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专题提升六　天体运动中的三类典型问题
【学习目标】　1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.会处理天体运动中的“追及相遇”问题。3.理解双星及多星模型的特点，会处理相关问题。
提升点一　卫星的变轨和对接问题
1.卫星发射
(1)在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G＜m，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在椭圆轨道B点(远地点)，G＞m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。
2.变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB，四个速度关系为vA＞v1＞v3＞vB。
(2)向心加速度：在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系为aⅠA＝aⅡA，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度关系为aⅡB＝aⅢB，A、B两点向心加速度关系为aⅠA＝aⅡA＞aⅡB＝aⅢB。
(3)周期：卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为T1＜T2＜T3。
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为E1＜E2＜E3。
3.宇宙飞船与空间站的对接
宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，通常让宇宙飞船在较低轨道上加速，通过做离心运动升高轨道，从而完成宇宙飞船与空间站的对接。
卫星的变轨问题
(2026·广东广州模拟)如图是嫦娥六号绕月运行的简化图，轨道Ⅰ为绕月圆轨道，嫦娥六号在A点可以沿椭圆轨道Ⅱ运动到B点，且A点为轨道Ⅱ的远月点，B点为近月点。下列说法正确的是(　　)
A.嫦娥六号在A点加速可由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
B.嫦娥六号在轨道Ⅱ运行时A点速度大于B点速度
C.嫦娥六号在轨道Ⅰ的机械能比轨道Ⅱ的机械能大
D.嫦娥六号在轨道Ⅰ上A点的加速度大于其在轨道Ⅱ上A点的加速度
答案：C
解析：嫦娥六号在A点减速，做近心运动，可由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故A错误；根据开普勒第二定律，嫦娥六号在轨道Ⅱ运行时A点速度小于B点速度，故B错误；同一卫星轨道越高，机械能越大，嫦娥六号在轨道Ⅰ的高度更大，则嫦娥六号在轨道Ⅰ的机械能比轨道Ⅱ的机械能大，故C正确；根据牛顿第二定律有G＝ma，可得a＝，嫦娥六号在轨道Ⅰ上A点的加速度等于其在轨道Ⅱ上A点的加速度，故D错误。
飞船与空间站的对接问题
(2025·湖北襄阳三模)天舟九号货运飞船入轨后顺利完成状态设置，于北京时间2025年7月15日，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。对接后的“结合体”仍在空间站原轨道运行。对接前“天宫空间站”与“天舟九号”的轨道如图所示，则(　　)
A.对接前，“天宫空间站”的线速度大于“天舟九号”的线速度
B.为实现对接，“天舟九号”需要太空刹车，减速与“天宫空间站”对接
C.对接前，“天宫空间站”的向心加速度小于“天舟九号”的向心加速度
D.对接后“结合体”绕地球公转周期小于对接前“天宫空间站”的公转周期
答案：C
解析：“天舟九号”与“天宫空间站”对接前绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有G＝mr＝m＝ma，解得T＝2π，v＝，a＝，“天舟九号”的轨道半径小于“天宫空间站”的轨道半径，则“天宫空间站”的线速度小于“天舟九号”的线速度，“天宫空间站”的向心加速度小于“天舟九号”的向心加速度，对接后“结合体”绕地球公转周期等于对接前“天宫空间站”的公转周期，故A、D错误，C正确；“天舟九号”需要经过点火加速才能从低轨道变轨进入高轨道，实现对接，故B错误。
学生用书 第88页
提升点二　天体运动中的“追及相遇”问题
1.天体运动中的“追及相遇”问题：是指围绕同一中心天体而且轨道共面运行的两个星体间相距“最近”或“最远”的问题。
以地球与某行星绕太阳的运动为例：
(1)如图甲所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的同侧时，行星和地球间相距“最近”(也称为“某星冲日”现象)。
(2)如图乙所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的异侧时，行星和地球间相距“最远”。
2.两个关键关系：地球和行星同向运行，从图甲位置开始计时。
角度 关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π (n＝1，2，3，…)，即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时相距最近
相距最远 ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)，即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远
圈数 关系 相距最近 －＝n(n＝1，2，3，…)
相距最远 －＝n－(n＝1，2，3，…)
(2025·山东德州三模)《诗经·大东》中写道：“东有启明，西有长庚”，这里指的是“金星”在清晨出现时称为“启明”，在傍晚出现时称为“长庚”。已知地球绕太阳公转的周期为T，金星绕太阳公转的周期为0.6T，下列说法正确的是(　　)
A.地球与金星的动能之比为∶
B.地球与金星每隔1.5T会相距最近一次
C.地球与金星的公转轨道半径之比为∶
D.地球与金星表面的重力加速度大小之比为∶
答案：B
解析：根据Ek＝mv2 ，地球与金星的质量之比未知，无法求出动能之比，A错误；根据题意得t－t＝2π ，解得t＝1.5T ，地球与金星每隔1.5T会相距最近一次，B正确；根据开普勒第三定律得＝，解得地球与金星的公转轨道半径之比为r地∶r金＝∶，C错误；根据mg＝G，地球与金星的质量比未知，半径比未知，无法求出表面的重力加速度大小之比，D错误。
针对练.(2026·山东滨州二模)如图所示，地球同步轨道上的卫星A与更高轨道上的卫星B都绕地球做匀速圆周运动，且与地球自转方向相同。已知地球自转周期为T，某时刻二者距离最近，再经过时间t，二者第一次相距最远。则(　　)
A.B的运动周期为
B.B的运动周期为
C.A的线速度小于B的线速度
D.A的向心加速度小于B的向心加速度
答案：A
解析：地球同步卫星的周期为T1＝T，当两卫星第一次相距最远时，满足t－t＝π，解得B的运动周期为T'＝，故A正确，B错误；根据万有引力提供向心力，有G＝m，可得v＝，因为卫星A的轨道半径小于卫星B的轨道半径，所以卫星A的线速度大于卫星B的线速度，故C错误；根据万有引力提供向心力，有G＝ma，可得a＝，因为卫星A的轨道半径小于卫星B的轨道半径，所以卫星A的向心加速度大于卫星B的向心加速度，故D错误。
提升点三　双星及多星模型
双星模型
图例
向心力来源 两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力
运动关联 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等
基本规律 G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2
半径 r1＋r2＝L，r1＝，r2＝
某研究团队追踪到一个奇特的双星系统，该系统包含一颗白矮星和一颗红矮星伴星，设白矮星质量为m1，
学生用书 第89页
红矮星质量为m2 ，两个星体质量分布均匀且二者之间的距离为L，引力常量为G，不计其他星球的影响，下列说法正确的是(　　)
A.白矮星与红矮星的向心力相同
B.白矮星与红矮星的线速度大小之比为
C.白矮星的角速度大小为
D.白矮星与红矮星的动量大小之比为
答案：C
解析：白矮星和红矮星的向心力由两星间的万有引力提供，大小相等，方向相反，故A错误；白矮星与红矮星的角速度相等，由于v＝ωr，则＝，根据G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，可以得到m1r1＝m2r2，因此＝，故B错误；根据G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2，解得ω＝，故C正确；结合B项分析，根据动量的公式p＝mv，可知动量大小之比为1∶1，故D错误。
三星模型
图例
向心力 来源 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力
运动 关联 同一图中，环绕星体做圆周运动的转动方向、半径、周期、角速度、线速度大小均相同
基本 规律 图甲：G＋G＝man 图乙：G×2cos 30°＝man
半径 图甲：r＝，图乙：r'＝
(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则(　　)
A.每颗星做圆周运动的线速度大小为
B.每颗星做圆周运动的角速度为
C.每颗星做圆周运动的周期为2π
D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
答案：ABC
解析：每颗星受到的合力大小为F＝2Gcos 30°＝G，轨道半径为r＝R，由合力提供向心力得F＝ma＝m＝mω2r＝mr，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，显然加速度a与质量m有关。故选ABC。
四星模型
图例
续表
向心力 来源 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力
运动 关联 同一图中，环绕星体做圆周运动的转动方向、半径、周期、角速度、线速度大小均相同
基本 规律 图甲：G×2cos 45°＋G＝man 图乙：G×2cos 30°＋G＝man
半径 图甲：r＝L，图乙：r'＝
拓展应用.(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法中正确的是(　　)
A.星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B.每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
C.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
答案：BD
解析：四颗质量相同的星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由G＋G＝mω2·L可知，星体做匀速圆周运动的角速度为ω＝，故B正确；由G＋G＝ma可知，星体做匀速圆周运动的加速度大小为a＝，所以若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由G＋G＝m可知，星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝ ，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。故选BD。
课时测评25　天体运动中的三类典型问题
(时间：30分钟　满分：50分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－5，每题4分，6－11，每题5分，共50分)
题组1　卫星的变轨和对接问题
1.如图为天舟九号与空间站天和核心舱交会对接的最后阶段，天舟九号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟九号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟九号喷射燃气的方向可能正确的是(　　)
答案：A
解析：要想使天舟九号与空间站在同一轨道上对接，则需要天舟九号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F＝m，可知必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，喷气产生的推力方向与喷气方向相反，则选项图A可能正确。
2.(多选)(2026·江西南昌模拟)天问一号探测器绕火星从椭圆轨道变轨到圆轨道的示意图如图所示，两轨道相切于P点，Q为圆轨道上的另一点，M点是椭圆轨道上的远火点，下列说法正确的是(　　)
A.探测器经过Q点时的加速度大于经过M点时的加速度
B.探测器经过Q点时的机械能大于经过M点时的机械能
C.探测器经过Q点时的速度大于经过M点时的速度
D.探测器在椭圆轨道与圆轨道上单位时间内扫过的面积相等
答案：AC
解析：Q点距火星较近，根据F＝G可知，探测器在Q点受到的引力大于在M点受到的引力，故探测器经过Q点时的加速度大于经过M点时的加速度，故A正确；轨道越高发动机对探测器做功越多，故探测器在椭圆轨道上的机械能大于在圆轨道上的机械能，故B错误；假设探测器在经过M点的圆轨道上运动的线速度大小为v，根据变轨原理可知v＞vM，根据G＝m，解得v0＝，又因为过M点的圆轨道半径大于过Q点的圆轨道半径，可知vQ＞v，综合可知vQ＞v＞vM，故C正确；探测器在不同轨道上单位时间内扫过的面积不相等，故D错误。
3.(2026·安徽合肥模拟)如图所示，嫦娥六号探测器在前往月球的过程中，首先进入“停泊轨道”绕地球做匀速圆周运动，在P点变速进入“椭圆轨道”并通过椭圆上的远地点Q点，然后进入“转移轨道”，接近月球时，被月球引力“俘获”，再通过变轨实现在“工作轨道”上匀速绕月飞行，然后择机降落。下列说法正确的是(　　)
A.探测器在Q点受到地球的万有引力大小大于在停泊轨道上受到地球的万有引力大小
B.探测器在椭圆轨道上P点的加速度大小等于在停泊轨道上P点的加速度大小
C.探测器在P点由停泊轨道进入椭圆轨道必须减速
D.探测器在椭圆轨道上运行时经过P点的速度比Q点的速度小
答案：B
解析：探测器在Q点与地球的距离大于在停泊轨道上与地球的距离，根据F＝G可得在Q点受到地球的万有引力大小小于在停泊轨道上受到地球的万有引力大小，故A错误；探测器在椭圆轨道上P点和停泊轨道上P点均只受万有引力，且距地球的距离相等，根据G＝ma可得探测器在椭圆轨道上P点的加速度大小等于在停泊轨道上P点的加速度大小，故B正确；探测器在P点进入椭圆轨道，做离心运动，所以在P点必须加速，故C错误；根据开普勒第二定律，探测器在椭圆轨道上运行时经过P点的速度比Q点的速度大，故D错误。
题组2　天体运动中的“追及相遇”问题
4.(2025·河南洛阳三模)2025年2月28日，太阳系的七大行星上演“七星连珠”的天文现象。已知太阳系的八大行星基本运行在同一平面上，地球绕太阳运行的公转轨道半径是火星公转轨道半径的，则火星与地球相邻两次相距最近大约需要(　　)
A.1.2年 B.1.8年 C.2.2年 D.3.7年
答案：C
解析：根据开普勒第三定律可得＝，解得T火＝T地，其中T地＝1年，设经过t时间火星与地球相邻两次相距最近，则有(ω地－ω火)t＝2π，得t＝≈2.2年。故选C。
5.(2026·山东日照二模)如图所示，卫星A、B均绕地心在同一平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，某时刻卫星B与地心连线和卫星A与地心连线的夹角为60°。已知卫星A为地球静止卫星，卫星B的周期约为2 h。则从该时刻至两卫星第一次相距最远所需的时间约为(　　)
A. h B. h
C. h D. h
答案：A
解析：因A的周期为TA＝24 h，B的周期为TB＝2 h，从该时刻至两卫星第一次相距最远有t－t＝，解得t＝ h。故选A。
题组3　双星及多星模型
6.(2025·四川巴中三模)两个天体A和B以相同的角速度绕某固定点O做匀速圆周运动，O点位于它们之间的连线上。A的轨道半径大于B，设两者总质量为M，质量中心间的距离为L。下列判断正确的是(　　)
A.天体A的线速度一定小于B
B.天体A的质量一定大于B
C.两天体的运动周期与M、L有关
D.当M一定时，距离L越大，角速度越大
答案：C
解析：设两个天体质量分别为mA、mB，轨道半径分别为rA、rB，角速度为ω，由于二者角速度相等，则线速度分别为vA＝ωrA，vB＝ωrB，则vA＞vB，故A错误；由万有引力定律可知G＝mAω2rA＝mBω2rB ，则＝，而且rA＞rB，可得mA＜mB，故B错误；对两个天体有G＝mAω2rA＝mBω2rB，由几何关系有rA＋rB＝L，联立解得M＝mA＋mB＝，而且T＝，整理可以得到T＝2π，可知两天体的运动周期与M、L有关，当总质量M一定时，L越大，则T越大，角速度越小，故C正确，D错误。
7.(2026·安徽阜阳期中)宇宙中大多数恒星系都是双星系统，如图所示，两颗远离其他星系的恒星A和B在相互之间的引力作用下绕O点做匀速圆周运动，且A星距离O点更近。轨道平面上的观测点P相对O点静止，观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线，已知引力常量为G，其中一颗恒星的质量为m，另一颗恒星的质量为3m，恒星的半径都远小于它们之间的距离。则以下说法正确的是(　　)
A.A的质量为m
B.该双星系统的运动周期为T
C.A、B相距的距离为r＝
D.在相同时间里，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为1∶3
答案：C
解析：观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线，该双星系统的运动周期为2T，故B错误；根据万有引力提供向心力有G＝mArA＝mBrB，解得mArA＝mBrB，＝，因此质量大的恒星运动半径较小，可知，A的质量为3m，又有rA＋rB＝r，解得r＝，故A错误，C正确；单位时间内恒星与O点连线扫过的面积S＝，则相同时间内，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为＝＝＝，故D错误。
8.若嫦娥六号探测器在月球附近轨道上运行的示意图如图所示，嫦娥六号探测器先在圆轨道上做匀速圆周运动，运动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月点。下列说法正确的是(　　)
A.嫦娥六号探测器在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短
B.嫦娥六号探测器在椭圆轨道上从B点运动到A点的过程中动能增大
C.嫦娥六号探测器要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点加速
D.嫦娥六号探测器被月球捕获的过程中，月球对它的作用力大于它对月球的作用力
答案：A
解析：设题图中圆轨道半径为R1，椭圆轨道的半长轴为R2，根据开普勒第三定律有＝，由于R1＞R2，可知T1＞T2，即在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短，选项A正确；嫦娥六号探测器在椭圆轨道上经过B点(近月点)时的速率大于经过A点(远月点)时的速率，故从B点运动到A点的过程中动能减小，选项B错误；题图中圆轨道相对于椭圆轨道为高轨道，可知要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点减速，选项C错误；嫦娥六号探测器被月球捕获的过程中，月球对它的作用力与它对月球的作用力是一对作用力和反作用力，大小相等，方向相反，选项D错误。
9.(多选)(2025山东青岛二模)如图所示，火星探测器从地球发射后，经时间t到达火星轨道，其转移轨道是一个与地球轨道外切、与火星轨道内切的半椭圆。假定火星轨道与地球轨道共面，地球轨道是半径为r的圆，火星轨道是半径为R的圆，地球公转周期为T，地球公转半径远大于地球半径，下列说法正确的是(　　)
A.地球的线速度小于火星的线速度
B.地球的加速度大于火星的加速度
C.火星探测器的运动时间t＝
D.火星探测器的发射速度介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
答案：BC
解析：根据G＝m，可得v＝，因为地球轨道半径r小于火星轨道半径R，所以地球的线速度大于火星的线速度，A错误；根据G＝ma，可得a＝，因为地球轨道半径r小于火星轨道半径R，所以地球的加速度大于火星的加速度，B正确；火星探测器的转移轨道半长轴为，设探测器公转周期为T'，根据开普勒第三定律有＝，可得T'＝T，探测器运动时间t＝＝，C正确；火星探测器要脱离地球引力束缚，发射速度应大于第二宇宙速度11.2 km/s，D错误。
10.(2026·江西鹰潭二模)依托我国自主研制的国家重大科技基础设施——郭守敬望远镜，我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞LB-1。若某黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，黑洞和恒星都绕双星系统的质量中心做圆周运动，恒星的质量约为8M0，恒星距黑洞的距离约为1.5R，恒星做圆周运动的周期约为0.25T，M0为太阳的质量，R为日地距离，T为地球绕太阳的运动周期，由此估算该黑洞的质量约为(　　)
A.46M0 B.54M0
C.64M0 D.76M0
答案：A
解析：设该黑洞的质量为m1，其轨道半径r1，恒星的质量为m2，其轨道半径r2，两者相距为L，运动周期为T0，黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，则G＝m1r1＝m2r2，因为L＝r1＋r2，联立解得T0＝2π，地球绕太阳做匀速圆周运动，设地球质量为m，根据万有引力提供向心力有G＝mR，解得T＝2π，由题意知T0＝0.25T，m2＝8M0，L＝1.5R，联立解得该黑洞的质量为m1＝46M0。故选A。
11.(多选)如图为质量为m0的中星4A卫星发射变轨过程的简化示意图，其中轨道Ⅰ为近地圆轨道，轨道Ⅲ为距离地面高度为6R的圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅱ与轨道Ⅰ和轨道Ⅲ分别相切于P点和Q点。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响。若取无穷远处引力势能为零，质量为m的物体在距离地球球心为r时的引力势能Ep＝－(M为地球的质量，G为引力常量)，下列说法正确的是(　　)
A.中星4A卫星在轨道Ⅱ上经过P点的速度大于经过Q点的速度
B.中星4A卫星在轨道Ⅲ上的动能为
C.中星4A卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了
D.中星4A卫星在轨道Ⅱ上运行的周期是在轨道Ⅲ上运行的周期的
答案：ABC
解析：根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道Ⅱ近地点(P点)的速度大于在远地点(Q点)的速度，故A正确；在地球表面放一质量为m的物体，有G＝mg，卫星在轨道Ⅲ上，有G＝m0，故动能Ek3＝m0v2＝，故B正确；卫星在轨道Ⅲ上的机械能E3＝Ek3＋Ep3＝－＝－，在轨道Ⅰ上，有G＝m0，动能Ek1＝m0＝，机械能E1＝Ek1＋Ep1＝－＝－，卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了ΔE＝E3－E1＝，故C正确；轨道Ⅱ的半长轴a＝＝4R，由开普勒第三定律有＝，解得＝，故D错误。(共56张PPT)
专题提升六　天体运动中的三类典型问题
高三总复习讲义　新高考
第五章 万有引力与宇宙航行
1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。
2.会处理天体运动中的“追及相遇”问题。
3.理解双星及多星模型的特点，会处理相关问题。
学习目标
提升点一　卫星的变轨和对接问题
提升点二　天体运动中的“追及相遇”问题
提升点三　双星及多星模型
课时测评
内容索引
卫星的变轨和对接问题
提升点一
1.卫星发射
(1)在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G＜m，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在椭圆轨道B点(远地点)，G＞m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。
2.变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB，四个速度关系为vA＞v1＞v3＞vB。
(2)向心加速度：在A点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系为aⅠA＝aⅡA，在B点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度关系为aⅡB＝aⅢB，A、B两点向心加速度关系为aⅠA＝aⅡA＞aⅡB＝aⅢB。
(3)周期：卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为T1＜T2＜T3。
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为E1＜E2＜E3。
3.宇宙飞船与空间站的对接
宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，通常让宇宙飞船在较低轨道上加速，通过做离心运动升高轨道，从而完成宇宙飞船与空间站的对接。
考向1 卫星的变轨问题
(2026·广东广州模拟)如图是嫦娥六号绕月运行的简化图，轨道Ⅰ为绕月圆轨道，嫦娥六号在A点可以沿椭圆轨道Ⅱ运动到B点，且A点为轨道Ⅱ的远月点，B点为近月点。下列说法正确的是
A.嫦娥六号在A点加速可由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
B.嫦娥六号在轨道Ⅱ运行时A点速度大于B点速度
C.嫦娥六号在轨道Ⅰ的机械能比轨道Ⅱ的机械能大
D.嫦娥六号在轨道Ⅰ上A点的加速度大于其在轨道Ⅱ上A点的加速度
√
例1
嫦娥六号在A点减速，做近心运动，可由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故A错误；根据开普勒第二定律，嫦娥六号在轨道Ⅱ运行时A点速度小于B点速度，故B错误；同一卫星轨道越高，机械能越大，嫦娥六号在轨道Ⅰ的高度更大，则嫦娥六号在轨道Ⅰ的机械能比轨道Ⅱ的机械能大，故C正确；根据牛顿第二定律有G＝ma，可得a＝，嫦娥六号在轨道Ⅰ上A点的加速度等于其在轨道Ⅱ上A点的加速度，故D错误。
考向2 飞船与空间站的对接问题
(2025·湖北襄阳三模)天舟九号货运飞船入轨后顺利完成状态设置，于北京时间2025年7月15日，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。对接后的“结合体”仍在空间站原轨道运行。对接前“天宫空间站”与“天舟九号”的轨道如图所示，则
√
例2
A.对接前，“天宫空间站”的线速度大于“天舟九号”的线速度
B.为实现对接，“天舟九号”需要太空刹车，减速与“天宫空间站”对接
C.对接前，“天宫空间站”的向心加速度小于“天舟九号”的向心加速度
D.对接后“结合体”绕地球公转周期小于对接前“天宫空间站”的公转
周期
“天舟九号”与“天宫空间站”对接前绕地球做匀速圆周
运动，由万有引力提供向心力有G＝mr＝m＝ma，
解得T＝2π，v＝，a＝，“天舟九号”的轨道半
径小于“天宫空间站”的轨道半径，则“天宫空间站”的线速度小于“天舟九号”的线速度，“天宫空间站”的向心加速度小于“天舟九号”的向心加速度，对接后“结合体”绕地球公转周期等于对接前“天宫空间站”的公转周期，故A、D错误，C正确；“天舟九号”需要经过点火加速才能从低轨道变轨进入高轨道，实现对接，故B错误。
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天体运动中的“追及相遇”问题
提升点二
1.天体运动中的“追及相遇”问题：是指围绕同一中心天体而且轨道共面运行的两个星体间相距“最近”或“最远”的问题。
以地球与某行星绕太阳的运动为例：
(1)如图甲所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的同侧时，行星和地球间相距“最近”(也称为“某星冲日”现象)。
(2)如图乙所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的异侧时，行星和地球间相距“最远”。
知识梳理
2.两个关键关系：地球和行星同向运行，从图甲位置开始计时。
角度 关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π (n＝1，2，3，…)，即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时相距最近
相距最远 ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)，即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远
圈数 关系 相距最近 －＝n(n＝1，2，3，…)
相距最远 －＝n－(n＝1，2，3，…)
(2025·山东德州三模)《诗经·大东》中写道：“东有启明，西有长庚”，这里指的是“金星”在清晨出现时称为“启明”，在傍晚出现时称为“长庚”。已知地球绕太阳公转的周期为T，金星绕太阳公转的周期为0.6T，下列说法正确的是
A.地球与金星的动能之比为∶
B.地球与金星每隔1.5T会相距最近一次
C.地球与金星的公转轨道半径之比为∶
D.地球与金星表面的重力加速度大小之比为∶
√
例3
根据Ek＝mv2 ，地球与金星的质量之比未知，无法求出动能之比，A错误；根据题意得t－t＝2π ，解得t＝1.5T ，地球与金星每隔1.5T会相距最近一次，B正确；根据开普勒第三定律得＝，解得地球与金星的公转轨道半径之比为r地∶r金＝∶，C错误；根据mg＝G，地球与金星的质量比未知，半径比未知，无法求出表面的重力加速度大小之比，D错误。
针对练.(2026·山东滨州二模)如图所示，地球同步轨道上的卫星A与更高轨道上的卫星B都绕地球做匀速圆周运动，且与地球自转方向相同。已知地球自转周期为T，某时刻二者距离最近，再经过时间t，二者第一次相距最远。则
A.B的运动周期为
B.B的运动周期为
C.A的线速度小于B的线速度
D.A的向心加速度小于B的向心加速度
√
地球同步卫星的周期为T1＝T，当两卫星第一次相距最远时，满足t－t＝π，解得B的运动周期为T'＝，故A正确，B错误；根据万有引力提供向心力，有G＝m，可得v＝，因为卫星A的轨道半径小于卫星B的轨道半径，所以卫星A的线速度大于卫星B的线速度，故C错误；根据万有引力提供向心力，有G＝ma，可得a＝，因为卫星A的轨道半径小于卫星B的轨道半径，所以卫星A的向心加速度大于卫星B的向心加速度，故D错误。
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双星及多星模型
提升点三
考向1 双星模型
图例
向心力来源 两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力
运动关联 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等
基本规律 G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2
半径 r1＋r2＝L，r1＝，r2＝
某研究团队追踪到一个奇特的双星系统，该系统包含一颗白矮星和一颗红矮星伴星，设白矮星质量为m1，红矮星质量为m2 ，两个星体质量分布均匀且二者之间的距离为L，引力常量为G，不计其他星球的影响，下列说法正确的是
A.白矮星与红矮星的向心力相同
B.白矮星与红矮星的线速度大小之比为
C.白矮星的角速度大小为
D.白矮星与红矮星的动量大小之比为
√
例4
白矮星和红矮星的向心力由两星间的万有引力提供，大小相等，方向相反，故A错误；白矮星与红矮星的角速度相等，由于v＝ωr，则＝，根据G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，可以得到m1r1＝m2r2，因此＝，故B错误；根据G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2，解得ω＝，故C正确；结合B项分析，根据动量的公式p＝mv，可知动量大小之比为1∶1，故D错误。
考点2 三星模型
图例
向心力来源 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力
运动关联 同一图中，环绕星体做圆周运动的转动方向、半径、周期、角速度、线速度大小均相同
基本规律 图甲：G＋G＝man
图乙：G×2cos 30°＝man
半径 图甲：r＝，图乙：r'＝
(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则
A.每颗星做圆周运动的线速度大小为
B.每颗星做圆周运动的角速度为
C.每颗星做圆周运动的周期为2π
D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
√
√
例5
√
每颗星受到的合力大小为F＝2Gcos 30°＝G，轨道半径为r＝R，由合力提供向心力得F＝ma＝m＝mω2r＝mr，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，显然加速度a与质量m有关。故选ABC。
四星模型
模型拓展
图例
向心力 来源 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力
模型拓展
运动 关联 同一图中，环绕星体做圆周运动的转动方向、半径、周期、角速度、线速度大小均相同
基本 规律 图甲：G×2cos 45°＋G＝man
图乙：G×2cos 30°＋G＝man
半径 图甲：r＝L，图乙：r'＝
拓展应用.(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法中正确的是
A.星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B.每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
C.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
√
√
四颗质量相同的星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由G＋G＝mω2·L可知，星体做匀速圆周运动的角速度为ω＝，故B正确；
由G＋G＝ma可知，星体做匀速圆周运动的加速度大小为a＝，所以若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由G＋G＝m可知，星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝ ，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。故选BD。
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课 时 测 评
题组1　卫星的变轨和对接问题
1.如图为天舟九号与空间站天和核心舱交会对接的最后阶段，天舟九号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟九号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟九号喷射燃气的方向可能正确的是
√
要想使天舟九号与空间站在同一轨道上对接，则需要天舟九号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F＝m，可知必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，喷气产生的推力方向与喷气方向相反，则选项图A可能
正确。
2.(多选)(2026·江西南昌模拟)天问一号探测器绕火星从椭圆轨道变轨到圆轨道的示意图如图所示，两轨道相切于P点，Q为圆轨道上的另一点，M点是椭圆轨道上的远火点，下列说法正确的是
A.探测器经过Q点时的加速度大于经过M点时的加速度
B.探测器经过Q点时的机械能大于经过M点时的机械能
C.探测器经过Q点时的速度大于经过M点时的速度
D.探测器在椭圆轨道与圆轨道上单位时间内扫过的面积相等
√
√
Q点距火星较近，根据F＝G可知，探测器在Q点受到的
引力大于在M点受到的引力，故探测器经过Q点时的加速度
大于经过M点时的加速度，故A正确；轨道越高发动机对探
测器做功越多，故探测器在椭圆轨道上的机械能大于在圆轨
道上的机械能，故B错误；假设探测器在经过M点的圆轨道上运动的线速度大小为v，根据变轨原理可知v＞vM，根据G＝m，解得v0＝，又因为过M点的圆轨道半径大于过Q点的圆轨道半径，可知vQ＞v，综合可知vQ＞v＞vM，故C正确；探测器在不同轨道上单位时间内扫过的面积不相等，故D错误。
3.(2026·安徽合肥模拟)如图所示，嫦娥六号探测器在前往月球的过程中，首先进入“停泊轨道”绕地球做匀速圆周运动，在P点变速进入“椭圆轨道”并通过椭圆上的远地点Q点，然后进入“转移轨道”，接近月球时，被月球引力“俘获”，再通过变轨实现在“工作轨道”上匀速绕月飞行，然后择机降落。下列说法正确的是
A.探测器在Q点受到地球的万有引力大小大于
在停泊轨道上受到地球的万有引力大小
B.探测器在椭圆轨道上P点的加速度大小等于
在停泊轨道上P点的加速度大小
C.探测器在P点由停泊轨道进入椭圆轨道必须减速
D.探测器在椭圆轨道上运行时经过P点的速度比Q点的速度小
√
探测器在Q点与地球的距离大于在停泊轨道上与
地球的距离，根据F＝G可得在Q点受到地球
的万有引力大小小于在停泊轨道上受到地球的万
有引力大小，故A错误；探测器在椭圆轨道上P点
和停泊轨道上P点均只受万有引力，且距地球的距
离相等，根据G＝ma可得探测器在椭圆轨道上P点的加速度大小等于在停泊轨道上P点的加速度大小，故B正确；探测器在P点进入椭圆轨道，做离心运动，所以在P点必须加速，故C错误；根据开普勒第二定律，探测器在椭圆轨道上运行时经过P点的速度比Q点的速度大，故D错误。
题组2　天体运动中的“追及相遇”问题
4.(2025·河南洛阳三模)2025年2月28日，太阳系的七大行星上演“七星连珠”的天文现象。已知太阳系的八大行星基本运行在同一平面上，地球绕太阳运行的公转轨道半径是火星公转轨道半径的，则火星与地球相邻两次相距最近大约需要
A.1.2年 B.1.8年
C.2.2年 D.3.7年
√
根据开普勒第三定律可得＝，解得T火＝T地，其中T地＝1年，设经过t时间火星与地球相邻两次相距最近，则有(ω地－ω火)t＝2π，得t＝≈2.2年。故选C。
5.(2026·山东日照二模)如图所示，卫星A、B均绕地心在同一平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，某时刻卫星B与地心连线和卫星A与地心连线的夹角为60°。已知卫星A为地球静止卫星，卫星B的周期约为2 h。则从该时刻至两卫星第一次相距最远所需的时间约为
A. h B. h
C. h D. h
√
因A的周期为TA＝24 h，B的周期为TB＝2 h，从该时刻至两卫星第一次相距最远有t－t＝，解得t＝ h。故选A。
题组3　双星及多星模型
6.(2025·四川巴中三模)两个天体A和B以相同的角速度绕某固定点O做匀速圆周运动，O点位于它们之间的连线上。A的轨道半径大于B，设两者总质量为M，质量中心间的距离为L。下列判断正确的是
A.天体A的线速度一定小于B
B.天体A的质量一定大于B
C.两天体的运动周期与M、L有关
D.当M一定时，距离L越大，角速度越大
√
设两个天体质量分别为mA、mB，轨道半径分别为rA、rB，
角速度为ω，由于二者角速度相等，则线速度分别为vA＝
ωrA，vB＝ωrB，则vA＞vB，故A错误；由万有引力定律可
知G＝mAω2rA＝mBω2rB ，则＝，而且rA＞rB，可
得mA＜mB，故B错误；对两个天体有G＝mAω2rA＝mBω2rB，由几何关系有rA＋rB＝L，联立解得M＝mA＋mB＝，而且T＝，整理可以得到T＝2π，可知两天体的运动周期与M、L有关，当总质量M一定时，L越大，则T越大，角速度越小，故C正确，D错误。
7.(2026·安徽阜阳期中)宇宙中大多数恒星系都是双星系统，如图所示，两颗远离其他星系的恒星A和B在相互之间的引力作用下绕O点做匀速圆周运动，且A星距离O点更近。轨道平面上的观测点P相对O点静止，观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线，已知引力常量为G，其中一颗恒星的质量为m，另一颗恒星的质量为3m，恒星的半径都远小于它们之间的距离。则以下说法正确的是
A.A的质量为m
B.该双星系统的运动周期为T
C.A、B相距的距离为r＝
D.在相同时间里，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为1∶3
√
观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线，该双星系统的运动周
期为2T，故B错误；根据万有引力提供向心力有G＝mArA＝
mBrB，解得mArA＝mBrB，＝，因此质量大
的恒星运动半径较小，可知，A的质量为3m，又有rA＋rB＝r，解得r＝
，故A错误，C正确；单位时间内恒星与O点连线扫过的面积S＝，则相同时间内，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为＝＝＝，故D
错误。
8.若嫦娥六号探测器在月球附近轨道上运行的示意图如图
所示，嫦娥六号探测器先在圆轨道上做匀速圆周运动，运
动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月点。下列说法正确
的是
A.嫦娥六号探测器在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短
B.嫦娥六号探测器在椭圆轨道上从B点运动到A点的过程中动能增大
C.嫦娥六号探测器要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点加速
D.嫦娥六号探测器被月球捕获的过程中，月球对它的作用力大于它对月球的作用力
√
设题图中圆轨道半径为R1，椭圆轨道的半长轴为R2，根据开普勒
第三定律有＝，由于R1＞R2，可知T1＞T2，即在椭圆轨道上
运行的周期比在圆轨道上运行的周期短，选项A正确；嫦娥六号探
测器在椭圆轨道上经过B点(近月点)时的速率大于经过A点(远月点)
时的速率，故从B点运动到A点的过程中动能减小，选项B错误；题图中圆轨道相对于椭圆轨道为高轨道，可知要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点减速，选项C错误；嫦娥六号探测器被月球捕获的过程中，月球对它的作用力与它对月球的作用力是一对作用力和反作用力，大小相等，方向相反，选项D错误。
9.(多选)(2025山东青岛二模)如图所示，火星探测器从地球发射后，经时间t到达火星轨道，其转移轨道是一个与地球轨道外切、与火星轨道内切的半椭圆。假定火星轨道与地球轨道共面，地球轨道是半径为r的圆，火星轨道是半径为R的圆，地球公转周期为T，地球公转半径远大于地球半径，下列说法正确的是
A.地球的线速度小于火星的线速度
B.地球的加速度大于火星的加速度
C.火星探测器的运动时间t＝
D.火星探测器的发射速度介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
√
√
根据G＝m，可得v＝，因为地球轨道半径r小于火星轨道半径R，所以地球的线速度大于火星的线速度，A错误；根据G＝ma，可得a＝，因为地球轨道半径r小于火星轨道半径R，所以地球的加速度大于火星的加速度，B正确；
火星探测器的转移轨道半长轴为，设探测器公转周期为T'，根据开普勒第三定律有＝，可得T'＝T，探测器运动时间t＝＝，C正确；火星探测器要脱离地球引力束缚，发射速度应大于第二宇宙速度11.2 km/s，D错误。
10.(2026·江西鹰潭二模)依托我国自主研制的国家重大科技基础设施——郭守敬望远镜，我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞LB-1。若某黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，黑洞和恒星都绕双星系统的质量中心做圆周运动，恒星的质量约为8M0，恒星距黑洞的距离约为1.5R，恒星做圆周运动的周期约为0.25T，M0为太阳的质量，R为日地距离，T为地球绕太阳的运动周期，由此估算该黑洞的质量约为
A.46M0 B.54M0
C.64M0 D.76M0
√
设该黑洞的质量为m1，其轨道半径r1，恒星的质量为m2，其轨道半径r2，两者相距为L，运动周期为T0，黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，则G＝m1r1＝m2r2，因为L＝r1＋r2，联立解得T0＝2π，地球绕太阳做匀速圆周运动，设地球质量为m，根据万有引力提供向心力有G＝mR，解得T＝2π，由题意知T0＝0.25T，m2＝8M0，L＝1.5R，联立解得该黑洞的质量为m1＝46M0。故选A。
11.(多选)如图为质量为m0的中星4A卫星发射变轨过程的简化示意图，其中轨道Ⅰ为近地圆轨道，轨道Ⅲ为距离地面高度为6R的圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅱ与轨道Ⅰ和轨道Ⅲ分别相切于P点和Q点。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响。若取无穷远处引力势能为零，质量为m的物体在距离地球球心为r时的引力势能Ep＝－(M为地球的质量，G为引力常量)，下列说法正确的是
A.中星4A卫星在轨道Ⅱ上经过P点的速度大于经过Q点的速度
B.中星4A卫星在轨道Ⅲ上的动能为
C.中星4A卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了
D.中星4A卫星在轨道Ⅱ上运行的周期是在轨道Ⅲ上运行的周期的
√
√
√
根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道Ⅱ近地点(P点)的速度大于在远地点(Q点)的速度，故A正确；在地球表面放一质量为m的物体，有G＝mg，卫星在轨道Ⅲ上，有G＝m0，故动能Ek3＝m0v2＝，故B正确；
卫星在轨道Ⅲ上的机械能E3＝Ek3＋Ep3＝－＝－，在轨道Ⅰ上，有G＝m0，动能Ek1＝m0＝，机械能E1＝Ek1＋Ep1＝－＝－，卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了ΔE＝E3－E1＝，故C正确；轨道Ⅱ的半长轴a＝＝4R，由开普勒第三定律有＝，解得＝，故D错误。
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专题提升六　
天体运动中的三类典型问题

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