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第2讲　宇宙航行　相对论
【学习目标】　1.掌握卫星运动的规律，会分析卫星运行时各物理量之间的关系。2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。3.理解同步卫星的特点，会比较同步卫星、近地卫星及赤道上物体的物理量间的关系。4.了解相对论时空观。
考点一　卫星、天体运行参量的分析
1.卫星、天体运行参量的分析
G＝
即r越大，v、ω、a越小，T越大。
2.人造卫星的三种轨道
所有轨道的卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合
赤道轨道 卫星轨道在赤道所在平面上，卫星始终处于赤道上方
极地轨道 卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星经过两极上空
一般轨道 卫星轨道平面和赤道平面成一定角度(不等于0°或90°)
3.地球同步卫星
(1)定义：地球同步卫星位于地面上方高度约36 000 km处，周期与地球自转周期相同。
(2)静止卫星：地球同步卫星中轨道平面与赤道平面成0度角，运动方向与地球自转方向相同，相对地面静止。
4.近地卫星
轨道在地球表面附近运行的卫星，其轨道半径r≈R(地球半径)，运行速度的大小等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，运行周期T≈85 min(人造地球卫星的最小运行周期)。
【正误辨析】
(1)地球近地卫星的周期最小。(√)
(2)地球周围的卫星都在同一圆轨道上绕地球转动。(×)
(3)我国的地球同步卫星可以定点在北京正上空。(×)
(4)极地卫星通过地球两极正上方，且始终和地球某一经线平面重合。(×)
(5)不同地球同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的。(√)
卫星运行参量的分析
(多选)如图所示，人造卫星A、B都绕地球做匀速圆周运动。两颗人造卫星的质量之比为mA∶mB＝1∶3，轨道半径之比为rA∶rB＝2∶3，则A、B两颗人造卫星(　　)
A.周期之比为2∶3
B.线速度大小之比为∶
C.向心加速度大小之比为9∶4
D.动能之比为1∶2
答案：BCD
解析：根据万有引力提供向心力可得G＝mr＝m＝ma，可得T＝2π，v＝，a＝，则A、B两颗人造卫星的周期之比为TA∶TB＝∶＝2∶3，A、B两颗人造卫星的线速度大小之比为vA∶vB＝∶＝∶，A、B两颗人造卫星的向心加速度大小之比为aA∶aB＝∶＝9∶4，故A错误，B、C正确；A、B两颗人造卫星的动能之比为mA∶mB＝1∶2，故D正确。
针对练.(2025·湖北卷·T2)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是(　　)
学生用书 第84页
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
答案：A
解析：根据卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供可知G＝m＝mω2r＝mr＝ma，可得T＝2π，v＝，ω＝，a＝，因r甲＜r乙，可知卫星甲、乙运动的周期T甲＜T乙，线速度v甲＞v乙，角速度ω甲＞ω乙，向心加速度a甲＞a乙。故选A。
同步卫星
(多选)关于地球静止卫星，下列说法正确的是(　　)
A.它的周期与地球自转周期相同
B.它的周期、高度、速度大小都是一定的
C.地球静止卫星的轨道必须在赤道正上方
D.我国发射的同步通讯卫星可以定点在北京上空
答案：ABC
解析：地球静止卫星的周期与地球自转周期相同，故A正确；根据万有引力提供向心力有G＝m＝mr，因地球静止卫星的周期一定，则高度、速度大小都是一定的，地球静止卫星的轨道一定要在赤道正上方，故B、C正确；我国发射的同步通讯卫星要求对地面提供稳定的信号，必须相对地面静止，即同步通讯卫星应该是静止卫星，因此同步通讯卫星必须定点在赤道上空，故D错误。
利用三颗位置适当的地球静止卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。目前地球静止卫星的轨道半径为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗静止卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)
A.4 h B.8 h
C.9 h D.16 h
答案：A
解析：卫星绕地球运转时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即G＝mr，解得周期T＝2π，由此可见，卫星的轨道半径r越小，周期T就越小，周期最小时，三颗静止卫星连线构成的等边三角形与赤道圆相切，如图所示，
此时静止卫星轨道半径r＝2R，则T＝2π，又因为T0＝2π＝24 h，所以T＝T0＝×24 h≈4 h，A正确。
地球静止卫星的六个“一定”
注意：地球同步卫星不一定在赤道正上方。
同步卫星、近地卫星与赤道上物体的参量比较
模型
卫星或物体 近地卫星 同步卫星 赤道上随地球自转的物体
向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2＞r3＝r1
续表
角速度 由G＝mω2r得ω＝，故ω1＞ω2 同步卫星与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
线速度 由G＝m得v＝，故v1＞v2 由v＝rω得v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心加速度 由G＝man得an＝，故an1＞an2 由an＝ω2r得an2＞an3
an1＞an2＞an3
拓展应用.有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星。设地球自转周期为24 h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则下列关于卫星的说法中正确的是(　　)
A.a的向心加速度等于重力加速度g
B.c在4 h内转过的圆心角为
C.b在相同的时间内转过的弧长最长
D.d的运动周期可能是23 h
答案：C
解析：同步卫星的运行周期与地球自转周期相同，角速度相同，则a和c的角速度相同，根据an＝ω2r知，c的向心加速度大于a的向心加速度；由G＝man知，c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误。由于c为同步卫星，所以c的周期为24 h，因此4 h内转过的圆心角为θ＝·2π＝，故B错误。根据v＝ωr知vc＞va，根据G＝m知vb＞vc＞vd，则b运行的线速度最大，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，故C正确。根据G＝mr知，d的运动周期比c长，所以其周期应大于24 h，故D错误。故选C。
学生用书 第85页
考点二　宇宙速度
三个宇宙速度
第一宇宙速度 (环绕速度) v1＝7.9 km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度
第二宇宙速度 (逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
【正误辨析】
(1)我国空间站的速率大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s。(×)
(2)嫦娥六号的发射速度满足7.9 km/s＜v＜11.2 km/s。(√)
(3)火星探测器“天问一号”的发射速度大于16.7 km/s。(×)
1.第一宇宙速度的理解
(1)公式推导
方法一：由G＝m得v1＝＝ m/s≈7.9 km/s。
方法二：由mg＝m得v1＝＝ m/s≈7.9 km/s。
(2)意义：第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
说明：对应卫星的运行周期最短，Tmin＝2π ≈5 078 s≈85 min。
(3)第一宇宙速度v1与第二宇宙速度v2的关系：v2＝v1。
2.发射速度与运动轨迹
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
(多选)(2024·湖南卷·T7)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　)
A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
答案：BD
解析：返回舱在该绕月轨道上运动时由万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有G＝m，由月球表面万有引力和重力的关系有 G＝m'g月，联立解得 v月＝，同理可得 v地＝，代入题中数据可得 v月＝v地，故A错误，B正确；根据线速度和周期的关系有T＝，根据以上分析可得 T月＝T地，故C错误，D正确。故选BD。
学生用书 第86页
针对练.(2026·甘肃白银模拟预测)我国某研究团队提出以磁悬浮旋转抛射为核心的航天器发射新技术。已知地球和火星的半径之比约为2∶1，质量之比约为9∶1。若在地球表面抛射绕地航天器的最小抛射速度为v1，在火星表面抛射绕火星航天器的最小抛射速度为v2，则v1与v2大小之比约为(　　)
A.9∶2 B.3∶
C.9∶ D.2∶9
答案：B
解析：由题可知，抛射航天器所需要的最小抛射速度为中心天体的第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力有G＝m，可得中心天体的第一宇宙速度v＝，所以在地球表面和火星表面抛射航天器所需的最小抛射速度大小之比约为3∶。故选B。
星球的“瓦解”及黑洞
1.星球的“瓦解”
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即G＝mω2R，解得ω＝。当ω＞时，星球瓦解；当ω＜ 时，星球稳定运行。
2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
拓展应用1.我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现一毫秒脉冲星，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×1 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(π＝3.14)(　　)
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
答案：C
解析：毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G≥mR，又知M＝ρ·πR3，整理得密度ρ≥＝ kg/m3≈5×1015 kg/m3。故选C。
拓展应用2.科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：对近地卫星，由万有引力提供向心力有G＝m，地球的第一宇宙速度为v1＝，由题知，该天体的质量为kM，同理可知，该天体的第一宇宙速度为v2＝，要使该天体成为黑洞，则有v2＞c，联立解得r＜。故选D。
考点三　相对论时空观
1.狭义相对论的两个基本假设
(1)狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。
(2)光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。
2.时间延缓效应
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，则有Δt＝。
3.长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0。
(多选)接近光速飞行的飞船和地球上各有一只相同的铯原子钟，飞船和地球上的人观测这两只钟的快慢，下列说法正确的有(　　)
A.飞船上的人观测到飞船上的钟较快
B.飞船上的人观测到飞船上的钟较慢
C.地球上的人观测到地球上的钟较快
D.地球上的人观测到地球上的钟较慢
答案：AC
解析：根据时间延缓效应可知，由于飞船上的人相对飞船上的钟是静止的，而观测到地球上的钟是高速运动的，因此飞船上的人观测到飞船上的钟比地球上的钟快，故A正确，B错误；同理，地球上的人观测到飞船上的钟是高速运动的，因此地球上的人观测到地球上的钟比飞船上的钟快，故C正确，D错误。故选AC。
课时测评24　宇宙航行　相对论
(时间：30分钟　满分：60分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－12，每题5分，共60分)
题组1　卫星、天体运行参量的分析
1.(2025·湖南怀化三模)2025年3月我国科学家通过研究嫦娥六号采回的月球背面月壤样品，取得重大突破，对理解月球乃至太阳系早期演化具有重大科学意义，“嫦娥六号”任务圆满成功。假设“嫦娥六号”绕某一中心天体运动的圆轨道半径减为原来的一半时，则“嫦娥六号”(　　)
A.向心加速度变为原来的2倍
B.线速度变为原来的2倍
C.运动周期变为原来的
D.所受万有引力变为原来的倍
答案：C
解析：根据G＝man，可得an＝，可知向心加速度变为原来的4倍，故A错误；根据G＝m，可得v＝，可知线速度变为原来的倍，故B错误；根据G＝mr，可得T＝2π，可知运动周期变为原来的，故C正确；根据F＝G，可知“嫦娥六号”所受万有引力变为原来的4倍，故D错误。
2.土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是(　　)
A 若v2∝R，则该层是土星的卫星群
B.若v∝R，则该层是土星的一部分
C.若v∝，则该层是土星的卫星群
D.若v2∝，则该层是土星的一部分
答案：B
解析：若外层的环是土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v＝ωR得v∝R，B正确，D错误；若外层的环是土星的卫星群，则由G＝m得v2∝，故A、C错误。
3.(多选)(2025·江西萍乡三模)如图，北斗系统主要由离地面高度为6R(R为地球半径)的同步卫星和离地面高度为3R的中轨道卫星组成，两轨道均看作圆轨道，忽略地球自转。下列说法正确的是(　　)
A.中轨道卫星与同步卫星的运行动能之比为7∶4
B.中轨道卫星与同步卫星的向心加速度大小之比为7∶4
C.中轨道卫星与同步卫星的线速度大小之比为∶2
D.中轨道卫星与同步卫星的运行周期之比为8∶7
答案：CD
解析：设M表示地球的质量，m表示卫星的质量，根据万有引力提供向心力有G＝m＝mr＝man，解得v＝，T＝2π，an＝，中轨道卫星与同步卫星的线速度大小之比为＝＝，由于卫星的质量未知，故动能无法比较，故A错误，C正确；中轨道卫星与同步卫星的向心加速度大小之比为＝＝，故B错误；中轨道卫星与同步卫星的运行周期之比为＝＝，故D正确。
4.(2025·河南卷·T3)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese 12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese 12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese 12b绕其母恒星的运动周期约为(　　)
A.13天 B.27天
C.64天 D.128天
答案：A
解析：地球绕太阳运行的周期约为T0＝365天，根据万有引力提供向心力得G＝mr0，G＝mr，已知r＝r0，M＝M0，整理得＝，代入数据得T＝T0≈13天。故选A。
题组2　宇宙速度
5.(2026·青海海东模拟)火星为太阳系里四颗类地行星之一，火星的半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的十分之一，把地球和火星看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转，则火星与地球的第一宇宙速度大小之比约为(　　)
A.1∶ B.2∶5
C.3∶5 D.2∶3
答案：A
解析：对绕星球表面做匀速圆周运动的物体，根据万有引力提供向心力有G＝m，则v＝，可得＝＝。故选A。
6.(2026·山西临汾模拟)我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验。假设飞船在距离月球表面的高度等于月球半径处绕月球做匀速圆周运动，周期为T；已知月球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A.该飞船在轨的速度大小为
B.月球的质量为
C.月球两极的重力加速度为
D.月球的第一宇宙速度为
答案：C
解析：该飞船在轨的速度大小为v＝＝，故A错误；根据G＝m·2R，解得月球的质量为M＝，故B错误；根据G＝mg，可得月球两极的重力加速度为g＝，故C正确；根据G＝m，可得月球的第一宇宙速度为v1＝，故D错误。
7.(多选)若某人造卫星入轨后绕地球做匀速圆周运动，且轨道半径大于地球半径，小于地球同步卫星的轨道半径，则下列说法正确的是(　　)
A.该卫星的周期大于1天
B.该卫星的周期小于1天
C.该卫星的线速度大于地球的第一宇宙速度
D.该卫星的线速度小于地球的第一宇宙速度
答案：BD
解析：根据G＝mr，可得T＝，可知，轨道半径越大，其周期越大，由题意可知该卫星轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所以其周期小于同步卫星的周期，即周期小于1天，故A错误，B正确；根据G＝m，可得v＝，当轨道半径与地球半径相同时，其卫星环绕地球的速度最大，此时速度的大小为第一宇宙速度，由于该卫星的轨道半径大于地球的半径，所以其线速度小于第一宇宙速度，故C错误，D正确。
8.(2025·甘肃卷·T2)如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A.若v＝，小星球做匀速圆周运动
B.若 ＜v＜，小星球做抛物线运动
C.若v＝，小星球做椭圆运动
D.若v＞，小星球可能与恒星相撞
答案：A
解析：若小星球绕恒星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，故A正确；将该恒星等效为质量为M、半径为R的中心天体，则第一宇宙速度为，第二宇宙速度为，若小星球的速度大于或等于，小星球将脱离该恒星束缚，不会做椭圆运动，也不会与恒星相撞，故C、D错误；若＜v＜，万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，故B错误。
9.某卫星运行轨道高度为600 km，地球同步卫星高度为35 600 km，地球半径为6 400 km。关于该卫星，下列说法正确的是(　　)
A.运行周期为40 min
B.发射速度大于11.2 km/s
C.能始终定点在地球表面某位置正上方
D.与同步卫星运行线速度之比为∶1
答案：A
解析：根据开普勒第三定律得＝ ，r＝7 000 km，r同＝42 000 km，T同＝1 440 min，解得T＝40 min，A正确；若发射速度大于11.2 km/s，就脱离地球了，所以发射速度小于11.2 km/s，B错误；其运行周期小于24 h，不能始终定点在地球表面某位置正上方，C错误；根据万有引力提供向心力得G＝m，解得v＝，该卫星与同步卫星运行线速度之比为v1∶v2＝＝∶1，D错误。
10.(多选)(2025·海南海口三模)由于地球的自转，地球赤道和两极处的重力加速度有差别。已知赤道处重力加速度为g，两极处重力加速度为g'，地球可以看作半径为R的均匀球体，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A.地球自转的角速度大小为
B.地球自转的角速度大小为
C.同步卫星距地面的高度为R
D.同步卫星距地面的高度为R
答案：AD
解析：两极处重力加速度为g'，则G＝mg'，赤道处重力加速度为g，则G－mg＝mRω2，解得ω＝，故B错误，A正确；同步卫星的角速度与地球自转角速度相等，则G＝mω2(R＋h)，解得h＝(－1)R，故C错误，D正确。
11.(2026·重庆二模)2025年4月24日，长征二号F遥二十运载火箭搭载神舟二十号载人飞船发射成功，随后与空间站对接成功，完成了中国载人航天史上的第六次“太空会师”。空间站绕地球的运动可以看作匀速圆周运动，已知空间站离地面高度为h(约为400 km)，地球半径为R(约为6 400 km)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则(　　)
A.悬浮在空间站内的物体，不受重力的作用
B.根据已知信息可以求得地球的平均密度为
C.空间站运行的线速度与第一宇宙速度之比约为4∶
D.空间站的向心加速度小于赤道上物体随地球自转的向心加速度
答案：C
解析：悬浮在空间站内的物体，受万有引力作用，即受到重力作用，A错误；地球的平均密度为ρ＝，在地面附近，万有引力等于重力，则有G＝mg，联立解得ρ＝，B错误；根据万有引力提供向心力则有G＝m，解得v＝，所以空间站运行的线速度与第一宇宙速度之比约为＝＝，C正确；根据万有引力提供向心力，有G＝man，解得an＝，由于空间站的轨道半径小于静止卫星的轨道半径，所以空间站的向心加速度大于静止卫星的向心加速度，而赤道上物体随地球自转的角速度与静止卫星的角速度相等，根据an＝ω2r可知，静止卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，所以空间站的向心加速度大于赤道上物体随地球自转的向心加速度，D错误。
12.(多选)(2026·安徽蚌埠模拟)月球绕地球的运动可视为匀速圆周运动，且月球的一面始终正对地球。已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R0，月球质量为m，月球半径为R，月球绕地球运动的轨道半径为r，引力常量为G。假设月球有同步卫星且只受月球引力作用，则月球同步卫星绕月球运动的(　　)
A.周期为2π
B.周期为2π
C.轨道半径为r
D.轨道半径为r
答案：AC
解析：在地球表面有G＝m0g，月球绕地球运动，由万有引力提供向心力有G＝mr，解得T月＝2π，又因为月球同步卫星绕月球运动的周期T同与月球自转周期相同，而月球绕地球运动时其一面始终正对地球，所以月球的自转周期T同等于月球绕地球运动的周期T月，即月球同步卫星绕月球运动的周期为2π，故A正确，B错误；根据万有引力提供向心力有G＝m同r同，联立可得月球同步卫星绕月球运动的轨道半径为r同＝r，故C正确，D错误。(共63张PPT)
第2讲　宇宙航行　相对论
高三总复习讲义　新高考
第五章 万有引力与宇宙航行
1.掌握卫星运动的规律，会分析卫星运行时各物理量之间的关系。
2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。
3.理解同步卫星的特点，会比较同步卫星、近地卫星及赤道上物体的物理量间
的关系。
4.了解相对论时空观。
学习目标
内容索引
考点一　卫星、天体运行参量的分析
考点二　宇宙速度
课时测评
考点三　相对论时空观
卫星、天体运行参量的分析
考点一
1.卫星、天体运行参量的分析
G＝
知识梳理
即r越大，v、ω、a越小，T越大。
2.人造卫星的三种轨道
所有轨道的卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合
赤道轨道 卫星轨道在赤道所在平面上，卫星始终处于赤道上方
极地轨道 卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星经过两极上空
一般轨道 卫星轨道平面和赤道平面成一定角度(不等于0°或90°)
3.地球同步卫星
(1)定义：地球同步卫星位于地面上方高度约________ km处，周期与地球自转周期______。
(2)静止卫星：地球同步卫星中轨道平面与赤道平面成___度角，运动方向与地球自转方向______，相对地面______。
4.近地卫星
轨道在__________附近运行的卫星，其轨道半径r≈R(地球半径)，运行速度的大小等于第一宇宙速度v＝___________(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，运行周期T≈85 min(人造地球卫星的最小运行周期)。
36 000
相同
0
相同
静止
地球表面
7.9 km/s
正误辨析
(1)地球近地卫星的周期最小。 ( )
(2)地球周围的卫星都在同一圆轨道上绕地球转动。 ( )
(3)我国的地球同步卫星可以定点在北京正上空。 ( )
(4)极地卫星通过地球两极正上方，且始终和地球某一经线平面重合。
( )
(5)不同地球同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的。
( )
√
×
×
×
√
考向1 卫星运行参量的分析
(多选)如图所示，人造卫星A、B都绕地球做匀速圆周运动。两颗人造卫星的质量之比为mA∶mB＝1∶3，轨道半径之比为rA∶rB＝2∶3，则A、B两颗人造卫星
A.周期之比为2∶3
B.线速度大小之比为∶
C.向心加速度大小之比为9∶4
D.动能之比为1∶2
核心突破
例1
√
√
√
根据万有引力提供向心力可得G＝mr＝m＝ma，可得T＝2π，v＝，a＝，则A、B两颗人造卫星的周期之比为TA∶TB＝∶＝2∶3，A、B两颗人造卫星的线速度大小之比为vA∶vB＝∶＝∶，A、B两颗人造卫星的向心加速度大小之比为aA∶aB＝∶＝9∶4，故A错误，B、C正确；A、B两颗人造卫星的动能之比为mA∶mB＝1∶2，故D正确。
针对练.(2025·湖北卷·T2)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
√
根据卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供可知G＝m＝mω2r＝mr＝ma，可得T＝2π，v＝，ω＝，a＝，因r甲＜r乙，可知卫星甲、乙运动的周期T甲＜T乙，线速度v甲＞v乙，角速度ω甲＞ω乙，向心加速度
a甲＞a乙。故选A。
考向2 同步卫星
(多选)关于地球静止卫星，下列说法正确的是
A.它的周期与地球自转周期相同
B.它的周期、高度、速度大小都是一定的
C.地球静止卫星的轨道必须在赤道正上方
D.我国发射的同步通讯卫星可以定点在北京上空
√
例2
√
√
地球静止卫星的周期与地球自转周期相同，故A正确；根据万有引力提供向心力有G＝m＝mr，因地球静止卫星的周期一定，则高度、速度大小都是一定的，地球静止卫星的轨道一定要在赤道正上方，故B、C正确；我国发射的同步通讯卫星要求对地面提供稳定的信号，必须相对地面静止，即同步通讯卫星应该是静止卫星，因此同步通讯卫星必须定点在赤道上空，故D错误。
利用三颗位置适当的地球静止卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。目前地球静止卫星的轨道半径为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗静止卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为
A.4 h B.8 h
C.9 h D.16 h
√
例3
卫星绕地球运转时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即G＝mr，解得周期T＝2π，由此可见，卫星的轨道半径r越小，周期T就越小，周期最小时，三颗静止卫星连线构成的等边三角形与赤道圆相切，如图所示，
此时静止卫星轨道半径r＝2R，则T＝2π，又因为T0＝2π＝24 h，所以T＝T0＝×24 h≈4 h，A正确。
地球静止卫星的六个“一定”
注意：地球同步卫星不一定在赤道正上方。
总结提升
同步卫星、近地卫星与赤道上物体的参量比较
能力拓展
模型
卫星或物体 近地卫星 同步卫星 赤道上随地球自转的物体
向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2＞r3＝r1
能力拓展
角速度 由G＝mω2r得ω＝，故ω1＞ω2 同步卫星与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
线速度 由G＝m得v＝，故v1＞v2 由v＝rω得v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心加速度 由G＝man得an＝，故an1＞an2 由an＝ω2r得an2＞an3
an1＞an2＞an3
拓展应用.有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星。设地球自转周期为24 h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则下列关于卫星的说法中正确的是
A.a的向心加速度等于重力加速度g
B.c在4 h内转过的圆心角为
C.b在相同的时间内转过的弧长最长
D.d的运动周期可能是23 h
√
同步卫星的运行周期与地球自转周期相同，角速度相同，则a和c的角速度相同，根据an＝ω2r知，c的向心加速度大于a的向心加速度；由G＝man知，c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误。由于c为同步卫星，所以c的周期为24 h，因此4 h内转过的圆心角为θ＝·2π＝，故B错误。根据v＝ωr知vc＞va，根据G＝m知vb＞vc＞vd，则b运行的线速度最大，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，故C正确。根据G＝mr知，d的运动周期比c长，所以其周期应大于24 h，故D错误。故选C。
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宇宙速度
考点二
三个宇宙速度
知识梳理
第一宇宙速度 (环绕速度) v1＝_____ km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的______发射速度
第二宇宙速度 (逃逸速度) v2＝______ km/s，是物体挣脱______引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 v3＝______ km/s，是物体挣脱______引力束缚的最小发射速度
7.9
最小
11.2
地球
16.7
太阳
正误辨析
(1)我国空间站的速率大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s。 ( )
(2)嫦娥六号的发射速度满足7.9 km/s＜v＜11.2 km/s。 ( )
(3)火星探测器“天问一号”的发射速度大于16.7 km/s。 ( )
×
√
×
1.第一宇宙速度的理解
(1)公式推导
方法一：由G＝m得v1＝＝ m/s≈7.9 km/s。
方法二：由mg＝m得v1＝＝ m/s≈7.9 km/s。
(2)意义：第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
说明：对应卫星的运行周期最短，Tmin＝2π ≈5 078 s≈85 min。
(3)第一宇宙速度v1与第二宇宙速度v2的关系：v2＝v1。
核心突破
2.发射速度与运动轨迹
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的
空间。
(多选)(2024·湖南卷·T7)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是
A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
√
例4
√
返回舱在该绕月轨道上运动时由万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有G＝m，由月球表面万有引力和重力的关系有 G＝m'g月，联立解得 v月＝，同理可得 v地＝，代入题中数据可得 v月＝v地，故A错误，B正确；根据线速度和周期的关系有T＝，根据以上分析可得 T月＝T地，故C错误，D正确。故选BD。
针对练.(2026·甘肃白银模拟预测)我国某研究团队提出以磁悬浮旋转抛射为核心的航天器发射新技术。已知地球和火星的半径之比约为2∶1，质量之比约为9∶1。若在地球表面抛射绕地航天器的最小抛射速度为v1，在火星表面抛射绕火星航天器的最小抛射速度为v2，则v1与v2大小之比约为
A.9∶2 B.3∶
C.9∶ D.2∶9
√
由题可知，抛射航天器所需要的最小抛射速度为中心天体的第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力有G＝m，可得中心天体的第一宇宙速度v＝，所以在地球表面和火星表面抛射航天器所需的最小抛射速度大小之比约为3∶。故选B。
星球的“瓦解”及黑洞
1.星球的“瓦解”
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即G＝mω2R，解得ω＝。当ω＞时，星球瓦解；当ω＜ 时，星球稳定运行。
模型拓展
2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
模型拓展
拓展应用1.我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现一毫秒脉冲星，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×1 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(π＝3.14)
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
√
毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G≥mR，又知M＝ρ·πR3，整理得密度ρ≥＝ kg/m3≈5×
1015 kg/m3。故选C。
拓展应用2.科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于
A. B.
C. D.
√
对近地卫星，由万有引力提供向心力有G＝m，地球的第一宇宙速度为v1＝，由题知，该天体的质量为kM，同理可知，该天体的第一宇宙速度为v2＝，要使该天体成为黑洞，则有v2＞c，联立解得r＜。故选D。
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相对论时空观
考点三
1.狭义相对论的两个基本假设
(1)狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是______的。
(2)光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是______的。
2.时间延缓效应
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，则有Δt＝。
知识梳理
相同
相同
3.长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0。
(多选)接近光速飞行的飞船和地球上各有一只相同的铯原子钟，飞船和地球上的人观测这两只钟的快慢，下列说法正确的有
A.飞船上的人观测到飞船上的钟较快
B.飞船上的人观测到飞船上的钟较慢
C.地球上的人观测到地球上的钟较快
D.地球上的人观测到地球上的钟较慢
核心突破
例5
√
√
返回
课 时 测 评
题组1　卫星、天体运行参量的分析
1.(2025·湖南怀化三模)2025年3月我国科学家通过研究嫦娥六号采回的月球背面月壤样品，取得重大突破，对理解月球乃至太阳系早期演化具有重大科学意义，“嫦娥六号”任务圆满成功。假设“嫦娥六号”绕某一中心天体运动的圆轨道半径减为原来的一半时，则“嫦娥六号”
A.向心加速度变为原来的2倍
B.线速度变为原来的2倍
C.运动周期变为原来的
D.所受万有引力变为原来的倍
√
根据G＝man，可得an＝，可知向心加速度变为原来的4倍，故A错误；根据G＝m，可得v＝，可知线速度变为原来的倍，故B错误；根据G＝mr，可得T＝2π，可知运动周期变为原来的，故C正确；根据F＝G，可知“嫦娥六号”所受万有引力变为原来的4倍，故D错误。
2.土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是
A.若v2∝R，则该层是土星的卫星群
B.若v∝R，则该层是土星的一部分
C.若v∝，则该层是土星的卫星群
D.若v2∝，则该层是土星的一部分
√
若外层的环是土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v＝ωR得v∝R，B正确，D错误；若外层的环是土星的卫星群，则由G＝m得v2∝，故A、C错误。
3.(多选)(2025·江西萍乡三模)如图，北斗系统主要由离地面高度为6R(R为地球半径)的同步卫星和离地面高度为3R的中轨道卫星组成，两轨道均看作圆轨道，忽略地球自转。下列说法正确的是
A.中轨道卫星与同步卫星的运行动能之比为7∶4
B.中轨道卫星与同步卫星的向心加速度大小之比为7∶4
C.中轨道卫星与同步卫星的线速度大小之比为∶2
D.中轨道卫星与同步卫星的运行周期之比为8∶7
√
√
设M表示地球的质量，m表示卫星的质量，根据万有引力
提供向心力有G＝m＝mr＝man，解得v＝，T
＝2π，an＝，中轨道卫星与同步卫星的线速度大小
之比为＝＝，由于卫星的质量未知，故动能无法比较，故A错误，C正确；中轨道卫星与同步卫星的向心加速度大小之比为＝＝，故B错误；中轨道卫星与同步卫星的运行周期之比为＝＝，故D正确。
4.(2025·河南卷·T3)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese 12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese 12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese 12b绕其母恒星的运动周期约为
A.13天 B.27天
C.64天 D.128天
√
解析：地球绕太阳运行的周期约为T0＝365天，根据万有引力提供向心力得G＝mr0，G＝mr，已知r＝r0，M＝M0，整理得＝，代入数据得T＝T0≈13天。故选A。
题组2　宇宙速度
5.(2026·青海海东模拟)火星为太阳系里四颗类地行星之一，火星的半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的十分之一，把地球和火星看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转，则火星与地球的第一宇宙速度大小之比约为
A.1∶ B.2∶5
C.3∶5 D.2∶3
√
对绕星球表面做匀速圆周运动的物体，根据万有引力提供向心力有G＝m，则v＝，可得＝＝。故选A。
6.(2026·山西临汾模拟)我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验。假设飞船在距离月球表面的高度等于月球半径处绕月球做匀速圆周运动，周期为T；已知月球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是
A.该飞船在轨的速度大小为
B.月球的质量为
C.月球两极的重力加速度为
D.月球的第一宇宙速度为
√
该飞船在轨的速度大小为v＝＝，故A错误；根据G＝m·2R，解得月球的质量为M＝，故B错误；根据G＝mg，可得月球两极的重力加速度为g＝，故C正确；根据G＝m，可得月球的第一宇宙速度为v1＝，故D错误。
7.(多选)若某人造卫星入轨后绕地球做匀速圆周运动，且轨道半径大于地球半径，小于地球同步卫星的轨道半径，则下列说法正确的是
A.该卫星的周期大于1天
B.该卫星的周期小于1天
C.该卫星的线速度大于地球的第一宇宙速度
D.该卫星的线速度小于地球的第一宇宙速度
√
√
根据G＝mr，可得T＝，可知，轨道半径越大，其周期越大，由题意可知该卫星轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所以其周期小于同步卫星的周期，即周期小于1天，故A错误，B正确；根据G＝m，可得v＝，当轨道半径与地球半径相同时，其卫星环绕地球的速度最大，此时速度的大小为第一宇宙速度，由于该卫星的轨道半径大于地球的半径，所以其线速度小于第一宇宙速度，故C错误，D正确。
8.(2025·甘肃卷·T2)如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是
A.若v＝，小星球做匀速圆周运动
B.若 ＜v＜，小星球做抛物线运动
C.若v＝，小星球做椭圆运动
D.若v＞，小星球可能与恒星相撞
√
若小星球绕恒星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有G＝
m，解得v＝，故A正确；将该恒星等效为质量为M、半径为
R的中心天体，则第一宇宙速度为，第二宇宙速度为，若
小星球的速度大于或等于，小星球将脱离该恒星束缚，不会做椭圆运动，也不会与恒星相撞，故C、D错误；若＜v＜，万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，故B错误。
9.某卫星运行轨道高度为600 km，地球同步卫星高度为35 600 km，地球半径为6 400 km。关于该卫星，下列说法正确的是
A.运行周期为40 min
B.发射速度大于11.2 km/s
C.能始终定点在地球表面某位置正上方
D.与同步卫星运行线速度之比为∶1
√
根据开普勒第三定律得＝ ，r＝7 000 km，r同＝42 000 km，T同＝1 440 min，解得T＝40 min，A正确；若发射速度大于11.2 km/s，就脱离地球了，所以发射速度小于11.2 km/s，B错误；其运行周期小于
24 h，不能始终定点在地球表面某位置正上方，C错误；根据万有引力提供向心力得G＝m，解得v＝，该卫星与同步卫星运行线速度之比为v1∶v2＝＝∶1，D错误。
10.(多选)(2025·海南海口三模)由于地球的自转，地球赤道和两极处的重力加速度有差别。已知赤道处重力加速度为g，两极处重力加速度为g'，地球可以看作半径为R的均匀球体，引力常量为G，下列说法正确的是
A.地球自转的角速度大小为
B.地球自转的角速度大小为
C.同步卫星距地面的高度为R
D.同步卫星距地面的高度为R
√
√
两极处重力加速度为g'，则G＝mg'，赤道处重力加速度为g，则G－mg＝mRω2，解得ω＝，故B错误，A正确；同步卫星的角速度与地球自转角速度相等，则G＝mω2(R＋h)，解得h＝(
－1)R，故C错误，D正确。
11.(2026·重庆二模)2025年4月24日，长征二号F遥二十运载火箭搭载神舟二十号载人飞船发射成功，随后与空间站对接成功，完成了中国载人航天史上的第六次“太空会师”。空间站绕地球的运动可以看作匀速圆周运动，已知空间站离地面高度为h(约为400 km)，地球半径为R(约为6 400 km)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则
A.悬浮在空间站内的物体，不受重力的作用
B.根据已知信息可以求得地球的平均密度为
C.空间站运行的线速度与第一宇宙速度之比约为4∶
D.空间站的向心加速度小于赤道上物体随地球自转的向心加速度
√
悬浮在空间站内的物体，受万有引力作用，即受到重力作用，A错误；地球的平均密度为ρ＝，在地面附近，万有引力等于重力，则有G＝mg，联立解得ρ＝，B错误；根据万有引力提供向心力则有G＝m，解得v＝，所以空间站运行的线速度与第一宇宙速度之比约为＝＝，C正确；
根据万有引力提供向心力，有G＝man，解得an＝，由于空间站的轨道半径小于静止卫星的轨道半径，所以空间站的向心加速度大于静止卫星的向心加速度，而赤道上物体随地球自转的角速度与静止卫星的角速度相等，根据an＝ω2r可知，静止卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，所以空间站的向心加速度大于赤道上物体随地球自转的向心加速度，D错误。
12.(多选)(2026·安徽蚌埠模拟)月球绕地球的运动可视为匀速圆周运动，且月球的一面始终正对地球。已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R0，月球质量为m，月球半径为R，月球绕地球运动的轨道半径为r，引力常量为G。假设月球有同步卫星且只受月球引力作用，则月球同步卫星绕月球运动的
A.周期为2π B.周期为2π
C.轨道半径为r D.轨道半径为r
√
√
在地球表面有G＝m0g，月球绕地球运动，由万有引力提供向心力有G＝mr，解得T月＝2π，又因为月球同步卫星绕月球运动的周期T同与月球自转周期相同，而月球绕地球运动时其一面始终正对地球，所以月球的自转周期T同等于月球绕地球运动的周期T月，即月球同步卫星绕月球运动的周期为2π，故A正确，B错误；根据万有引力提供向心力有G＝m同r同，联立可得月球同步卫星绕月球运动的轨道半径为r同＝r，故C正确，D错误。
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第2讲　宇宙航行　相对论

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