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高考科学复习解决方案 物理
第讲　圆周运动　实验：探究向心力大小的表达式
考点一　圆周运动的描述
1．描述圆周运动的物理量
描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度等，具体如下：
定义、意义 公式、单位
线速度 (1)描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快慢的物理量(v)； (2)是矢量，方向和半径垂直，沿切线方向 (1)v＝＝ωr； (2)单位：m/s
角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω) (1)ω＝＝； (2)单位：rad/s或s－1
周期和转速 (1)周期(T)是指做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间； (2)转速(n)是指物体转动的圈数与所用时间之比，也叫频率(f) (1)T＝＝，单位：s； (2)f＝，单位：Hz； (3)n的单位：r/s、r/min
向心加速度 (1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)； (2)方向指向圆心，时刻在变 (1)an＝＝ω2r； (2)单位：m/s2
注：①对公式v＝ωr的理解：当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。
②对an＝＝ω2r的理解：当v一定时，an与r成反比；当ω一定时，an与r成正比。
思考：除了上述两个向心加速度的公式，还能得出向心加速度的哪些表达式？
提示：an＝ωv＝r＝(2πn)2r。
2．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。
(2)性质：加速度大小不变、方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
(3)条件：有初速度，受到一个大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心的合力。
例1　(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为3 m/s，转动周期为2 s，则下列说法正确的是(　　)
A．角速度为0.5 rad/s
B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m
D．加速度大小为2π m/s2
[答案]　BC
[解析]　由匀速圆周运动角速度与周期的关系得，该质点的角速度为ω＝＝＝π rad/s，故A错误；由匀速圆周运动转速与周期的关系得，该质点的转速为n＝＝0.5 r/s，故B正确；该质点的轨迹半径为r＝＝ m＝ m，故C正确；该质点做匀速圆周运动的加速度大小为a＝＝＝3π m/s2，故D错误。
例2　(2026·北京市中国人民大学附属中学高三上统练)在图中，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动。当大轮以角速度ω顺时针转动时(　　)
A．A点与B点的线速度大小相等，加速度大小也相等
B．A点与C点的角速度大小相等，加速度大小也相等
C．C点比B点的角速度小但加速度大
D．B点比C点的角速度大，加速度也大
[答案]　D
[解析]　由题意可知，A、B、C三点的转动半径之比为rA∶rB∶rC＝2∶1∶1，A、B两点的线速度大小相等，根据公式v＝rω，可知A、B两点转动的角速度之比为ωA∶ωB＝1∶2，又A、C两点的角速度大小相等，即ωA∶ωC＝1∶1，故A、B、C三点的角速度之比为ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1，根据公式a＝ω2r，可知A、B、C三点的向心加速度之比为aA∶aB∶aC＝(ωrA)∶(ωrB)∶(ωrC)＝2∶4∶1，即A、B、C三点的向心加速度大小关系为aB>aA>aC，故D正确，A、B、C错误。
规律点拨
两类传动模型及特点
(1)皮带传动：如图甲所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(2)同轴转动：如图乙所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB。
例3　(2026·山东省烟台市第二中学高三上开学考试)(多选)子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔(从A位置射入，B位置射出，如图所示)，OA、OB之间的夹角θ＝，已知圆筒半径R＝0.5 m，子弹始终以v0＝60 m/s的速度沿水平方向运动(不考虑重力的作用)，则圆筒的转速可能是(　　)
A．100 r/s B．180 r/s
C．240 r/s D．340 r/s
[答案]　AD
[解析]　根据几何关系可得A与B之间的距离为R，子弹从A运动到B用时t＝＝ s，期间圆筒转动的角度为θ′＝π(k＝1，2，3，…)，由θ′＝ωt和ω＝2πn，解得圆筒的转速为n＝20(6k－1) r/s，当k＝1时，n＝100 r/s，当k＝2时，n＝220 r/s，当k＝3时，n＝340 r/s，故A、D正确，B、C错误。
规律点拨
匀速圆周运动的周期性和多解性问题
匀速圆周运动的周期性决定了匀速圆周运动问题的多解性。在分析匀速圆周运动与其他运动(匀速直线运动、平抛运动等)相联系的问题时，利用运动的等时性(同时发生、同时结束)是解决此类问题的关键。
考点二　圆周运动的动力学问题
一、向心力(Fn)
1．作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
2．方向：指向圆心，时刻在变。
3．来源：某个力，或某几个力的合力，或某个力的分力。
4．公式：Fn＝mω2r＝m。
注：向心力与向心加速度遵循牛顿第二定律，即Fn＝man，所以对于匀速圆周运动，还可以得出Fn＝mr＝m·4π2n2r＝mωv。
二、匀速圆周运动与变速圆周运动
匀速圆周运动 变速圆周运动
运动特点 线速度的大小不变，角速度、周期和频率都不变，向心加速度的大小不变 线速度的大小、方向都变，角速度变，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也可能不变
受力特点 所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心 所受到的合力不指向圆心，合力产生两个效果： (1)沿半径方向的分力Fn，即向心力，它改变速度的方向； (2)沿切线方向的分力Ft，它改变速度的大小
运动性质 变加速曲线运动(加速度大小不变，方向变) 变加速曲线运动(加速度大小、方向都变)
思考：向心加速度的公式在变速圆周运动中还适用吗？
提示：an＝ω2r＝＝ωv仍适用，an＝r＝4π2n2r不再适用。向心力公式同理。
三、离心现象
1．离心运动
(1)定义：做圆周运动的物体，在向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力时，所做的逐渐远离圆心的运动。
(2)本质：做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向。
(3)受力特点
①当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动。
②当F③当F＝0时，物体沿切线方向飞出。
2．近心运动：当F>mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。
判断
(1)做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析受力时，必须指出受到的向心力。(　　)
(2)匀速圆周运动是匀变速曲线运动，变速圆周运动是变加速曲线运动。(　　)
(3)在光滑的水平路面上，汽车不可以转弯。(　　)
(4)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。(　　)
(5)火车转弯速率小于规定的数值时，内轨会受到挤压。(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
1．圆周运动动力学问题的解题方法
(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
(2)确定圆周运动的轨道平面，确定圆心和轨道半径。
(3)应用牛顿运动定律和圆周运动知识列方程求解。
2．向心力分析实例
运动模型 向心力的来源
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗 内做匀速圆周运动
例4　(2026·河北省邯郸市高三上第一次调研监测)如图所示，在水平光滑桌面上，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球。小球绕O点做匀速圆周运动时，力传感器测得绳上的拉力大小为F，用停表测得小球连续n次通过同一位置所用的时间为t，用刻度尺测得O点到球心的距离为L。下列表达式正确的是(　　)
A．F＝ B．F＝
C．F＝ D．F＝
[答案]　D
[解析]　小球在水平光滑桌面上做匀速圆周运动时，向心力的大小为F，周期为T＝，根据向心力公式有F＝mL，解得F＝，故选D。
例5　荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，当秋千从最高点向下荡到如图所示位置时，小孩的加速度方向可能是图中的(　　)
A．a方向 B．b方向
C．c方向 D．d方向
[答案]　C
[解析]　秋千从最高点向下荡的过程中，小孩的速率逐渐增大，在如图所示位置时，小孩的速度不为零，故加速度沿半径方向的分量不为零，且小孩的加速度沿圆弧的切线方向的分量不为零，即小孩的加速度方向可能是图中的c方向，故选C。
例6　图1所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结构简化为图2所示的模型。长L＝3 m的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径r＝3 m的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角θ＝37°。将游客和座椅看作一个质点，质量m＝60 kg，不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求游客和座椅随转盘做匀速圆周运动时：
(1)钢绳的拉力大小T；
(2)向心力的大小Fn；
(3)线速度的大小v。
[答案]　(1)750 N　(2)450 N　(3)6 m/s
[解析]　(1)游客和座椅的受力如图所示，在竖直方向，根据平衡条件可知mg＝Tcosθ
解得T＝750 N。
(2)钢绳拉力与重力的合力提供游客和座椅做圆周运动的向心力，由受力分析可得Fn＝mgtanθ
解得 Fn＝450 N。
(3)由几何关系知，游客和座椅做圆周运动的半径为R＝r＋Lsinθ
由牛顿第二定律得Fn＝m
解得v＝6 m/s。
考点三　实验：探究向心力大小的表达式
1．实验器材及操作
向心力演示器(如图)，三个金属球(半径相同，其中两个为质量相同的钢球，另一个为质量是钢球一半的铝球)。
如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。
2．实验步骤(控制变量)
(1)把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。记录向心力的大小与角速度的关系。
(2)保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。记录向心力的大小与转动半径的关系。
(3)换成质量不同的球，使两球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。记录向心力的大小与小球质量的关系。
(4)重复几次以上实验。
3．实验结论
(1)在质量和轨道半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比。
(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与轨道半径成正比。
(3)在轨道半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。
4．注意事项
(1)实验前要做好横臂支架安全检查，检查螺钉是否有松动，保持仪器水平。
(2)实验时转速应从慢到快，且转速不宜过快，以免损坏测力弹簧。
(3)注意防止皮带打滑，尽可能保证ω比值不变。
例7　用如图甲所示的装置探究影响向心力大小的因素。已知小球在槽中A、B、C位置做圆周运动的轨迹半径之比为1∶2∶1，变速塔轮自上而下按如图乙所示三种方式进行组合，每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1。
(1)在探究向心力大小与半径的关系时，为了控制角速度相同，需要将传动皮带调至第________(选填“一”“二”或“三”)层塔轮，然后将两个质量相等的钢球分别放在________(选填“A和B”“A和C”或“B和C”)位置，匀速转动手柄，左侧标尺露出4格，右侧标尺露出2格，则左、右两小球所受向心力大小之比为________。
(2)在探究向心力大小与角速度的关系时，若将传动皮带调至图乙中的第三层，转动手柄，则左、右两小球的角速度之比为________。为了更精确探究向心力大小F与角速度ω的关系，采用接有传感器的自制向心力实验仪进行实验，测得多组数据经拟合后得到F ω2图像如图丙所示，由此可得的实验结论是_______________________________________。
[答案]　(1)一　B和C　2∶1
(2)1∶3　小球的质量、运动半径相同时，小球受到的向心力与角速度的平方成正比
[解析]　(1)在探究向心力大小与半径的关系时，需控制小球质量、角速度相同，运动半径不同，变速塔轮边缘处的线速度相等，根据v＝ωr可知，需要将传动皮带调至第一层塔轮，将两个质量相等的钢球分别放在B和C位置。根据标尺露出的格数可知，左、右两小球所受向心力大小之比为F左∶F右＝n左∶n右＝4∶2＝2∶1。
(2)变速塔轮边缘处的线速度相等，根据v＝ωr可知，左、右两小球的角速度之比为ω左∶ω右＝r右∶r左＝R3∶3R3＝1∶3。根据题图丙可知，F ω2图像为过原点的直线，据此可得的实验结论是：小球的质量、运动半径相同时，小球受到的向心力与角速度的平方成正比。
1.(人教版必修第二册教材第六章第1节[练习与应用]T4)某计算机上的硬磁盘的磁道和扇区如图所示。这块硬磁盘共有9216个磁道(即9216个不同半径的同心圆)，每个磁道分成8192个扇区，每个扇区可以记录512个字节。电动机使盘面以7200 r/min的转速匀速转动。磁头在读、写数据时是不动的，盘面每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道。
(1)一个扇区通过磁头所用的时间是多少？
(2)不计磁头转移磁道的时间，计算机1 s内最多可以从一个盘面上读取多少个字节？
答案：(1) s　(2)503316480个
解析：(1)磁盘转动周期为T＝ s＝ s
一个扇区通过磁头所用的时间为
t＝＝ s＝ s。
(2)每个扇区的字节数为512个，计算机1 s内读取的字节数最多为×512个＝503316480个。
2.(人教版必修第二册教材第六章[复习与提高]B组T3)如图所示，带有一白点的灰色圆盘，绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动，转速n＝20 r/s。在暗室中用每秒闪光21次的频闪光源照射圆盘，求观察到白点转动的方向和转动的周期。
答案：逆时针　1 s
解析：根据题意，圆盘转动的周期为T1＝ s，频闪光源闪光的周期为T2＝ s
频闪光源每闪一次，白点顺时针转动的角度为θ2＝·2π
解得θ2＝π
θ2>π，故观察到白点逆时针转动。
每次闪光，白点逆时针转动的角度
Δθ＝2π－θ2
则观察到白点转动的周期T＝·T2
联立解得T＝1 s。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1.(2025·江苏省南通市海安市高三上学期期初学业质量检测)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，如图所示，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们的(　　)
A．线速度大小之比为2∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为9∶8
D．向心加速度大小之比为2∶1
答案：D
解析：由于相同时间内它们通过的路程之比是4∶3，根据线速度定义式v＝，可知它们的线速度大小之比为vA∶vB＝4∶3，故A错误；由题意可知，相同时间内它们转过的角度之比为3∶2，根据角速度定义式ω＝可知，它们的角速度之比为ωA∶ωB＝3∶2，故B错误；根据公式v＝rω，可得圆周运动的半径r＝，可知A、B两艘快艇做圆周运动的半径之比为rA∶rB＝∶＝8∶9，故C错误；根据向心加速度公式a＝vω，可知A、B两艘快艇的向心加速度之比为aA∶aB＝vAωA∶vBωB＝2∶1，故D正确。
2.(2025·河北卷，5)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间为 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟摇绳的圈数约为(　　)
A．90 B．120
C．150 D．180
答案：C
解析：设该同学摇绳一圈所用时间为T，由题意可得T＝ s，解得T＝0.4 s，则该同学每分钟摇绳的圈数为n＝＝150，C正确。
3.为防止人类太空航行长期处于失重环境中引起的健康问题，科学家们设想将太空飞船建造成轴对称环形结构，通过圆环绕中心轴匀速转动使航天员产生模拟重力效果。若圆环的直径为40 m，航天员(可视为质点)站立于圆环内壁时，为产生与宇航员在地球表面相同的重力效果，则圆环转动的角速度ω约为(　　)
A．0.7 rad/s B．1.4 rad/s
C．7 rad/s D．14 rad/s
答案：A
解析：由题意可知，当宇航员随圆环以角速度ω转动时，向心力等于宇航员在地球表面静止时所受的支持力，即FN＝mω2r，在地球表面由平衡条件得FN＝mg，联立可得ω＝＝0.7 rad/s，故选A。
4．如图1所示，修正带是一种常见的学习用具，是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图2所示的模型。A、B是转动的大小齿轮边缘的两点，C是大齿轮上的一点，若A、B、C的轨道半径之比为2∶3∶2，则A、B、C的向心加速度大小之比为(　　)
A．9∶6∶4 B．9∶6∶2
C．6∶4∶3 D．6∶3∶2
答案：A
解析：修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，边缘点的线速度大小相等，即vA＝vB，根据向心加速度的公式a＝，可知A、B的向心加速度大小之比aA∶aB＝rB∶rA＝3∶2；又B、C两点为同轴转动，角速度相等，即ωC＝ωB，根据向心加速度的公式a＝rω2，可知B、C的向心加速度大小之比aB∶aC＝rB∶rC＝3∶2；综上可知，A、B、C的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC＝9∶6∶4，故选A。
5.荡秋千是小朋友们最喜欢的游戏之一，如图为一秋千模型，水平横梁与每一根绳间装有力传感器，质量为40 kg的小朋友坐在秋千上，小朋友重心离系绳子的水平横梁垂直距离为2 m。若秋千板摆到最低点时，每一根绳上的拉力显示为450 N，忽略板和绳的质量，重力加速度g取10 m/s2，则小孩在此位置运动的速度大小约为(　　)
A．1.5 m/s B．3.0 m/s
C．5.0 m/s D．7.5 m/s
答案：C
解析：根据牛顿第二定律有2T－mg＝，代入数据解得v＝5.0 m/s，故选C。
6．(2025·广东卷，8)(多选)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有(　　)
A．角速度为5 rad/s
B．线速度大小为4 m/s
C．向心加速度大小为10 m/s2
D．所受支持力大小为1 N
答案：AC
解析：对小球受力分析如图所示，有Fn＝mgtanθ＝mω2R，解得ω＝5 rad/s，故A正确；线速度大小为v＝ωR＝2 m/s，故B错误；向心加速度大小为an＝ω2R＝10 m/s2，故C正确；所受支持力大小为FN＝＝ N，故D错误。
7.(2025·甘肃省天水市第一中学高三上月考)(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则(不计子弹和圆筒间的相互作用)(　　)
A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝d
B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2d
C．圆筒转动的角速度可能为ω＝π
D．圆筒转动的角速度可能为ω＝3π
答案：ACD
解析：子弹在圆筒中运动的时间与自由下落h的时间相同，为t＝，则v0＝＝d，故A正确，B错误；在此时间内圆筒需转半圈的奇数倍，有ωt＝(2n＋1)π(n＝0，1，2，…)，所以ω＝＝(2n＋1)π(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，ω＝π，当n＝1时，ω＝3π，故C、D正确。
8．(2026·吉林省吉林市第一中学高三上第一次质量检测)在“探究向心力大小的表达式”实验中，所用向心力演示器如图a所示，图b是演示器部分原理示意图；其中轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的2倍，两转臂上黑白格的长度相等。A、B、C为三根固定在转臂上的挡板，可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力，图a中的标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小关系。可供选择的实验球有：质量均为2m的甲球和乙球、质量为m的丙球。
(1)下列实验与本实验方法相同的是________。
A．探究平抛运动的特点
B．探究弹簧形变量与力的关系
C．探究加速度与力和质量的关系
D．探究两个互成角度的力的合成规律
(2)为探究向心力与圆周运动轨道半径的关系，实验时应选择甲球和________球作为实验球。
(3)在某次实验中，一组同学把甲球和乙球分别放在A、C位置，将皮带处于塔轮的某一层上，匀速转动手柄时，左边标尺露出1个分格，右边标尺露出4个分格，则A、C位置处的小球转动所需的向心力之比为________，A、C两个挡板角速度之比为________。
答案：(1)C　(2)乙　(3)1∶4　1∶2
解析：(1)探究向心力大小的表达式与探究加速度与力和质量的关系采用的都是控制变量法，故选C。
(2)探究向心力与圆周运动轨道半径的关系时，应使两球质量相等，故应选择甲球和乙球作为实验球。
(3)左、右标尺露出的格数表示向心力的大小，故向心力之比为1∶4，A、C位置处的小球转动半径相同，两个小球质量相同，由向心力F＝2mω2r可知，A、C两个挡板角速度之比为1∶2。
9.场地自行车比赛的圆形赛道是一个内倾斜路面，路面与水平面的倾角为15°。某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，其速度v＝13 m/s时，自行车恰好不受侧向摩擦力作用。已知自行车和运动员的质量一共是100 kg，不考虑空气阻力，g取10 m/s2，已知sin15°≈tan15°≈0.26，cos15°≈0.97。
(1)求圆形赛道的半径；
(2)若圆形赛道的倾角改为37°，该运动员骑自行车仍然以13 m/s的速度沿该赛道做匀速圆周运动，求此时自行车所受的侧向摩擦力大小。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
答案：(1)65 m　(2)392 N
解析：(1)对运动员和自行车整体的受力分析如图甲所示
在竖直方向上，根据平衡条件可得F1cos15°＝mg
在水平方向上，根据牛顿第二定律可得F1sin15°＝m
联立解得圆形赛道的半径为r＝65 m。
(2)当倾角变为37°时，对运动员和自行车整体的受力分析如图乙所示
在竖直方向上，根据平衡条件可得
F2cos37°＋fsin37°＝mg
在水平方向上，根据牛顿第二定律可得
F2sin37°－fcos37°＝m
联立解得f＝392 N。
[B组　综合提升练]
10.(2025·山东卷，10)(多选)如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心、半径R1＝5 m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H＝20 m的空中绕O′点、平行地面做半径R2＝3 m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B＝90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．ωmax＝ rad/s
B．ωmax＝ rad/s
C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地
D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地
答案：BC
解析：物品从抛出到落地的过程做平抛运动，当其恰好落在目标区域的边缘时，物品的水平位移示意图如图所示，由几何关系有xmax＝＝4 m，此时物品的初速度最大，水平方向上有xmax＝vmaxt，竖直方向上有H＝gt2，解得物品下落所用的时间t＝2 s，最大初速度(无人机的最大线速度)vmax＝2 m/s，所以无人机的最大角速度ωmax＝＝ rad/s，A错误，B正确；物品释放后在空中运动的过程，无人机转过的角度θ＝ωmaxt＝<，所以无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，C正确，D错误。
11.如图所示，旋转秋千中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
答案：D
解析：设圆盘转动的角速度为ω，因为两座椅A、B均随着圆盘做圆周运动，故角速度ωA＝ωB＝ω，设绳长为l，绳的悬点到轴的距离为r时，绳与竖直方向的夹角为θ，则mgtanθ＝mω2(r＋lsinθ)，整理得r＝sinθ·，由题知rA19(共60张PPT)
第四章　曲线运动
第4讲　圆周运动　
实验：探究向心力大小的表达式
目录
1
2
3
考点一　圆周运动的描述
考点二　圆周运动的动力
　　　　学问题
考点三　实验：探究向心
　　　　力大小的表达式
教材精选
课时作业
4
5
考点一　圆周运动的描述
1．描述圆周运动的物理量
描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度等，具体如下：
快慢
垂直
切线
转动快慢
rad/s或s－1
一周
圈数
Hz
r/s
r/min
方向
快慢
指向圆心
ω2r
m/s2
思考：除了上述两个向心加速度的公式，还能得出向心加速度的哪些表
达式？
2．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小__________，这种运动叫作匀速圆周运动。
(2)性质：加速度大小______、方向总是指向_____的变加速曲线运动。
(3)条件：有初速度，受到一个大小不变、方向始终与速度方向_____且指向圆心的合力。
处处相等
不变
圆心
垂直
例2　(2026·北京市中国人民大学附属中学高三上统练)在图中，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动。当大轮以角速度ω顺时针转动时(　　)
A．A点与B点的线速度大小相等，加速度大小也相等
B．A点与C点的角速度大小相等，加速度大小也相等
C．C点比B点的角速度小但加速度大
D．B点比C点的角速度大，加速度也大
[解析]　由题意可知，A、B、C三点的转动半径之比
为rA∶rB∶rC＝2∶1∶1，A、B两点的线速度大小相等，
根据公式v＝rω，可知A、B两点转动的角速度之比为
ωA∶ωB＝1∶2，又A、C两点的角速度大小相等，即
ωA∶ωC＝1∶1，故A、B、C三点的角速度之比为ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1，根据公式a＝ω2r，可知A、B、C三点的向心加速度之比为aA∶aB∶aC＝(ωrA)∶(ωrB)∶(ωrC)＝2∶4∶1，即A、B、C三点的向心加速度大小关系为aB>aA>aC，故D正确，A、B、C错误。
规律点拨
两类传动模型及特点
(1)皮带传动：如图甲所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(2)同轴转动：如图乙所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB。
规律点拨
匀速圆周运动的周期性和多解性问题
匀速圆周运动的周期性决定了匀速圆周运动问题的多解性。在分析匀速圆周运动与其他运动(匀速直线运动、平抛运动等)相联系的问题时，利用运动的等时性(同时发生、同时结束)是解决此类问题的关键。
考点二　圆周运动的动力学问题
方向
大小
圆心
mω2r
匀速圆周运动 变速圆周运动
运动特点 线速度的大小_____，角速度、周期和频率都_____，向心加速度的大小_____ 线速度的大小、方向都____，角速度___，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也_________
受力特点 所受到的_____为 向心力，大小不 变，方向变，其 方向时刻_________ 所受到的合力___________，合力产生两个
效果：
(1)沿半径方向的分力_____，即向心力，它
改变速度的______；
(2)沿切线方向的分力____，它改变速度的____
运动性质 变加速曲线运动(加速度大小不变，方向变) 变加速曲线运动(加速度大小、方向都变)
不变
二、匀速圆周运动与变速圆周运动
不变
不变
变
变
可能不变
合力
指向圆心
不指向圆心
Fn
方向
Ft
大小
思考：向心加速度的公式在变速圆周运动中还适用吗？
三、离心现象
1．离心运动
(1)定义：做___________的物体，在向心力突然消失或合力不足以提供所需的________时，所做的逐渐远离圆心的运动。
(2)本质：做圆周运动的物体，由于_____，总有沿着_________飞出去的倾向。
(3)受力特点
①当F＝mω2r时，物体做__________运动。
②当F③当F＝0时，物体沿_____方向飞出。
2．近心运动：当F>mω2r时，物体将逐渐_____圆心，做近心运动。
圆周运动
向心力
惯性
切线方向
匀速圆周
远离
切线
靠近
判断
(1)做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析受力时，必须指出受到的向心力。(　　)
(2)匀速圆周运动是匀变速曲线运动，变速圆周运动是变加速曲线运动。(　　)
(3)在光滑的水平路面上，汽车不可以转弯。(　　)
(4)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。(　　)
(5)火车转弯速率小于规定的数值时，内轨会受到挤压。(　　)
×
√
×
×
√
1．圆周运动动力学问题的解题方法
(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
(2)确定圆周运动的轨道平面，确定圆心和轨道半径。
(3)应用牛顿运动定律和圆周运动知识列方程求解。
2．向心力分析实例
运动模型 向心力的来源
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗 内做匀速圆周运动
例5　荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，当秋千从最高点向下荡到如图所示位置时，小孩的加速度方向可能是图中的(　　)
A．a方向 B．b方向
C．c方向 D．d方向
[解析]　秋千从最高点向下荡的过程中，小孩的速率逐渐增大，在如图所示位置时，小孩的速度不为零，故加速度沿半径方向的分量不为零，且小孩的加速度沿圆弧的切线方向的分量不为零，即小孩的加速度方向可能是图中的c方向，故选C。
例6　图1所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结构简化为图2所示的模型。长L＝3 m的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径r＝3 m的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角θ＝37°。将游客和座椅看作一个质点，质量m＝60 kg，不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求游客和座椅随转盘做匀速圆周运动时：
(1)钢绳的拉力大小T；
(2)向心力的大小Fn；
(3)线速度的大小v。
[答案]　(1)750 N　(2)450 N　(3)6 m/s
考点三　实验：探究向心力大小的表达式
1．实验器材及操作
向心力演示器(如图)，三个金属球(半径相同，其中两个为质量相同的钢球，另一个为质量是钢球一半的铝球)。
如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的_____提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受_______的比值。
压力
向心力
2．实验步骤(控制变量)
(1)把两个质量______的小球分别放在长槽和短槽上，使它们的转动半径_____。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。记录向心力的大小与_______的关系。
(2)保持两个小球质量_____，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度_____。记录向心力的大小与__________的关系。
(3)换成质量不同的球，使两球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度________。记录向心力的大小与小球_____的关系。
(4)重复几次以上实验。
相同
相同
角速度
不变
相同
转动半径
也相同
质量
3．实验结论
(1)在质量和轨道半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成______。
(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与轨道半径成_____。
(3)在轨道半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成_____。
4．注意事项
(1)实验前要做好横臂支架安全检查，检查螺钉是否有松动，保持仪器水平。
(2)实验时转速应从慢到快，且转速不宜过快，以免损坏测力弹簧。
(3)注意防止皮带打滑，尽可能保证ω比值不变。
正比
正比
正比
例1
例7　用如图甲所示的装置探究影响向心力大小的因
素。已知小球在槽中A、B、C位置做圆周运动的轨迹半
径之比为1∶2∶1，变速塔轮自上而下按如图乙所示三
种方式进行组合，每层半径之比由上至下分别为
1∶1、2∶1和3∶1。
(1)在探究向心力大小与半径的关系时，为了
控制角速度相同，需要将传动皮带调至第________
(选填“一”“二”或“三”)层塔轮，然后将两个质量相等的钢球分别放在________(选填“A和B”“A和C”或“B和C”)位置，匀速转动手柄，左侧标尺露出4格，右侧标尺露出2格，则左、右两小球所受向心力大小之比为________。
一
B和C
2∶1
(2)在探究向心力大小与角速度的关系时，若将传动皮带调至图乙中的第三层，转动手柄，则左、右两小球的角速度之比为______。为了更精确探究向心力大小F与角速度ω的关系，采用接有传感器的自制向心力实验仪进行实验，测得多组数据经拟合后得到F ω2图像如图丙所示，由此可得的实验结论是________________________
________________________________________。
1∶3
　　　　　　　　　小球的质量、运动半径相同时，小球受到的向心力与角速度的平方成正比
[解析]　(1)在探究向心力大小与半径的关系时，需控
制小球质量、角速度相同，运动半径不同，变速塔轮边缘
处的线速度相等，根据v＝ωr可知，需要将传动皮带调至
第一层塔轮，将两个质量相等的钢球分别放在B和
C位置。根据标尺露出的格数可知，左、右两小球
所受向心力大小之比为F左∶F右＝n左∶n右＝4∶2＝
2∶1。
(2)变速塔轮边缘处的线速度相等，根据v＝ωr
可知，左、右两小球的角速度之比为ω左∶ω右＝r右∶r左＝R3∶3R3＝1∶3。根据题图丙可知，F ω2图像为过原点的直线，据此可得的实验结论是：小球的质量、运动半径相同时，小球受到的向心力与角速度的平方成正比。
教材精选
2.(人教版必修第二册教材第六章[复习与提高]B组T3)如图所示，带有一白点的灰色圆盘，绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动，转速n＝20 r/s。在暗室中用每秒闪光21次的频闪光源照射圆盘，求观察到白点转动的方向和转动的周期。
答案：逆时针　1 s
课时作业
1.(2025·江苏省南通市海安市高三上学期期初学业质量检测)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，如图所示，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们的(　　)
A．线速度大小之比为2∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为9∶8
D．向心加速度大小之比为2∶1
[A组　基础巩固练]
3.为防止人类太空航行长期处于失重环境中引起的健康问题，科学家们设想将太空飞船建造成轴对称环形结构，通过圆环绕中心轴匀速转动使航天员产生模拟重力效果。若圆环的直径为40 m，航天员(可视为质点)站立于圆环内壁时，为产生与宇航员在地球表面相同的重力效果，则圆环转动的角
速度ω约为(　　)
A．0.7 rad/s B．1.4 rad/s
C．7 rad/s D．14 rad/s
4．如图1所示，修正带是一种常见的学习用具，是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图2所示的模型。A、B是转动的大小齿轮边缘的两点，C是大齿轮上的一点，若A、B、C的轨道半径之比为2∶3∶2，则A、B、C的向心加速度大小之比为(　　)
A．9∶6∶4 B．9∶6∶2
C．6∶4∶3 D．6∶3∶2
5.荡秋千是小朋友们最喜欢的游戏之一，如图为一秋千模型，水平横梁与每一根绳间装有力传感器，质量为40 kg的小朋友坐在秋千上，小朋友重心离系绳子的水平横梁垂直距离为2 m。若秋千板摆到最低点时，每一根绳上的拉力显示为450 N，忽略板和绳的质量，重力加速度g取10 m/s2，则小孩在
此位置运动的速度大小约为(　　)
A．1.5 m/s B．3.0 m/s
C．5.0 m/s D．7.5 m/s
6．(2025·广东卷，8)(多选)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有(　　)
A．角速度为5 rad/s　　　　　　B．线速度大小为4 m/s
C．向心加速度大小为10 m/s2　　　D．所受支持力大小为1 N
8．(2026·吉林省吉林市第一中学高三上第一次质量检测)在“探究向心力大小的表达式”实验中，所用向心力演示器如图a所示，图b是演示器部分原理示意图；其中轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的2倍，两转臂上黑白格的长度相等。A、B、C为三根固定在转臂上的挡板，可
与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力，
图a中的标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小关系。
可供选择的实验球有：质量均为2m的甲球和乙球、质量
为m的丙球。
(1)下列实验与本实验方法相同的是_____。
A．探究平抛运动的特点
B．探究弹簧形变量与力的关系
C．探究加速度与力和质量的关系
D．探究两个互成角度的力的合成规律
C
(2)为探究向心力与圆周运动轨道半径的关系，实验时应选择甲球和_____球作为实验球。
(3)在某次实验中，一组同学把甲球和乙球分别放在A、C位置，将皮带处于塔轮的某一层上，匀速转动手柄时，左边标尺露出1个分格，右边标尺露出4个分格，则A、C位置处的小球转动所需的向心力之比为_____，A、C两个挡板角速度之比为_____。
乙
1∶4
1∶2
解析：(1)探究向心力大小的表达式与探究加速度与力和质量的关系采用的都是控制变量法，故选C。
(2)探究向心力与圆周运动轨道半径的关系时，应使两球质量相等，故应选择甲球和乙球作为实验球。
(3)左、右标尺露出的格数表示向心力的大小，故向心力之比为1∶4，A、C位置处的小球转动半径相同，两个小球质量相同，由向心力F＝2mω2r可知，A、C两个挡板角速度之比为1∶2。
9.场地自行车比赛的圆形赛道是一个内倾斜路面，路面与水平面的倾角为15°。某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，其速度v＝13 m/s时，自行车恰好不受侧向摩擦力作用。已知自行车和运动员的质量一共是100 kg，不考虑空气阻力，g取10 m/s2，已知sin15°≈tan15°≈0.26，cos15°≈0.97。
(1)求圆形赛道的半径；
(2)若圆形赛道的倾角改为37°，该运动员骑自行车仍
然以13 m/s的速度沿该赛道做匀速圆周运动，求此时自行
车所受的侧向摩擦力大小。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
答案：(1)65 m　(2)392 N
[B组　综合提升练]
11.如图所示，旋转秋千中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小

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