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第1讲　开普勒定律与万有引力定律
【学习目标】　1.理解开普勒三大定律内容，会用开普勒第三定律进行相关计算。 2.理解万有引力定律的内容，知道其适用范围。 3.掌握计算天体质量和密度的方法。
考点一　开普勒定律
开普勒三大定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
自测1.(多选)如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法中正确的是(　　)
A.太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上
B.火星绕太阳运行过程中，速率不变
C.土星的公转周期比地球的公转周期大
D.地球和土星分别与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
答案：AC
解析：根据开普勒第一定律可知，太阳处在每颗行星运动的椭圆轨道的一个焦点上，所以太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上，故A正确；根据开普勒第二定律可知，火星绕太阳运行过程中，在离太阳较近的位置运行速率较大，在离太阳较远的位置运行速率较小，故B错误；由题图可知土星轨道的半长轴比地球轨道的半长轴长，根据开普勒第三定律＝k可知，土星的公转周期比地球的公转周期大，故C正确；根据开普勒第二定律可知，同一颗行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，而地球和土星不是同一颗行星，二者分别与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不一定相等，故D错误。故选AC。
自测2.(2025·云南卷·T5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
答案：C
解析：根据开普勒第三定律可知＝ ，其中r地＝1 AU，T地＝1年，T行＝5.8年，代入解得r行≈3.23 AU，可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。故选C。
对开普勒定律的三点理解
1.开普勒定律除了适用于行星绕太阳的运动，也适用于月球(人造卫星)绕地球的运动等天体系统。
2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，即v1r1Δt＝v2r2Δt，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，在近日点速度最大，在远日点速度最小。
3.开普勒第三定律＝k中，k只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k不同，且该定律只适用于环绕同一中心天体的行星运动。
学生用书 第81页
考点二　万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2.表达式：F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。
3.适用条件
(1)质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，r是两球心间的距离。
(3)质量分布均匀的球体与球外质点间的相互作用，r是球心与质点间的距离。
【正误辨析】
(1)地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。(×)
(2)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(√)
(3)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×)
(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算两个物体间的万有引力。(×)
1.地球上物体所受万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是产生重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极：G＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。
2.天体表面及上空的重力加速度(以地球为例，不考虑地球自转)
(1)地球表面附近的重力加速度g：由mg＝G得g＝。
(2)地球上空某高度h处的重力加速度g'：由mg'＝G得g'＝。
万有引力定律的应用
“嫦娥五号”返回器携1 731 g月球样品安全着陆，标志着我国具备了地月往返能力。返回器返回地球的过程中，一旦通过地球、月球对其引力的合力为零的位置后，该合力将有助于返回器返回地球，已知地球质量约为月球的81倍，则该位置距地心的距离和距月球中心的距离之比为(　　)
A.81∶1 B.10∶ 9
C.9∶1 D.9∶10
答案：C
解析：设返回器质量为m，月球质量为m0，引力合力为零的位置到地心的距离为r1，引力合力为零的位置到月球中心的距离为r2，则地球质量为81m0，由万有引力定律得G＝G，可得r1∶r2＝9∶1。故选C。
重力与万有引力的关系
人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。若一头质量为m的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为(　　)
学生用书 第82页
A. B.
C. D.
答案：A
解析：设地球的质量为m地，半径为R，北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力，即G－mg＝mR，北极熊在北极时，有G＝mg'，根据题意，有ΔF＝mR，解得R＝。故选A。
“填补法”求解万有引力
　　运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。
拓展应用.有一质量为M、半径为R的密度均匀的球体，在距离球心O为3R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去一半径为的球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力大小为(　　)
A.G B.G
C.G D.G
答案：C
解析：半径为R的密度均匀的完整球体对距离球心O为3R的质点的万有引力为F＝G＝G，挖去部分的质量为M'＝·π＝M，挖去部分对质点的万有引力为F1＝G＝G＝G，则剩余部分对质点的万有引力大小为F'＝F－F1＝G。故选C。
考点三　天体质量和密度的计算
中心天体质量与密度的计算
方法 质量的计算 密度的计算
利用中心天体表面重力加速度和半径(g、R法) 由G＝mg，得M＝ ρ＝＝＝
利用环绕天体运行周期和轨道半径(T、r法) 由G＝mr，得M＝ ρ＝＝＝ 若卫星绕天体表面运行，则天体密度ρ＝
(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度大小为g'，空气阻力不计，忽略地球和星球自转的影响。则(　　)
A.g'∶g＝1∶5 B.g'∶g＝5∶2
C.M星∶M地＝1∶80 D.ρ星∶ρ地＝4∶5
答案：ACD
解析：设抛球的初速度为v0，由对称性可知竖直上抛的小球在地球上从上抛至落回原处所用的时间t＝，可得g＝，同理可得g'＝，因此＝＝，A正确，B错误；由G＝mg得M地＝，同理可得M星＝，则＝＝×＝，C正确；由密度ρ＝＝，可得ρ星∶ρ地＝4∶5，D正确。故选ACD。
针对练. (2026·甘肃兰州模拟)卫星通信系统由卫星和地球站两部分组成，卫星通信具有通信范围大、可靠性高等优点。已知地球自转周期为T，卫星高度与地球半径相等，北极地面的重力加速度大小为g，赤道地面的重力加速度大小为g1，引力常量为G，则地球的质量为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：赤道处有向心加速度，则赤道地面的重力加速度小于两极地面的重力加速度，有g－g1＝R，解得地球半径R＝，又G＝mg，解得地球质量M＝。故选B。
(2026·河南信阳模拟)比邻星b是位于比邻星附近的一颗行星，该行星位于比邻星的宜居带内，这意味着它有可能拥有适宜生命存在的条件。已知比邻星b绕比邻星运行的轨道半径为r，公转周期为T；地球绕太阳的轨道半径为R，公转周期为T0。则比邻星的质量与太阳质量的比值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：设比邻星的质量为M比，太阳的质量为M太，地球质量为m，地球绕太阳公转，根据万有引力提供向心力，则有G＝mR，解得太阳质量为M太＝，同理，可得比邻星的质量为M比＝，联立可得＝。故选C。
课时测评23　开普勒定律与万有引力定律
(时间：30分钟　满分：60分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－12，每题5分，共60分)
题组1　开普勒定律
1.如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是(　　)
A.夏至时地球的运行速度最大
B.从冬至到春分的运行时间为公转周期的
C.若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则＝k，地球和火星对应的k值是不同的
D.太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
答案：D
解析：根据开普勒第二定律可知，地球与太阳中心的连线在相等时间内扫过的面积相等，可知地球在近日点运行速度最大，地球在远日点运行速度最小，故夏至时地球的运行速度最小，故A错误；根据对称性可知，从冬至到夏至的运行时间为公转周期的，由于从冬至到春分地球的运行速度大于从春分到夏至地球的运行速度，可知从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故从冬至到春分的运行时间小于公转周期的，故B错误；根据开普勒第三定律可知＝k，其中k值与中心天体有关，地球和火星都是绕太阳运行，故地球和火星对应的k值相同，故C错误；根据开普勒第一定律可知，太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故D正确。故选D。
2.(2026·北京昌平二模)2025年3月26日，我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二号04星”发射升空，该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04星”的轨道半径约为地球半径的6倍，某卫星在近地圆轨道运行时周期为T0。则“天链二号04星”的周期约为(　　)
A.6T0 B.T0
C.6T0 D.36T0
答案：C
解析：设地球半径为R，根据开普勒第三定律有＝，联立解得“天链二号04星”的周期T2＝6T0。故选C。
题组2　万有引力定律
3.中国空间站轨道高度为400～450千米，地球半径约为6 370千米。当航天员出舱在空间站舱外作业时，其所受地球的引力大约是他在地面所受地球引力的(　　)
A.0.9倍 B.0.25倍
C.0.1倍 D.0.01倍
答案：A
解析：设地球半径为R，空间站的轨道高度为h，航天员的质量为m，地球质量为M，航天员在地面时所受地球的引力F1＝G，在空间站舱外作业时所受地球的引力F2＝G，可得＝≈0.9。故选A。
4.(2026·北京东城二模)质量为m的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小F等于(　　)
A.G
B.mR
C.G－mR
D.G＋mR
答案：C
解析：对物块，由牛顿第二定律有G－F'＝mR，可得物块受到的支持力F'＝G－mR，根据牛顿第三定律可知物块对桌面的压力F＝F'＝G－mR。故选C。
5.科学家发现了一颗距离地球40光年的类地行星Gliese 12b，这颗行星的发现引发了全球对“第二颗地球”的热议。Gliese 12b体积和地球差不多，质量约为地球的4倍。若将某物体分别在Gliese 12b表面与地球表面水平抛出，水平抛出的高度和初速度均相同，不考虑行星自转的影响，则物体第一次落地时水平距离之比约为(　　)
A.4∶1 B.2∶1
C.1∶2 D.1∶4
答案：C
解析：在星体表面，根据万有引力近似等于重力得G＝mg，可得星体表面的重力加速度g＝，Gliese 12b和地球的质量之比约为4∶1，半径之比约为1∶1，则Gliese 12b表面和地球表面的重力加速度大小之比约为4∶1，又根据h＝gt2，可得在Gliese 12b表面和地球表面相同高度做平抛运动的时间之比为1∶2，根据x＝v0t，可得以相同初速度平抛的水平距离之比为1∶2。故选C。
题组3　天体质量和密度的计算
6.(2025·河北保定三模)某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3倍，不考虑自转的影响，则该星球质量约为地球质量的(　　)
A.10倍 B.30倍
C.100倍 D.300倍
答案：D
解析：设中心天体质量为M，在星球表面，万有引力近似等于重力，则有G＝mg，解得M＝，由于该星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，该星球的半径约为地球半径的10倍，则有＝＝300，即该星球质量约为地球质量的300倍。故选D。
7.(多选)已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地心到月球中心的距离为L1，地心到太阳中心的距离为L2。你能计算出(　　)
A.地球的质量m地＝
B.太阳的质量m太＝
C.月球的质量m月＝
D.太阳的平均密度ρ＝
答案：AB
解析：对地球表面的一个质量为m0的物体，有m0g＝G，所以地球质量m地＝，故A正确；地球绕太阳运动，有G＝m地L2，则m太＝，故B正确；根据题给数据无法求出月球的质量，故C错误；由于不知道太阳的半径，所以不能求出太阳的平均密度，故D错误。故选AB。
8.(2024·海南卷·T6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A. B.
C. D.(1＋k)3
答案：D
解析：设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力有G＝m(k＋1)R，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝(1＋k)3。故选D。
9.(2025·北京卷·T7)2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2，B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是(　　)
A.在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B.在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D.利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
答案：A
解析：根据开普勒第二定律可知，探测器在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小，A正确；探测器受到万有引力，由G＝ma，解得a＝G，在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误；探测器在A点从轨道1变轨到轨道2需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上的机械能大于在轨道1上的机械能，C错误；探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力得G＝mr，解得M＝，利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。
10.(2026·河北石家庄模拟)假设月球表面下存在一条贯穿月球球心的熔岩管隧道，隧道的两端开口，内部为真空，长度为月球直径，航天员在隧道内进行重力加速度的测量。已知月球质量为地球质量的，月球半径约为地球半径的，地球表面的重力加速度为g。假设月球为质量分布均匀的球体，且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，忽略月球自转的影响。则(　　)
A.月球表面的重力加速度约为g
B.可以在隧道内找到一个位置，其重力加速度等于地球重力加速度
C.隧道内某处的重力加速度与该处到月球球心的距离成正比
D.距月球表面高h处的重力加速度与该处到月球球心的距离成正比
答案：C
解析：由G＝mg，解得g＝，可知g月＝g，故A错误；质量分布均匀的球壳对壳内部任意位置质点的万有引力都为零，设月球密度为ρ，则隧道内任一点(到月球球心的距离为r)的重力加速度g月＝G＝，可知g月与r成正比，可知隧道内任一位置的重力加速度与该处到月球球心的距离成正比，且均小于g，故B错误，C正确；距月球表面高为h处，由G＝mg月'，解得g月'＝，可知g月'与(R＋h)2成反比，故D错误。
11.(多选)(2025·安徽卷·T9)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则(　　)
A.r＝ B.r＝＋R
C.M＝ D.M＝
答案：BC
解析：对于题述环月椭圆轨道和环月圆形轨道，根据开普勒第三定律有＝，可得r＝＋R，故A错误，B正确；对于环月圆形轨道，根据万有引力提供向心力可得G＝mr，可得M＝，故C正确，D错误。
12.(多选)2025年5月29日1时31分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙Y110运载火箭，成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空。火箭飞行约18分钟后，将探测器送入地球至小行星2016HO3转移轨道。“天问二号”从地球发射后进入绕太阳运行的椭圆轨道，其近日点到太阳的距离为r1，远日点到太阳的距离为r2，太阳的质量为M，引力常量为G。关于“天问二号”，下列说法正确的是(　　)
A.在近日点的速度大小为
B.在椭圆轨道上运行的周期为π
C.在近日点和远日点的速度大小之比为
D.在近日点和远日点的加速度之比为
答案：BD
解析：若“天问二号”在过近日点的圆轨道绕太阳做匀速圆周运动，则有G＝m，解得v1＝，由于“天问二号”从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，则“天问二号”在近日点的速度大小大于，故A错误；椭圆轨道的半长轴为a＝，假设一圆轨道半径等于椭圆轨道的半长轴，即有r＝a＝，则有G＝mr，可得该圆轨道的周期为T＝＝π，根据开普勒第三定律可知，“天问二号”在椭圆轨道上运行的周期为π，故B正确；根据开普勒第二定律可得r1v1Δt＝r2v2Δt，可得“天问二号”在近日点和远日点的速度大小之比为＝，故C错误；根据牛顿第二定律可得G＝ma，可得“天问二号” 在近日点和远日点的加速度之比为＝，故D正确。(共55张PPT)
第1讲　开普勒定律与万有引力定律
高三总复习讲义　新高考
第五章 万有引力与宇宙航行
1.理解开普勒三大定律内容，会用开普勒第三定律进行相关计算。
2.理解万有引力定律的内容，知道其适用范围。
3.掌握计算天体质量和密度的方法。
学习目标
内容索引
考点一　开普勒定律
考点二　万有引力定律
课时测评
考点三　天体质量和密度的计算
开普勒定律
考点一
开普勒三大定律
知识梳理
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在______的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的______相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的________跟它的公转周期的________的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
椭圆
椭圆
面积
三次方
二次方
自测1.(多选)如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法中正确的是
A.太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上
B.火星绕太阳运行过程中，速率不变
C.土星的公转周期比地球的公转周期大
D.地球和土星分别与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
√
√
根据开普勒第一定律可知，太阳处在每颗行星运动的椭圆轨道的一个焦点上，所以太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上，故A正确；根据开普勒第二定律可知，火星绕太阳运行过程中，在离太阳较近的位置运行速率较大，在离太阳较远的位置运行速率较小，故B错误；由题图可知土星轨道的半长轴比地球轨道的半长轴长，根据开普勒第三定律＝k可知，土星的公转周期比地球的公转周期大，故C正确；根据开普勒第二定律可知，同一颗行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，而地球和土星不是同一颗行星，二者分别与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不一定相等，故D错误。故选AC。
自测2.(2025·云南卷·T5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
√
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
根据开普勒第三定律可知＝ ，其中r地＝1 AU，T地＝1年，T行＝5.8年，代入解得r行≈3.23 AU，可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。故选C。
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
对开普勒定律的三点理解
1.开普勒定律除了适用于行星绕太阳的运动，也适用于月球(人造卫星)绕地球的运动等天体系统。
2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，即v1r1Δt＝v2r2Δt，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，在近日点速度最大，在远日点速度最小。
3.开普勒第三定律＝k中，k只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k不同，且该定律只适用于环绕同一中心天体的行星运动。
归纳提升
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万有引力定律
考点二
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2.表达式：F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家__________测定。
知识梳理
卡文迪什
3.适用条件
(1)______间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，r是________间的距离。
(3)质量分布均匀的球体与球外质点间的相互作用，r是球心与质点间的
距离。
质点
两球心
正误辨析
(1)地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。 ( )
(2)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。 ( )
(3)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。 ( )
(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算两个物体间的万有引力。 ( )
×
√
×
×
1.地球上物体所受万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是产生重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极：G＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力Fn的矢量和。
核心突破
2.天体表面及上空的重力加速度(以地球为例，不考虑地球自转)
(1)地球表面附近的重力加速度g：由mg＝G得g＝。
(2)地球上空某高度h处的重力加速度g'：由mg'＝G得g'＝。
考向1 万有引力定律的应用
“嫦娥五号”返回器携1 731 g月球样品安全着陆，标志着我国具备了地月往返能力。返回器返回地球的过程中，一旦通过地球、月球对其引力的合力为零的位置后，该合力将有助于返回器返回地球，已知地球质量约为月球的81倍，则该位置距地心的距离和距月球中心的距离之比为
A.81∶1 B.10∶ 9
C.9∶1 D.9∶10
√
例1
设返回器质量为m，月球质量为m0，引力合力为零的位置到地心的距离为r1，引力合力为零的位置到月球中心的距离为r2，则地球质量为81m0，由万有引力定律得G＝G，可得r1∶r2＝9∶1。故选C。
考向2 重力与万有引力的关系
人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。若一头质量为m的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为
A. B.
C. D.
√
例2
设地球的质量为m地，半径为R，北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力，即G－mg＝mR，北极熊在北极时，有G＝mg'，根据题意，有ΔF＝mR，解得R＝。故选A。
“填补法”求解万有引力
　　运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。
能力拓展
拓展应用.有一质量为M、半径为R的密度均匀的球体，在距离球心O为3R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去一半径为的球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力大小为
A.G
B.G
C.G
D.G
√
半径为R的密度均匀的完整球体对距离球心O为3R的质点的万有引力为F＝G＝G，挖去部分的质量为M'＝·π＝M，挖去部分对质点的万有引力为F1＝G＝G＝G，则剩余部分对质点的万有引力大小为F'＝F－F1＝G。故选C。
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天体质量和密度的计算
考点三
中心天体质量与密度的计算
方法 质量的计算 密度的计算
利用中心天体表面重力加速度和半径(g、R法) 由G＝mg，得M＝ ρ＝＝＝
利用环绕天体运行周期和轨道半径(T、r法) 由G＝mr，得M＝ ρ＝＝＝
若卫星绕天体表面运行，则天体密度ρ＝
(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度大小为g'，空气阻力不计，忽略地球和星球自转的影响。则
A.g'∶g＝1∶5 B.g'∶g＝5∶2
C.M星∶M地＝1∶80 D.ρ星∶ρ地＝4∶5
√
例3
√
√
设抛球的初速度为v0，由对称性可知竖直上抛的小球在地球上从上抛至落回原处所用的时间t＝，可得g＝，同理可得g'＝，因此＝＝，A正确，B错误；由G＝mg得M地＝，同理可得M星＝，则＝＝×＝，C正确；由密度ρ＝＝，可得ρ星∶ρ地＝4∶5，D正确。故选ACD。
针对练. (2026·甘肃兰州模拟)卫星通信系统由卫星和地球站两部分组成，卫星通信具有通信范围大、可靠性高等优点。已知地球自转周期为T，卫星高度与地球半径相等，北极地面的重力加速度大小为g，赤道地面的重力加速度大小为g1，引力常量为G，则地球的质量为
A. B.
C. D.
√
赤道处有向心加速度，则赤道地面的重力加速度小于两极地面的重力加速度，有g－g1＝R，解得地球半径R＝，又G＝mg，解得地球质量M＝。故选B。
(2026·河南信阳模拟)比邻星b是位于比邻星附近的一颗行星，该行星位于比邻星的宜居带内，这意味着它有可能拥有适宜生命存在的条件。已知比邻星b绕比邻星运行的轨道半径为r，公转周期为T；地球绕太阳的轨道半径为R，公转周期为T0。则比邻星的质量与太阳质量的比值为
A. B.
C. D.
√
例4
设比邻星的质量为M比，太阳的质量为M太，地球质量为m，地球绕太阳公转，根据万有引力提供向心力，则有G＝mR，解得太阳质量为M太＝，同理，可得比邻星的质量为M比＝，联立可得＝。故选C。
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课 时 测 评
题组1　开普勒定律
1.如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是
A.夏至时地球的运行速度最大
B.从冬至到春分的运行时间为公转周期的
C.若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则＝k，地球和火星对应的k值是不同的
D.太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
√
根据开普勒第二定律可知，地球与太阳中心的连线在相等时间内扫过的面积相等，可知地球在近日点运行速度最大，地球在远日点运行速度最小，故夏至时地球的运行速度最小，故A错误；根据对称性可知，从冬至到夏至的运行时间为公转周期的，由于从冬至到春分地球的运行速度大于从春分到夏至地球的运行速度，可知从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故从冬至到春分的运行时间小于公转周期的，故B错误；
根据开普勒第三定律可知＝k，其中k值与中心天体有关，地球和火星都是绕太阳运行，故地球和火星对应的k值相同，故C错误；根据开普勒第一定律可知，太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故D正确。故选D。
2.(2026·北京昌平二模)2025年3月26日，我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二号04星”发射升空，该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04星”的轨道半径约为地球半径的6倍，某卫星在近地圆轨道运行时周期为T0。则“天链二号04星”的周期约为
A.6T0 B.T0
C.6T0 D.36T0
√
设地球半径为R，根据开普勒第三定律有＝，联立解得“天链二号04星”的周期T2＝6T0。故选C。
题组2　万有引力定律
3.中国空间站轨道高度为400～450千米，地球半径约为6 370千米。当航天员出舱在空间站舱外作业时，其所受地球的引力大约是他在地面所受地球引力的
A.0.9倍 B.0.25倍
C.0.1倍 D.0.01倍
√
设地球半径为R，空间站的轨道高度为h，航天员的质量为m，地球质量为M，航天员在地面时所受地球的引力F1＝G，在空间站舱外作业时所受地球的引力F2＝G，可得＝≈0.9。故选A。
4.(2026·北京东城二模)质量为m的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小F等于
A.G
B.mR
C.G－mR
D.G＋mR
√
对物块，由牛顿第二定律有G－F'＝mR，可得物块受到的支持力F'＝G－mR，根据牛顿第三定律可知物块对桌面的压力F＝F'＝G－mR。故选C。
5.科学家发现了一颗距离地球40光年的类地行星Gliese 12b，这颗行星的发现引发了全球对“第二颗地球”的热议。Gliese 12b体积和地球差不多，质量约为地球的4倍。若将某物体分别在Gliese 12b表面与地球表面水平抛出，水平抛出的高度和初速度均相同，不考虑行星自转的影响，则物体第一次落地时水平距离之比约为
A.4∶1 B.2∶1
C.1∶2 D.1∶4
√
在星体表面，根据万有引力近似等于重力得G＝mg，可得星体表面的重力加速度g＝，Gliese 12b和地球的质量之比约为4∶1，半径之比约为1∶1，则Gliese 12b表面和地球表面的重力加速度大小之比约为4∶1，又根据h＝gt2，可得在Gliese 12b表面和地球表面相同高度做平抛运动的时间之比为1∶2，根据x＝v0t，可得以相同初速度平抛的水平距离之比为1∶2。故选C。
题组3　天体质量和密度的计算
6.(2025·河北保定三模)某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3倍，不考虑自转的影响，则该星球质量约为地球质量的
A.10倍 B.30倍
C.100倍 D.300倍
√
设中心天体质量为M，在星球表面，万有引力近似等于重力，则有G＝mg，解得M＝，由于该星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，该星球的半径约为地球半径的10倍，则有＝＝300，即该星球质量约为地球质量的300倍。故选D。
7.(多选)已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地心到月球中心的距离为L1，地心到太阳中心的距离为L2。你能计算出
A.地球的质量m地＝
B.太阳的质量m太＝
C.月球的质量m月＝
D.太阳的平均密度ρ＝
√
√
对地球表面的一个质量为m0的物体，有m0g＝G，所以地球质量m地＝，故A正确；地球绕太阳运动，有G＝m地L2，则m太＝，故B正确；根据题给数据无法求出月球的质量，故C错误；由于不知道太阳的半径，所以不能求出太阳的平均密度，故D错误。故选AB。
8.(2024·海南卷·T6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为
A. B.
C. D.(1＋k)3
√
设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力有G＝m(k＋1)R，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝(1＋k)3。故选D。
9.(2025·北京卷·T7)2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2，B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是
A.在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B.在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D.利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
√
根据开普勒第二定律可知，探测器在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小，A正确；探测器受到万有引力，由G＝ma，解得a＝G，在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误；探测器在A点从轨道1变轨到轨道2需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上的机械能大于在轨道1上的机械能，C错误；探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力得G＝mr，解得M＝，利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。
10.(2026·河北石家庄模拟)假设月球表面下存在一条贯穿月球球心的熔岩管隧道，隧道的两端开口，内部为真空，长度为月球直径，航天员在隧道内进行重力加速度的测量。已知月球质量为地球质量的，月球半径约为地球半径的，地球表面的重力加速度为g。假设月球为质量分布均匀的球体，且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，忽略月球自转的影响。则
A.月球表面的重力加速度约为g
B.可以在隧道内找到一个位置，其重力加速度等于地球重力加速度
C.隧道内某处的重力加速度与该处到月球球心的距离成正比
D.距月球表面高h处的重力加速度与该处到月球球心的距离成正比
√
由G＝mg，解得g＝，可知g月＝g，故A错误；质量分布均匀的球壳对壳内部任意位置质点的万有引力都为零，设月球密度为ρ，则隧道内任一点(到月球球心的距离为r)的重力加速度g月＝G＝，可知g月与r成正比，可知隧道内任一位置的重力加速度与该处到月球球心的距离成正比，且均小于g，故B错误，C正确；距月球表面高为h处，由G＝mg月'，解得g月'＝，可知g月'与(R＋h)2成反比，故D错误。
11.(多选)(2025·安徽卷·T9)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引
力，则
A.r＝ B.r＝＋R
C.M＝ D.M＝
√
√
对于题述环月椭圆轨道和环月圆形轨道，根据开普勒第三定律有＝，可得r＝＋R，故A错误，B正确；对于环月圆形轨道，根据万有引力提供向心力可得G＝mr，可得M＝，故C正确，D错误。
12.(多选)2025年5月29日1时31分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙Y110运载火箭，成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空。火箭飞行约18分钟后，将探测器送入地球至小行星2016HO3转移轨道。“天问二号”从地球发射后进入绕太阳运行的椭圆轨道，其近日点到太阳的距离为r1，远日点到太阳的距离为r2，太阳的质量为M，引力常量为G。关于“天问二号”，下列说法正确的是
A.在近日点的速度大小为
B.在椭圆轨道上运行的周期为π
C.在近日点和远日点的速度大小之比为
D.在近日点和远日点的加速度之比为
√
√
若“天问二号”在过近日点的圆轨道绕太阳做匀速圆周运动，则有G＝m，解得v1＝，由于“天问二号”从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，则“天问二号”在近日点的速度大小大于，故A错误；椭圆轨道的半长轴为a＝，假设一圆轨道半径等于椭圆轨道的半长轴，即有r＝a＝，则有G＝mr，可得该圆轨道的周期为T＝＝π，根据开普勒第三定律可知，
“天问二号”在椭圆轨道上运行的周期为π，故B正确；根据开普勒第二定律可得r1v1Δt＝r2v2Δt，可得“天问二号”在近日点和远日点的速度大小之比为＝，故C错误；根据牛顿第二定律可得G＝ma，可得“天问二号” 在近日点和远日点的加速度之比为＝，故D正确。
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第1讲　
开普勒定律与万有引力定律

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