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第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
【学习目标】　　1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
考点一　曲线运动的条件及轨迹
自测1.下列说法正确的是(　　)
A.在恒力作用下，物体可能做曲线运动
B.在变力作用下，物体不可能做曲线运动
C.做曲线运动的物体，其运动状态可能不改变
D.物体做曲线运动时，其加速度与速度的方向可能一致
答案：A
解析：物体做曲线运动的条件是合力(或加速度)与速度不共线，合力可以是恒力也可以是变力，故A正确，B、D错误；做曲线运动的物体，速度方向时刻发生变化，所以其运动状态一定改变，故C错误。
自测2.如图是物体在恒力作用下所做的曲线运动的轨迹的示意图。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法正确的是(　　)
A.C点的速率大于B点的速率
B.C点的速率小于B点的速率
C.A点的加速度比C点的加速度大
D.从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
答案：A
解析：物体做匀变速曲线运动，从B点到C点加速度方向与速度方向夹角小于90°，物体做加速运动，C点的速率比B点的速率大，故A正确，B错误；物体在恒力作用下运动，所以经过A点的加速度与C点的加速度相同，故C错误；物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，可知A点速度方向与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以从A点到C点加速度与速度的夹角一直减小，故D错误。
1.曲线运动中速度方向、合力(加速度)方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切。
(2)合力(加速度)方向指向曲线的“凹”侧。
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
2.速率变化的判断
考点二　运动的合成与分解
1.运动的合成与分解
基本概念 运动的合成：已知分运动求合运动 运动的分解：已知合运动求分运动
遵循的 法则 位移、速度、加速度都是矢量，合成与分解都遵循平行四边形定则
分解原则 根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法
2.合运动与分运动的关系
等时性 合运动与分运动、分运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止
独立性 各分运动相互独立，不受其他运动的影响；各分运动共同决定合运动的性质和轨迹
等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
学生用书 第60页
【正误辨析】
(1)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)
(2)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×)
(3)曲线运动一定不是匀变速运动。(×)
(4)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。(√)
(5)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。(√)
1.运动性质及轨迹的判断
(1)运动性质的判断
合力(或合加速度)
(2)运动轨迹的判断
合力(或合加速度)
方向与速度方向
2.两个互成角度的直线运动的合运动性质
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合0与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合0与a合不共线，为匀变速曲线运动
(2025·陕西宝鸡三模)一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度vx及竖直向上的速度vy，若它们与运动时间t的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是(　　)
A.演员在t1时刻处于超重状态
B.演员在0～t2这段时间内沿直线飞行
C.演员在t2时刻上升至最高点
D.演员在t2～t3时间内做匀变速曲线运动
答案：D
解析：演员在t1时刻竖直向上的速度减小，则加速度竖直向下，处于失重状态，A错误；演员在0～t2这段时间内水平方向做匀加速运动，竖直方向做匀减速运动，则合初速度和合加速度一定不共线，则合运动为曲线运动，B错误；演员在0～t3时间内的竖直速度一直不为零，可知t2时刻还没有上升至最高点，C错误；演员在t2～t3时间内水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀速运动，可知合运动为匀变速曲线运动，即演员做匀变速曲线运动，D正确。
针对练.(2026·湖北黄冈模拟)质量为2 kg的物体在xOy平面内做曲线运动，图(a)、(b)分别是其在x方向的速度—时间图像、在y方向的位移—时间图像。sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是(　　)
A.物体的加速度方向与初速度方向垂直
B.物体的初速度大小为3 m/s
C.t＝2 s时，物体的速度大小为2 m/s
D.物体所受合力大小为4 N
答案：C
解析：由题图可知，物体沿x轴正方向做匀加速直线运动，初速度为v0x＝3 m/s，加速度为a＝ m/s2＝1.5 m/s2，沿y轴正方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s，则物体的初速度大小为v0＝＝5 m/s，故B错误；由cos θ＝＝0.6知物体初速度方向与x轴成53°，而合力方向沿x轴正方向，即物体的加速度方向与初速度方向不垂直，故A错误；t＝2 s时，x轴方向的速度为vx＝v0x＋at＝6 m/s，此时合速度大小为v＝＝2 m/s，故C正确；由牛顿第二定律可得，物体所受合力大小为F＝ma＝3 N，故D错误。
学生用书 第61页
考点三　渡河问题
小船渡河模型
渡河 时间 最短 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。 (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)
渡河 位移 最短 若v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，xmin＝d
若v静＜v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。当船头方向(即v静方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，xmin＝＝
(多选)如图，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是(　　)
A.河中水流速度为2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
答案：ABD
解析：河中水流速度为v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，A正确；小船以最短位移渡河的时间为t＝＝ s＝24 s，B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝＝ s＝36 s，C错误；小船以最短时间渡河，到达对岸时沿水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，则总位移大小x总＝＝90 m，D正确。
拓展变式1.若小船在静水中的速度大小为v1＝5 m/s、河宽d＝180 m保持不变，水流速度大小为v2'＝10 m/s，小船以最短位移渡河时船头与上游河岸所成的角θ'应为多大？最短位移为多少？
答案：60°　360 m
解析：由于小船在静水中的速度大小v1＝5 m/s小于水流速度大小v2'＝10 m/s，小船以最短位移渡河时的情境如图所示，船头与上游河岸所成的角θ'满足cos θ'＝＝，解得θ'＝60°，最短渡河位移xmin＝＝360 m。
拓展变式2.若船头正对河岸渡河时，水流速度突然增大，渡河时间变化吗？
答案：不变
解析：船头正对河岸渡河时，渡河时间t＝，渡河时间与水流速度的大小无关。
拓展变式3.若A处下游180 m后为危险水段，水流速度为v2＝2.5 m/s，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？
答案：1.25 m/s
解析：设船到达对岸恰好到达危险水域边缘，小船速度方向沿图示方向时船速最小，tan α＝＝，解得α＝30°，所以要使船安全到达对岸，船的最小速度为v1'＝v2sin 30°＝1.25 m/s。
学生用书 第62页
考点四　关联速度问题
1.关联速度模型
(1)模型特点：与绳(或杆)相连的物体的运动方向与绳(或杆)不在一条直线上时，物体沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
(2)绳(或杆)端速度的分解思路
2.常见的速度分解模型
(2026·江苏常州模拟)如图所示，轨道车A通过细钢丝跨过滑轮拉着特技演员B上升，便可呈现出演员B飞檐走壁的效果。轨道车A沿水平地面以速度大小v＝5 m/s向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为37°，连接特技演员B的钢丝竖直，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　)
A.该时刻特技演员B有竖直向上的加速度
B.该时刻特技演员B处于失重状态
C.该时刻特技演员B的速度大小为3 m/s
D.该时刻特技演员B的速度大小为6.25 m/s
答案：A
解析：如图所示，设连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为θ，将车速v沿着细钢丝方向和垂直于细钢丝的方向分解可知，沿着细钢丝方向的速度与特技演员B的速度大小相等，即vB＝v∥＝vcos θ，其中车速v不变，随着车向左运动，θ不断减小，故cos θ不断增大，则vB不断增大，即该时刻特技演员B有竖直向上的加速度，处于超重状态，A正确，B错误；当θ＝37°时，特技演员B的速度大小为vB＝vcos 37°＝4 m/s，C、D错误。
针对练.甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.v1∶v2＝∶3
B.v1∶v2＝3∶
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
答案：B
解析：设当乙球距离起点3 m时，轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1杆＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2杆＝v2sin θ，而v1杆＝v2杆，由题意有cos θ＝，sin θ＝，解得＝，A错误，B正确；甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，C、D错误。故选B。
杆面接触型关联速度问题
分析杆面接触型关联速度问题，关键是要抓住与面接触的杆上的点的运动和面的运动情况，两者在垂直于接触面的方向无相对运动，故两者在垂直于接触面的方向的分速度相等。
拓展应用1.如图所示，一根长为L的直杆一端抵在墙角，一端倚靠在物块的光滑竖直侧壁上，物块向左以速度大小v运动时，直杆绕O点做圆周运动且始终与物块间有弹力。当直杆与水平方向的夹角为θ时，直杆上与物块接触的A点线速度大小为(　　)
A.　　B 　　C.vsin θ　　D.vcos θ
答案：A
解析：直杆与物块接触点的实际运动即合运动，该接触点做圆周运动，设线速度为vA，方向垂直于杆指向左下方，该速度沿水平方向的分速度等于物块的速度为v，即vAsin θ＝v，解得vA＝。故选A。
拓展应用2.如图所示，长为L的轻杆一端用铰链固定，另一端固定一个小球，将小球放置在一斜面体上(截面为等边三角形)，由静止释放小球，某时刻轻杆与水平方向的夹角为30°，轻杆此时转动的角速度为ω，则此时斜面体的速度大小为(　　)
A.ωL B.ωL
C.ωL D.ωL
答案：A
解析：轻杆此时转动的角速度为ω，小球的速度大小为v1＝ωL，将速度v1分解为垂直于接触面的分速度v1'＝v1sin 60°与平行于接触面的分速度v1″(如图甲)，将斜面体的速度v2分解为垂直于接触面的分速度v2'＝v2sin 60°与平行于接触面的分速度v2″(如图乙)，两者垂直于接触面的方向的分速度相等，即v1'＝v2'，解得v2＝v1＝ωL，故A正确。
课时测评17　曲线运动　运动的合成与分解
(时间：30分钟　满分：50分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－10，每题4分，共40分)
题组1　曲线运动的条件及轨迹
1.(2026·甘肃靖远模拟)如图为神舟十八号返回舱顺利返回地球的示意图，返回舱先与轨道舱分离再进行减速，调整姿态后从A点进入大气层，最后降落在地球上B点处，关于返回舱在A点受到的合力F的示意图，下列可能正确的是(　　)
答案：D
解析：神舟十八号返回舱在A点进入大气层，受到的空气阻力与速度方向相反，此时还受到地球对其指向地心的引力(重力)，这两个力的合力方向应介于这两力的夹角之间，故A、B、C错误，D正确。
2.(2026·福建南平5月质检)某无人机在x、y方向的ax -t，vy -t图像如图(a)、图(b)所示。则在0～t2时间内，该无人机运动的轨迹可能为(　　)
答案：A
解析：0～t1内，无人机具有沿y轴正方向的速度，加速度沿x轴正方向，则合力沿x轴正方向，轨迹向x轴正方向偏，t1～t2时间内，x轴方向加速度为0，vy -t 图像的斜率表示y轴方向的加速度，即加速度沿y轴正方向，则合力沿y轴正方向，则轨迹向y轴正方向偏，可知，只有A项满足要求。故选A。
题组2　运动的合成与分解
3.某同学用如图所示的装置研究运动合成规律，长方体物块上固定一长为L的竖直杆，物块及杆的总质量为M，质量为m的小环套在杆上，当小环从杆顶端由静止滑下时(小环与杆的摩擦可忽略)，物块在水平恒力F的作用下，从静止开始沿光滑水平面向右运动。小环落到杆底端时，物块移动的距离为2L，重力加速度大小为g，则小环从顶端下落到底端的过程中(　　)
A.小环通过的路程为2L
B.小环落到底部的时间为
C.杆对小环的作用力大小为mg
D.杆对小环的作用力大小为2mg
答案：D
解析：小环从顶端下落到底端的过程中，水平位移为2L，竖直位移为L，则实际位移大小为x合＝＝L，分析可知，小环做曲线运动，所以小环通过的路程大于2L，故A错误；小环在竖直方向做自由落体运动，则有L＝gt2，解得t＝，故B错误；设小环在水平方向的加速度大小为ax，则有2L＝axt2，又t＝，联立解得ax＝2g，根据牛顿第二定律可得，小环受到杆的作用力大小为F'＝max＝2mg，故C错误，D正确。
4.(2026·北京东城区一模)一质量为m的物块在光滑水平面上以速度v0做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力F的作用，之后其速度大小先减小后增大，最小值为。下列图中初速度v0与恒力F夹角正确的是(　　)
答案：D
解析：物块的速度先减小后增大，可知恒力与速度v0的夹角大于90°，将初速度沿平行F方向和垂直F方向分解，如图所示，当平行于F方向的分速度为0时，速度最小，为vx，即vx＝，垂直F方向的分速度不变，根据几何关系有cos θ＝，可得θ＝60°，则力的方向与初速度方向夹角为60°＋90°＝150°。故选D。
题组3　渡河问题
5.(2026·江苏南通开学考试)如图所示，河的宽度为d，水速恒定为v0，两船在静水中的速度同为v。现让两船同时渡河，甲船头与河岸的夹角为45°，乙船头与河岸的夹角为α，两船恰好在甲船的正对岸相遇。则(　　)
A.v0＞v
B.α＜45°
C.两船出发点相距2d
D.两船的合速度大小相等
答案：C
解析：两船恰好在甲船的正对岸相遇，则vcos 45°＝v0，所以v＞v0，故A错误；渡河时间t＝＝，对乙船垂直河岸方向有t＝，解得α＝45°，故B错误；乙船沿河岸方向位移x＝(v0＋vcos α)t＝v·＝2d，故C正确；两船垂直河岸方向分速度大小相等，沿河岸方向乙船分速度大于甲船，所以两船的合速度大小不相等，故D错误。
6.如图所示，河水的速度为3 m/s，小船从O点开始渡河，船头垂直指向对岸。已知O点到对岸的距离d＝60 m，小船在静水中的速度为6 m/s，下列说法不正确的是(　　)
A.小船渡河的时间为10 s
B.小船渡河的位移大小为60 m
C.若小船在静水中的速度增大，则小船渡河的位移减小
D.若小船在静水中的速度和水流速度同时增大，则小船渡河的位移可能不变
答案：B
解析：小船的船头垂直指向对岸，则渡河时间t＝ s＝10 s，故A正确；小船渡河的位移是沿水流方向位移x和沿船速方向位移d＝60 m的合位移，大小为l＝＞60 m，故B错误；小船在静水中的速度增大，则渡河时间变短，沿水流方向的位移减小，由l＝可知小船渡河的位移减小，故C正确；若小船在静水中的速度和水流速度等比例增大，此时合速度的方向不变，合位移的大小也不变，故D正确。故选B。
题组4　关联速度问题
7.(多选)(2026·湖南师范大学附属中学期末)如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m的物块B相连，B在光滑斜面上。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为β时，物块B的速度大小为v2。斜面倾角为α，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.＝
B.＝cos β
C.轻绳拉力一定大于mgsin α
D.斜面受到地面水平向左的摩擦力
答案：ACD
解析：A、B沿绳方向的速度相等，有v1cos β＝v2，解得＝，故A正确，B错误；由于A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，轻绳与杆的夹角逐渐减小，由A、B项分析可知，B的速度大小v2逐渐增大，即B沿斜面向上做加速运动，B的加速度沿斜面向上，对B进行受力分析可知轻绳拉力一定大于mgsin α，故C正确；B对斜面有斜向右下方的压力，斜面在该压力作用下有向右运动的趋势，则斜面受到地面水平向左的摩擦力，故D正确。
8.(2026·甘肃庆阳期中)某教师在上课时，走到教室中间，用激光笔指向黑板上某位置处的板书，过程简化的俯视图如图所示。该教师站立处S与黑板间距为d，该教师移动激光笔，使光点P在黑板上以速度v匀速向右运动，SP连线与黑板面之间的夹角为θ，SP始终在同一水平面内，则该教师此时转动激光笔的角速度为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：P的实际运动为沿黑板面水平向右的运动，其运动效果是一方面绕S点转动，另一方面沿光线方向缩短，因此应将水平向右的速度分解为沿光线和垂直于光线的分速度。垂直光线方向的速度为v⊥＝vsin θ＝ωL，根据几何知识可得L＝，联立解得ω＝。故选C。
9.如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，此时B物体的速度大小为(　　)
A. v B. v
C. v D. v
答案：D
解析：根据A、B两物体的运动情况，将两物体此时的速度v和vB分别分解为两个分速度v1(沿绳的分量)和v2(垂直绳的分量)以及vB1(沿绳的分量)和vB2(垂直绳的分量)，由于两物体沿绳的速度分量相等，则v1＝vB1，即vcos α＝vBcos β，则B物体的速度大小为vB＝ v，方向水平向右，D正确。
10.(多选)(2024·安徽卷·T9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立xOy直角坐标系，如图1所示。从t＝0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图2所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则(　　)
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t＝1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C.t＝1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2
D.t＝2 s时，物块的速度大小为10 m/s
答案：BD
解析：根据题图2可得F1＝4－t(N)，F2＝3t(N)，故两力的合力为F＝4＋2t ，物块在y轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x轴方向的力在改变，合力在改变，则物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误；在y轴方向的加速度为ay＝＝gsin 30°＝5 m/s2，t＝1 s时，物块的y坐标值为y＝ayt2＝2.5 m，故B正确；t＝1 s时，F＝6 N，此时加速度大小为a＝＝ m/s2＝5 m/s2，故C错误；0～2 s内在x轴方向对物块根据动量定理有Ft＝mvx－0，由F与时间t成线性关系可得×2 N·s＝1.2 kg·vx，解得vx＝10 m/s，t＝2 s时，物块在y轴方向速度为vy＝gsin 30°·t＝5×2 m/s＝10 m/s，此时物块的速度大小为 v＝＝10 m/s，故D正确。故选BD。
11.(10分)如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小恒为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
(1)小球离A、B所在直线的最远距离；
(2)A、B两点间的距离；
(3)小球到达B点时的速率vB。
答案：(1)　(2)
(3)
解析：(1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，＝2axxmax
解得xmax＝。
(2)水平方向，小球的速度减小为零所需时间t1＝
由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1
则竖直方向上有yAB＝gt2＝。
(3)小球运动到B点时，有vx＝v0，vy＝gt
则vB＝＝。(共65张PPT)
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
高三总复习讲义　新高考
第四章 曲线运动
1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。
2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。
3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
学习目标
内容索引
考点一　曲线运动的条件及轨迹
考点二　运动的合成与分解
考点三　渡河问题
课时测评
考点四　关联速度问题
曲线运动的条件及轨迹
考点一
知识梳理
切线
方向
变速
加速
合力
自测1.下列说法正确的是
A.在恒力作用下，物体可能做曲线运动
B.在变力作用下，物体不可能做曲线运动
C.做曲线运动的物体，其运动状态可能不改变
D.物体做曲线运动时，其加速度与速度的方向可能一致
√
物体做曲线运动的条件是合力(或加速度)与速度不共线，合力可以是恒力也可以是变力，故A正确，B、D错误；做曲线运动的物体，速度方向时刻发生变化，所以其运动状态一定改变，故C错误。
自测2.如图是物体在恒力作用下所做的曲线运动的轨迹的示意图。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法正确的是
A.C点的速率大于B点的速率
B.C点的速率小于B点的速率
C.A点的加速度比C点的加速度大
D.从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
√
物体做匀变速曲线运动，从B点到C点加速度方向与速度方向夹角小于90°，物体做加速运动，C点的速率比B点的速率大，故A正确，B错误；物体在恒力作用下运动，所以经过A点的加速度与C点的加速度相同，故C错误；物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，可知A点速度方向与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以从A点到C点加速度与速度的夹角一直减小，故D错误。
1.曲线运动中速度方向、合力(加速度)方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切。
(2)合力(加速度)方向指向曲线的“凹”侧。
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
2.速率变化的判断
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运动的合成与分解
考点二
1.运动的合成与分解
知识梳理
基本概念 运动的合成：已知________求合运动
运动的分解：已知________求分运动
遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，合成与分解都遵循________________
分解原则 根据运动的__________分解，也可采用正交分解法
分运动
合运动
平行四边形定则
实际效果
2.合运动与分运动的关系
等时性 合运动与分运动、分运动与分运动经历的______相等，即同时开始、同时进行、同时停止
独立性 各分运动相互独立，不受其他运动的影响；各分运动共同决定合运动的性质和轨迹
等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的______
时间
效果
正误辨析
(1)合运动的速度一定比分运动的速度大。 ( )
(2)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。 ( )
(3)曲线运动一定不是匀变速运动。 ( )
(4)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。 ( )
(5)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。 ( )
×
×
×
√
√
1.运动性质及轨迹的判断
(1)运动性质的判断
合力(或合加速度)
(2)运动轨迹的判断
合力(或合加速度)
方向与速度方向
核心突破
2.两个互成角度的直线运动的合运动性质
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合0与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合0与a合不共线，为匀变速曲线运动
(2025·陕西宝鸡三模)一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度vx及竖直向上的速度vy，若它们与运动时间t的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是
A.演员在t1时刻处于超重状态
B.演员在0～t2这段时间内沿直线飞行
C.演员在t2时刻上升至最高点
D.演员在t2～t3时间内做匀变速曲线运动
√
例1
演员在t1时刻竖直向上的速度减小，则加速度竖直向下，处于失重状态，A错误；演员在0～t2这段时间内水平方向做匀加速运动，竖直方向做匀减速运动，则合初速度和合加速度一定不共线，则合运动为曲线运动，B错误；演员在0～t3时间内的竖直速度一直不为零，可知t2时刻还没有上升至最高点，C错误；演员在t2～t3时间内水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀速运动，可知合运动为匀变速曲线运动，即演员做匀变速曲线运动，D正确。
针对练.(2026·湖北黄冈模拟)质量为2 kg的物体在xOy平面内做曲线运动，图(a)、(b)分别是其在x方向的速度—时间图像、在y方向的位移—时间图像。sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是
A.物体的加速度方向与初速度方向垂直
B.物体的初速度大小为3 m/s
C.t＝2 s时，物体的速度大小为2 m/s
D.物体所受合力大小为4 N
√
由题图可知，物体沿x轴正方向做匀加速直线运动，初速度为v0x＝
3 m/s，加速度为a＝ m/s2＝1.5 m/s2，沿y轴正方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s，则物体的初速度大小为v0＝＝5 m/s，故B
错误；
由cos θ＝＝0.6知物体初速度方向与x轴成53°，而合力方向沿x轴正方向，即物体的加速度方向与初速度方向不垂直，故A错误；t＝2 s时，x轴方向的速度为vx＝v0x＋at＝6 m/s，此时合速度大小为v＝＝
2 m/s，故C正确；由牛顿第二定律可得，物体所受合力大小为F＝ma＝
3 N，故D错误。
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渡河问题
考点三
小船渡河模型
渡河 时间 最短 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。 (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)
渡河 位移 最短 若v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，xmin＝d
若v静＜v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。当船头方向(即v静方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，xmin＝＝
(多选)如图，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是
A.河中水流速度为2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
√
例2
√
√
河中水流速度为v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，A正确；小船以最短位移渡河的时间为t＝＝ s＝24 s，B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝＝ s＝36 s，C错误；小船以最短时间渡河，到达对岸时沿水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，则总位移大小x总＝＝90 m，D正确。
拓展变式1.若小船在静水中的速度大小为v1＝5 m/s、河宽d＝180 m保持不变，水流速度大小为v2'＝10 m/s，小船以最短位移渡河时船头与上游河岸所成的角θ'应为多大？最短位移为多少？
答案：60°　360 m
由于小船在静水中的速度大小v1＝5 m/s小于水流速度大小v2'＝10 m/s，小船以最短位移渡河时的情境如图所示，船头与上游河岸所成的角θ'满足cos θ'＝＝，解得θ'＝60°，最短渡河位移xmin＝＝360 m。
拓展变式2.若船头正对河岸渡河时，水流速度突然增大，渡河时间变
化吗？
答案：不变
船头正对河岸渡河时，渡河时间t＝，渡河时间与水流速度的大小
无关。
拓展变式3.若A处下游180 m后为危险水段，水流速度为v2＝2.5 m/s，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？
答案：1.25 m/s
设船到达对岸恰好到达危险水域边缘，小船速度方向沿图示方向时船速最小，tan α＝＝，解得α＝30°，所以要使船安全到达对岸，船的最小速度为v1'＝v2sin 30°＝1.25 m/s。
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关联速度问题
考点四
1.关联速度模型
(1)模型特点：与绳(或杆)相连的物体的运动方向与绳(或杆)不在一条直线上时，物体沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
(2)绳(或杆)端速度的分解思路
2.常见的速度分解模型
(2026·江苏常州模拟)如图所示，轨道车A通过细钢丝跨过滑轮拉着特技演员B上升，便可呈现出演员B飞檐走壁的效果。轨道车A沿水平地面以速度大小v＝5 m/s向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为37°，连接特技演员B的钢丝竖直，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是
A.该时刻特技演员B有竖直向上的加速度
B.该时刻特技演员B处于失重状态
C.该时刻特技演员B的速度大小为3 m/s
D.该时刻特技演员B的速度大小为6.25 m/s
√
例3
如图所示，设连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为θ，将车速v沿着细钢丝方向和垂直于细钢丝的方向分解可知，沿着细钢丝方向的速度与特技演员B的速度大小相等，即vB＝v∥＝vcos θ，其中车速v不变，随着车向左运动，θ不断减小，故cos θ不断增大，则vB不断增大，即该时刻特技演员B有竖直向上的加速度，处于超重状态，A正确，B错误；当θ＝37°时，特技演员B的速度大小为vB＝vcos 37°＝4 m/s，C、D错误。
针对练.甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直
杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖
直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，
使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是
A.v1∶v2＝∶3
B.v1∶v2＝3∶
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
√
设当乙球距离起点3 m时，轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1杆＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2杆＝v2sin θ，而v1杆＝v2杆，由题意有cos θ＝，sin θ＝，解得＝，A错误，B正确；甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，C、D错误。故选B。
杆面接触型关联速度问题
分析杆面接触型关联速度问题，关键是要抓住与面接触的杆上的点的运动和面的运动情况，两者在垂直于接触面的方向无相对运动，故两者在垂直于接触面的方向的分速度相等。
能力拓展
拓展应用1.如图所示，一根长为L的直杆一端抵在墙角，一端倚靠在物块的光滑竖直侧壁上，物块向左以速度大小v运动时，直杆绕O点做圆周运动且始终与物块间有弹力。当直杆与水平方向的夹角为θ时，直杆上与物块接触的A点线速度大小为
A.　　 B 　　
C.vsin θ　　 D.vcos θ
√
直杆与物块接触点的实际运动即合运动，该接触点做圆周运动，设线速度为vA，方向垂直于杆指向左下方，该速度沿水平方向的分速度等于物块的速度为v，即vAsin θ＝v，解得vA＝。故选A。
拓展应用2.如图所示，长为L的轻杆一端用铰链固定，另一端固定一个小球，将小球放置在一斜面体上(截面为等边三角形)，由静止释放小球，某时刻轻杆与水平方向的夹角为30°，轻杆此时转动的角速度为ω，则此时斜面体的速度大小为
A.ωL
B.ωL
C.ωL
D.ωL
√
轻杆此时转动的角速度为ω，小球的速度大小为v1＝ωL，将速度v1分解为垂直于接触面的分速度v1'＝v1sin 60°与平行于接触面的分速度v1″(如图甲)，将斜面体的速度v2分解为垂直于接触面的分速度v2'＝v2sin 60°与平行于接触面的分速度v2″(如图乙)，两者垂直于接触面的方向的分速度相等，即v1'＝v2'，解得v2＝v1＝ωL，故A正确。
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课 时 测 评
题组1　曲线运动的条件及轨迹
1.(2026·甘肃靖远模拟)如图为神舟十八号返回舱顺利返回地球的示意图，返回舱先与轨道舱分离再进行减速，调整姿态后从A点进入大气层，最后降落在地球上B点处，关于返回舱在A点受到的合力F的示意图，下列可能正确的是
√
神舟十八号返回舱在A点进入大气层，受到的空气阻力与速度方向相反，此时还受到地球对其指向地心的引力(重力)，这两个力的合力方向应介于这两力的夹角之间，故A、B、C错误，D正确。
2.(2026·福建南平5月质检)某无人机在x、y方向的ax -t，vy -t图像如图(a)、图(b)所示。则在0～t2时间内，该无人机运动的轨迹可能为
√
0～t1内，无人机具有沿y轴正方向的速度，加速度沿x轴正方向，则合力沿x轴正方向，轨迹向x轴正方向偏，t1～t2时间内，x轴方向加速度为0，vy -t 图像的斜率表示y轴方向的加速度，即加速度沿y轴正方向，则合力沿y轴正方向，则轨迹向y轴正方向偏，可知，只有A项满足要求。故选A。
题组2　运动的合成与分解
3.某同学用如图所示的装置研究运动合成规律，长方体物块上固定一长为L的竖直杆，物块及杆的总质量为M，质量为m的小环套在杆上，当小环从杆顶端由静止滑下时(小环与杆的摩擦可忽略)，物块在水平恒力F的作用下，从静止开始沿光滑水平面向右运动。小环落到杆底端时，物块移动的距离为2L，重力加速度大小为g，则小环从顶端下落到底端的过程中
A.小环通过的路程为2L
B.小环落到底部的时间为
C.杆对小环的作用力大小为mg
D.杆对小环的作用力大小为2mg
√
小环从顶端下落到底端的过程中，水平位移为2L，竖直位移为L，则实际位移大小为x合＝＝L，分析可知，小环做曲线运动，所以小环通过的路程大于2L，故A错误；小环在竖直方向做自由落体运动，则有L＝gt2，解得t＝，故B错误；设小环在水平方向的加速度大小为ax，则有2L＝axt2，又t＝，联立解得ax＝2g，根据牛顿第二定律可得，小环受到杆的作用力大小为F'＝max＝2mg，故C错误，D正确。
4.(2026·北京东城区一模)一质量为m的物块在光滑水平面上以速度v0做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力F的作用，之后其速度大小先减小后增大，最小值为。下列图中初速度v0与恒力F夹角正确
的是
√
物块的速度先减小后增大，可知恒力与速度v0的夹角大于90°，将初速度沿平行F方向和垂直F方向分解，如图所示，当平行于F方向的分速度为0时，速度最小，为vx，即vx＝，垂直F方向的分速度不变，根据几何关系有cos θ＝，可得θ＝60°，则力的方向与初速度方向夹角为60°＋90°＝150°。故选D。
题组3　渡河问题
5.(2026·江苏南通开学考试)如图所示，河的宽度为d，水速恒定为v0，两船在静水中的速度同为v。现让两船同时渡河，甲船头与河岸的夹角为45°，乙船头与河岸的夹角为α，两船恰好在甲船的正对岸相遇。则
A.v0＞v
B.α＜45°
C.两船出发点相距2d
D.两船的合速度大小相等
√
两船恰好在甲船的正对岸相遇，则vcos 45°＝v0，所以v＞v0，故A错误；渡河时间t＝＝，对乙船垂直河岸方向有t＝，解得α＝45°，故B错误；乙船沿河岸方向位移x＝(v0＋vcos α)t＝v·＝2d，故C正确；两船垂直河岸方向分速度大小相等，沿河岸方向乙船分速度大于甲船，所以两船的合速度大小不相等，故D错误。
6.如图所示，河水的速度为3 m/s，小船从O点开始渡河，船头垂直指向对岸。已知O点到对岸的距离d＝60 m，小船在静水中的速度为6 m/s，下列说法不正确的是
A.小船渡河的时间为10 s
B.小船渡河的位移大小为60 m
C.若小船在静水中的速度增大，则小船渡河的位移减小
D.若小船在静水中的速度和水流速度同时增大，则小船渡河的位移可能
不变
√
小船的船头垂直指向对岸，则渡河时间t＝ s＝10 s，故A正确；小船渡河的位移是沿水流方向位移x和沿船速方向位移d＝60 m的合位移，大小为l＝＞60 m，故B错误；小船在静水中的速度增大，则渡河时间变短，沿水流方向的位移减小，由l＝可知小船渡河的位移减小，故C正确；若小船在静水中的速度和水流速度等比例增大，此时合速度的方向不变，合位移的大小也不变，故D正确。故选B。
题组4　关联速度问题
7.(多选)(2026·湖南师范大学附属中学期末)如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m的物块B相连，B在光滑斜面上。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为β时，物块B的速度大小为v2。斜面倾角为α，重力加速度为g，下列说法正确的是
A.＝
B.＝cos β
C.轻绳拉力一定大于mgsin α
D.斜面受到地面水平向左的摩擦力
√
√
√
A、B沿绳方向的速度相等，有v1cos β＝v2，解得＝，故A正确，B错误；由于A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，轻绳与杆的夹角逐渐减小，由A、B项分析可知，B的速度大小v2逐渐增大，即B沿斜面向上做加速运动，B的加速度沿斜面向上，对B进行受力分析可知轻绳拉力一定大于mgsin α，故C正确；B对斜面有斜向右下方的压力，斜面在该压力作用下有向右运动的趋势，则斜面受到地面水平向左的摩擦力，故D正确。
8.(2026·甘肃庆阳期中)某教师在上课时，走到教室中间，用激光笔指向黑板上某位置处的板书，过程简化的俯视图如图所示。该教师站立处S与黑板间距为d，该教师移动激光笔，使光点P在黑板上以速度v匀速向右运动，SP连线与黑板面之间的夹角为θ，SP始终在同一水平面内，则该教师此时转动激光笔的角速度为
A.
B.
C.
D.
√
P的实际运动为沿黑板面水平向右的运动，其运动效果是一方面绕S点转动，另一方面沿光线方向缩短，因此应将水平向右的速度分解为沿光线和垂直于光线的分速度。垂直光线方向的速度为v⊥＝vsin θ＝ωL，根据几何知识可得L＝，联立解得ω＝。故选C。
9.如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，此时B物体的速度大小为
A. v
B. v
C. v
D. v
√
根据A、B两物体的运动情况，将两物体此时的速度v和vB分别分解为两个分速度v1(沿绳的分量)和v2(垂直绳的分量)以及vB1(沿绳的分量)和vB2(垂直绳的分量)，由于两物体沿绳的速度分量相等，则v1＝vB1，即vcos α＝vBcos β，则B物体的速度大小为vB＝ v，方向水平向右，D正确。
10.(多选)(2024·安徽卷·T9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立xOy直角坐标系，如图1所示。从t＝0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图2所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t＝1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C.t＝1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2
D.t＝2 s时，物块的速度大小为10 m/s
√
√
根据题图2可得F1＝4－t(N)，F2＝3t(N)，故两力的合力为F＝4＋2t ，物块在y轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x轴方向的力在改变，合力在改变，则物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误；在y轴方向的加速度为ay＝＝gsin 30°＝5 m/s2，t＝1 s时，物块的y坐标值为y＝ayt2＝2.5 m，故B正确；t＝1 s时，F＝6 N，此时加速度大小为a＝＝ m/s2＝
5 m/s2，故C错误；
0～2 s内在x轴方向对物块根据动量定理有Ft＝mvx－0，由F与时间t成线性关系可得×2 N·s＝1.2 kg·vx，解得vx＝10 m/s，t＝2 s时，物块在y轴方向速度为vy＝gsin 30°·t＝5×2 m/s＝10 m/s，此时物块的速度大小为 v＝＝10 m/s，故D正确。故选BD。
11.(10分)如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小恒为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
(1)小球离A、B所在直线的最远距离；
将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，＝2axxmax
解得xmax＝。
答案：　
(2)A、B两点间的距离；
答案：
水平方向，小球的速度减小为零所需时间t1＝
由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1
则竖直方向上有yAB＝gt2＝。
(3)小球到达B点时的速率vB。
答案：
小球运动到B点时，有vx＝v0，vy＝gt
则vB＝＝。
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第1讲　
曲线运动　运动的合成与分解

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