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专题提升一　运动学图像　追及相遇问题
【学习目标】　1.理解运动学图像的特点，学会处理运动学图像问题。2.理解追及相遇问题的特点及规律，学会处理追及相遇问题。
提升点一　运动学图像问题
常规运动学图像
对常规运动学图像的理解
图像 x -t图像 v -t图像
意义 图像表示位移随时间的变化规律，不是物体运动的轨迹 图像表示速度随时间变化规律，不是物体运动的轨迹
斜率 各点切线斜率表示对应时刻的速度 各点切线斜率表示对应时刻的加速度
纵截距 初位置 初速度
面积 无实际意义 图像与时间轴所围面积表示位移
交点 表示相遇 表示速度相同
拐点 表示速度方向改变 表示加速度方向改变
A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图像如图所示，其中A是顶点过原点的抛物线的一部分，B是过点(0，3 m)的一条直线，两图线相交于坐标为(3 s，9 m)的P点，则下列说法不正确的是(　　)
A.质点A做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动
B.质点B以2 m/s的速度做匀速直线运动
C.在前3 s内，质点A比B向前多前进了9 m
D.在0～3 s内的某时刻质点A、B速度相等
答案：C
解析：质点A的初速度为零，运动方程为x＝at2，又过点(3 s，9 m)，则加速度a＝2 m/s2，故A正确；x -t图线的斜率表示速度，故质点B做匀速直线运动，质点B的速度为v＝＝2 m/s，故B正确；在前3 s内，质点B的位移为6 m，质点A的位移为
9 m，质点A比B向前多前进了3 m，故C错误；t＝1 s时，质点A的速度为2 m/s，质点B以v＝2 m/s的速度做匀速直线运动，即t＝1 s时，质点A、B速度相等，故D正确。故选C。
(2025·福建高考·T14)某运动员进行游泳训练，他的运动为直线运动，运动的v -t图像如图所示，各阶段图像均为直线。求：
(1)运动员0～2 s内的平均速度大小；
(2)运动员44.2～46.2 s内的加速度大小；
(3)运动员44.2～46.2 s内的位移大小。
答案：(1)2.4 m/s　(2)0.1 m/s2　(3)4.2 m
解析：(1)由题图可知，0～2 s内运动员做匀减速直线运动由匀变速直线运动平均速度公式可得该时间内的平均速度＝＝2.4 m/s。
(2)由题图可知，44.2～46.2 s内运动员做匀加速直线运动由加速度定义可得该段时间内的加速度大小a＝＝0.1 m/s2。
(3)v -t图像与坐标轴所围面积表示位移的大小，则44.2～46.2 s内运动员的位移大小为x＝ m＝4.2 m。
针对练.(2026·山西一模)两质点甲和乙，从同一位置同时沿同一方向在水平面内做直线运动，甲的位移与时间图像(x -t图像)和乙的速度与时间图像(v -t图像)分别如图甲、乙所示，在0～8 s时间内，下列说法正确的是(　　)
学生用书 第12页
A.6 s时，甲离出发点最远
B.6 s时，乙回到出发点
C.0～2 s内，甲与乙的平均速度相同
D.4～6 s内，甲与乙的平均速度相同
答案：C
解析：由x -t图像知，6 s时甲回到了出发点，故A错误；由v -t图线与横轴围成的面积表示位移知，6 s时乙的位移x2＝ m＝6 m，故B错误；0～2 s内，甲的平均速度＝＝ m/s＝0.5 m/s，乙的平均速度＝＝ m/s＝0.5 m/s，故C正确；4～6 s内，甲的平均速度＝ m/s＝－1 m/s，乙的平均速度＝ m/s＝1 m/s，故D错误。故选C。
非常规运动学图像
对于非常规运动学图像，可由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的斜率、截距、面积的含义。常见以下几种图像：
图像种类 示例 分析思路
-t图像 由x＝v0t＋at2得＝v0＋at，图像的斜率k＝a，纵轴截距为初速度v0
v2-x图像 由v2－＝2ax得v2＝2ax＋，图像的斜率k＝2a，纵轴截距为
a -t图像 由Δv＝aΔt可知图线与t轴所围面积表示速度的变化量 纵轴截距表示初始加速度a0
(2026·南京模拟)一物体从t＝0时刻开始沿直线运动，运动时间为t时，对应的位移为x，规定向右为正方向，其 -t图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.t＝0时，物体的初速度大小为3 m/s
B.物体的加速度大小为3 m/s2
C.0～2 s内，物体的位移为6 m
D.3 s末，物体位于出发点左侧9 m处
答案：D
解析：根据匀变速直线运动的公式x＝v0t＋at2，变形得到＝at＋v0，结合题图可知v0＝6 m/s，a＝－6 m/s2，故A、B错误；根据x＝v0t＋at2可知，在0～2 s内，物体的位移为x1＝6×2 m＋×(－6)×22 m＝0，故C错误；根据x＝v0t＋at2可知，在0～3 s内，物体的位移为x2＝6×3 m＋×(－6)×32 m＝－9 m，即3 s末，物体位于出发点左侧9 m处，故D正确。故选D。
解答非常规运动学图像问题的技巧
1.图像反映了两个物理量之间的函数关系，因此首先要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系式，再分析图像的斜率、截距、面积等的物理意义。
2.注意把处理常规图像问题的思想方法加以迁移应用，必要时可将非常规图像所反映的物理过程转换为常见的x -t或v -t 图像进行有关分析。
针对练1.(多选)(2023·湖北卷·T8)t＝0时刻，质点P从原点由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化，周期为2t0。在0～3t0时间内，下列说法正确的是(　　)
A.t＝2t0时，P回到原点
B.t＝2t0时，P的运动速度最小
C.t＝t0时，P到原点的距离最远
D.t＝t0时，P的运动速度与t＝t0时相同
答案：BD
解析：a -t图像中图线与时间轴围成的面积表示速度大小，故利用a-t图像画出v -t图像如图所示，可知B、D正确；v -t图像中图线与时间轴围成的面积表示位移，可知t＝2t0时质点P不在原点，t＝3t0时离原点最远，A、C错误。故选BD。
针对练2.(2026·河北邯郸模拟)2025年2月，我国自主研发的“天工”机器人以多项全球首创技术引发国际关注。如图为“天工”机器人从零时刻起做匀减速运动直至停下的x -v2关系图像。下列说法正确的是(　　)
A.“天工”机器人共减速运动了9 s
B.1.5 s末“天工”机器人的加速度大小为1 m/s2
C.2 s末“天工”机器人的速度大小为1.5 m/s
D.“天工”机器人从零时刻起运动5 m耗时2 s
答案：D
解析：根据匀变速直线运动速度与位移关系式v2－＝2ax，可得x＝－，结合题图可得斜率k＝＝－1 s2/m，纵截距b＝－＝9 m，可得v0＝3 m/s，a＝－0.5 m/s2 ，“天工”机器人共减速运动了t＝＝6 s，A、B错误；根据匀变速直线运动规律可知，2 s末“天工”机器人的速度为v＝v0＋at2＝2 m/s，C错误；“天工”机器人运动5 m时，由x＝v0t'＋at'2＝5 m，解得t'＝2 s或t'＝10 s＞6 s(舍去)，D正确。故选D。
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运动学图像的转化
如图甲所示是某质点运动的速度v随时间t变化的图像。
(1)求在0～1 s内，质点的加速度大小，并在图乙中画出质点的加速度a随时间t变化的图像；
(2)求在0～3 s内，质点发生的位移大小与通过的路程，并在图丙中大致画出质点的位移x随时间t变化的图像。
答案：(1)4 m/s2　见解析图
(2)2 m　6 m　见解析图
解析：(1)在0～1 s内，质点的加速度大小为a1＝＝4 m/s2
加速度a随时间t变化的图像如图所示。
(2)根据v -t图像可知：在0～1 s内，质点做初速度为零的匀加速直线运动，质点发生的位移为x1＝a1＝×4×12 m＝2 m；在1～2 s内，质点做初速度为4 m/s的匀减速直线运动，质点发生的位移为x2＝＝ m＝2 m；在2～3 s内，质点做初速度为零的反向匀加速直线运动，质点发生的位移为x3＝a2＝－×4×12 m＝－2 m。在0～3 s内，质点发生的位移大小x＝x1＋x2＋x3＝2 m
在0～3 s内，质点通过的路程s＝x1＋x2＋｜x3｜＝6 m
大致描点作图，位移x随时间t变化的图像如图所示。
解决运动学图像转化类问题的一般流程
注意：对于作图类转换题，作图时要看准坐标轴的意义和单位；对于选择图像类转换题，要注意解析法和排除法的结合。
提升点二　追及相遇问题
分析追及相遇问题的常用方法
1.追及相遇问题的实质：分析两物体能否在同一时刻到达同一位置。
2.追及相遇问题的“一个临界条件”和“两个关系”
(1)一个临界条件：“速度相等”往往是两个物体能否追上、两者间距离最大或者最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点。
(2)两个关系：两个物体的运动时间关系(是否同时出发)和位移关系(是否有初始距离)，通过画运动草图找出两物体的位移关系往往是解题的突破口。
某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一辆服务车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求：
(1)赛车追上服务车所需的时间及追上服务车时的速度大小；
(2)追上之前两车的最大距离。
答案：(1)20 s　40 m/s　(2)225 m
解析：(1)设经t1时间追上服务车，由位移关系得
v0t1＋200 m＝a1，解得t1＝20 s
此时赛车的速度大小
v＝a1t1＝2×20 m/s＝40 m/s。
(2)方法一：情境分析法
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t2得两车速度相等时，经过的时间
t2＝＝ s＝5 s
追上之前两车的最大距离Δxmax＝v0t2＋x0－a1＝ m＝225 m。
方法二：函数分析法
Δx＝v0t＋x0－a1t2＝10t＋200－t2(m)
当t＝－ s＝5 s时，Δx有极大值，两车相距最远，将t＝5 s代入解得Δxmax＝225 m。
方法三：图像分析法
在同一坐标系中画出两车的v -t图像，如图所示
由图像可知，当赛车速度等于服务车速度时，两车相距最远，由v0＝a1t＝10 m/s得t＝5 s时两车相距最远，则追上之前两车的最大距离Δxmax＝v0t－t＋x0＝(10×5－×5＋200) m＝225 m。
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拓展变式.若当赛车刚追上服务车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(假设赛车可以从服务车旁经过而不相碰，用情境分析法和图像分析法两种方法解题)
答案：20 s
解析：方法一：情境分析法
设再经时间t3两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得vt3－a2＝v0t3，解得t3＝15 s
赛车停下来的时间t'＝＝ s＝10 s
所以t3＝15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间t4两车第二次相遇，应满足＝v0t4，解得t4＝20 s。
方法二：图像分析法
赛车和安全车的v -t图像如图。
由图知t＝10 s，赛车停下时，服务车的位移小于赛车的位移，由v0t4＝，得t4＝20 s。
(2026·山东泰安高三期末)A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度vA＝4 m/s，B车的速度vB＝10 m/s。当B车运动至A车前方L＝7 m处时，B车刹车并以a＝－2 m/s2的加速度开始做匀减速直线运动。求：
(1)从该时刻开始计时，A车追上B车需要的时间；
(2)在A车追上B车之前，二者之间的最大距离。
答案：(1)8 s　(2)16 m
解析：(1)假设A车追上B车时，B车还没停止运动，设t'时间内A车追上B车，如图所示。根据题意，A车追上B车时，有xA＝xB＋L
A车的位移是xA＝vAt'
B车的位移是xB＝vBt'＋at'2
联立解得t'＝7 s
B车停下来所用时间tB＝＝ s＝5 s
比较t'和tB可知，A车是在B车停止运动后才追上B车的，因此7 s不是A车追上B车的时间，设A车追上B车的时间为t，即xA＝vAt
B车实际运动时间应为tB，即xB＝vBtB＋a
且xA＝xB＋L
联立解得t＝8 s。
(2)在A车追上B车之前，当二者速度相等时，二者之间有最大距离Δxmax，设此时两车运动时间为t0，有vA＝vB＋at0
代入数据解得t0＝3 s
则此时A的位移xA'＝vAt0
B的位移xB'＝vBt0＋a
故二者之间的最大距离Δxmax＝xB'＋L－xA'
联立解得Δxmax＝16 m。
分析追及相遇问题的常用方法
情境 分析 法 初始时刻，物体A在物体B后x0处，物体A向前做速度为vA的匀速直线运动追赶物体B，物体B向前做初速度为vB0的匀加速直线运动，物体B能达到的最大速度为vBm，且vBm＞vA＞vB0。 追及情境判断：当vB＝vA时 (1)若xA＞xB＋x0，则一定能追上 (2)若xA＝xB＋x0，则恰好追上 (3)若xA＜xB＋x0，则一定追不上
函数 分析 法 设运动时间为t，列出两个物体的位移方程，得到二者之间的距离Δx与时间t的函数关系式Δx＝at2＋bt＋c，其中a、b、c均为常数，当Δx＝0时，表示两者相遇。设Δ＝b2－4ac： (1)若Δ＞0，即t有两个解，说明可以相遇两次 (2)若Δ＝0，即t有一个解，说明刚好追上或相遇一次 (3)若Δ＜0，即t无解，说明追不上或不能相遇 当t＝－(t＞0)时，函数有极值，说明两者之间的距离有最大值或最小值 特别提醒：若为避免车辆相撞类问题，则Δ＞0时相撞，Δ＝0时恰好不相撞，Δ＜0时不相撞
图像 分析 法 将两个物体运动的v -t图像或x -t图像画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解相关问题。注意x -t图像的交点表示相遇，在v -t图像中应根据速度相等时对应的“面积”关系寻找位移关系
图像中的追及相遇问题
1.运动图像中的追及相遇问题
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。
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2.利用v -t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情境中可根据两个物体的运动状态作出v -t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。
3.若为x -t图像，注意交点的意义，图线相交即代表两物体相遇；若为a -t图像，可转化为v -t图像进行分析。
(2026·山东德州月考)物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为v0＝30 m/s，A车在前、B车在后，两车相距100 m，其传感器读数与时间的函数关系图像分别如图甲、乙所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是(　　)
A.t＝3 s时两车间距离为25 m
B.3～9 s内，A车的加速度大于B车的加速度
C.两车最近距离为10 m
D.0～9 s内两车相遇一次
答案：C
解析：在0～3 s内A车做匀减速运动，A车减速到零所需时间tA＝＝3 s，故在t＝3 s时A车减速到零，A车前进的位移为xA＝tA＝45 m，B车前进的位移为xB＝v0tA＝90 m，t＝3 s时两车间距离为Δx＝d＋xA－xB＝55 m，故A错误；由题图可知在3～9 s内A车的加速度为aA2＝5 m/s2，v -t图像的斜率表示加速度，则aB＝＝－5 m/s2，则A、B两车的加速度大小相等，故B错误；t＝3 s后，A车开始由静止做匀加速运动，B车开始做匀减速运动，3～9 s的过程中，设经历时间t'两者速度相同，则v共＝aA2t'＝v0＋aBt'，解得t'＝3 s，v共＝15 m/s，A车在3～6 s内前进的位移为x1＝t'＝22.5 m，B车前进的位移为x2＝t'＝67.5 m，故两车相距的最小距离Δxmin＝Δx＋x1－x2＝10 m，此后A车的速度大于B车的速度，两者间的距离开始增大，不可能再相遇，故C正确，D错误。
课时测评4　运动学图像　追及相遇问题
(时间：30分钟　满分：60分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－11，每题4分，共44分)
题组1　运动学图像问题
1.(2025·福建厦门三模)小厦同学参加折返跑比赛，从静止开始由起点出发跑到距起点30米处的折返点，再跑回起点，则该同学运动过程中位移x与时间t的关系图像可能是(　　)
答案：C
解析：折返跑比赛的初始位移为零，末位移也为零，故B错误；一个时刻不可能对应两个位移，故D错误；从静止开始运动，则t＝0时刻速度为零，即t＝0时刻x -t图像切线与时间轴平行，故A错误，C可能正确。故选C。
2.(2026·河南模拟)一质点沿x轴运动，其位置坐标x随时间t的变化图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.在0～2 s内，质点的位移大小为10 m
B.在4 s时，质点的速度方向改变
C.在2～5 s内，质点的平均速度大小为1 m/s
D.在0～5 s内，质点的平均速率为2.2 m/s
答案：D
解析：由题图可知，在0～2 s内，质点的位移大小为x＝6 m－4 m＝2 m，故A错误；x -t图像的斜率代表速度，则在4 s时速度方向未改变，故B错误；在2～5 s内，质点的位移大小为x'＝｜－3－6｜ m＝9 m，平均速度大小为＝＝ m/s＝3 m/s，故C错误；在0～5 s内，质点的路程为s＝2 m＋9 m＝11 m，平均速率为'＝＝ m/s＝2.2 m/s，故D正确。
3.某次无人机灯火秀表演中一架无人机在一段时间内沿竖直方向运动，通过传感器获得其速度与时间关系如图所示，以竖直向上为正方向。下列说法正确的是(　　)
A.1～2 s时间内无人机匀速直线上升，2 s末开始下降
B.3 s末无人机上升到最高点
C.0～6 s时间内无人机的总位移为9 m
D.3～4.5 s时间内无人机处于超重状态
答案：B
解析：以竖直向上为正方向，0～3 s时间内速度均为正值，无人机均在上升，其中1～2 s时间内匀速上升，2 s末开始减速上升，故A错误；0～3 s时间内，无人机均在上升，3 s末无人机开始下降，则3 s末无人机上升到最高点，故B正确；速度—时间图线与横轴所围面积表示位移，故0～6 s时间内无人机的总位移为××1 m＋××2 m－×3×3 m＝0，故C错误；3～4.5 s时间内速度—时间图线的斜率为负值，加速度竖直向下，无人机处于失重状态，故D错误。故选B。
4.(2026·甘肃模拟)如图为某位跳水运动员在3米板的跳水过程中重心的位移—时间图像。取该运动员离开跳板的时刻为零时刻，位置坐标为零，其中OPQ为抛物线，R为运动员的最低点，取竖直向下为正方向，忽略入水时间，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.运动员在O →Q过程中做自由落体运动
B.运动员在P→Q过程中加速度增大
C.运动员在t2时刻刚好接触到水面
D.运动员在Q →R过程中先向下减速运动后静止
答案：D
解析：由题图可知，运动员在O→Q过程中做竖直上抛运动，加速度恒定，故A、B错误；运动员在t3时刻刚好接触到水面，故C错误；运动员在Q→R过程中，图线的斜率先减小，后变为零保持不变，故速度先减小，减为零后静止，故D正确。
题组2　追及相遇问题
5.甲、乙两物体在两地同时同向出发做匀加速直线运动，出发时甲的初速度为2 m/s，乙的初速度为1 m/s，运动时甲的加速度为2 m/s2，乙的加速度为4 m/s2，已知甲、乙在2 s时恰好相遇，下列说法正确的是(　　)
A.从出发到相遇，甲的位移为6 m
B.在2 s后，若甲、乙保持加速度不变，则会再次相遇
C.甲与乙出发地之间的距离为4 m
D.相遇之前，甲与乙在t＝0.5 s时相距最远
答案：D
解析：由v＝v0＋at可得，2 s时甲的速度v甲＝6 m/s，同理可得，2 s时乙的速度v乙＝9 m/s，又乙的加速度大于甲的加速度，可知2 s后乙的速度始终大于甲的速度，不会再次相遇，B错误；由x＝v0t＋at2可得，从出发到相遇甲、乙的位移分别为x甲＝8 m，x乙＝10 m，则甲与乙出发地之间的距离为x乙－x甲＝2 m，A、C错误；分析可知甲、乙速度相等时相距最远，由v甲0＋a甲t＝v乙0＋a乙t可得，t＝0.5 s时甲、乙相距最远，D正确。
6.如图所示，在某次比赛中，可看成质点的甲、乙两汽车模型在同一直线上运动，相距x＝8 m，甲以v甲＝5 m/s的速度向右匀速运动，已知关闭电源的乙此时的速度v乙＝12 m/s，向右做匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，那么甲追上乙所用的时间为(　　)
A. s B.8 s
C.8.8 s D. s
答案：C
解析：乙速度减为0的时间t1＝＝ s＝6 s，此时乙的位移x乙＝＝ m＝36 m，甲的位移x甲＝v甲t1＝5×6 m＝30 m，由于x甲＜x乙＋x，可知乙速度为0时，甲还未追上乙，则继续追赶的时间t2＝＝ s＝2.8 s，甲追上乙的时间t＝t1＋t2＝8.8 s。故选C。
7.(多选)(2026·陕西汉中二模)t＝0时刻起，A、B两物体从同一位置同时向同一方向运动，其速度与位移变化的关系图像如图所示，物体A的图线为平行于横轴的直线，物体B的图线为顶点在原点O、开口向右的抛物线。下列说法正确的是(　　)
A.物体A做匀减速直线运动
B.物体B做匀加速直线运动
C.t＝4 s时两物体的速度相同
D.t＝4 s时两物体相遇
答案：BD
解析：物体A的图线为平行于横轴的直线，物体A做速度大小为v0＝4 m/s的匀速直线运动，故A错误；物体B的图线为顶点在原点O、开口向右的抛物线，所以物体B的速度与位移的关系式为x＝，结合题图可得a＝2 m/s2，所以物体B由静止开始做匀加速直线运动，故B正确；设A、B两物体在t1时刻速度相等，则有v0＝at1，解得t1＝2 s，故C错误；设A、B两物体在t2时刻相遇，则有v0t2＝a，解得t2＝4 s，故D正确。
8.(2026·河南十校教研联盟模拟)甲、乙两辆电动小汽车在水平路面上做直线运动。位移与时间的图像如图所示，已知0至t0时间内，甲的速度是乙速度的2倍，且甲在2t0至3t0时间内的速度与0至t0时间内的速度相等，下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙在2t0时刻相遇
B.0～3t0时间内，甲的平均速度大于乙的平均速度
C.0～t0时间内，甲的速度为
D.2t0～3t0时间内，甲的位移3x0
答案：C
解析：甲、乙在3t0时刻相遇，0～3t0时间内，甲、乙的平均速度相等，故A、B错误；由题图可知，0～t0时间内乙的速度为v乙＝，则v甲＝2v乙＝，故C正确；2t0～3t0时间内，甲的速度仍为v甲＝，则2t0～3t0时间内，甲的位移为x＝v甲t0＝2x0，故D错误。
9.(2026·山东青岛高三期末)在一平直路面上，甲、乙两车做匀变速直线运动，其速度与时间的关系图像如图。t＝0时刻，乙车在甲车前方15 m处。则下列说法正确的是(　　)
A.t＝2 s时刻，甲车刚好追上乙车
B.t＝4 s时刻，甲车刚好追上乙车
C.乙车的加速度大小大于甲车的加速度大小
D.0～4 s过程中甲、乙两车之间的距离先增大后减小
答案：A
解析：由v -t图像与横轴所围面积表示位移，可知在t＝2 s时刻，甲车比乙车多走的距离为Δx＝×(20－5)×2 m＝15 m，因为Δx＝x0＝15 m，则此时甲车刚好追上乙车，A正确，B错误；由v -t图像的斜率表示加速度，可知a甲＝ m/s2＝－5 m/s2，a乙＝ m/s2＝2.5 m/s2，所以乙车的加速度大小小于甲车的加速度大小，C错误；0～2 s内两车距离减小，2 s后甲车速度小于乙车速度，两车距离又增大，故0～4 s过程中甲、乙两车之间的距离先减小后增大，D错误。
10.(2026·陕西西安模拟)甲、乙两小车在相邻轨道上做直线运动、它们的速度—时间图像如图所示。已知甲的图线为抛物线，则下列判断正确的是(　　)
A.t＝2 s时两车一定不相遇
B.t＝2 s时甲的加速度大小大于乙的加速度大小
C.0～4 s内甲的平均速度大于2.5 m/s
D.0～2 s内甲的位移大于乙的位移
答案：C
解析：由于t＝0时两车的位置未知，所以t＝2 s时两车可能相遇，故A错误；根据速度—时间图像的斜率表示加速度可知，t＝2 s时甲的加速度大小为a1＝0，乙的加速度大小为a2＝＝ m/s2＝1.25 m/s2＞a1，故B错误；0～4 s内乙做匀减速直线运动，其平均速度大小为＝ m/s＝2.5 m/s，根据速度—时间图线与横轴所围的面积表示位移可知，0～4 s内甲的位移大于乙的位移，由＝知0～4 s内甲的平均速度大于2.5 m/s，故C正确；0～2 s内甲的位移小于乙的位移，故D错误。
11.(2026·山西临汾模拟)甲、乙两辆汽车沿同一平直公路做直线运动，其运动的x -t 图像如图所示。其中甲的图像是一条倾斜直线，乙的图像是一段抛物线，且在t0时刻乙图像的切线与甲的图像平行。图中的坐标均为已知量，下列说法正确的是(　　)
A.乙的初速度为
B.乙的初速度为
C.乙的加速度为
D.4t0时刻，甲、乙间的距离为x0
答案：D
解析：x -t图像的斜率表示速度，甲做匀速运动的速度v1＝＝，乙先做匀减速运动，设加速度大小为a，在t0时刻甲、乙共速，则对乙有v1＝v0－at0，在2t0时刻乙的速度减为零，则0＝v0－2at0，解得v0＝，a＝，选项A、B、C错误；4t0时刻，乙回到出发点，甲的位移x甲＝v1·4t0＝2x0，甲、乙间的距离为s＝x甲＋x0＝x0，选项D正确。
12.(16分)一辆汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶，经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
答案：(1)5 m/s2　(2) 1 m/s2
解析：初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m。
(1)设汽车的加速度大小为a，在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距
d'＝d－(v汽－v自)t0＝10 m
从汽车刹车开始计时，设经过时间t汽车速度与自行车速度相等，则v汽－at＝v自
自行车的位移为x自＝v自t
汽车的位移为x汽＝v汽t－at2
假设二者恰好不相撞，此时有x汽＝x自＋d'
联立解得a＝5 m/s2
即汽车的加速度大小至少为5 m/s2。
(2)设自行车加速度至少为a'，同理可得
v汽－a1t'＝v自＋a't'，x汽'＝x自'＋d'
x汽'＝v汽t'－a1t'2，x自'＝v自t'＋a't'2
联立解得a'＝1 m/s2
即自行车的加速度大小至少为1 m/s2。(共69张PPT)
专题提升一　运动学图像　追及相遇问题
高三总复习讲义　新高考
第一章 运动的描述　匀变速直线运动
1.理解运动学图像的特点，学会处理运动学图像问题。
2.理解追及相遇问题的特点及规律，学会处理追及相遇问题。
学习目标
提升点一　运动学图像问题
提升点二 追及相遇问题
课时测评
内容索引
运动学图像问题
提升点一
考向1 常规运动学图像
对常规运动学图像的理解
图像 x -t图像 v -t图像
意义 图像表示位移随时间的变化规律，不是物体运动的轨迹 图像表示速度随时间变化规律，不是物体运动的轨迹
斜率 各点切线斜率表示对应时刻的速度 各点切线斜率表示对应时刻的加速度
纵截距 初位置 初速度
面积 无实际意义 图像与时间轴所围面积表示位移
交点 表示相遇 表示速度相同
拐点 表示速度方向改变 表示加速度方向改变
A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图像如图所示，其中A是顶点过原点的抛物线的一部分，B是过点(0，3 m)的一条直线，两图线相交于坐标为(3 s，9 m)的P点，则下列说法不正确的是
A.质点A做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动
B.质点B以2 m/s的速度做匀速直线运动
C.在前3 s内，质点A比B向前多前进了9 m
D.在0～3 s内的某时刻质点A、B速度相等
√
例1
质点A的初速度为零，运动方程为x＝at2，又过点(3 s，9 m)，则加速度a＝2 m/s2，故A正确；x -t图线的斜率表示速度，故质点B做匀速直线运动，质点B的速度为v＝＝2 m/s，故B正确；在前3 s内，质点B的位移为6 m，质点A的位移为9 m，质点A比B向前多前进了3 m，故C错误；t＝1 s时，质点A的速度为2 m/s，质点B以v＝2 m/s的速度做匀速直线运动，即t＝1 s时，质点A、B速度相等，故D正确。故选C。
(2025·福建高考·T14)某运动员进行游泳训练，他的运动为直线运动，运动的v -t图像如图所示，各阶段图像均为直线。求：
(1)运动员0～2 s内的平均速度大小；
例2
答案：2.4 m/s　
由题图可知，0～2 s内运动员做匀减速直线运动由匀变速直线运动平均速度公式可得该时间内的平均速度＝＝2.4 m/s。
(2)运动员44.2～46.2 s内的加速度大小；
答案：0.1 m/s2　
由题图可知，44.2～46.2 s内运动员做匀加速直线运动由加速度定义可得该段时间内的加速度大小a＝＝0.1 m/s2。
(3)运动员44.2～46.2 s内的位移大小。
答案：4.2 m
v -t图像与坐标轴所围面积表示位移的大小，则44.2～46.2 s内运动员的位移大小为x＝ m＝4.2 m。
针对练.(2026·山西一模)两质点甲和乙，从同一位置同时沿同一方向在水平面内做直线运动，甲的位移与时间图像(x -t图像)和乙的速度与时间图像(v -t图像)分别如图甲、乙所示，在0～8 s时间内，下列说法正确的是
A.6 s时，甲离出发点最远
B.6 s时，乙回到出发点
C.0～2 s内，甲与乙的平均速度相同
D.4～6 s内，甲与乙的平均速度相同
√
由x -t图像知，6 s时甲回到了出发点，故A错误；由v -t图线与横轴围成的面积表示位移知，6 s时乙的位移x2＝ m＝6 m，故B错误；0～2 s内，甲的平均速度＝＝ m/s＝0.5 m/s，乙的平均速度＝＝ m/s＝0.5 m/s，故C正确；4～6 s内，甲的平均速度＝ m/s＝－1 m/s，乙的平均速度＝ m/s＝1 m/s，故D错误。故选C。
考向2 非常规运动学图像
对于非常规运动学图像，可由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的斜率、截距、面积的含义。常见以下几种图像：
图像种类 示例 分析思路
-t图像 由x＝v0t＋at2得＝v0＋at，图像的斜率k＝a，纵轴截距为初速度v0
v2-x图像 由v2－＝2ax得v2＝2ax＋，图像的斜率k＝2a，纵轴截距为
a -t图像 由Δv＝aΔt可知图线与t轴所围面积表示速度的变化量 纵轴截距表示初始加速度a0
(2026·南京模拟)一物体从t＝0时刻开始沿直线运动，运动时间为t时，对应的位移为x，规定向右为正方向，其 -t图像如图所示，则下列说法正确的是
A.t＝0时，物体的初速度大小为3 m/s
B.物体的加速度大小为3 m/s2
C.0～2 s内，物体的位移为6 m
D.3 s末，物体位于出发点左侧9 m处
√
例3
根据匀变速直线运动的公式x＝v0t＋at2，变形得到＝at＋v0，结合题图可知v0＝6 m/s，a＝－6 m/s2，故A、B错误；根据x＝v0t＋at2可知，在0～2 s内，物体的位移为x1＝6×2 m＋×(－6)×22 m＝0，故C错误；根据x＝v0t＋at2可知，在0～3 s内，物体的位移为x2＝6×3 m＋×(－6)×32 m＝－9 m，即3 s末，物体位于出发点左侧9 m处，故D正确。故选D。
解答非常规运动学图像问题的技巧
1.图像反映了两个物理量之间的函数关系，因此首先要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系式，再分析图像的斜率、截距、面积等的物理意义。
2.注意把处理常规图像问题的思想方法加以迁移应用，必要时可将非常规图像所反映的物理过程转换为常见的x -t或v -t 图像进行有关分析。
总结提升
针对练1.(多选)(2023·湖北卷·T8)t＝0时刻，质点P从原点由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化，周期为2t0。在0～3t0时间内，下列说法正确的是
A.t＝2t0时，P回到原点
B.t＝2t0时，P的运动速度最小
C.t＝t0时，P到原点的距离最远
D.t＝t0时，P的运动速度与t＝t0时相同
√
√
a -t图像中图线与时间轴围成的面积表示速度大小，故利用a-t图像画出v -t图像如图所示，可知B、D正确；v -t图像中图线与时间轴围成的面积表示位移，可知t＝2t0时质点P不在原点，t＝3t0时离原点最远，A、C错误。故选BD。
针对练2.(2026·河北邯郸模拟)2025年2月，我国自主研发的“天工”机器人以多项全球首创技术引发国际关注。如图为“天工”机器人从零时刻起做匀减速运动直至停下的x -v2关系图像。下列说法正确的是
A.“天工”机器人共减速运动了9 s
B.1.5 s末“天工”机器人的加速度大小为1 m/s2
C.2 s末“天工”机器人的速度大小为1.5 m/s
D.“天工”机器人从零时刻起运动5 m耗时2 s
√
根据匀变速直线运动速度与位移关系式v2－＝2ax，
可得x＝－，结合题图可得斜率k＝＝－1 s2/m，
纵截距b＝－＝9 m，可得v0＝3 m/s，a＝－0.5 m/s2 ，
“天工”机器人共减速运动了t＝＝6 s，A、B错误；根据匀变速直线运动规律可知，2 s末“天工”机器人的速度为v＝v0＋at2＝2 m/s，C错误；“天工”机器人运动5 m时，由x＝v0t'＋at'2＝5 m，解得t'＝2 s或t'＝10 s＞6 s(舍去)，D正确。故选D。
考向2 运动学图像的转化
如图甲所示是某质点运动的速度v随时间t变化的图像。
(1)求在0～1 s内，质点的加速度大小，并在图乙中画出质点的加速度a随时间t变化的图像；
例4
答案：4 m/s2　
在0～1 s内，质点的加速度大小为a1＝＝4 m/s2加速度a随时间t变化的图像如图所示。
(2)求在0～3 s内，质点发生的位移大小与通过的路程，并在图丙中大致画出质点的位移x随时间t变化的图像。
答案：2 m　6 m　
根据v -t图像可知：在0～1 s内，质点做初速度为零的匀加速直线运动，质点发生的位移为x1＝a1＝×4×12 m＝2 m；在1～2 s内，质点做初速度为
4 m/s的匀减速直线运动，质点发生的位移为x2＝＝ m＝2 m；在2～3 s内，质点做初速度为零的反向匀加速直线运动，质点发生的位移为x3＝a2＝－×4×12 m＝－2 m。在0～3 s内，质点发
生的位移大小x＝x1＋x2＋x3＝2 m
在0～3 s内，质点通过的路程s＝x1＋x2＋｜x3｜＝6 m
大致描点作图，位移x随时间t变化的图像如图所示。
解决运动学图像转化类问题的一般流程
注意：对于作图类转换题，作图时要看准坐标轴的意义和单位；对于选择图像类转换题，要注意解析法和排除法的结合。
总结提升
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追及相遇问题
提升点二
考向1 分析追及相遇问题的常用方法
1.追及相遇问题的实质：分析两物体能否在同一时刻到达同一位置。
2.追及相遇问题的“一个临界条件”和“两个关系”
(1)一个临界条件：“速度相等”往往是两个物体能否追上、两者间距离最大或者最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点。
(2)两个关系：两个物体的运动时间关系(是否同时出发)和位移关系(是否有初始距离)，通过画运动草图找出两物体的位移关系往往是解题的突
破口。
某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一辆服务车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求：
(1)赛车追上服务车所需的时间及追上服务车时的速度大小；
例5
答案：20 s　40 m/s
设经t1时间追上服务车，由位移关系得
v0t1＋200 m＝a1，解得t1＝20 s
此时赛车的速度大小
v＝a1t1＝2×20 m/s＝40 m/s。
(2)追上之前两车的最大距离。
答案：225 m
方法一：情境分析法
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t2得两车速度相等时，经过的时间
t2＝＝ s＝5 s
追上之前两车的最大距离Δxmax＝v0t2＋x0－a1＝ m＝225 m。
方法二：函数分析法
Δx＝v0t＋x0－a1t2＝10t＋200－t2(m)
当t＝－ s＝5 s时，Δx有极大值，两车相距最远，
将t＝5 s代入解得Δxmax＝225 m。
方法三：图像分析法
在同一坐标系中画出两车的v -t图像，如图所示
由图像可知，当赛车速度等于服务车速度时，两车相距最远，由v0＝a1t＝10 m/s得t＝5 s时两车相距最远，则追上之前两车的最大距离Δxmax＝v0t－t＋x0＝(10×5－×5＋200) m＝225 m。
拓展变式.若当赛车刚追上服务车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(假设赛车可以从服务车旁经过而不相碰，用情境分析法和图像分析法两种方法解题)
答案：20 s
方法一：情境分析法
设再经时间t3两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得vt3－a2＝v0t3，解得t3＝15 s
赛车停下来的时间t'＝＝ s＝10 s
所以t3＝15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间t4两车第二次相遇，应满足＝v0t4，解得t4＝20 s。
方法二：图像分析法
赛车和安全车的v -t图像如图。
由图知t＝10 s，赛车停下时，服务车的位移小于赛车的位移，由v0t4＝，得t4＝20 s。
(2026·山东泰安高三期末)A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度vA＝4 m/s，B车的速度vB＝10 m/s。当B车运动至A车前方L＝7 m处时，B车刹车并以a＝－2 m/s2的加速度开始做匀减速直线运动。求：
(1)从该时刻开始计时，A车追上B车需要的时间；
例6
答案：8 s
假设A车追上B车时，B车还没停止运动，设t'时间内A车追上B车，如图所示。根据题意，A车追上B车时，有xA＝xB＋L
A车的位移是xA＝vAt'
B车的位移是xB＝vBt'＋at'2
联立解得t'＝7 s
B车停下来所用时间tB＝＝ s＝5 s
比较t'和tB可知，A车是在B车停止运动后才追上B车的，因此7 s不是A车追上B车的时间，设A车追上B车的时间为t，即xA＝vAt
B车实际运动时间应为tB，即xB＝vBtB＋a
且xA＝xB＋L
联立解得t＝8 s。
(2)在A车追上B车之前，二者之间的最大距离。
答案：16 m
在A车追上B车之前，当二者速度相等时，二者之间有最大距离Δxmax，设此时两车运动时间为t0，有vA＝vB＋at0
代入数据解得t0＝3 s
则此时A的位移xA'＝vAt0
B的位移xB'＝vBt0＋a
故二者之间的最大距离Δxmax＝xB'＋L－xA'
联立解得Δxmax＝16 m。
分析追及相遇问题的常用方法
总结提升
情境 分析 法 初始时刻，物体A在物体B后x0处，物体A向前做速度为vA的匀速直线运动追赶物体B，物体B向前做初速度为vB0的匀加速直线运动，物体B能达到的最大速度为vBm，且vBm＞vA＞vB0。
追及情境判断：当vB＝vA时
(1)若xA＞xB＋x0，则一定能追上
(2)若xA＝xB＋x0，则恰好追上
(3)若xA＜xB＋x0，则一定追不上
总结提升
函数 分析 法 设运动时间为t，列出两个物体的位移方程，得到二者之间的距离Δx与时间t的函数关系式Δx＝at2＋bt＋c，其中a、b、c均为常数，当Δx＝0时，表示两者相遇。设Δ＝b2－4ac：
(1)若Δ＞0，即t有两个解，说明可以相遇两次
(2)若Δ＝0，即t有一个解，说明刚好追上或相遇一次
(3)若Δ＜0，即t无解，说明追不上或不能相遇
当t＝－(t＞0)时，函数有极值，说明两者之间的距离有最大值或最小值
特别提醒：若为避免车辆相撞类问题，则Δ＞0时相撞，Δ＝0时恰好不相撞，Δ＜0时不相撞
总结提升
图像 分析法 将两个物体运动的v -t图像或x -t图像画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解相关问题。注意x -t图像的交点表示相遇，在v -t图像中应根据速度相等时对应的“面积”关系寻找位移关系
考向2 图像中的追及相遇问题
1.运动图像中的追及相遇问题
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。
2.利用v -t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情境中可根据两
个物体的运动状态作出v -t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。
3.若为x -t图像，注意交点的意义，图线相交即代表两物体相遇；若为a -t图像，可转化为v -t图像进行分析。
(2026·山东德州月考)物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为v0＝30 m/s，A车在前、B车在后，两车相距100 m，其传感器读数与时间的函数关系图像分别如图甲、乙所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是
A.t＝3 s时两车间距离为25 m
B.3～9 s内，A车的加速度大于B车的加速度
C.两车最近距离为10 m
D.0～9 s内两车相遇一次
√
例7
在0～3 s内A车做匀减速运动，A车减速到零所需时间tA＝＝3 s，故在t＝3 s时A车减速到零，A车前进的位移为xA＝tA＝45 m，B车前进的位移为xB＝v0tA＝90 m，t＝3 s时两车间距离为Δx＝d＋xA－xB＝
55 m，故A错误；由题图可知在3～9 s内A车的加速度为aA2＝5 m/s2，
v -t图像的斜率表示加速度，则aB＝＝－5 m/s2，则A、B两车的加速度大小相等，故B错误；
t＝3 s后，A车开始由静止做匀加速运动，B车开始做匀减速运动，3～9 s的过程中，设经历时间t'两者速度相同，则v共＝aA2t'＝v0＋aBt'，解得t'＝3 s，
v共＝15 m/s，A车在3～6 s内前进的位移为x1＝t'＝22.5 m，B车前进的位移为x2＝t'＝67.5 m，故两车相距的最小距离Δxmin＝Δx＋x1－x2＝
10 m，此后A车的速度大于B车的速度，两者间的距离开始增大，不可能再相遇，故C正确，D错误。
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课 时 测 评
题组1　运动学图像问题
1.(2025·福建厦门三模)小厦同学参加折返跑比赛，从静止开始由起点出发跑到距起点30米处的折返点，再跑回起点，则该同学运动过程中位移x与时间t的关系图像可能是
√
折返跑比赛的初始位移为零，末位移也为零，故B错误；一个时刻不可能对应两个位移，故D错误；从静止开始运动，则t＝0时刻速度为零，即t＝0时刻x -t图像切线与时间轴平行，故A错误，C可能正确。故选C。
2.(2026·河南模拟)一质点沿x轴运动，其位置坐标x随时间t的变化图像如图所示，则下列说法正确的是
A.在0～2 s内，质点的位移大小为10 m
B.在4 s时，质点的速度方向改变
C.在2～5 s内，质点的平均速度大小为1 m/s
D.在0～5 s内，质点的平均速率为2.2 m/s
√
由题图可知，在0～2 s内，质点的位移大小为x＝6 m
－4 m＝2 m，故A错误；x -t图像的斜率代表速度，则
在4 s时速度方向未改变，故B错误；在2～5 s内，质点
的位移大小为x'＝｜－3－6｜ m＝9 m，平均速度大小
为＝＝ m/s＝3 m/s，故C错误；在0～5 s内，质点的路程为s＝2 m＋9 m＝11 m，平均速率为'＝＝ m/s＝2.2 m/s，故D正确。
3.某次无人机灯火秀表演中一架无人机在一段时间内沿竖直方向运动，通过传感器获得其速度与时间关系如图所示，以竖直向上为正方向。下列说法正确的是
A.1～2 s时间内无人机匀速直线上升，2 s末开始下降
B.3 s末无人机上升到最高点
C.0～6 s时间内无人机的总位移为9 m
D.3～4.5 s时间内无人机处于超重状态
√
以竖直向上为正方向，0～3 s时间内速度均为正值，无人
机均在上升，其中1～2 s时间内匀速上升，2 s末开始减速
上升，故A错误；0～3 s时间内，无人机均在上升，3 s末
无人机开始下降，则3 s末无人机上升到最高点，故B正确；
速度—时间图线与横轴所围面积表示位移，故0～6 s时间内无人机的总位移为××1 m＋××2 m－×3×3 m＝0，故C错误；3～4.5 s时间内速度—时间图线的斜率为负值，加速度竖直向下，无人机处于失重状态，故D错误。故选B。
4.(2026·甘肃模拟)如图为某位跳水运动员在3米板的跳水过程中重心的位移—时间图像。取该运动员离开跳板的时刻为零时刻，位置坐标为零，其中OPQ为抛物线，R为运动员的最低点，取竖直向下为正方向，忽略入水时间，不计空气阻力。下列说法正确的是
A.运动员在O →Q过程中做自由落体运动
B.运动员在P→Q过程中加速度增大
C.运动员在t2时刻刚好接触到水面
D.运动员在Q →R过程中先向下减速运动后静止
√
由题图可知，运动员在O→Q过程中做竖直上抛运动，加速度恒定，故A、B错误；运动员在t3时刻刚好接触到水面，故C错误；运动员在Q→R过程中，图线的斜率先减小，后变为零保持不变，故速度先减小，减为零后静止，故D正确。
题组2　追及相遇问题
5.甲、乙两物体在两地同时同向出发做匀加速直线运动，出发时甲的初速度为2 m/s，乙的初速度为1 m/s，运动时甲的加速度为2 m/s2，乙的加速度为4 m/s2，已知甲、乙在2 s时恰好相遇，下列说法正确的是
A.从出发到相遇，甲的位移为6 m
B.在2 s后，若甲、乙保持加速度不变，则会再次相遇
C.甲与乙出发地之间的距离为4 m
D.相遇之前，甲与乙在t＝0.5 s时相距最远
√
由v＝v0＋at可得，2 s时甲的速度v甲＝6 m/s，同理可得，2 s时乙的速度v乙＝9 m/s，又乙的加速度大于甲的加速度，可知2 s后乙的速度始终大于甲的速度，不会再次相遇，B错误；由x＝v0t＋at2可得，从出发到相遇甲、乙的位移分别为x甲＝8 m，x乙＝10 m，则甲与乙出发地之间的距离为x乙－x甲＝2 m，A、C错误；分析可知甲、乙速度相等时相距最远，由v甲0＋a甲t＝v乙0＋a乙t可得，t＝0.5 s时甲、乙相距最远，D正确。
6.如图所示，在某次比赛中，可看成质点的甲、乙两汽车模型在同一直线上运动，相距x＝8 m，甲以v甲＝5 m/s的速度向右匀速运动，已知关闭电源的乙此时的速度v乙＝12 m/s，向右做匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，那么甲追上乙所用的时间为
A. s
B.8 s
C.8.8 s
D. s
√
乙速度减为0的时间t1＝＝ s＝6 s，此时乙的位移x乙＝＝ m＝36 m，甲的位移x甲＝v甲t1＝5×6 m＝30 m，由于x甲＜x乙＋x，可知乙速度为0时，甲还未追上乙，则继续追赶的时间t2＝＝ s＝2.8 s，甲追上乙的时间t＝t1＋t2＝8.8 s。故选C。
7.(多选)(2026·陕西汉中二模)t＝0时刻起，A、B两物体从同一位置同时向同一方向运动，其速度与位移变化的关系图像如图所示，物体A的图线为平行于横轴的直线，物体B的图线为顶点在原点O、开口向右的抛物线。下列说法正确的是
A.物体A做匀减速直线运动
B.物体B做匀加速直线运动
C.t＝4 s时两物体的速度相同
D.t＝4 s时两物体相遇
√
√
物体A的图线为平行于横轴的直线，物体A做速度大小为v0＝4 m/s的匀速直线运动，故A错误；物体B的图线为顶点在原点O、开口向右的抛物线，所以物体B的速度与位移的关系式为x＝，结合题图可得a＝2 m/s2，所以物体B由静止开始做匀加速直线运动，故B正确；设A、B两物体在t1时刻速度相等，则有v0＝at1，解得t1＝2 s，故C错误；设A、B两物体在t2时刻相遇，则有v0t2＝a，解得t2＝4 s，故D正确。
8.(2026·河南十校教研联盟模拟)甲、乙两辆电动小汽车在水平路面上做直线运动。位移与时间的图像如图所示，已知0至t0时间内，甲的速度是乙速度的2倍，且甲在2t0至3t0时间内的速度与0至t0时间内的速度相等，下列说法正确的是
A.甲、乙在2t0时刻相遇
B.0～3t0时间内，甲的平均速度大于乙的平均速度
C.0～t0时间内，甲的速度为
D.2t0～3t0时间内，甲的位移3x0
√
甲、乙在3t0时刻相遇，0～3t0时间内，甲、乙的平均速度相等，故A、B错误；由题图可知，0～t0时间内乙的速度为v乙＝，则v甲＝2v乙＝，故C正确；2t0～3t0时间内，甲的速度仍为v甲＝，则2t0～3t0时间内，甲的位移为x＝v甲t0＝2x0，故D错误。
9.(2026·山东青岛高三期末)在一平直路面上，甲、乙两车做匀变速直线运动，其速度与时间的关系图像如图。t＝0时刻，乙车在甲车前方15 m处。则下列说法正确的是
A.t＝2 s时刻，甲车刚好追上乙车
B.t＝4 s时刻，甲车刚好追上乙车
C.乙车的加速度大小大于甲车的加速度大小
D.0～4 s过程中甲、乙两车之间的距离先增大后减小
√
由v -t图像与横轴所围面积表示位移，可知在t＝2 s时刻，甲车比乙车多走的距离为Δx＝×(20－5)×2 m＝15 m，因为Δx＝x0＝15 m，则此时甲车刚好追上乙车，A正确，B错误；
由v -t图像的斜率表示加速度，可知a甲＝ m/s2＝－5 m/s2，a乙
＝ m/s2＝2.5 m/s2，所以乙车的加速度大小小于甲车的加速度大小，C错误；0～2 s内两车距离减小，2 s后甲车速度小于乙车速度，两车距离又增大，故0～4 s过程中甲、乙两车之间的距离先减小后增大，D错误。
10.(2026·陕西西安模拟)甲、乙两小车在相邻轨道上做直线运动、它们的速度—时间图像如图所示。已知甲的图线为抛物线，则下列判断正确的是
A.t＝2 s时两车一定不相遇
B.t＝2 s时甲的加速度大小大于乙的加速度大小
C.0～4 s内甲的平均速度大于2.5 m/s
D.0～2 s内甲的位移大于乙的位移
√
由于t＝0时两车的位置未知，所以t＝2 s时两车可能相遇，
故A错误；根据速度—时间图像的斜率表示加速度可知，
t＝2 s时甲的加速度大小为a1＝0，乙的加速度大小为a2＝
＝ m/s2＝1.25 m/s2＞a1，故B错误；0～4 s内乙做
匀减速直线运动，其平均速度大小为＝ m/s＝2.5 m/s，根据速度—时间图线与横轴所围的面积表示位移可知，0～4 s内甲的位移大于乙的位移，由＝知0～4 s内甲的平均速度大于2.5 m/s，故C正确；0～2 s内甲的位移小于乙的位移，故D错误。
11.(2026·山西临汾模拟)甲、乙两辆汽车沿同一平直公路做直线运动，其运动的x -t 图像如图所示。其中甲的图像是一条倾斜直线，乙的图像是一段抛物线，且在t0时刻乙图像的切线与甲的图像平行。图中的坐标均为已知量，下列说法正确的是
A.乙的初速度为
B.乙的初速度为
C.乙的加速度为
D.4t0时刻，甲、乙间的距离为x0
√
x -t图像的斜率表示速度，甲做匀速运动的速度v1＝＝，乙先做匀减速运动，设加速度大小为a，在t0时刻甲、乙共速，则对乙有v1＝v0－at0，在2t0时刻乙的速度减为零，则0＝v0－2at0，解得v0＝，a＝，选项A、B、C错误；4t0时刻，乙回到出发点，甲的位移x甲＝v1·4t0＝2x0，甲、乙间的距离为s＝x甲＋x0＝x0，选项D正确。
12.(16分)一辆汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶，经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
答案：5 m/s2
初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m。
设汽车的加速度大小为a，在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距
d'＝d－(v汽－v自)t0＝10 m
从汽车刹车开始计时，设经过时间t汽车速度与自行车速度相等，则v汽－at＝v自
自行车的位移为x自＝v自t
汽车的位移为x汽＝v汽t－at2
假设二者恰好不相撞，此时有x汽＝x自＋d'
联立解得a＝5 m/s2
即汽车的加速度大小至少为5 m/s2。
(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
答案：1 m/s2
设自行车加速度至少为a'，同理可得
v汽－a1t'＝v自＋a't'，x汽'＝x自'＋d'
x汽'＝v汽t'－a1t'2，x自'＝v自t'＋a't'2
联立解得a'＝1 m/s2
即自行车的加速度大小至少为1 m/s2。
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专题提升一　
运动学图像　追及相遇问题

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