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物理　必修 第一册 RJ
专题提升八　多物体系统的平衡问题　
共点力平衡的临界与极值问题
提升1　用整体法和隔离法分析多物体系统的平衡问题
1．整体法：把几个物体看成一个整体，分析整体外的物体对整体中各个物体的作用力(外力)，称为整体法，一般用来研究不涉及整体内部物体之间作用的情况。
2．隔离法：将所确定的研究对象从周围物体中隔离出来，单独分析该物体所受到的力的方法，一般用来研究系统内物体之间的作用。
例1　如图所示，两个等大、反向的水平力F分别作用在物体A和B上，A、B两物体均处于静止状态。若各接触面与水平地面平行，则A、B两物体各受几个力(　　)
A．3个、4个 B．4个、4个
C．4个、5个 D．4个、6个
[解析]　对物体A、B整体进行受力分析，水平方向两个等大反向的水平力F正好平衡，所以物体B不受地面的摩擦力。对物体A进行受力分析：物体A受重力GA、B对A的支持力FN、向右的水平力F、B对A的摩擦力Ff，物体A在四个力的作用下处于平衡状态，故物体A受4个力，如图甲所示。对物体B进行受力分析：物体B受重力GB、A对B的压力FNA、地面对B的支持力FN地、向左的水平力F、A对B的摩擦力Ff′，所以物体B受5个力的作用，如图乙所示。故选C。
[答案]　C
分析多物体系统受力情况的关键 (1)合理应用整体法和隔离法 分析多个物体受到外界的作用力时，可以将多个物体看作一个整体，而不必考虑物体间的内力，这样可简化分析过程；当需要分析其中某个物体所受的作用力时，则必须将该物体隔离出来作为研究对象，此时原整体中某些相互作用的内力对于该物体就是外力。整体法与隔离法通常需要综合运用。 (2)巧妙运用牛顿第三定律 对于多物体系统，如果其中一个物体A的受力情况难以分析，可根据牛顿第三定律，利用转换研究对象法先分析受力较少的施力物体B的受力情况，进而间接得到物体A的受力情况。
例2　如图所示，某人用轻绳牵住一质量m＝0.5 kg的氢气球，因受水平风力的作用，系氢气球的轻绳与水平方向成37°角。已知空气对气球的浮力竖直向上，恒为F浮＝20 N，人的质量M＝50 kg，人受的浮力和风力忽略不计。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2)求：
(1)水平风力的大小；
(2)地面对人的支持力大小及摩擦力大小。
[解析]　(1)设氢气球所受绳子拉力大小为FT，水平风力大小为F风，对氢气球隔离进行受力分析，如图甲，由共点力的平衡条件有
FTcos37°＝F风
F浮＝mg＋FTsin37°
代入数据解得F风＝20 N，FT＝25 N。
(2)解法一(隔离法)：设地面对人的支持力大小为FN，摩擦力大小为Ff，对人进行受力分析，如图乙，绳对人的拉力大小为FT′＝FT，由共点力的平衡条件有
FT′sin37°＋FN＝Mg
FT′cos37°＝Ff
代入数据解得FN＝485 N，Ff＝20 N。
解法二(整体法)：设地面对人的支持力大小为FN，摩擦力大小为Ff，对人和气球整体受力分析，由共点力的平衡条件有
Ff＝F风，FN＋F浮＝(m＋M)g
代入数据解得FN＝485 N，Ff＝20 N。
[答案]　(1)20 N　(2)485 N　20 N
整体法和隔离法的比较
项目 整体法 隔离法
优缺点 优点：一般受力分析的个数较少，计算简单 缺点：不能分析系统内物体间的力 优点：能分析系统内物体间的力 缺点：一般受力分析较复杂，计算复杂
选用原则 需要分析系统整体所受系统外物体的力时 需要分析系统内各物体间的相互作用时
注意事项 画受力分析图时，注意不能再分析系统内物体间的力 一般选择受力较少的物体为研究对象
求解具体问题时，很多情况下需要同时运用两种方法，应根据已知条件灵活选用整体法和隔离法，一般遵从“先整体、后部分”的原则；若已知某个物体的受力，则遵从“先部分、后整体”的原则
[跟进训练]　如图所示，重力大小为G1、上表面光滑的斜面体放置在水平地面上，斜面上有一个重力大小为G2的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，整个装置处于静止状态。已知轻绳与竖直方向的夹角为45°，斜面的倾角为30°，地面对斜面体的摩擦力大小为f、支持力大小为F，轻绳上的拉力大小为T，斜面体对小球的支持力大小为N，则下列关系式一定正确的是(　　)
A．Tcos45°＋Ncos30°＝G2
B．Tsin45°＝Ncos30°
C．f＝Tcos30°
D．F＝G1＋G2
答案：A
解析：以小球为研究对象，根据平衡条件，在竖直方向上有Tcos45°＋Ncos30°＝G2，在水平方向上有Tsin45°＝Nsin30°，故A正确，B错误；以小球和斜面体整体为研究对象，根据平衡条件，在水平方向上有f＝Tsin45°，在竖直方向上有F＋Tcos45°＝G1＋G2，故C、D错误。
提升2　共点力平衡的临界与极值问题
1．临界问题
物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
分析方法：类似于动态平衡问题的分析，采用动态变化的思维，把变化的物理量(一般是某几个力)推向极端，找出临界状态(如绳子中张力达到最大、物体所受静摩擦力达到最大等)，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
2．极值问题
物体平衡状态的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
分析方法
(1)解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
(2)图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
例3　如图所示，重力为G的小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F与竖直方向的夹角为θ时F最小，则此时θ、F的值分别为(　　)
A．90°，G B．30°，G
C．0°，G D．60°，G
[解析]　以小球为研究对象，其动态受力分析如图所示，可知当拉力F与绳子方向垂直时，拉力F具有最小值，此时θ＝90°－60°＝30°，F＝Gcosθ＝G，故选B。
[答案]　B
例4　图示为自卸货车倾倒泥土的场景。假设车厢中的泥土在落地前其形状和质量不变，设车厢与水平面间的夹角为α，则车厢由水平位置缓慢向上转动时，车厢中的泥土受到的摩擦力Ff随车厢转过的角度α变化的图像可能正确的是(　　)
[解析]　(1)车厢由水平位置刚开始转动时：α＝0，Ff静＝0。
(2)从车厢开始转动到车厢与泥土发生相对滑动前：泥土所受的是静摩擦力。由于车厢缓慢转动，可认为泥土处于平衡状态，受力分析如图所示。由平衡条件可知，静摩擦力大小等于泥土的重力沿车厢面向下的分力，即Ff静＝mgsinα，因此，静摩擦力随α的增大而增大，按正弦规律变化。
(3)泥土相对于车厢刚好要滑动而没滑动时，所受的静摩擦力为最大静摩擦力Ffmax。α继续增大，泥土将开始滑动，静摩擦力变为滑动摩擦力，且满足Ffmax>Ff滑。
(4)泥土相对于车厢开始滑动后，Ff滑＝μmgcosα，此过程中，滑动摩擦力随α的增大而减小，按余弦规律变化。
(5)最后，α＝，Ff滑＝0。
综上分析可知，C正确。
[答案]　C
课后课时作业
题型一　用整体法和隔离法分析多物体系统的平衡问题
1．如图所示，水平地面上的L形木板M上放着小木块m，M与m间有一个处于压缩状态的弹簧，整个装置处于静止状态。下列说法正确的是(　　)
A．M对m的摩擦力方向向左
B．M对m无摩擦力作用
C．地面对M的摩擦力方向向右
D．地面对M无摩擦力作用
答案：D
解析：对m受力分析，m受到重力、支持力、水平向左的弹力，根据平衡条件知，还受M的摩擦力，摩擦力方向向右，故A、B错误；对整体受力分析，在竖直方向上受到的重力和支持力平衡，若地面对M有摩擦力，则整体不能平衡，所以地面对M无摩擦力作用，故C错误，D正确。
2．如图所示，质量为M的半球形容器静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在容器内P点，O点为容器的球心，已知OP与水平方向的夹角为α。下列结论正确的是(　　)
A．木块受到的摩擦力大小是mgsinα
B．木块对容器的压力大小是mgcosα
C．桌面对容器的摩擦力大小是mgsinαcosα
D．桌面对容器的支持力大小是(M＋m)g
答案：D
解析：对木块进行受力分析如图所示，把重力分别在沿OP方向和垂直OP方向进行分解，由平行四边形定则和平衡条件可得木块受到的摩擦力大小f＝mgcosα，木块受到的支持力大小FN＝mgsinα，根据牛顿第三定律，木块对容器的压力大小FN′＝FN＝mgsinα，故A、B错误；将木块与容器作为一个整体进行受力分析，由平衡条件可知，桌面对容器的摩擦力大小f1＝0，桌面对容器的支持力大小N1＝(M＋m)g，故C错误，D正确。
3．在恒力F作用下，a、b两物体一起沿粗糙竖直墙面匀速向上运动，则关于它们受力情况的说法正确的是(　　)
A．a一定受到4个力
B．b可能受到4个力
C．a与墙壁之间一定有弹力和摩擦力
D．a与b之间不一定有摩擦力
答案：A
解析：对物体b受力分析，受重力、支持力，因重力和支持力不在一条直线上，则要保证b处于平衡状态，其一定受到沿斜面向上的摩擦力作用，即b一定受到3个力，故B、D错误；对物体a、b整体受力分析，受重力、恒力F，若墙壁对整体有支持力，水平方向不能平衡，故墙壁对整体没有支持力，由摩擦力的产生条件知，墙壁对整体也没有摩擦力；对物体a受力分析，受恒力F、重力、物体b对a的压力和摩擦力，即物体a共受4个力，故A正确，C错误。
4．水中一货轮a由于动力出现故障，无法动弹。现在由两个拖船b和c拉着a一起沿图中虚线方向匀速行驶，两水平缆绳(不计重力)与虚线的夹角均为60°且保持不变，如图所示。忽略水的流动，水对a、b和c的阻力大小均为F，方向与其运动方向相反，则b船发动机的动力大小为(　　)
A.F B.F
C.F D．3F
答案：B
解析：a在水的阻力F和两缆绳拉力作用下匀速运动，受力平衡，三力互成120°角，根据平行四边形定则可知缆绳拉力大小均为F1＝F；对b进行受力分析，如图所示，b在阻力F、缆绳拉力F1′和动力F2作用下匀速运动，受力平衡，且F1′＝F1，则F和F1的合力与F2等大反向，由平行四边形定则可得F2＝2Fcos30°＝F，故选B。
5．(多选)如图所示，一渔民欲把重力均为G的虾笼A、B从水中缓慢拉出，此时虾笼A已被拉出水面，虾笼B还未完全拉出水面，轻质绳索1、2与水平面的夹角分别为60°和30°。下列说法正确的是(　　)
A．绳索1上的拉力大小等于2G
B．绳索2上的拉力大小等于G
C．水对虾笼B的作用力大小等于G
D．水对虾笼B的作用力大小等于
答案：BC
解析：如图所示，对虾笼A受力分析，由平衡条件可得，竖直方向有FT1sin60°＝G＋FT2sin30°，水平方向有FT1cos60°＝FT2cos30°，解得FT1＝G，FT2＝G，A错误，B正确；如图所示，对虾笼B受力分析，由平衡条件可得，水对虾笼B的浮力大小为F浮＝G－FT2sin30°＝G，水对虾笼B的阻力大小为Ff＝FT2cos30°＝G，水对虾笼B的作用力大小为F＝ ＝G，C正确，D错误。
题型二　共点力平衡的临界与极值问题
6．一物体P通过细绳系在两根等长细绳OA、OB的结点O上，细绳的A端、B端挂在半圆形的支架上，如图所示。开始时绳OB处于水平位置，此时细绳OA、OB的拉力大小各为5.0 N和3.0 N。保持A端、O端的位置不动，将B端沿半圆形支架从水平位置逐渐移至竖直位置C，在这一过程中(　　)
A．OA绳上拉力一直增大
B．OB绳上拉力先增大后减小
C．OB绳上最小拉力为2 N
D．OB绳上最大拉力为4 N
答案：D
解析：设OA绳上的拉力为FOA，OB绳上的拉力为FOB，OP绳上的拉力大小等于重物的重力G，结点O受力平衡，FOA、FOB和G可构成闭合的矢量三角形，将B端沿半圆形支架从水平位置逐渐移至竖直位置C的过程中，FOA的方向不变，三力构成的闭合矢量三角形的动态变化如图所示，可知FOA一直减小，FOB先减小后增大，故A、B错误；当B端位于水平位置时，根据几何关系可得重物的重力大小G＝＝4 N，设OA与OC的夹角为θ，则sinθ＝＝，由几何关系可知，当OA与OB垂直时，OB绳上拉力最小，有FOBmin＝Gsinθ＝2.4 N，当OB与OC重合时，OB绳上拉力最大，有FOBmax＝G＝4.0 N，故C错误，D正确。
7．中国“天眼”开创了建造巨型望远镜的新模式，大幅拓展了人类的视野，是当之无愧的国之重器。如图所示，技术人员(视为质点)在某次维护过程中发现，只有在离半球形最低点的高度小于或等于h时，他才能停在球面上。已知半球形的半径为R，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则技术人员与球面间的动摩擦因数μ为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：当技术人员在离半球形最低点的高度为h时，设球面对人的支持力与竖直方向的夹角为θ，对人受力分析如图，则Ff＝mgsinθ，FN＝mgcosθ，其中Ff＝μFN，解得μ＝tanθ，由几何关系可知tanθ＝＝，则μ＝，故A正确。
8．日常生活、生产中，常常需要将物体水平移动。一重量为G的物体与水平面间动摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，则要使该物体沿该水平面做匀速直线运动的最小拉力为(　　)
A．0.75G B．0.6G
C．0.5G D．0.3G
答案：B
解析：设物体沿水平面做匀速直线运动时拉力大小为F，拉力方向与水平方向夹角为θ，水平面对物体的支持力大小为FN，滑动摩擦力大小为f，对物体进行受力分析如图所示，由平衡条件有Fsinθ＝G－FN，Fcosθ＝f，其中f＝μFN，联立解得F＝＝，由数学知识可知，当FN＝G时，F有最小值，Fmin＝0.6G，故选B。
9．有一个直角支架AOB，AO杆水平放置，表面粗糙，OB杆竖直放置，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示。现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力Ff的变化情况是(　　)
A．FN不变，Ff变大 B．FN不变，Ff变小
C．FN变大，Ff变大 D．FN变大，Ff变小
答案：B
解析：以两环和细绳整体为研究对象，由题意可知，竖直方向上二力平衡，即FN＝2mg不变；水平方向上只受OB对Q环的弹力FN′和OA对P环的摩擦力Ff作用，因此Ff＝FN′。以Q环为研究对象，它在重力、细绳的拉力F和OB的弹力FN′作用下平衡，如图所示，设细绳和竖直方向的夹角为α，则FN′＝mgtanα。P环向左移动一小段距离，再次平衡时，α变小，FN′也变小，所以Ff变小。故B正确。
10．(多选)如图所示，方向水平向左的作用力F(大小未知)作用在甲书上，乙书被夹在甲书与竖直墙壁间，甲书恰好不下滑，乙书保持静止。已知甲、乙书的质量均为m＝0.2 kg，甲书与乙书接触面间的动摩擦因数μ1＝0.2，乙书与竖直墙壁间的动摩擦因数为μ2(大小未知)，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，则(　　)
A．F＝5 N B．F＝10 N
C．μ2可能是0.2 D．μ2可能是0.5
答案：BD
解析：对甲书受力分析，受到重力mg、乙书的摩擦力f1、外力F和乙书的弹力FN1，根据平衡条件，水平方向上有FN1＝F，竖直方向上有mg＝f1，因为恰好不下滑，则有f1＝μ1FN1，解得F＝10 N，A错误，B正确；对甲、乙书构成的整体受力分析，受到重力2mg、墙壁的摩擦力f2、外力F和墙壁的弹力FN2，根据平衡条件，水平方向上有FN2＝F，竖直方向上有2mg＝f2，其中f2≤μ2FN2，解得μ2≥0.4，即乙书与竖直墙壁间动摩擦因数的最小值为μ2min＝0.4，C错误，D正确。
11．夏季的重庆骄阳似火，为保证空调冷气不外漏，很多办公室都安装了简易自动关门器，该装置的原理可以简化为用一弹簧拉着的门，某次门在关闭时被卡住，细心的小明发现了门下缝隙处塞紧了一个木楔，侧面如图所示，已知木楔质量为m，其上表面可视作光滑，下表面与水平地面间的动摩擦因数为μ，木楔上表面与水平地面间夹角为θ，重力加速度为g，木楔尺寸比门小很多，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。
(1)若门推动木楔在地板上缓慢匀速移动，求门下端对木楔上表面的压力大小；
(2)小明研究发现，存在临界角θ0，若木楔倾角θ≤θ0，不管用多大力推门，塞在门下缝隙处的木楔都能将门卡住而不再运动，求这一临界角的正切值tanθ0。
答案：(1)　(2)μ
解析：(1)对木楔受力分析，受到重力、门的压力、地面的支持力和摩擦力，如图所示
若门推动木楔在地板上缓慢匀速移动，
竖直方向有N＝Fcosθ＋mg
水平方向有f＝Fsinθ
又f＝μN
联立解得F＝。
(2)不管用多大力推门，塞在门下缝隙处的木楔都能将门卡住而不再运动，即满足条件Fsinθ≤μ(Fcosθ＋mg)
可得μ≥
又的取值范围为0<则μ≥tanθ
故临界角的正切值为tanθ0＝μ。
12．如图所示，质量为m的匀质细绳，一端系在天花板上的A点，另一端系在竖直墙壁上的B点，平衡后最低点为C点。现测得绳子A端的切线与竖直方向的夹角为β＝30°，绳子B端的切线与竖直墙壁的夹角为α＝60°，则(重力加速度为g)(　　)
A．绳子在A处的弹力大小为mg
B．绳子在B处的弹力大小为mg
C．AC段绳子的质量为m
D．绳子在C处的弹力大小为mg
答案：D
解析：对绳子整体受力分析，如图1所示，根据平衡条件，可得竖直方向有FAcosβ＋FBcosα＝mg，水平方向有FAsinβ＝FBsinα，解得FA＝mg，FB＝mg，故A、B错误；设AC段绳子的质量为m1，受力分析如图2所示，可得，FAcosβ＝m1g，FAsinβ＝FC，解得m1＝m，FC＝mg，C错误，D正确。
[名师点拨]　链条、粗缆绳等重力不可忽略的物体的受力分析
(1)分析方法：整体法与隔离法；
(2)解题关键：根据需要求解的问题合理选择所要研究的部分。
14(共46张PPT)
第三章　相互作用——力
专题提升八　多物体系统的
平衡问题　共点力平衡的临界
与极值问题
目录
1
课后课时作业
提升
２
提升
提升1　用整体法和隔离法分析多物体系统的平衡问题
1．整体法：把几个物体看成一个整体，分析整体外的物体对整体中各个物体的作用力(外力)，称为整体法，一般用来研究不涉及整体内部物体之间作用的情况。
2．隔离法：将所确定的研究对象从周围物体中隔离出来，单独分析该物体所受到的力的方法，一般用来研究系统内物体之间的作用。
例1　如图所示，两个等大、反向的水平力F分别作用在物体A和B上，A、B两物体均处于静止状态。若各接触面与水平地面平行，则A、B两物体各受几个力(　　)
A．3个、4个
B．4个、4个
C．4个、5个
D．4个、6个
解析　对物体A、B整体进行受力分析，水平方向两个等大反向的水平力F正好平衡，所以物体B不受地面的摩擦力。对物体A进行受力分析：物体A受重力GA、B对A的支持力FN、向右的水平力F、B对A的摩擦力Ff，物体A在四个力的作用下处于平衡状态，故物体A受4个力，如图甲所示。对物体B进行受力分析：物体B受重力GB、A对B的压力FNA、地面对B的支持力FN地、向左的水平力F、A对B的摩擦力Ff′，所以物体B受5个力的作用，如图乙所示。故选C。
分析多物体系统受力情况的关键
(1)合理应用整体法和隔离法
分析多个物体受到外界的作用力时，可以将多个物体看作一个整体，而不必考虑物体间的内力，这样可简化分析过程；当需要分析其中某个物体所受的作用力时，则必须将该物体隔离出来作为研究对象，此时原整体中某些相互作用的内力对于该物体就是外力。整体法与隔离法通常需要综合运用。
(2)巧妙运用牛顿第三定律
对于多物体系统，如果其中一个物体A的受力情况难以分析，可根据牛顿第三定律，利用转换研究对象法先分析受力较少的施力物体B的受力情况，进而间接得到物体A的受力情况。
例2　如图所示，某人用轻绳牵住一质量m＝0.5 kg的氢气球，因受水平风力的作用，系氢气球的轻绳与水平方向成37°角。已知空气对气球的浮力竖直向上，恒为F浮＝20 N，人的质量M＝50 kg，人受的浮力和风力忽略不计。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2)求：
(1)水平风力的大小；
(2)地面对人的支持力大小及摩擦力大小。
答案　(1)20 N　(2)485 N　20 N
解析　(1)设氢气球所受绳子拉力大小为FT，水平风力大小为F风，对氢气球隔离进行受力分析，如图甲，由共点力的平衡条件有
FTcos37°＝F风
F浮＝mg＋FTsin37°
代入数据解得F风＝20 N，FT＝25 N。
(2)解法一(隔离法)：设地面对人的支持力大小为FN，摩擦力大小为Ff，对人进行受力分析，如图乙，绳对人的拉力大小为FT′＝FT，由共点力的平衡条件有
FT′sin37°＋FN＝Mg
FT′cos37°＝Ff
代入数据解得FN＝485 N，Ff＝20 N。
解法二(整体法)：设地面对人的支持力大小为FN，摩擦力大小为Ff，对人和气球整体受力分析，由共点力的平衡条件有
Ff＝F风，FN＋F浮＝(m＋M)g
代入数据解得FN＝485 N，Ff＝20 N。
整体法和隔离法的比较
项目 整体法 隔离法
优缺点 优点：一般受力分析的个数较少，计算简单 缺点：不能分析系统内物体间的力 优点：能分析系统内物体间的力
缺点：一般受力分析较复杂，计算复杂
选用原则 需要分析系统整体所受系统外物体的力时 需要分析系统内各物体间的相互作用时
注意事项 画受力分析图时，注意不能再分析系统内物体间的力 一般选择受力较少的物体为研究对象
求解具体问题时，很多情况下需要同时运用两种方法，应根据已知条件灵活选用整体法和隔离法，一般遵从“先整体、后部分”的原则；若已知某个物体的受力，则遵从“先部分、后整体”的原则
[跟进训练]　如图所示，重力大小为G1、上表面光滑的斜面体放置在水平地面上，斜面上有一个重力大小为G2的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，整个装置处于静止状态。已知轻绳与竖直方向的夹角为45°，斜面的倾角为30°，地面对斜面体的摩擦力大小为f、支持力大小为F，轻绳上的拉力大小为T，斜面体对小球的支持力大小为N，则下列关系式一定正确的是(　　)
A．Tcos45°＋Ncos30°＝G2
B．Tsin45°＝Ncos30°
C．f＝Tcos30°
D．F＝G1＋G2
解析：以小球为研究对象，根据平衡条件，在竖直方向上有Tcos45°＋Ncos30°＝G2，在水平方向上有Tsin45°＝Nsin30°，故A正确，B错误；以小球和斜面体整体为研究对象，根据平衡条件，在水平方向上有f＝Tsin45°，在竖直方向上有F＋Tcos45°＝G1＋G2，故C、D错误。
1．临界问题
物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
分析方法：类似于动态平衡问题的分析，采用动态变化的思维，把变化的物理量(一般是某几个力)推向极端，找出临界状态(如绳子中张力达到最大、物体所受静摩擦力达到最大等)，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
提升2　共点力平衡的临界与极值问题
2．极值问题
物体平衡状态的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
分析方法
(1)解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
(2)图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
例4　图示为自卸货车倾倒泥土的场景。假设车厢中的泥土在落地前其形状和质量不变，设车厢与水平面间的夹角为α，则车厢由水平位置缓慢向上转动时，车厢中的泥土受到的摩擦力Ff随车厢转过的角度α变化的图像可能正确的是(　　)
解析　(1)车厢由水平位置刚开始转动时：α＝0，Ff静＝0。
(2)从车厢开始转动到车厢与泥土发生相对滑动前：泥土所受的是静摩擦力。由于车厢缓慢转动，可认为泥土处于平衡状态，受力分析如图所示。由平衡条件可知，静摩擦力大小等于泥土的重力沿车厢面向下的分力，即Ff静＝mgsinα，因此，静摩擦力随α的增大而增大，按正弦规律变化。
课后课时作业
题型一　用整体法和隔离法分析多物体系统的平衡问题
1．如图所示，水平地面上的L形木板M上放着小木块m，M与m间有一个处于压缩状态的弹簧，整个装置处于静止状态。下列说法正确的是(　　)
A．M对m的摩擦力方向向左
B．M对m无摩擦力作用
C．地面对M的摩擦力方向向右
D．地面对M无摩擦力作用
解析：对m受力分析，m受到重力、支持力、水平向左的弹力，根据平衡条件知，还受M的摩擦力，摩擦力方向向右，故A、B错误；对整体受力分析，在竖直方向上受到的重力和支持力平衡，若地面对M有摩擦力，则整体不能平衡，所以地面对M无摩擦力作用，故C错误，D正确。　
2．如图所示，质量为M的半球形容器静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在容器内P点，O点为容器的球心，已知OP与水平方向的夹角为α。下列结论正确的是(　　)
A．木块受到的摩擦力大小是mgsinα
B．木块对容器的压力大小是mgcosα
C．桌面对容器的摩擦力大小是mgsinαcosα
D．桌面对容器的支持力大小是(M＋m)g
解析：对木块进行受力分析如图所示，把重力分别在沿OP方向和垂直OP方向进行分解，由平行四边形定则和平衡条件可得木块受到的摩擦力大小f＝mgcosα，木块受到的支持力大小FN＝mgsinα，根据牛顿第三定律，木块对容器的压力大小FN′＝FN＝mgsinα，故A、B错误；将木块与容器作为一个整体进行受力分析，由平衡条件可知，桌面对容器的摩擦力大小f1＝0，桌面对容器的支持力大小N1＝(M＋m)g，故C错误，D正确。　
3．在恒力F作用下，a、b两物体一起沿粗糙竖直墙面匀速向上运动，则关于它们受力情况的说法正确的是(　　)
A．a一定受到4个力
B．b可能受到4个力
C．a与墙壁之间一定有弹力和摩擦力
D．a与b之间不一定有摩擦力
解析：对物体b受力分析，受重力、支持力，因重力和支持力不在一条直线上，则要保证b处于平衡状态，其一定受到沿斜面向上的摩擦力作用，即b一定受到3个力，故B、D错误；对物体a、b整体受力分析，受重力、恒力F，若墙壁对整体有支持力，水平方向不能平衡，故墙壁对整体没有支持力，由摩擦力的产生条件知，墙壁对整体也没有摩擦力；对物体a受力分析，受恒力F、重力、物体b对a的压力和摩擦力，即物体a共受4个力，故A正确，C错误。　
题型二　共点力平衡的临界与极值问题
6．一物体P通过细绳系在两根等长细绳OA、OB的结点O上，细绳的A端、B端挂在半圆形的支架上，如图所示。开始时绳OB处于水平位置，此时细绳OA、OB的拉力大小各为5.0 N和3.0 N。保持A端、O端的位置不动，将B端沿半圆形支架从水平位置逐渐移至竖直位置C，在这一过程中(　　)
A．OA绳上拉力一直增大
B．OB绳上拉力先增大后减小
C．OB绳上最小拉力为2 N
D．OB绳上最大拉力为4 N
8．日常生活、生产中，常常需要将物体水平移动。一重量为G的物体与水平面间动摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，则要使该物体沿该水平面做匀速直线运动的最小拉力为(　　)
A．0.75G B．0.6G
C．0.5G D．0.3G
9．有一个直角支架AOB，AO杆水平放置，表面粗糙，OB杆竖直放置，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示。现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力Ff的变化情况是(　　)
A．FN不变，Ff变大 B．FN不变，Ff变小
C．FN变大，Ff变大 D．FN变大，Ff变小
解析：以两环和细绳整体为研究对象，由题意可知，竖直方向上二力平衡，即FN＝2mg不变；水平方向上只受OB对Q环的弹力FN′和OA对P环的摩擦力Ff作用，因此Ff＝FN′。以Q环为研究对象，它在重力、细绳的拉力F和OB的弹力FN′作用下平衡，如图所示，设细绳和竖直方向的夹角为α，则FN′＝mgtanα。P环向左移动一小段距离，再次平衡时，α变小，FN′也变小，所以Ff变小。故B正确。　
10．(多选)如图所示，方向水平向左的作用力F(大小未知)作用在甲书上，乙书被夹在甲书与竖直墙壁间，甲书恰好不下滑，乙书保持静止。已知甲、乙书的质量均为m＝0.2 kg，甲书与乙书接触面间的动摩擦因数μ1＝0.2，乙书与竖直墙壁间的动摩擦因数为μ2(大小未知)，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，则(　　)
A．F＝5 N B．F＝10 N
C．μ2可能是0.2 D．μ2可能是0.5
解析：对甲书受力分析，受到重力mg、乙书的摩擦力f1、外力
F和乙书的弹力FN1，根据平衡条件，水平方向上有FN1＝F，竖直方
向上有mg＝f1，因为恰好不下滑，则有f1＝μ1FN1，解得F＝10 N，A
错误，B正确；对甲、乙书构成的整体受力分析，受到重力2mg、墙
壁的摩擦力f2、外力F和墙壁的弹力FN2，根据平衡条件，水平方向上
有FN2＝F，竖直方向上有2mg＝f2，其中f2≤μ2FN2，解≥得μ20.4，即
乙书与竖直墙壁间动摩擦因数的最小值为μ2min＝0.4，C错误，D正确。 　
11．夏季的重庆骄阳似火，为保证空调冷气不外漏，很多
办公室都安装了简易自动关门器，该装置的原理可以简化为用
一弹簧拉着的门，某次门在关闭时被卡住，细心的小明发现了
门下缝隙处塞紧了一个木楔，侧面如图所示，已知木楔质量为
m，其上表面可视作光滑，下表面与水平地面间的动摩擦因数为μ，木楔上表面与水平地面间夹角为θ，重力加速度为g，木楔尺寸比门小很多，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。
(1)若门推动木楔在地板上缓慢匀速移动，求门下端对木楔上表面的压力大小；
(2)小明研究发现，存在临界角θ0，若木楔倾角θ≤θ0，不管用多大力推门，塞在门下缝隙处的木楔都能将门卡住而不再运动，求这一临界角的正切值tanθ0。
12
[名师点拨]　链条、粗缆绳等重力不可忽略的物体的受力分析
(1)分析方法：整体法与隔离法；
(2)解题关键：根据需要求解的问题合理选择所要研究的部分。

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