F1、F2和mg构成矢量三角形，变化过程如图2所示，
可知地面上的工人在缓慢后退，同时缓慢放绳过程中，
F2方向不变，因为室外机竖直上升，故F1与竖直方向的夹角α逐渐变大，则F1、F2均增大，故A正确，B错误；由于β不变，F2变大，F2在竖直方向的分力变大，由平衡条件可知地面对工人的支持力不断变小，故C错误；由于室外机受到P、Q的拉力F1、F2和自身重力mg而平衡，由平衡条件可知绳子P、Q对室外机的拉力的合力与室外机的重力始终等大反向，所以绳子P、Q对室外机的拉力的合力不变，故D错误。　
12．(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的M、N两点，O点下面悬挂一小球。轻绳OM、ON与竖直方向的夹角分别为α＝60°、β＝30°。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是(　　)
A．F1逐渐增大
B．F2先增大再减小
C．F1与F2的水平分量大小相等
D．F1与F2的竖直分量大小相等
解析：解法一(解析法)：设小球质量为m，则其对结点O的拉力
大小为mg，方向竖直向下，以结点O为研究对象，受到小球对其拉力
mg及OM、ON的拉力F1、F2，小球始终保持静止状态，则三力平衡，
所以mg、F1、F2可构成封闭的矢量三角形，由于F1和F2夹角为α＋β
＝90°不变，则矢量三角形如图1所示，由几何关系可知，F1＝mgcosα，F2＝mgsinα，两绳同时缓慢顺时针转过45°的过程中，α从60°减小到15°，则F1增大，F2减小，A正确，B错误；由图1可知，F1的水平分量F1x＝F1sinα＝mgcosαsinα，F2的水平分量F2x＝F2sinβ＝mgsinαcosα，则二者大小始终相等，F1的竖直分量F1y＝F1cosα＝mgcos2α，F2的竖直分量F2y＝F2cosβ＝mgsin2α，则只有当α＝45°时，二者才相等，C正确，D错误。
解法二(图解法)：设小球质量为m，则其对结点O的拉力大小
为mg，方向竖直向下，以结点O为研究对象，受到小球对其拉力
mg及OM、ON的拉力F1、F2，小球始终保持静止状态，则三力平
衡，所以mg、F1、F2可构成封闭的矢量三角形，由于小球重力不
变，以及F1和F2夹角为α＋β＝90°不变，则矢量三角形动态图如图2所示，mg始终为矢量三角形外接圆的直径，两绳同时缓慢顺时针转过45°的过程中，F1逐渐增大，F2逐渐减小，故A正确，B错误；由图2可知，F1的水平分量和F2的水平分量均是矢量三角形中以直径mg为底时的高，大小始终相等，F1的竖直分量和F2的竖直分量之和为mg不变，矢量三角形变化时，F1的竖直分量增大，F2的竖直分量减小，仅当α＝β＝45°时，二者才相等，C正确，D错误。　
[名师点拨]　图解法之动态圆法
(1)适用情境：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另两个力方向、大小都在变，但它们的夹角不变。
(2)应用步骤
①构造力的矢量三角形；
②画矢量三角形的外接圆，恒力对应弦长不变，其对应圆周角也不变；
③分析变力的变化情况。
注：当两个变力的夹角是90°时，恒力对应外接圆的直径。

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