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高考科学复习解决方案 物理
第讲　重力势能与弹性势能　动能定理
考点一　重力势能　弹性势能
一、重力做功的特点
物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
注：确切地说，重力对某物体做的功只与起点和终点的高度差有关，因为在同一高度上运动时，重力不做功。
二、重力势能
1．定义：物体由于被举高而具有的能量，叫作重力势能。
2．表达式：Ep＝mgh，其中h是相对于参考平面的高度。
3．特点
(1)系统性：重力势能是地球与物体所组成的“系统”所共有的。
(2)相对性：重力势能的数值与所选参考平面有关。
(3)标量性：重力势能是标量，正负表示大小。
4．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小，重力对物体做负功，重力势能增大。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝Ep1－Ep2＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
思考：试简单推导上述关系式。
提示：质量为m的物体从h1高度运动到h2高度，重力做的功WG＝mg(h1－h2)＝mgh1－mgh2＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
5．重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取无关。
三、弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。
2．大小：弹簧的弹性势能跟弹簧的形变量及劲度系数有关，形变量越大，劲度系数越大，弹性势能就越大。
3．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力对外做正功，弹性势能减小，弹力对外做负功，弹性势能增大，且W＝－ΔEp。
1．判断
(1)被举到高处的物体重力势能一定不为零。(　　)
(2)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。(　　)
(3)弹力做正功，弹性势能一定增加。(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．(人教版必修第二册教材第八章第2节[练习与应用]T3)以下说法是否正确？如果正确，说出一种可能的实际情况；如果不正确，说明这种说法为什么错误。
(1)物体受拉力作用向上运动，拉力做的功是1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J。
(2)物体受拉力作用向上匀速运动，拉力做的功是1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J。
(3)物体运动，重力做的功是－1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J。
(4)没有摩擦时物体由A沿直线运动到B，重力做的功是－1 J；有摩擦时物体由A沿曲线运动到B，重力做的功大于－1 J。
答案：(1)正确。若物体向上加速运动，则拉力大于重力，拉力做的功是1 J，但物体重力做的功不是－1 J，重力势能的增加量不是1 J。
(2)错误。物体向上匀速运动，则拉力大小等于重力，拉力做的功是1 J，则重力做的功一定是－1 J，重力势能的增加量是1 J。
(3)错误。根据重力做功与重力势能变化量的关系可知，重力势能的增加量是1 J。
(4)错误。重力做功的大小只与重力大小和始末位置有关，与其他力和路径无关。
例1　(多选)如图所示，水平地面上固定一竖直轻质弹簧，有一物体由弹簧正上方某位置竖直下落，从与弹簧接触后物体继续下落到速度变为零的过程中(　　)
A．物体的重力对物体做正功
B．物体的重力势能逐渐增大
C．弹簧的弹力对物体做负功
D．弹簧的弹性势能逐渐增大
[答案]　ACD
[解析]　下落过程中，物体的高度降低，重力方向与物体运动方向相同，物体的重力对物体做正功，物体的重力势能逐渐减小，A正确，B错误；物体受到弹簧向上的弹力，弹簧的弹力方向与物体运动方向相反，弹簧的弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能逐渐增大，C、D正确。
例2　如图所示，可视为质点的小球位于桌子的上方，从A点运动到B点，小球质量m＝1 kg，h1＝1 m，h2＝0.6 m，取g＝10 m/s2，以桌面为参考平面，则下列说法错误的是(　　)
A．小球在A点的重力势能是10 J
B．从A点运动到B点小球的重力势能减少了4 J
C．从A点运动到B点小球重力做功是16 JD.若取地面为参考平面，从A点运动到B点小球重力做功是16 J
[答案]　B
[解析]　以桌面为参考平面，小球在A点的重力势能是EpA＝mgh1＝1×10×1 J＝10 J，A正确；从A点运动到B点，小球重力做功WG＝mg(h1＋h2)＝1×10×(1＋0.6) J＝16 J，则重力势能减少了16 J，故B错误，C正确；重力做功的量与参考平面的选取无关，若取地面为参考平面，从A点运动到B点小球重力做功仍是16 J，D正确。本题选说法错误的，故选B。
考点二　动能及动能定理的基本应用
一、动能
1．定义：物体由于运动而具有的能。
2．公式：Ek＝mv2。
3．标矢性：动能是标量，没有负值，动能与速度方向无关。
4．相对性：由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性。
二、动能定理
1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2．表达式：W＝mv－mv＝Ek2－Ek1＝ΔEk。
思考：对于恒力作用下物体做直线运动的情况，试推导动能定理。
提示：质量为m的某物体在光滑水平面上运动，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移l，速度由v1增加到v2。恒力F做的功W＝Fl，根据牛顿第二定律有F＝ma，根据运动学公式有l＝，把F、l的表达式代入W＝Fl中，可得W＝mv－mv。
3．物理意义：合力的功是物体动能变化的量度。
4．适用范围广泛
(1)既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。
1．判断
(1)合力做功是物体动能变化的原因。(　　)
(2)如果物体所受合力不为零，那么合力的功也一定不为零。(　　)
(3)物体的动能不变，则物体的速度不变。(　　)
(4)物体做变速运动时动能一定变化。(　　)
(5)合力对物体做正功，物体的动能增加；合力对物体做负功，物体的动能减少。(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．(人教版必修第二册教材第八章第3节[练习与应用]T1)改变汽车的质量和速度，都可能使汽车的动能发生改变。在下列几种情况下，汽车的动能各是原来的几倍？
A．质量不变，速度增大到原来的2倍
B．速度不变，质量增大到原来的2倍
C．质量减半，速度增大到原来的4倍
D．速度减半，质量增大到原来的4倍
答案：令Ek＝mv，则EkA＝m(2v0)2＝4Ek；EkB＝×2mv＝2Ek；EkC＝×m·(4v0)2＝8Ek；EkD＝×4m＝Ek。
3．(人教版必修第二册教材第八章第3节[练习与应用]T2)把一辆汽车的速度从10 km/h加速到20 km/h，或者从50 km/h加速到60 km/h，哪种情况做的功比较多？通过计算说明。
答案：设汽车的质量为m，初速度为v0，则速度增加Δv所做的功为W＝m(v0＋Δv)2－mv＝m(Δv)2＋mΔvv0，可知在m和Δv一定的条件下，v0越大，W越大，故后者做功比较多。
应用动能定理的注意事项
(1)应用动能定理解题应抓好“两状态，一过程”。“两状态”即明确研究对象的始、末状态的速度或动能情况，“一过程”即明确研究过程，确定这一过程研究对象的受力情况和位置变化或位移信息，明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。
(2)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。
(3)动能定理的表达式为标量式，不能在某一个方向上列动能定理方程。
例3　如图所示，长为L的木块静止在光滑水平面上。质量为m的子弹以水平速度v0射入木块并从中射出，且出射速度为v1。已知从子弹射入到射出，木块移动的距离为s，子弹在木块中受到的平均阻力大小为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　对子弹根据动能定理有－f(L＋s)＝mv－mv，解得f＝，D正确。
例4　(多选)如图所示，一个质量是25 kg的小孩从高为2 m的滑梯顶端由静止滑下，滑到底端时的速度为2 m/s(取g＝10 m/s2)，关于该过程各作用力对小孩做的功，以下结果正确的是(　　)
A．重力做的功为500 J
B．合外力做功为50 J
C．克服阻力做功为50 J
D．支持力做功为450 J
[答案]　AB
[解析]　小孩从静止下滑到底端的过程中，重力做的功为WG＝mgh＝25×10×2 J＝500 J，A正确；根据动能定理，合外力做的功等于动能的变化量，则合外力做功为W合＝mv2－0＝×25×22 J＝50 J，B正确；下滑过程中，支持力方向与小孩运动方向始终垂直，支持力不做功，设小孩克服阻力做功为Wf，由动能定理得WG－Wf＝50 J，解得Wf＝450 J，故C、D错误。
规律点拨
应用动能定理解题的一般思路
考点三　动能定理在多过程问题中的应用
1．当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。
2．当选择全部子过程作为研究过程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意它们的做功特点：(1)重力做的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；(2)始终与速度方向共线的大小恒定的阻力或摩擦力做的功的大小等于力与路程的乘积。
例5　(2025·山东省东营市高三上模拟)如图所示，某同学在滑雪场练习滑雪。滑道由足够长的水平冰面与倾角为37°的倾斜冰面在M处平滑连接，冰鞋与水平和倾斜冰面间的动摩擦因数均为0.25，某次练习时，该同学从A处开始以大小为v0的初速度向右自由滑行，最终在倾斜冰面上B处速度减为0。AM与MB的长度之比为48∶5，取重力加速度大小为g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，该同学自由滑行至M点的速度大小为(　　)
A.v0 B.v0
C.v0 D.v0
[答案]　A
[解析]　设该同学自由滑行至M点的速度大小为v，根据动能定理，在水平冰面上有－μmgxAM＝mv2－mv，在倾斜冰面上有－(mgsin37°＋μmgcos37°)xMB＝0－mv2，又＝，联立解得v＝v0，故选A。
例6　(多选)如图所示，斜面ABC竖直固定放置，斜边AC与一光滑的圆弧轨道DEG相切，切点为D，AD长为L＝，圆弧轨道圆心为O，半径为R，∠DOE＝θ，∠EOG＝90°，OG水平。现有一质量为m、可视为质点的滑块从A点由静止下滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则关于滑块的运动，下列说法正确的是(　　)
A．滑块经过E点时对轨道的最小压力为mg
B．滑块下滑后将会从G点飞出
C．滑块第二次经过E点时对轨道的压力大小为3mg
D．滑块在斜面上经过的总路程为
[答案]　CD
[解析]　滑块从A点下滑后在AD部分要克服摩擦力做功，则返回到AD斜面上时的高度逐渐降低，最终滑块将以E点为最低点、D点为最高点来回滑动，此时滑块经过E点时对轨道的压力最小，从D点到E点，根据动能定理有mgR(1－cosθ)＝mv，在E点有N－mg＝m，联立解得N＝mg(3－2cosθ)，根据牛顿第三定律，滑块经过E点时对轨道的最小压力为(3－2cosθ)mg，故A错误；滑块从A点到G点，由动能定理得：mg(Lsinθ－Rcosθ)－μmgcosθ·L＝mv，其中L＝，解得vG＝0，则滑块下滑后不能从G点飞出，故B错误；设滑块第二次经过E点时速度大小为vE2，对滑块从G点到E点，根据动能定理得：mgR＝mv－0，解得vE2＝，滑块第二次到达E点时，根据牛顿第二定律有N2－mg＝，解得N2＝3mg，根据牛顿第三定律，滑块此时对轨道的压力大小为3mg，故C正确；滑块最终将以E点为最低点、D点为最高点来回滑动，从滑块由A点静止下滑到滑块在D点速度为零的过程，根据动能定理得：mgLsinθ－μmgcosθ·s总＝0－0，解得s总＝，故D正确。
规律点拨
往复运动问题的解题策略
在有些问题中，物体的运动过程具有重复性、往返性，描述运动的物理量多数是变化的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定。
此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，运用牛顿运动定律及运动学公式求解将非常繁琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体运动的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可简化解题过程。
1．(人教版必修第二册教材第八章[复习与提高]B组T2)A、B两物体的质量之比mA∶mB＝2∶1，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v t图像如图所示。此过程中，A、B两物体受到的摩擦力做的功之比WA∶WB是多少？A、B两物体受到的摩擦力之比FA∶FB是多少？
答案：2∶1　4∶1
解析：根据动能定理，得WA＝0－mAv
WB＝0－mBv
所以WA∶WB＝mA∶mB＝2∶1
A、B两物体的运动距离lA＝t，lB＝·2t
又WA＝－FAlA，WB＝－FBlB
可得FA∶FB＝4∶1。
2．(人教版必修第二册教材第八章[复习与提高]B组T4)如图所示，某一斜面的顶端到正下方水平面O点的高度为h，斜面与水平面平滑连接。一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停下。已知小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为μ，求木块在水平面上停止点A的位置到O点的距离x，并讨论：x与斜面倾角θ的大小是否有关？
答案：　无关
解析：小木块在斜面上受到的滑动摩擦力大小F1＝μmgcosθ
在水平面上受到的滑动摩擦力大小F2＝μmg
整个过程中滑动摩擦力做功
Wf＝－F1－F2
重力做功为WG＝mgh
由动能定理得WG＋Wf＝0－0
联立解得x＝
由此可知，x与斜面倾角θ无关。
课时作业
[A组　基础巩固练]
1．(2025·江苏省如皋中学高三下期初检测)如图所示，撑杆跳高运动员自起跳到跨越横杆的过程中，撑杆先发生弯曲再恢复到原状。在此过程中，下列说法正确的是(　　)
A．重力对运动员做正功
B．撑杆的弹性势能一直减小
C．撑杆的弹性势能一直增大
D．撑杆的弹性势能先增大后减小
答案：D
解析：运动员向上运动，重力对运动员做负功，A错误；撑杆先发生弯曲再恢复原状，弹性形变先变大后变小，弹性势能先增大后减小，D正确，B、C错误。
2．一个100 g的球从1.8 m的高度处落到一个水平板上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g＝10 m/s2)(　　)
A．重力做功为1.8 J
B．重力做了0.55 J的负功
C．球的重力势能一定减少0.55 J
D．球的重力势能一定增加1.25 J
答案：C
解析：整个过程中，球的高度下降了h＝1.8 m－1.25 m＝0.55 m，则重力对球做正功且W＝mgh＝100×10－3×10×0.55 J＝0.55 J，而重力做的功等于重力势能的减少量，故球的重力势能一定减少ΔE＝0.55 J，故C正确，A、B、D错误。
3．(2023·上海卷，3)一物块爆炸分裂为速率相同、质量不同的三个物块，不计空气阻力，对三者落到同一水平地面上时的速率大小判断正确的是(　　)
A．质量大的落地速率大
B．质量小的落地速率大
C．三者落地速率都相同
D．无法判断
答案：C
解析：由题意可知分裂后瞬间，三个物块距离地面的高度相同，速率相同，下落过程中由动能定理得mgh＝mv2－mv，解得v＝，故三者落地速率相同，C正确。
4．(2024·安徽卷，2)某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v。已知人与滑板的总质量为m，可视为质点。重力加速度大小为g，不计空气阻力。则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为(　　)
A．mgh B.mv2
C．mgh＋mv2 D．mgh－mv2
答案：D
解析：人与滑板下滑的过程，由动能定理有mgh－Wf＝mv2－0，可得此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为Wf＝mgh－mv2，故D正确。
5．物体沿直线运动的v－t图像如图所示，已知在第1秒内合力对物体做的功为W，则(　　)
A．从第1秒末到第3秒末合力做功为4W
B．从第3秒末到第5秒末合力做功为－2W
C．从第5秒末到第7秒末合力做功为W
D．从第3秒末到第4秒末合力做功为－2W
答案：C
解析：物体在第1秒末到第3秒末做匀速直线运动，合力为零，合力做功为零，A错误；从第3秒末到第5秒末动能的减少量与第1秒内动能的增加量大小相同，合力做功为－W，B错误；从第5秒末到第7秒末动能的增加量与第1秒内动能的增加量大小相同，合力做功相同，即为W，C正确；从第3秒末到第4秒末速度从v0减小到，则动能减少量ΔEk＝mv－m＝·mv，等于第1秒内动能增加量大小的，则合力做功为－0.75W，D错误。
6.(2026·云南省云南师范大学附属中学高三上月考)如图所示，粗糙程度相同的斜面与水平地面在B点平滑相连，一小物块从A点静止释放后下滑，最终停到水平地面的C点，测得AO＝OB＝BC＝L，则物块与斜面以及地面的动摩擦因数为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由几何关系可知∠ABO＝45°，AB＝＝L，物块从A到C，根据动能定理有mgL－μmgcos∠ABO×L－μmgL＝0－0，解得μ＝，故选A。
7.如图所示，固定斜面的倾角为θ，质量为m的滑块从距挡板P的距离为x0处以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力。若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，重力加速度为g，则滑块经过的总路程是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：因为滑块所受摩擦力f＝μmgcosθ小于重力沿斜面向下的分力，所以滑块最终要停在斜面底部，设滑块经过的总路程为x，对滑块运动的全过程应用动能定理得mgx0sinθ－fx＝0－mv，解得x＝，故选A。
8．从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3 m以内时，物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。该物体的质量为(　　)
A．2 kg B．1.5 kg
C．1 kg D．0.5 kg
答案：C
解析：画出运动示意图如图，设阻力大小为f，据动能定理知，
A→B(上升过程)：EkB－EkA＝－(mg＋f)h
C→D(下落过程)：EkD－EkC＝(mg－f)h
联立以上两式，解得物体的质量m＝1 kg，C正确。
9．(2025·山西省晋中市高三上模拟)如图，圆形水平餐桌面上有一个半径为r＝0.3 m、可绕中心轴转动的同心圆盘，在圆盘的边缘放置一质量为m＝1 kg的小物块，物块与圆盘间的动摩擦因数为μ1＝0.3，物块与桌面间的动摩擦因数为μ2＝0.1125。现从静止开始缓慢增大圆盘的角速度，物块从圆盘上滑落后，最终恰好停在桌面边缘。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g＝10 m/s2，圆盘厚度及圆盘与餐桌面的间隙不计，物块可视为质点。求：
(1)物块随圆盘运动的过程中，圆盘对小物块做的功；
(2)餐桌面的半径R。
答案：(1)0.45 J　(2)0.5 m
解析：(1)设物块恰未从圆盘上滑落时的速度大小为v，由最大静摩擦力提供向心力有
μ1mg＝
物块随圆盘运动的过程中，仅有圆盘对物块做功，根据动能定理，可知圆盘对小物块做的功W＝mv2－0
解得W＝0.45 J。
(2)小物块从圆盘滑落后，沿圆盘的切线方向滑出，做匀减速直线运动，设小物块在桌面上滑行距离为L，由动能定理有－μ2mgL＝0－mv2
由几何关系可知，餐桌面的半径R＝
联立并代入数据解得R＝0.5 m。
10.(2025·黑吉辽蒙卷，13)如图，一雪块从倾角θ＝37°的屋顶上的O点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶。O、A间距离x＝2.5 m，A点距地面的高度h＝1.95 m，雪块与屋顶的动摩擦因数μ＝0.125。不计空气阻力，雪块质量不变，取sin37°＝0.6，重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
(1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小v0；
(2)雪块落地时的速度大小v1，及其速度方向与水平方向的夹角α。
答案：(1)5 m/s　(2)8 m/s　60°
解析：(1)设雪块的质量为m，雪块从屋顶上的O点由静止开始下滑到A点的过程中，由动能定理有mgxsinθ－μmgcosθ·x＝mv－0
解得v0＝5 m/s。
(2)雪块从A点到落地的过程中，由动能定理有mgh＝mv－mv
解得v1＝8 m/s
雪块离开A点时水平分速度大小为vx＝v0cosθ
雪块落地时速度方向与水平方向的夹角α满足cosα＝
联立解得α＝60°。
[B组　综合提升练]
11．如图1所示，质量为8 kg的物体在水平推力作用下从静止开始运动，推力F随位移x变化的情况如图2所示，运动10 m后撤去推力F。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．从开始运动到停止运动，物体的位移为18 m
B．物体在x＝5 m时速度最大，最大速度为6 m/s
C．物体在运动过程中的加速度大小先减小后不变
D．全程推力做功480 J
答案：D
解析：F x图像中图线与x轴所围图形的面积表示F做的功，由题图2可知，全程推力F做功WF＝×80 J＝480 J，对整个过程根据动能定理有WF－μmgx0＝0－0，可得物体的位移为x0＝12 m，故A错误，D正确。设物体的加速度为a，由牛顿第二定律有F－μmg＝ma，解得a＝，结合题图2可知，当0＜x＜2 m时，物体加速且加速度不变；由数学知识可知，当x＝6 m时，F＝40 N，故当2 m＜x＜6 m时，物体加速且加速度减小；当6 m＜x＜10 m时，物体开始减速且加速度增大；当x＞10 m时，物体减速且加速度不变。可知物体在x′＝6 m时速度最大，由动能定理有WF′－μmgx′＝mv－0，其中WF′＝2×80 J＋×(6－2) J＝400 J，解得vmax＝2 m/s，故B、C错误。
12．如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平，轨道的内表面粗糙。一质量为m的小滑块从P点正上方由静止释放，释放高度为R，小滑块恰好从P点进入轨道。小滑块滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度。用W表示小滑块第一次在轨道NQ段运动时克服摩擦力所做的功，则(　　)
A．W＝mgR
B．WC．小滑块恰好可以到达Q点
D．小滑块不能到达Q点
答案：B
解析：根据题述，小滑块滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，根据牛顿第三定律，轨道对小滑块的支持力为4mg。在最低点，由牛顿第二定律得4mg－mg＝m，解得v2＝3gR。小滑块由静止释放至运动到最低点N的过程，设小滑块克服摩擦力做的功为Wf，运用动能定理得2mgR－Wf＝mv2，解得Wf＝mgR。由于小滑块在右侧圆弧轨道NQ段运动的速度大小与小滑块在左侧圆弧轨道PN段对称位置运动的速度大小相比较小，所需向心力较小，轨道与小滑块之间的压力就较小，小滑块受到的摩擦力较小，克服摩擦力做的功较小，所以小滑块第一次在轨道NQ段运动时克服摩擦力做的功W[C组　拔尖培优练]
13．(2025·福建省厦门市第一中学高三上月考)如图甲所示，竖直放置的轻弹簧一端固定于风洞实验室的水平地面，质量m＝0.1 kg的小球在轻弹簧正上方某处由静止下落，同时受到一个竖直向上恒定的风力。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为x轴正方向，取地面为零势能参考面，在小球下落的全过程中，小球重力势能随小球位移变化关系如图乙中的图线①，弹簧弹性势能随小球位移变化关系如图乙中的图线②，弹簧始终在弹性限度范围内，取重力加速度g＝10 m/s2，则(　　)
A．小球释放位置距地面的高度为0.6 m
B．小球在下落过程受到的风力为0.1 N
C．小球刚接触弹簧时的动能为0.5 J
D．小球的最大加速度大小为10 m/s2
答案：B
解析：由题图乙可知，小球处于释放位置时的重力势能为EpG0＝0.70 J，根据EpG0＝mgH，可得小球释放位置距地面的高度H＝0.7 m，故A错误；由题图乙可知，小球速度减为0时，下落高度h＝0.6 m，则小球从x＝0运动至x＝0.6 m的过程中，根据动能定理有mgh－F风h＋W弹＝0－0，其中弹簧弹力做功W弹＝－ΔEp弹＝－0.54 J，解得小球在下落过程中受到的风力F风＝0.1 N，故B正确；小球刚接触弹簧时，下落高度h1＝0.5 m，则小球从x＝0运动至x＝0.5 m的过程中，根据动能定理有mgh1－F风h1＝Ek1－0，解得小球刚接触弹簧时的动能Ek1＝0.45 J，故C错误；设弹簧劲度系数为k，则有W弹＝－k·(h－h1)，解得k＝108 N/m，小球下落高度h＝0.6 m时，其加速度大小最大，由牛顿第二定律有k(h－h1)＋F风－mg＝mamax，解得小球下落过程中最大加速度大小为amax＝99 m/s2，故D错误。
17(共58张PPT)
第六章　机械能
及其守恒定律
第2讲　重力势能与弹性势能　动能定理
目录
1
2
3
考点一　重力势能　弹性
　　　　势能
考点二　动能及动能定理
的基本应用
考点三　动能定理在多过
程问题中的应用
教材精选
课时作业
4
5
考点一　重力势能　弹性势能
一、重力做功的特点
物体运动时，重力对它做的功只跟它的____________的位置有关，而跟物体运动的______无关。
注：确切地说，重力对某物体做的功只与起点和终点的高度差有关，因为在同一高度上运动时，重力不做功。
起点和终点
路径
二、重力势能
1．定义：物体由于被举高而具有的能量，叫作重力势能。
2．表达式：Ep＝______，其中h是相对于参考平面的高度。
3．特点
(1)系统性：重力势能是_____与物体所组成的“系统”所共有的。
(2)相对性：重力势能的数值与所选__________有关。
(3)标量性：重力势能是标量，正负表示大小。
mgh
地球
参考平面
4．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能______，重力对物体做负功，重力势能______。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的________，即WG＝_________＝_____________＝－ΔEp。
思考：试简单推导上述关系式。
5．重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取______。
提示：提示：质量为m的物体从h1高度运动到h2高度，重力做的功WG＝mg(h1－h2)＝mgh1－mgh2＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
减小
增大
减少量
Ep1－Ep2
－(Ep2－Ep1)
无关
三、弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。
2．大小：弹簧的弹性势能跟弹簧的形变量及劲度系数有关，形变量_____，劲度系数_____，弹性势能就越大。
3．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力对外做正功，弹性势能_____，弹力对外做负功，弹性势能______，且W＝_______。
越大
越大
减小
增大
－ΔEp
1．判断
(1)被举到高处的物体重力势能一定不为零。(　　)
(2)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。(　　)
(3)弹力做正功，弹性势能一定增加。(　　)
×
√
×
2．(人教版必修第二册教材第八章第2节[练习与应用]T3)以下说法是否正确？如果正确，说出一种可能的实际情况；如果不正确，说明这种说法为什么错误。
(1)物体受拉力作用向上运动，拉力做的功是1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J。
(2)物体受拉力作用向上匀速运动，拉力做的功是1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J。
(3)物体运动，重力做的功是－1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J。
(4)没有摩擦时物体由A沿直线运动到B，重力做的功是－1 J；有摩擦时物体由A沿曲线运动到B，重力做的功大于－1 J。
答案：(1)正确。若物体向上加速运动，则拉力大于重力，拉力做的功是1 J，但物体重力做的功不是－1 J，重力势能的增加量不是1 J。
(2)错误。物体向上匀速运动，则拉力大小等于重力，拉力做的功是1 J，则重力做的功一定是－1 J，重力势能的增加量是1 J。
(3)错误。根据重力做功与重力势能变化量的关系可知，重力势能的增加量是1 J。
(4)错误。重力做功的大小只与重力大小和始末位置有关，与其他力和路径无关。
例1　(多选)如图所示，水平地面上固定一竖直轻质弹簧，有一物体由弹簧正上方某位置竖直下落，从与弹簧接触后物体继续下落到速度变为零的过程中(　　)
A．物体的重力对物体做正功
B．物体的重力势能逐渐增大
C．弹簧的弹力对物体做负功
D．弹簧的弹性势能逐渐增大
[解析]　下落过程中，物体的高度降低，重力方向与物体运动方向相同，物体的重力对物体做正功，物体的重力势能逐渐减小，A正确，B错误；物体受到弹簧向上的弹力，弹簧的弹力方向与物体运动方向相反，弹簧的弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能逐渐增大，C、D正确。
例2　如图所示，可视为质点的小球位于桌子的上方，从A点运动到B点，小球质量m＝1 kg，h1＝1 m，h2＝0.6 m，取g＝10 m/s2，以桌面为参考平面，则下列说法错误的是(　　)
A．小球在A点的重力势能是10 J
B．从A点运动到B点小球的重力势能减少了4 J
C．从A点运动到B点小球重力做功是16 JD.若取地面为参
考平面，从A点运动到B点小球重力做功是16 J
[解析]　以桌面为参考平面，小球在A点的重力势能是EpA＝mgh1＝1×10×1 J＝10 J，A正确；从A点运动到B点，小球重力做功WG＝mg(h1＋h2)＝1×10×(1＋0.6) J＝16 J，则重力势能减少了16 J，故B错误，C正确；重力做功的量与参考平面的选取无关，若取地面为参考平面，从A点运动到B点小球重力做功仍是16 J，D正确。本题选说法错误的，故选B。
考点二　动能及动能定理的基本应用
一、动能
1．定义：物体由于_____而具有的能。
2．公式：Ek＝_____。
3．标矢性：动能是_____，没有负值，动能与速度方向_____。
4．相对性：由于速度具有_______，所以动能也具有相对性。
运动
标量
无关
相对性
二、动能定理
1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中__________。
2．表达式：W＝___________＝________＝_____。
思考：对于恒力作用下物体做直线运动的情况，试推导动能定理。
动能的变化
Ek2－Ek1
ΔEk
3．物理意义：_____的功是物体动能变化的量度。
4．适用范围广泛
(1)既适用于直线运动，也适用于_________ 。
(2)既适用于恒力做功，也适用于_________ 。
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以____________ 。
合力
曲线运动
变力做功
不同时作用
1．判断
(1)合力做功是物体动能变化的原因。(　　)
(2)如果物体所受合力不为零，那么合力的功也一定不为零。(　　)
(3)物体的动能不变，则物体的速度不变。(　　)
(4)物体做变速运动时动能一定变化。(　　)
(5)合力对物体做正功，物体的动能增加；合力对物体做负功，物体的动能减少。(　　)
√
×
×
×
√
2．(人教版必修第二册教材第八章第3节[练习与应用]T1)改变汽车的质量和速度，都可能使汽车的动能发生改变。在下列几种情况下，汽车的动能各是原来的几倍？
A．质量不变，速度增大到原来的2倍
B．速度不变，质量增大到原来的2倍
C．质量减半，速度增大到原来的4倍
D．速度减半，质量增大到原来的4倍
3．(人教版必修第二册教材第八章第3节[练习与应用]T2)把一辆汽车的速度从10 km/h加速到20 km/h，或者从50 km/h加速到60 km/h，哪种情况做的功比较多？通过计算说明。
应用动能定理的注意事项
(1)应用动能定理解题应抓好“两状态，一过程”。“两状态”即明确研究对象的始、末状态的速度或动能情况， “一过程”即明确研究过程，确定这一过程研究对象的受力情况和位置变化或位移信息，明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。
(2)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。
(3)动能定理的表达式为标量式，不能在某一个方向上列动能定理方程。
例4　(多选)如图所示，一个质量是25 kg的小孩从高为2 m的滑梯顶端由静止滑下，滑到底端时的速度为2 m/s(取g＝10 m/s2)，关于该过程各作用力对小孩做的功，以下结果正确的是(　　)
A．重力做的功为500 J
B．合外力做功为50 J
C．克服阻力做功为50 J
D．支持力做功为450 J
规律点拨
应用动能定理解题的一般思路
考点三　动能定理在多过程问题中的应用
1．当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便。
2．当选择全部子过程作为研究过程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意它们的做功特点：(1)重力做的功取决于物体的初、末位置，与______无关；(2)始终与速度方向共线的大小恒定的阻力或摩擦力做的功的大小等于力与______的乘积。
路径
路程
规律点拨
往复运动问题的解题策略
在有些问题中，物体的运动过程具有重复性、往返性，描述运动的物理量多数是变化的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定。
此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，运用牛顿运动定律及运动学公式求解将非常繁琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体运动的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可简化解题过程。
教材精选
1．(人教版必修第二册教材第八章[复习与提高]B组T2)A、B两物体的质量之比mA∶mB＝2∶1，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v t图像如图所示。此过程中，A、B两物体受到的摩擦力做的功之比WA∶WB是多少？A、B两物体受到的摩擦力之比FA∶FB是多少？
答案：2∶1　4∶1
2．(人教版必修第二册教材第八章[复习与提高]B组T4)如图所示，某一斜面的顶端到正下方水平面O点的高度为h，斜面与水平面平滑连接。一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停下。已知小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为μ，求木块在水平面上停止点A的位置到O点的距离x，并讨论：x与斜面倾角θ的大小是否有关？
课时作业
1．(2025·江苏省如皋中学高三下期初检测)如图所示，撑杆跳高运动员自起跳到跨越横杆的过程中，撑杆先发生弯曲再恢复到原状。在此过程中，下列说法正确的是(　　)
A．重力对运动员做正功
B．撑杆的弹性势能一直减小
C．撑杆的弹性势能一直增大
D．撑杆的弹性势能先增大后减小
解析：运动员向上运动，重力对运动员做负功，A错误；撑杆先发生弯曲再恢复原状，弹性形变先变大后变小，弹性势能先增大后减小，D正确，B、C错误。
[A组　基础巩固练]
2．一个100 g的球从1.8 m的高度处落到一个水平板上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g＝10 m/s2)(　　)
A．重力做功为1.8 J
B．重力做了0.55 J的负功
C．球的重力势能一定减少0.55 J
D．球的重力势能一定增加1.25 J
解析：整个过程中，球的高度下降了h＝1.8 m－1.25 m＝0.55 m，则重力对球做正功且W＝mgh＝100×10－3×10×0.55 J＝0.55 J，而重力做的功等于重力势能的减少量，故球的重力势能一定减少ΔE＝0.55 J，故C正确，A、B、D错误。
3．(2023·上海卷，3)一物块爆炸分裂为速率相同、质量不同的三个物块，不计空气阻力，对三者落到同一水平地面上时的速率大小判断正确的是(　　)
A．质量大的落地速率大
B．质量小的落地速率大
C．三者落地速率都相同
D．无法判断
5．物体沿直线运动的v－t图像如图所示，已知在第1秒内合力对物体做的功为W，则(　　)
A．从第1秒末到第3秒末合力做功为4W
B．从第3秒末到第5秒末合力做功为－2W
C．从第5秒末到第7秒末合力做功为W
D．从第3秒末到第4秒末合力做功为－2W
8．从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面
高度h在3 m以内时，物体上升、下落过程中动能Ek随h的变
化如图所示。重力加速度取10 m/s2。该物体的质量为(　　)
A．2 kg B．1.5 kg
C．1 kg D．0.5 kg
解析：画出运动示意图如图，设阻力大小为f，据动能定理知，
A→B(上升过程)：EkB－EkA＝－(mg＋f)h
C→D(下落过程)：EkD－EkC＝(mg－f)h
联立以上两式，解得物体的质量m＝1 kg，C正确。
9．(2025·山西省晋中市高三上模拟)如图，圆形
水平餐桌面上有一个半径为r＝0.3 m、可绕中心轴转
动的同心圆盘，在圆盘的边缘放置一质量为m＝1 kg
的小物块，物块与圆盘间的动摩擦因数为μ1＝0.3，
物块与桌面间的动摩擦因数为μ2＝0.1125。现从静
止开始缓慢增大圆盘的角速度，物块从圆盘上滑落后，最终恰好停在桌面边缘。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g＝10 m/s2，圆盘厚度及圆盘与餐桌面的间隙不计，物块可视为质点。求：
(1)物块随圆盘运动的过程中，圆盘对小物块做的功；
(2)餐桌面的半径R。
答案：(1)0.45 J　(2)0.5 m
10.(2025·黑吉辽蒙卷，13)如图，一雪块从倾角θ＝37°的屋顶上的O点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶。O、A间距离x＝2.5 m，A点距地面的高度h＝1.95 m，雪块与屋顶的动摩擦因数μ＝0.125。不计空气阻力，雪块质量不变，取sin37°＝0.6，重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
(1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小v0；
(2)雪块落地时的速度大小v1，及其速度方向与水平方向的夹角α。
答案：(1)5 m/s　(2)8 m/s　60°
11．如图1所示，质量为8 kg的物体在水平推力作用下从静止开始运动，推力F随位移x变化的情况如图2所示，运动10 m后撤去推力F。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．从开始运动到停止运动，物体的位移为18 m
B．物体在x＝5 m时速度最大，最大速度为6 m/s
C．物体在运动过程中的加速度大小先减小后不变
D．全程推力做功480 J
[B组　综合提升练]
13．(2025·福建省厦门市第一中学高三上月考)如图甲所示，竖直放置的轻弹簧一端固定于风洞实验室的水平地面，质量m＝0.1 kg的小球在轻弹簧正上方某处由静止下落，同时受到一个竖直向上恒定的风力。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为x轴正方向，取地面为零势能参考面，在小球下落的全过程中，小球重力势能随小球位移变化关系如图乙中的图线①，弹簧弹性势能随小球位移变化关系如图乙中的图线②，弹簧始终在弹性限度范围内，取重力加速度g＝10 m/s2，则(　　)
A．小球释放位置距地面的高度为0.6 m
B．小球在下落过程受到的风力为0.1 N
C．小球刚接触弹簧时的动能为0.5 J
D．小球的最大加速度大小为10 m/s2
[C组　拔尖培优练]

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