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高考科学复习解决方案 物理
第讲　曲线运动　运动的合成与分解
考点一　曲线运动的条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2．运动性质：物体做曲线运动时，由于速度的方向时刻改变，物体的加速度一定不为0，因此，曲线运动一定是变速运动。
3．物体做曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度的方向与它的速度方向不在同一直线上。
(2)动力学角度：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上。
判断
(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(　　)
(2)做曲线运动的物体一定受变力作用。(　　)
(3)做曲线运动的物体，所受合力的方向一定指向轨迹曲线的凹侧。(　　)
(4)做匀变速曲线运动的物体，速度方向时刻改变，但永远不可能与所受合力的方向相同。(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
1．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切。
(2)合力方向指向轨迹曲线的凹侧。
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
2．合力方向与速率变化的关系
合力在垂直速度方向上的分力改变速度的方向，在沿速度方向上的分力改变速度的大小，故合力方向与速率变化的关系为：
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小。
(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
例1　(2023·全国乙卷，15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是(　　)
[答案]　D
[解析]　由图可知，小车做曲线运动，则其所受合力应指向运动轨迹即轨道的凹侧，故A、B错误；由题意可知，小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，则合力对小车一直做正功，故合力方向与小车运动方向(沿轨道切线向右)的夹角一直为锐角，故C错误，D可能正确。
考点二　运动的合成与分解
1．基本概念
(1)分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动叫作分运动，物体的实际运动叫作合运动。
(2)运动的合成：由分运动求合运动的过程。包括位移、速度和加速度的合成。
(3)运动的分解：由合运动求分运动的过程。解题时应按实际效果分解，或正交分解。
2．遵从的规律：运动的合成与分解遵从矢量运算法则(或平行四边形定则)。
判断
(1)两个直线运动的合运动一定是直线运动。(　　)
(2)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。(　　)
答案：(1)×　(2)√
1．合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
2．合运动性质的判断
(1)合加速度(或合力)
(2)
例2　(人教版必修第二册教材第五章[复习与提高]A组T6)如图，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v0＝1 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。测出某时刻R的x、y坐标值分别为6 cm和2 cm。求此时R的速度的大小。
[答案]　 cm/s
[解析]　设此时R的运动时间为t，x轴方向的速度大小为vx，则y＝v0t
x＝t
此时R的速度大小v＝
联立并代入数据解得v＝ cm/s。
例3　(多选)如图所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是(　　)
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
[答案]　BC
[解析]　两个互成角度的匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动，互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动是匀变速曲线运动。当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动，B正确，A错误；当消防车匀加速前进时，因消防车加速度恒定，且与消防队员沿梯子运动的方向有一定夹角，故消防队员一定做匀变速曲线运动，C正确，D错误。
考点三　运动合成与分解的应用——关联速度问题
1．问题特点
与不可伸长的绳(或杆)相连的物体运动方向与绳(或杆)不在同一条直线上。
2．思路与方法
(1)明确研究对象
绳(或杆)连接的物体，或绳(或杆)的端点。
(2)明确合运动与分运动
合速度→物体的实际运动速度v
分速度→
遵循的法则：v的分解(或v1与v2的合成)遵循平行四边形定则。
(3)明确等量关系
沿绳(或杆)方向的分速度大小相等。
例4　(2025·黑龙江省哈尔滨市实验中学高三上月考)(多选)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图)，下列判断正确的是(　　)
A．P的速率为v
B．P的速率为vcosθ2
C．细绳的拉力等于mgsinθ1
D．细绳的拉力大于mgsinθ1
[答案]　BD
[解析]　将小车的速度v沿细绳方向和垂直于细绳方向正交分解，如图所示，物体P的速度与小车沿细绳方向的速度相等，则有vP＝vcosθ2，A错误，B正确；小车向右运动，所以θ2减小，而v不变，所以vP逐渐变大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，对物体P，沿斜面方向由牛顿第二定律可得T－mgsinθ1＝ma，可知细绳对P的拉力T>mgsinθ1，C错误，D正确。
规律点拨
关联速度问题常见模型
常见的模型如图所示。
拓展：若两物体运动过程中不是通过绳(或杆)连接，而是直接接触，则两物体在垂直接触面方向的分速度相同。
例5　曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转换的主要运动零件。如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度大于v0
[答案]　A
[解析]　当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，将活塞的速度v分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，则此时v0cosθ＝vcosθ，即v＝v0，A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线上时，P沿杆方向的分速度为0，则活塞沿杆方向的分速度为0，由于汽缸的限制，活塞垂直于杆方向的分速度为0，故活塞运动的速度等于0，C、D错误。
考点四　运动合成与分解的应用——小船渡河问题
1．模型特点：船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
3．三种情境
渡河时间最短 当船头方向(即v船方向)垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船·cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船例6　一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度为v2＝1.5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
[答案]　(1)船头垂直于河岸　36 s　90 m
(2)船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m
(3)船头与上游河岸成53°角　150 s　300 m
[解析]　(1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度沿倾斜方向，垂直河岸方向的分速度为
v⊥＝v2＝5 m/s
渡河用时t＝＝＝ s＝36 s
船的合速度v合＝＝ m/s
船的位移x＝v合t＝90 m。
(2)若v2＝5 m/s，欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，船头应朝图乙中的v2方向。
垂直河岸过河要求v∥＝0，如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。
所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短，位移为x＝d＝180 m
渡河用时t＝＝＝ s＝24 s。
(3)若v2＝1.5 m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为β，则航程x＝，欲使航程最短，需β最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心、v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方向，欲使v合与河岸下游方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。此时sinβ＝＝，得β＝37°
所以船头应朝与上游河岸成53°角方向。
船渡河用时t＝＝ s＝150 s
船的位移x＝＝300 m。
规律点拨
求解小船渡河问题的方法
小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动方向，船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动方向，一般情况下与船头指向不一致。
(2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动的独立性，由t＝＝＝求解。
(4)求最短渡河位移：当水速小于船速时，即为河宽；当水速大于船速时，根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形定则求极限的方法处理。
1．(人教版必修第二册教材第五章第1节[练习与应用]T5)一个物体在光滑水平面上运动，其速度方向如图中的v所示。从A点开始，它受到向前但偏右(观察者沿着物体前进的方向看，下同)的合力。到达B点时，这个合力的方向突然变得与前进方向相同。到达C点时，合力的方向又突然改为向前但偏左。物体最终到达D点。请你大致画出物体由A至D的运动轨迹，并标出B点、C点和D点。
答案：如图所示。
2．(人教版必修第二册教材第五章[复习与提高]A组T3)某架飞机在进行航空测量时，需要严格按照从南到北的航线进行飞行。如果在无风时飞机相对地面的速度是414 km/h，飞行过程中航路上有速度为54 km/h的持续东风。
(1)飞机应该朝着哪个方向飞行？可以用三角函数表示偏角的大小。
(2)如果所测地区的南北长度为621 km，该测量需要多长时间？
答案：(1)北偏东θ角且sinθ＝　(2)1.5 h
解析：(1)若使飞机严格按照从南到北的水平航线飞行，则其速度方向如图所示，飞机的飞行方向为北偏东θ角，有sinθ＝
可得sinθ＝。
(2)飞机实际的飞行速度大小为
v＝
则该测量需要的时间t＝
联立并代入数据解得t＝1.5 h。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．对于做曲线运动的物体，下列说法正确的是(　　)
A．所受合力可能为零
B．加速度可能保持不变
C．一定受到变力的作用
D．加速度可能和运动方向相同
答案：B
解析：做曲线运动的物体，一定做变速运动，有加速度，根据牛顿第二定律可知，所受合力不为零，故A错误；物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，即加速度与物体运动方向不在同一直线上，该合力可以是变力，也可以保持不变，即加速度可以保持不变，如平抛运动，故B正确，C、D错误。
2.如图所示，将六块塑料板拼接成一弯曲轨道置于放在水平桌面的白纸之上，让一沾上墨水的小铁球从中滚过，留下曲线OABC，下列说法错误的是(　　)
A．小球在B点速度方向沿切线
B．小球离开C点后做直线运动
C．若拆去5、6两塑料板，小球离开B点后仍沿原曲线运动
D．若拆去3、4、5、6塑料板，小球离开A点后将做直线运动
答案：C
解析：小球做曲线运动时，在某点的速度方向沿轨迹在该点的切线方向，故A正确；小球离开C点后，所受合力(摩擦力)方向与速度方向在同一直线上，所以小球离开C点后做直线运动，故B正确；若拆去5、6两塑料板，小球离开B点后将沿离开时的速度方向做直线运动，故C错误；若拆去3、4、5、6塑料板，小球离开A点后将沿离开时的速度方向做直线运动，故D正确。本题选说法错误的，故选C。
3．(2023·辽宁卷，1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
答案：A
解析：由题图可知篮球做曲线运动，所以篮球所受合力F应指向运动轨迹的凹侧，故只有A可能正确。
4.(2026·广西高三上阶段检测)如图所示，一个可视为质点的物体在四个恒力作用下处于平衡状态，现突然撤掉F1后，物体运动的轨迹可能为(　　)
答案：B
解析：撤去F1后，物体所受合力大小等于F1，方向与F1的方向相反，若撤去F1前物体处于静止，或做匀速直线运动且速度方向与F1共线，则撤去F1后物体做匀变速直线运动，轨迹为直线，其方向沿合力方向，A错误；若撤去F1前物体做匀速直线运动且速度方向与F1不在一条直线上，则其运动轨迹为曲线，轨迹向合力方向弯曲，即轨迹的凹侧指向左下方，C、D错误，B正确。
5．(2026·北京市育才学校高三上月考)一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽150 m、流速为2 m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是(　　)
A．小船不可能到达正对岸
B．小船渡河时间不少于75 s
C．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为100 m
D．小船以最短位移渡河时，位移大小为200 m
答案：C
解析：小船在静水中的速度v船＝3 m/s大于水流速度v水＝2 m/s，因此可以通过调整船头方向使合速度方向垂直河岸，从而到达正对岸，此时小船的渡河位移最短，等于河宽d＝150 m，故A、D错误；小船以最短时间渡河时，船头垂直河岸，则渡河时间tmin＝＝50 s，它沿水流方向的位移大小为x＝v水tmin＝100 m，故B错误，C正确。
6.(2025·福建省泉州市四校高三上月考)(多选)如图所示，甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B．甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度为零
答案：BD
解析：设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则甲球的速度v1在沿杆方向的分量为v1杆＝v1cosθ，乙球的速度v2在沿杆方向的分量为v2杆＝v2sinθ，而v1杆＝v2杆，当乙球距离起点3 m时，甲球距离地面 m＝ m，有cosθ＝，sinθ＝，联立可得此时甲、乙两球的速度大小之比为＝，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时v2＝＝0，可知乙球的速度为零，故C错误，D正确。
7.(2025·辽宁省本溪市第一中学高三上检测)河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽d＝600 m的澽沱河，运动员在静水中的速度为v1＝3 m/s，水流速度为v2＝4 m/s，则(　　)
A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸
B．该运动员渡河的时间可能小于200 s
C．该运动员以最短时间渡河时，他沿水流方向的位移大小为600 m
D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为800 m
答案：D
解析：该运动员在静水中的速度小于水流速度，合速度方向不可能垂直河岸，所以该运动员不可能垂直河岸到达正对岸，故A错误；该运动员在静水中的速度始终垂直河岸时渡河时间最短，最短渡河时间为tmin＝＝200 s，此时沿水流方向的位移大小为x＝v2tmin＝800 m，故B、C错误；该运动员以最短位移渡河时，他在静水中的速度方向与合速度方向垂直，如图所示，可知sinθ＝，则位移大小为s＝＝800 m，故D正确。
8.在岛上生活的渔民，曾用如图所示的装置将渔船拉到岸边。若通过人工方式跨过定滑轮拉船，使之匀速靠岸，已知船在此运动过程中所受阻力保持不变，则(　　)
A．绳对船的拉力逐渐增大
B．船所受水的浮力保持不变
C．岸上人拉绳的速度保持不变
D．岸上人拉绳的速度逐渐增大
答案：A
解析：对船进行受力分析，如图1，因为船做匀速直线运动，所以船处于平衡状态，所受合力为零；设绳对船的拉力与水平方向的夹角为θ，则有Fcosθ＝f，Fsinθ＋F浮＝mg；船在匀速靠岸的过程中，θ增大，阻力f不变，根据平衡方程知，绳的拉力F逐渐增大，船所受水的浮力逐渐减小，故A正确，B错误。将船的运动分解，如图2所示，设船匀速靠岸的速度为v，则有vcosθ＝v1，因θ增大，所以v1会减小，即岸上人拉绳的速度逐渐减小，故C、D错误。
9．(2025·福建省厦门市同安第一中学高三上第一次月考)随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示。无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，竖直方向规定向上为正方向。下列说法正确的是(　　)
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
答案：C
解析：由题图乙、丙可知，0～2 s内，无人机在水平方向做匀加速直线运动，在竖直方向也做匀加速直线运动，但初速度沿水平方向，则合力与初速度方向不在同一直线上，因此，无人机做匀变速曲线运动，A错误；2～4 s内，无人机在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故B错误；0～4 s内，无人机在竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，且t＝4 s时刻，竖直方向速度为0，之后向下运动，所以t＝4 s时，无人机运动到最高点，C正确；由v t图像与时间轴围成的面积表示位移可知，0～5 s内，无人机的水平位移为x＝9 m，竖直位移为y＝1.75 m，则合位移为≠9 m，D错误。
[B组　综合提升练]
10.(2025·安徽卷，6)在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。t＝0时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是(　　)
答案：D
解析：根据题意可知，M的速度在竖直方向上的分量始终与N的速度相同，设M做圆周运动的角速度大小为ω，则在t时间内转过的角度θ＝ωt，对质点M的速度进行分解，如图所示，以竖直向上为正方向，则其竖直分速度vMy＝vMcosθ＝vMcosωt，所以N的速度v＝vMy＝vMcosωt，故D可能正确。
11．(2025·黑吉辽蒙卷，6)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v(　　)
A．一直减小 B．一直增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
答案：B
解析：设塔块匀速下落的速度为v0，细绳与水平方向的夹角为α，将塔块的速度v0和手的速度v沿细绳方向、垂直于细绳方向分解，如图所示，根据沿细绳方向的分速度相等，有v0sinα＝vcosα，得v＝v0tanα，塔块下落过程中α逐渐增大，v0保持不变，所以v一直增大，B正确。
12．一艘船以vA的速度用最短的时间渡河，另一艘船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是(　　)
A．vA∶vB B．vB∶vA
C．v∶v D．v∶v
答案：D
解析：两船轨迹重合，知合速度方向相同，根据题意，vA垂直于河岸，vB与合速度方向垂直，如图，两船的合位移相等，则两船渡河时间之比等于两船合速度的反比，即＝＝＝cosθ，而v水＝＝，即cosθ＝，所以＝，故D正确，A、B、C错误。
13．某军事兴趣小组在进行无人机战争模拟撞击训练中，无人机以10 m/s的速度水平飞过地面A点正上方40 m的位置时，收到操作员发出的指令，立即以5 m/s2的恒定加速度运动且恰好撞上A点。则无人机从收到指令到撞上A点所用时间为(　　)
A．3 s B．3 s
C．4 s D．4 s
答案：C
解析：设无人机加速度沿水平方向和竖直方向的分量分别为ax、ay，无人机从收到指令到撞上A点所用时间为t，根据匀变速直线运动规律，水平方向有v0t－axt2＝0，竖直方向有h＝ayt2，又a＋a＝a2，其中h＝40 m，v0＝10 m/s，解得t＝4 s(t＝－4 s舍去)，故选C。
[C组　拔尖培优练]
14．(2023·江苏卷，10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　　)
答案：D
解析：设罐子运动的加速度大小为a，某时刻漏出某粒沙子时的速度为v0，之后在时间t内这粒沙子下落的高度h＝gt2，水平向右运动的距离x＝v0t，比这粒沙子晚Δt(Δt18(共55张PPT)
第四章　曲线运动
第1讲　曲线运动
运动的合成与分解
目录
1
2
3
考点一　曲线运动的条件
　　　　和特征
考点二　运动的合成与分解
考点三　运动合成与分解的
　　应用——关联速度问题
考点四　运动合成与分解的
　　应用——小船渡河问题
课时作业
教材精选
4
5
6
考点一　曲线运动的
条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的_____方向。
2．运动性质：物体做曲线运动时，由于速度的______时刻改变，物体的加速度一定不为0，因此，曲线运动一定是_____运动。
3．物体做曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的________的方向与它的速度方向不在同一直线上。
(2)动力学角度：物体所受_____的方向与它的速度方向不在同一直线上。
切线
方向
变速
加速度
合力
判断
(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(　　)
(2)做曲线运动的物体一定受变力作用。(　　)
(3)做曲线运动的物体，所受合力的方向一定指向轨迹曲线的凹侧。(　　)
(4)做匀变速曲线运动的物体，速度方向时刻改变，但永远不可能与所受合力的方向相同。(　　)
×
√
×
√
1．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹_____。
(2)合力方向指向轨迹曲线的凹侧。
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
2．合力方向与速率变化的关系
合力在垂直速度方向上的分力改变速度的_____，在沿速度方向上的分力改变速度的_____，故合力方向与速率变化的关系为：
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率_____。
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率_____。
(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率_____。
相切
方向
大小
增大
减小
不变
例1　(2023·全国乙卷，15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是(　　)
[解析]　由图可知，小车做曲线运动，则其所受合力应指向运动轨迹即轨道的凹侧，故A、B错误；由题意可知，小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，则合力对小车一直做正功，故合力方向与小车运动方向(沿轨道切线向右)的夹角一直为锐角，故C错误，D可能正确。
考点二　运动的合成与分解
1．基本概念
(1)分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动叫作_______，物体的实际运动叫作________。
(2)运动的合成：由_______求_______的过程。包括位移、速度和加速度的合成。
(3)运动的分解：由________求_______的过程。解题时应按实际效果分解，或正交分解。
2．遵从的规律：运动的合成与分解遵从______________________________。
分运动
合运动
分运动
合运动
合运动
分运动
矢量运算法则(或平行四边形定则)
判断
(1)两个直线运动的合运动一定是直线运动。(　　)
(2)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。(　　)
×
√
1．合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是______开始、_____进行、_____结束，经历时间______(不同时的运动不能合成)。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动______进行，互不影响。
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全_____的效果。
(4)同一性：各分运动与合运动是指_____物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
同时
同时
同时
相等
独立
相同
同一
2．合运动性质的判断
变加速
匀变速
曲线
直线
例2　(人教版必修第二册教材第五章[复习与提高]A组T6)
如图，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由
蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v0＝1 cm/s匀速上浮
的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。
测出某时刻R的x、y坐标值分别为6 cm和2 cm。求此时R的速度
的大小。
例3　(多选)如图所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是(　　)
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
[解析]　两个互成角度的匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动，互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动是匀变速曲线运动。当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动，B正确，A错误；当消防车匀加速前进时，因消防车加速度恒定，且与消防队员沿梯子运动的方向有一定夹角，故消防队员一定做匀变速曲线运动，C正确，D错误。　
考点三　运动合成与分解的应用——关联速度问题
平行四边形定则
相等
例4　(2025·黑龙江省哈尔滨市实验中学高三上月考)(多选)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图)，下列判断正确的是(　　)
A．P的速率为v
B．P的速率为vcosθ2
C．细绳的拉力等于mgsinθ1
D．细绳的拉力大于mgsinθ1
例1
[解析]　将小车的速度v沿细绳方向和垂直于细绳方向正交分解，如图所示，物体P的速度与小车沿细绳方向的速度相等，则有vP＝vcosθ2，A错误，B正确；小车向右运动，所以θ2减小，而v不变，所以vP逐渐变大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，对物体P，沿斜面方向由牛顿第二定律可得T－mgsinθ1＝ma，可知细绳对P的拉力T>mgsinθ1，C错误，D正确。
规律点拨
关联速度问题常见模型
常见的模型如图所示。
拓展：若两物体运动过程中不是通过绳(或杆)连接，而是直接接触，则两物体在垂直接触面方向的分速度相同。
例5　曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转换的主要运动零件。如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度大于v0
[解析]　当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，将活塞的速度v分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，则此时v0cosθ＝vcosθ，即v＝v0，A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线上时，P沿杆方向的分速度为0，则活塞沿杆方向的分速度为0，由于汽缸的限制，活塞垂直于杆方向的分速度为0，故活塞运动的速度等于0，C、D错误。　
考点四　运动合成与分解的应用——小船渡河问题
1．模型特点：船的实际运动是随______的运动和船相对______的运动的合运动。
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
水流
静水
3．三种情境
渡河时间最短 当船头方向(即v船方向)垂直河岸时，渡河时间最短，最短
时间tmin＝_____
渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足______________时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船最短，等于_______
例6　一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度为v2＝1.5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
教材精选
1．(人教版必修第二册教材第五章第1节[练习与应用]T5)一个物体在光滑水平面上运动，其速度方向如图中的v所示。从A点开始，它受到向前但偏右(观察者沿着物体前进的方向看，下同)的合力。到达B点时，这个合力的方向突然变得与前进方向相同。到达C点时，合力的方向又
突然改为向前但偏左。物体最终到达D点。请
你大致画出物体由A至D的运动轨迹，并标出B
点、C点和D点。
答案：如图所示。
2．(人教版必修第二册教材第五章[复习与提高]A组T3)某架飞机在进行航空测量时，需要严格按照从南到北的航线进行飞行。如果在无风时飞机相对地面的速度是414 km/h，飞行过程中航路上有速度为54 km/h的持续东风。
(1)飞机应该朝着哪个方向飞行？可以用三角函数表示偏角的大小。
(2)如果所测地区的南北长度为621 km，该测量需要多长时间？
课时作业
1．对于做曲线运动的物体，下列说法正确的是(　　)
A．所受合力可能为零 B．加速度可能保持不变
C．一定受到变力的作用 D．加速度可能和运动方向相同
解析：做曲线运动的物体，一定做变速运动，有加速度，根据牛顿第二定律可知，所受合力不为零，故A错误；物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，即加速度与物体运动方向不在同一直线上，该合力可以是变力，也可以保持不变，即加速度可以保持不变，如平抛运动，故B正确，C、D错误。
[A组　基础巩固练]
2.如图所示，将六块塑料板拼接成一弯曲轨道置于放在水平桌面的白纸之上，让一沾上墨水的小铁球从中滚过，留下曲线OABC，下列说法错误的是(　　)
A．小球在B点速度方向沿切线
B．小球离开C点后做直线运动
C．若拆去5、6两塑料板，小球离开B点后仍沿原曲线运动
D．若拆去3、4、5、6塑料板，小球离开A点后将做直线运动
解析：小球做曲线运动时，在某点的速度方向沿轨迹在该点的切线方向，故A正确；小球离开C点后，所受合力(摩擦力)方向与速度方向在同一直线上，所以小球离开C点后做直线运动，故B正确；若拆去5、6两塑料板，小球离开B点后将沿离开时的速度方向做直线运动，故C错误；若拆去3、4、5、6塑料板，小球离开A点后将沿离开时的速度方向做直线运动，故D正确。本题选说法错误的，故选C。
3．(2023·辽宁卷，1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动
轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
解析：由题图可知篮球做曲线运动，所以篮球所受合力F应指向运动轨迹的凹侧，故只有A可能正确。
4.(2026·广西高三上阶段检测)如图所示，一个可视为质点的物
体在四个恒力作用下处于平衡状态，现突然撤掉F1后，物体运动的
轨迹可能为(　　)
解析：撤去F1后，物体所受合力大小等于F1，方向与F1的方向相反，若撤去F1前物体处于静止，或做匀速直线运动且速度方向与F1共线，则撤去F1后物体做匀变速直线运动，轨迹为直线，其方向沿合力方向，A错误；若撤去F1前物体做匀速直线运动且速度方向与F1不在一条直线上，则其运动轨迹为曲线，轨迹向合力方向弯曲，即轨迹的凹侧指向左下方，C、D错误，B正确。
5．(2026·北京市育才学校高三上月考)一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽150 m、流速为2 m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是(　　)
A．小船不可能到达正对岸
B．小船渡河时间不少于75 s
C．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为100 m
D．小船以最短位移渡河时，位移大小为200 m
7.(2025·辽宁省本溪市第一中学高三上检测)河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽d＝600 m的澽沱河，运动员在静水中的速度为v1＝3 m/s，水流速度为v2＝4 m/s，则(　　)
A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸
B．该运动员渡河的时间可能小于200 s
C．该运动员以最短时间渡河时，他沿水流方向的位移
大小为600 m
D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为800 m
8.在岛上生活的渔民，曾用如图所示的装置将渔船拉到岸边。若通过人工方式跨过定滑轮拉船，使之匀速靠岸，已知船在此运动过程中所受阻力保持不变，则(　　)
A．绳对船的拉力逐渐增大
B．船所受水的浮力保持不变
C．岸上人拉绳的速度保持不变
D．岸上人拉绳的速度逐渐增大
解析：对船进行受力分析，如图1，因为船做匀
速直线运动，所以船处于平衡状态，所受合力为零；
设绳对船的拉力与水平方向的夹角为θ，则有Fcosθ＝f，
Fsinθ＋F浮＝mg；船在匀速靠岸的过程中，θ增大，阻力f不变，根据平衡方程知，绳的拉力F逐渐增大，船所受水的浮力逐渐减小，故A正确，B错误。将船的运动分解，如图2所示，设船匀速靠岸的速度为v，则有vcosθ＝v1，因θ增大，所以v1会减小，即岸上人拉绳的速度逐渐减小，故C、D错误。
9．(2025·福建省厦门市同安第一中学高三上第一次月考)随着科技的进步，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示。无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，竖直方向规定向上为正方向。下列说法正确的是(　　)
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
10.(2025·安徽卷，6)在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。t＝0时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一
周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是(　　)
[B组　综合提升练]
解析：根据题意可知，M的速度在竖直方向上的分量始终与N的速度相同，设M做圆周运动的角速度大小为ω，则在t时间内转过的角度θ＝ωt，对质点M的速度进行分解，如图所示，以竖直向上为正方向，则其竖直分速度vMy＝vMcosθ＝vMcosωt，所以N的速度v＝vMy＝vMcosωt，故D可能正确。
11．(2025·黑吉辽蒙卷，6)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下
落，则v(　　)
A．一直减小 B．一直增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
解析：设塔块匀速下落的速度为v0，细绳与水平方向的夹角为α，将塔块的速度v0和手的速度v沿细绳方向、垂直于细绳方向分解，如图所示，根据沿细绳方向的分速度相等，有v0sinα＝vcosα，得v＝v0tanα，塔块下落过程中α逐渐增大，v0保持不变，所以v一直增大，B正确。
[C组　拔尖培优练]

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