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第1讲　功和功率
【学习目标】　1.理解功的概念，会判断功的正负、计算功的大小。2.理解功率的概念，掌握功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。3.会分析机车启动的两种方式的特点并能进行相关计算。
考点一　功的理解及恒力做功的计算
1.功的概念
做功的两个必要因素 作用在物体上的力
物体在力的方向上发生位移
公式 W＝Flcos α (1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移 (2)该公式只适用于恒力做功
2.功的正负
0≤α＜ W＞0 力对物体做正功
α＝ W＝0 力对物体不做功
＜α≤π W＜0 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功
自测1.图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于力做功的判断正确的是(　　)
A.图甲中支持力对人做正功
B.图甲中摩擦力对人做负功
C.图乙中支持力对人做正功
D.图乙中摩擦力对人做负功
答案：A
解析：对题图甲中女士受力分析如图1，其受重力和支持力两个力，支持力与速度v的夹角为锐角，则支持力对人做正功，故A正确，B错误；对题图乙中男士受力分析如图2，其受重力、支持力与静摩擦力，支持力与速度v的夹角为90°，则支持力对人不做功，摩擦力与速度方向相同，则摩擦力对人做正功，故C、D错误。
自测2.如图所示，一位质量m＝50 kg(含装备)的滑雪运动员从高度h＝30 m的斜坡自由滑下(初速度为零)。斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面间的动摩擦因数μ＝0.1。则运动员滑至坡底的过程中(不计空气阻力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)， 则：
(1)各个力所做的功分别是多少？
(2)合力做了多少功？
答案：(1)WG＝1.5×104 J，WN＝0，Wf＝－2×103 J　(2)1.3×104 J
解析：(1)重力做的功WG＝mgh＝1.5×104 J
支持力做的功WN＝0
摩擦力做的功Wf＝－Ffl＝－μmgcos 37°·＝－2×103 J。
(2)合力做的功W合＝WG＋Wf＋WN＝1.3×104 J。
1.恒力做功的计算方法
2.总功的计算方法
方法一：先求合力F合，再应用W总＝F合lcos α求总功，此方法要求F合为恒力。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意W1、W2、W3…要代入“＋”“－”号。
学生用书 第92页
考点二　变力做功的计算
方法 图例 方法解读
微元法 Δx足够小，一段Δx内Ff方向可视为不变，所有Δx之和等于圆的周长 运动一周摩擦力做功的大小Wf＝FfΔx1＋FfΔx2＋FfΔx3＋…＝Ff·(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
平均 力法 外力推动物块缓慢压缩轻质弹簧，使其向左移动Δx 弹簧弹力与位移为线性关系，弹簧弹力做功W＝Δx＝Δx
图像法 F -l图像中，图线与l轴所围“面积”的代数和表示力F在这段位移内所做的功，且位于l轴上方的“面积”为正功，位于l轴下方的“面积”为负功
等效 转换法 图中恒力F把物块从位置A拉到位置B过程中绳子对物块做的功W＝F
水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　)
A.拉力F对小球做的功为16π J
B.拉力F对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
答案：A
解析：将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F在每一小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°…Wn＝Flncos 37°，故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·＝10×0.8× J＝16π J，故A正确，B错误；同理可得小球克服摩擦力做的功W克＝μmg·＝0.2×2.0×10× J＝8π J，故C、D错误。故选A。
静止于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中F为力的大小，x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移动了5 m。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，取重力加速度g＝10 m/s2，则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为(　　)
A.35 J B.45 J
C.55 J D.65 J
答案：B
解析：当x＝0时，F1＝4 N，当x＝5 m时，F2＝14 N，由于F随x均匀变化，则该段位移内F的平均值＝＝ N＝9 N，拉力做功W＝x＝9×5 J＝45 J。故选B。
质量为2 kg的物体在水平地面上沿直线运动。某时刻起受到水平向右、大小随位移变化的力F的作用，F随位移变化的规律如图所示，已知0～3 m内物体做匀速直线运动，g＝10 m/s2。下列对图示过程的说法正确的是(　　)
A.物体与地面间的动摩擦因数为0.5
B.在x＝5 m处物体加速度大小为3 m/s2
C.0～7 m内力F对物体做功为40 J
D.0～7 m内合力对物体做功为68 J
答案：C
解析：已知0～3 m内物体做匀速直线运动，由题图知F＝4 N，物体受力平衡，在水平方向有F＝Ff＝μmg，解得μ＝0.2，A错误；由题图知，在x＝5 m处，F＝7 N，根据牛顿第二定律有F－Ff＝ma，解得a＝1.5 m/s2，B错误；力F做的功等于F-x图像与横轴围成的面积，即WF＝4×3 J＋×(7－3) J＝40 J，C正确；摩擦力对物体做功为Wf＝－Ffx＝－28 J，所以合力做功W＝40 J－28 J＝12 J，D错误。
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考点三　功率的理解与计算
1.定义：功与完成这些功所用时间之比。
2.意义：描述力对物体做功的快慢。
3.公式
(1)定义式：P＝。
(2)计算式：P＝Fv。
①v为平均速度时，P为平均功率。
②v为瞬时速度时，P为瞬时功率。
【正误辨析】
(1)由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。(×)
(2)由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。(√)
(3)当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。(×)
(4)力在单位时间内做的功越多，其功率就越大。(√)
1.瞬时功率的计算方法
(1)利用P＝Fvcos α，其中v为该时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
2.平均功率的计算方法
(1)利用＝求解。
(2)利用＝Fcos α求解，其中为物体在恒力F作用下的平均速度。
一架飞机从水平方向平飞经一段圆弧转入竖直向上爬升，如图所示，假设飞机沿圆弧运动时速度大小不变，发动机推力方向沿轨迹切线，飞机所受升力垂直于机身，空气阻力大小不变，则飞机沿圆弧运动时(　　)
A.飞机发动机推力做功的功率逐渐增大
B.飞机发动机推力大小保持不变
C.飞机克服重力做功的功率保持不变
D.空气对飞机的作用力不变
答案：A
解析：飞机发动机推力等于空气阻力与重力沿轨迹切线方向的分力之和，重力沿轨迹切线方向的分力逐渐增大，所以推力逐渐增大，推力与速度方向相同，故推力做功的功率逐渐增大，A正确，B错误；设飞机速度方向与竖直方向的夹角为θ，则竖直分速度vy＝vcos θ，飞机克服重力做功的功率为PG＝mgvy＝mgvcos θ，θ逐渐减小，所以克服重力做功的功率逐渐增大，故C错误；飞机做匀速圆周运动，升力垂直于机身，则升力指向圆心，F升－mgsin θ＝m，所以F升减小，空气对飞机的作用力F＝，则空气对飞机的作用力发生改变，故D错误。
如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为(　　)
A.48 W、24 W B.24 W、48 W
C.24 W、12 W D.12 W、24 W
答案：B
解析：木块所受的合力F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N，木块的加速度a＝＝2 m/s2，前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m，所以重力在前2 s内做的功W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J，重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W；木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，2 s末重力的瞬时功率P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W。故选B。
针对练.如图1所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2、3所示，g＝10 m/s2，则(　　)
A.第1 s内推力做的功为1 J
B.第2 s内物体克服摩擦力做功为2 J
C.第1.5 s时推力F做功的功率为2 W
D.第2 s内推力F做功的平均功率为1.5 W
答案：B
解析：由题图3可知，第1 s内物体静止不动，故位移为零，推力不做功，A错误；由题图2、3可知，第2 s内推力为3 N，第3 s内推力为2 N且物体做匀速直线运动，则可知摩擦力Ff＝2 N，由题图3可知物体第2 s内的位移大小x＝1 m，则第2 s内物体克服摩擦力所做的功W克＝Ffx＝2 J，B正确；第1.5 s时推力F＝3 N，速度v＝1 m/s，则推力F做功的功率P＝Fv＝3 W，C错误；第2 s内物体的平均速度＝1 m/s，推力F＝3 N，推力F做功的平均功率＝F＝3 W，D错误。故选B。
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考点四　机车启动问题
两种启动方式的比较(条件：水平路面，阻力F阻恒定)
启动方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P -t图像和 v -t图像
OA 段 过程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变 v↑ P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动 性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段 过程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC 段 过程 分析 — F＝F阻 a＝0 vm＝
运动 性质 以vm做匀速直线运动
如图所示，某汽车质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，当该汽车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力Ff是车重力的0.1倍，g取10 m/s2。
(1)汽车在此路面上行驶所能达到的最大速度vm是多少？
(2)若汽车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，求此过程中汽车的位移大小。
答案：(1)30 m/s　(2)40 s　(3)1 050 m
解析：(1)当汽车速度达到最大时，汽车的牵引力与阻力平衡，即F＝Ff
Ff＝kmg＝2 000 N
又P＝Fvm
解得vm＝30 m/s。
(2)汽车做匀加速运动，由牛顿第二定律得
F1－Ff＝ma
解得F1＝3 000 N
汽车刚达到额定功率时的速度为v1＝＝20 m/s
设汽车匀加速运动的时间为t，则v1＝at
解得t＝40 s。
(3)从静止到达到最大速度的整个过程牵引力与阻力做功，由动能定理得Pt'－Ffx＝m
解得x＝1 050 m。
拓展变式.若汽车以额定功率做加速运动，当v＝10 m/s时汽车的加速度为多少？
答案：2 m/s2
解析：汽车以额定功率做加速运动，当v＝10 m/s时，牵引力F'＝＝6 000 N，此时汽车的加速度a＝＝2 m/s2。
机车启动问题中的三个重要关系式
1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝。
2.机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v1＝＜vm＝。
3.机车以恒定功率启动过程常用关系式Pt－F阻x＝ΔEk。此式常用于求解机车以恒定功率启动过程中的位移大小或时间问题。
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针对练. (2026·陕西咸阳模拟)一质量m＝40 kg的儿童电动汽车在水平地面上由静止开始做直线运动，一段时间内的速度与牵引力的功率随时间变化的关系图像分别如图甲、乙所示，0～3 s内均为直线。3 s末电动汽车牵引力的功率达到额定功率，10 s末电动汽车的速度达到最大值，14 s末关闭发动机，经过一段时间电动汽车停止运动。整个过程中电动汽车受到的阻力恒定，下列说法正确的是(　　)
A.电动汽车的最大速度为10 m/s
B.0～3 s内，牵引力的大小为900 N
C.当电动汽车的速度为4 m/s时，电动汽车的加速度大小为0.375 m/s2
D.整个过程中，电动汽车所受阻力做的功为3 750 J
答案：C
解析：由题图甲可知，在0～3 s内，电动汽车的加速度大小a1＝ m/s2＝1 m/s2，由题图乙可知，t＝3 s时，有P额＝F1v1，解得F1＝100 N，由牛顿第二定律有F1－Ff＝ma1，解得Ff＝60 N，由P额＝Ffvm，解得vm＝5 m/s，A、B错误；当电动汽车的速度为4 m/s 时，电动汽车的功率已达到额定功率，故此时牵引力大小F2＝＝75 N，由牛顿第二定律有F2－Ff＝ma2，解得a2＝0.375 m/s2，C正确；全程由动能定理有t1＋P额t2＋Wf＝0，其中t1＝3 s，t2＝11 s，解得Wf＝－3 750 J，D错误。
课时测评26　功和功率
(时间：30分钟　满分：50分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－5，每题4分，6－11，每题5分，共50分)
题组1　功的理解及恒力做功的计算
1.(2026·四川绵阳三诊)如图所示，成人用与水平方向夹角为α、斜向上的拉力F向前拉总质量为m的小孩和雪橇，重力加速度为g，从静止开始沿直线匀加速通过距离x的过程中(　　)
A.雪橇对地面的压力大小是mg－Fcos α
B.雪橇与地面之间摩擦力大小是Fsin α
C.拉力做功是Fx
D.拉力做功是Fxcos α
答案：D
解析：将小孩和雪橇作为整体，受力分析可知，在竖直方向上有Fsin α＋FN＝mg，解得FN＝mg－Fsin α，根据牛顿第三定律可知，雪橇对地面的压力大小FN'＝FN＝mg－Fsin α，A错误；由于雪橇做匀加速运动，可知摩擦力Ff＜Fcos α，无法比较摩擦力与Fsin α的大小关系，B错误；根据功的定义可知，拉力做功W＝Fxcos α，C错误，D正确。
2.(多选)一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如图所示，如果运动员在下滑过程中受到的阻力恒为Ff＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是(　　)
A.重力做的功为6 000 J
B.阻力做的功为1 000 J
C.支持力不做功
D.各力做的总功为5 000 J
答案：ACD
解析：对运动员受力分析如图所示，重力做功WG＝mgh＝60×10×10 J＝6 000 J，阻力做功Wf＝－Ff·＝－50× J＝－1 000 J，由于支持力方向与位移方向垂直，则支持力不做功，即WN＝0，各力做的总功W总＝WG＋Wf＋WN＝5 000 J，故A、C、D正确，B错误。
题组2　变力做功的计算
3.一质量为4 kg的物体，在粗糙的水平面上受水平恒定的拉力F作用做匀速直线运动。物体运动一段时间后拉力逐渐减小，当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图为拉力F随位移x变化的关系图像，重力加速度大小取10 m/s2，则可以求得(　　)
A.物体做匀速直线运动的速度为4 m/s
B.整个过程拉力对物体所做的功为4 J
C.整个过程摩擦力对物体所做的功为－8 J
D.整个过程合力对物体所做的功为－4 J
答案：D
解析：F -x图线与横轴所围区域的面积表示拉力对物体所做的功，所以WF＝ J＝12 J，故B错误；0～2 m阶段，根据平衡条件可得F＝Ff＝4 N，所以整个过程中摩擦力对物体做的功Wf＝－Ffx＝－4×4 J＝－16 J，故C错误；整个过程中合力所做的功为W合＝WF＋Wf＝12 J＋(－16 J)＝－4 J，故D正确；根据动能定理可得W合＝0－m，解得v0＝ m/s，故A错误。故选D。
4.(2026·江苏南通联考)某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F＝kh＋F0(k，F0已知)，石头沿竖直方向做直线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为(　　)
A.F0h0 B.kF0
C.F0h0＋k D.(kh0＋F0)h0
答案：C
解析：所受的阻力F与深度h的关系为线性关系，则有W克＝h0＝h0＝F0h0＋k，故C正确。
题组3　功率的理解与计算
5.(多选)(2026·山西太原模拟)采酥梨时，假设质量为250 g的梨子从树上由静止坠落，经2 s到达地面，不计空气阻力，重力加速度大小g取10 m/s2。则(　　)
A.酥梨坠落2 s过程中所受重力做的功为100 J
B.酥梨坠落2 s过程中重力做功的平均功率为25 W
C.酥梨2 s末到达地面前的动能为50 J
D.酥梨2 s末到达地面前重力的瞬时功率为75 W
答案：BC
解析：酥梨在2 s内下落的高度为h＝gt2＝20 m，则重力做的功为W＝mgh＝50 J，重力做功的平均功率为＝＝25 W，故A错误，B正确；酥梨在2 s末的速度为v＝gt＝20 m/s，酥梨2 s末到达地面前的动能为Ek＝mv2＝50 J，酥梨2 s末到达地面前重力的瞬时功率为P＝mgv＝50 W，故C正确，D错误。
6.(2026·陕西榆林期中)如图甲所示，质量m＝2 kg的物体放在粗糙水平地面上，t＝0时刻物体在水平拉力F的作用下开始运动，t＝6 s时撤去水平拉力，物体速度v随时间t的变化关系如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A.物体与水平地面间的动摩擦因数为0.3
B.水平拉力的最大功率为9 W
C.水平拉力做的功为36 J
D.物体克服摩擦力做的功为30 J
答案：C
解析：t＝6 s时撤去水平拉力，在6～8 s内，由v -t图像可得加速度大小为a2＝＝ m/s2＝1.5 m/s2，根据牛顿第二定律可得Ff＝μmg＝ma2，解得物体与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.15，故A错误；在0～6 s内，由v -t图像可得加速度大小为a1＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，由牛顿第二定律得F－μmg＝ma1，解得F＝4 N，t＝6 s时物体速度最大，拉力功率最大，则有Pm＝Fvm＝12 W，故B错误；0～6 s内物体位移为x1＝t1＝9 m，拉力做功为WF＝Fx1＝36 J，故C正确；在0～8 s内，根据动能定理可得WF－W克＝ΔEk＝0，可得物体克服摩擦力做的功为W克＝WF＝36 J，故D错误。
题组4　机车启动问题
7.(2026·江苏南通开学考试)新能源汽车以恒定的加速度由静止开始沿平直的公路行驶，t1时刻达到发动机额定功率后保持功率不变，t2时刻起匀速行驶。汽车所受的阻力不变，则此过程中汽车的加速度a、功率P随时间t的变化规律正确的是(　　)
答案：D
解析：汽车在0～t1时间内做匀加速运动，则加速度a不变；t1～t2时间内，功率P保持不变，根据P＝Fv可知牵引力F不断减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，但非线性减小，直到t2时刻开始做匀速运动，加速度变为0，故A、B错误。汽车在0～t1时间内做匀加速运动，则加速度a不变，速度v均匀增加，牵引力F保持不变，根据P＝Fv＝Fat，可知0～t1时间内功率随时间均匀增加；t1～t2时间内，功率P保持不变，故C错误，D正确。
8.(多选)(2026·陕西汉中期末)某“复兴号”列车的额定功率为1.0×104 kW，列车的质量为1.0×105 kg，列车在水平轨道上行驶时，阻力是车重的0.1倍。列车在水平轨道上行驶，受到的阻力保持不变，重力加速度g取10 m/s2。下列选项正确的是(　　)
A.若列车保持额定功率行驶，当列车行驶速度为20 m/s时，列车的加速度大小为4.0 m/s2
B.列车保持额定功率行驶能达到的最大速度为120 m/s
C.若列车由静止开始，以1.0 m/s2的加速度做匀加速直线运动的最长时间为40 s
D.若列车由静止开始，以1.0 m/s2的加速度做匀加速运动，则25 s末列车的瞬时功率为5.0×106 W
答案：AD
解析：若列车保持额定功率行驶，当列车行驶速度为20 m/s时，解得牵引力F1＝＝5.0×105 N，根据牛顿第二定律有F1－kmg＝ma1，解得a1＝4.0 m/s2，故A正确；列车保持额定功率行驶，列车达到最大速度后受力平衡，则有＝kmg，解得vmax＝100 m/s，故B错误；若列车由静止开始，保持以1.0 m/s2的加速度做匀加速运动，根据牛顿第二定律有F0－kmg＝ma0，解得F0＝2.0×105 N，则匀加速末状态有P额＝F0v0，匀加速过程有v0＝a0t0，解得t0＝50 s，即匀加速运动的最长时间为50 s，故C错误；若列车由静止开始，保持以1.0 m/s2的加速度做匀加速运动，则25 s末的速度v2＝a0t1＝25 m/s，此时列车的瞬时功率P1＝F0v1＝2.0×105×25 W＝5.0×106 W，故D正确。
9.如图甲所示，辘轱是古代民间提水设施，由辘轱头、支架、井绳、水斗等部分构成，如图乙为提水设施工作原理简化图，某次从井中汲取m＝2 kg的水，辘轱绕绳轮轴半径为r＝0.1 m，水斗的质量为0.5 kg，井足够深且井绳的质量忽略不计，t＝0时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动向上提水桶，其角速度随时间变化规律如图丙所示，g取10 m/s2，则(　　)
A.水斗速度随时间变化规律为v＝2t(所涉及物理量均用国际单位制单位)
B.井绳拉力大小恒定，其值为25 N
C.0～10 s内，水斗上升的高度为4 m
D.0～10 s内，井绳拉力所做的功为255 J
答案：D
解析：由题图丙知ω＝2t，水斗速度随时间变化规律为v＝ωr＝0.2t(所涉及物理量均用国际单位制单位)，A错误；由A项分析知，水斗匀加速上升时的加速度大小a＝0.2 m/s2，根据牛顿第二定律得F－(m＋m')g＝(m＋m')a，解得井绳拉力大小F＝25.5 N，B错误；0～10 s内，水斗上升的高度为h＝at2＝10 m，C错误；0～10 s内，井绳拉力所做的功为W＝Fh＝255 J，D正确。故选D。
10.质量为m＝200 kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车发动机的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在18 s末汽车的速度恰好达到最大。则下列说法正确的是(　　)
A.汽车受到的阻力为800 N
B.汽车的最大牵引力为800 N
C.8～18 s过程中汽车牵引力做的功为4×104 J
D.汽车在做变加速运动过程中的位移大小为90 m
答案：A
解析：在18 s末汽车的速度恰好达到最大，由题图甲、乙知vm＝10 m/s，P额＝8×103 W，则汽车受到的阻力Ff＝＝800 N，故A正确；0～8 s内，汽车做匀加速直线运动，8 s末汽车的牵引力最大，汽车功率最大，由题图甲知汽车匀加速的加速度大小为a＝＝1 m/s2，由牛顿第二定律知Fm－Ff＝ma，解得汽车的最大牵引力为Fm＝1 000 N，故B错误；8～18 s过程中汽车的功率不变，则牵引力做的功为W＝P额t2＝8×104 J，故C错误；设汽车做变加速运动过程的位移为x，由动能定理得W－Ffx＝m－m，解得x＝95.5 m，故D错误。故选A。
11.(多选)电动汽车在研发过程中都要进行性能测试，如图所示为某次测试中某型号汽车在水平路面上由初速度为2 m/s开始运动，牵引力F与速度v的倒数的F -图像，vm表示最大速度，ab平行于轴，bc反向延长线过原点。已知阻力恒定，汽车质量为1×103 kg。下列说法正确的是(　　)
A.汽车从a到b持续的时间为9 s
B.汽车由b到c过程做匀加速直线运动
C.在此测试过程中汽车最大功率为80 kW
D.汽车能够获得的最大速度为30 m/s
答案：AC
解析：c点时汽车速度最大，牵引力等于阻力，所以Ff＝2×103 N，汽车从a到b牵引力恒定，做匀加速直线运动，加速度为a＝＝ m/s2＝2 m/s2，汽车从a到b持续的时间为t＝＝ s＝9 s，故A正确；根据F＝，结合bc段图像，可知汽车从b到c以恒定功率加速，根据牛顿第二定律有－Ff＝ma，可知汽车由b到c过程做加速度减小的加速运动，故B错误；由b点知Pm＝Fbvb＝80 kW，故C正确；汽车能够获得的最大速度为vm＝＝40 m/s，故D错误。(共64张PPT)
第1讲　功和功率
高三总复习讲义　新高考
第六章 机械能
1.理解功的概念，会判断功的正负、计算功的大小。
2.理解功率的概念，掌握功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。
3.会分析机车启动的两种方式的特点并能进行相关计算。
学习目标
内容索引
考点一　功的理解及恒力做功的计算
考点二　变力做功的计算
考点三　功率的理解与计算
课时测评
考点四　机车启动问题
功的理解及恒力做功的计算
考点一
1.功的概念
知识梳理
做功的两个必要因素 作用在物体上的____
物体在__________上发生位移
公式 W＝Flcos α (1)α是力与______方向之间的夹角，l为物体的位移
(2)该公式只适用于______做功
力
力的方向
位移
恒力
2.功的正负
0≤α＜ W＞0 力对物体做______
α＝ W＝0 力对物体________
＜α≤π W＜0 力对物体做______，或者说物体______这个力做功
正功
不做功
负功
克服
自测1.图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于力做功的判断正确的是
A.图甲中支持力对人做正功
B.图甲中摩擦力对人做负功
C.图乙中支持力对人做正功
D.图乙中摩擦力对人做负功
√
对题图甲中女士受力分析如图1，其受重力和支持力两个力，支持力与速度v的夹角为锐角，则支持力对人做正功，故A正确，B错误；对题图乙中男士受力分析如图2，其受重力、支持力与静摩擦力，支持力与速度v的夹角为90°，则支持力对人不做功，摩擦力与速度方向相同，则摩擦力对人做正功，故C、D错误。
自测2.如图所示，一位质量m＝50 kg(含装备)的滑雪运动员从高度h＝
30 m的斜坡自由滑下(初速度为零)。斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面间的动摩擦因数μ＝0.1。则运动员滑至坡底的过程中(不计空气阻力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)， 则：
(1)各个力所做的功分别是多少？
答案：WG＝1.5×104 J，WN＝0，Wf＝－2×103 J　
重力做的功WG＝mgh＝1.5×104 J
支持力做的功WN＝0
摩擦力做的功Wf＝－Ffl＝－μmgcos 37°·＝－2×103 J。
(2)合力做了多少功？
答案：1.3×104 J
合力做的功W合＝WG＋Wf＋WN＝1.3×104 J。
1.恒力做功的计算方法
2.总功的计算方法
方法一：先求合力F合，再应用W总＝F合lcos α求总功，此方法要求F合为
恒力。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意W1、W2、W3…要代入“＋”“－”号。
归纳提升
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变力做功的计算
考点二
方法 图例 方法解读
微元法 Δx足够小，一段Δx内Ff方向可视为不变，所有Δx之和等于圆的周长 运动一周摩擦力做功的大小Wf＝FfΔx1＋FfΔx2＋FfΔx3＋…＝Ff·(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
平均 力法 外力推动物块缓慢压缩轻质弹簧，使其向左移动Δx 弹簧弹力与位移为线性关系，弹簧弹力做功W＝Δx＝Δx
方法 图例 方法解读
图像法 F -l图像中，图线与l轴所围“面积”的代数和表示力F在这段位移内所做的功，且位于l轴上方的“面积”为正功，位于l轴下方的“面积”为负功
等效 转换法 图中恒力F把物块从位置A拉到位置B过程中绳子对物块做的功W＝F
水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是
A.拉力F对小球做的功为16π J
B.拉力F对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
√
例1
将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F在每一小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°…Wn＝Flncos 37°，故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·＝10×0.8× J＝16π J，故A正确，B错误；同理可得小球克服摩擦力做的功W克＝μmg·＝0.2×2.0×10× J＝8π J，故C、D错误。故选A。
静止于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中F为力的大小，x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移动了5 m。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，取重力加速度g＝10 m/s2，则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为
A.35 J B.45 J
C.55 J D.65 J
√
例2
当x＝0时，F1＝4 N，当x＝5 m时，F2＝14 N，由于F随x均匀变化，则该段位移内F的平均值＝＝ N＝9 N，拉力做功W＝x＝9×
5 J＝45 J。故选B。
质量为2 kg的物体在水平地面上沿直线运动。某时刻起受到水平向右、大小随位移变化的力F的作用，F随位移变化的规律如图所示，已知0～3 m内物体做匀速直线运动，g＝10 m/s2。下列对图示过程的说法正确的是
A.物体与地面间的动摩擦因数为0.5
B.在x＝5 m处物体加速度大小为3 m/s2
C.0～7 m内力F对物体做功为40 J
D.0～7 m内合力对物体做功为68 J
√
例3
已知0～3 m内物体做匀速直线运动，由题图知F＝4 N，
物体受力平衡，在水平方向有F＝Ff＝μmg，解得μ＝0.2，
A错误；由题图知，在x＝5 m处，F＝7 N，根据牛顿第二
定律有F－Ff＝ma，解得a＝1.5 m/s2，B错误；力F做的功
等于F-x图像与横轴围成的面积，即WF＝4×3 J＋×(7－3) J＝
40 J，C正确；摩擦力对物体做功为Wf＝－Ffx＝－28 J，所以合力做功W＝40 J－28 J＝12 J，D错误。
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功率的理解与计算
考点三
1.定义：功与完成这些功所用______之比。
2.意义：描述力对物体做功的______。
3.公式
(1)定义式：P＝。
(2)计算式：P＝Fv。
①v为平均速度时，P为______功率。
②v为瞬时速度时，P为______功率。
知识梳理
时间
快慢
平均
瞬时
正误辨析
(1)由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。 ( )
(2)由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。 ( )
(3)当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。 ( )
(4)力在单位时间内做的功越多，其功率就越大。 ( )
×
√
×
√
1.瞬时功率的计算方法
(1)利用P＝Fvcos α，其中v为该时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
2.平均功率的计算方法
(1)利用＝求解。
(2)利用＝Fcos α求解，其中为物体在恒力F作用下的平均速度。
核心突破
一架飞机从水平方向平飞经一段圆弧转入竖直向上爬升，如图所示，假设飞机沿圆弧运动时速度大小不变，发动机推力方向沿轨迹切线，飞机所受升力垂直于机身，空气阻力大小不变，则飞机沿圆弧运动时
A.飞机发动机推力做功的功率逐渐增大
B.飞机发动机推力大小保持不变
C.飞机克服重力做功的功率保持不变
D.空气对飞机的作用力不变
√
例4
飞机发动机推力等于空气阻力与重力沿轨迹切线方向的分力
之和，重力沿轨迹切线方向的分力逐渐增大，所以推力逐渐
增大，推力与速度方向相同，故推力做功的功率逐渐增大，
A正确，B错误；设飞机速度方向与竖直方向的夹角为θ，则
竖直分速度vy＝vcos θ，飞机克服重力做功的功率为PG＝mgvy＝mgvcos θ，θ逐渐减小，所以克服重力做功的功率逐渐增大，故C错误；飞机做匀速圆周运动，升力垂直于机身，则升力指向圆心，F升－mgsin θ＝m，所以F升减小，空气对飞机的作用力F＝，则空气对飞机的作用力发生改变，故D错误。
如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为
A.48 W、24 W
B.24 W、48 W
C.24 W、12 W
D.12 W、24 W
√
例5
木块所受的合力F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N，木块的加速度a＝＝2 m/s2，前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m，所以重力在前
2 s内做的功W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J，重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W；木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，2 s末重力的瞬时功率P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W。故选B。
、
针对练.如图1所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2、3所示，g＝
10 m/s2，则
A.第1 s内推力做的功为1 J
B.第2 s内物体克服摩擦力做功为2 J
C.第1.5 s时推力F做功的功率为2 W
D.第2 s内推力F做功的平均功率为1.5 W
√
由题图3可知，第1 s内物体静止不动，故位移为零，推力不做功，A错误；由题图2、3可知，第2 s内推力为3 N，第3 s内推力为2 N且物体做匀速直线运动，则可知摩擦力Ff＝2 N，由题图3可知物体第2 s内的位移大小x＝1 m，则第2 s内物体克服摩擦力所做的功W克＝Ffx＝2 J，B正确；第1.5 s时推力F＝
3 N，速度v＝1 m/s，则推力F做功的功率P＝Fv＝3 W，C错误；第2 s内物体的平均速度＝1 m/s，推力F＝3 N，推力F做功的平均功率＝F＝3 W，D错误。故选B。
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机车启动问题
考点四
两种启动方式的比较(条件：水平路面，阻力F阻恒定)
启动方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P -t图像和 v -t图像
OA 段 过程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变 v↑
P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动 性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
启动方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
AB 段 过程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓
a＝↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC 段 过程分析 — F＝F阻 a＝0 vm＝
运动性质 以vm做匀速直线运动
如图所示，某汽车质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，当该汽车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力Ff是车重力的0.1倍，g取
10 m/s2。
(1)汽车在此路面上行驶所能达到的最大速度vm是多少？
答案：30 m/s
例6
当汽车速度达到最大时，汽车的牵引力与阻力平衡，即F＝Ff
Ff＝kmg＝2 000 N
又P＝Fvm
解得vm＝30 m/s。
(2)若汽车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
答案：40 s　
汽车做匀加速运动，由牛顿第二定律得
F1－Ff＝ma
解得F1＝3 000 N
汽车刚达到额定功率时的速度为v1＝＝20 m/s
设汽车匀加速运动的时间为t，则v1＝at
解得t＝40 s。
(3)若汽车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，求此过程中汽车的位移大小。
答案：1 050 m
从静止到达到最大速度的整个过程牵引力与阻力做功，由动能定理得Pt'－Ffx＝m
解得x＝1 050 m。
拓展变式.若汽车以额定功率做加速运动，当v＝10 m/s时汽车的加速度为多少？
答案：2 m/s2
汽车以额定功率做加速运动，当v＝10 m/s时，牵引力F'＝＝6 000 N，此时汽车的加速度a＝＝2 m/s2。
机车启动问题中的三个重要关系式
1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝。
2.机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v1＝＜vm＝。
3.机车以恒定功率启动过程常用关系式Pt－F阻x＝ΔEk。此式常用于求解机车以恒定功率启动过程中的位移大小或时间问题。
总结提升
针对练. (2026·陕西咸阳模拟)一质量m＝40 kg的儿童电动汽车在水平地面上由静止开始做直线运动，一段时间内的速度与牵引力的功率随时间变化的关系图像分别如图甲、乙所示，0～3 s内均为直线。3 s末电动汽车牵引力的功率达到额定功率，10 s末电动汽车的速度达到最大值，14 s末关闭发动机，经过一段时间电动汽车停止运动。整个过程中电动汽车受到的阻力恒定，下列说法正确的是
A.电动汽车的最大速度为10 m/s
B.0～3 s内，牵引力的大小为900 N
C.当电动汽车的速度为4 m/s时，电动
汽车的加速度大小为0.375 m/s2
D.整个过程中，电动汽车所受阻力做的功为3 750 J
√
由题图甲可知，在0～3 s内，电动汽车的加速度大小a1＝ m/s2＝1 m/s2，由题图乙可知，t＝3 s时，有P额＝F1v1，解得F1＝100 N，由牛顿第二定律有F1－Ff＝ma1，解得Ff＝60 N，由P额＝Ffvm，解得vm＝5 m/s，A、B错误；当电动汽车的速度为
4 m/s 时，电动汽车的功率已达到额定功率，故此时牵引力大小F2＝＝75 N，由牛顿第二定律有F2－Ff＝ma2，解得a2＝0.375 m/s2，C正确；全程由动能定理有t1＋P额t2＋Wf＝0，其中t1＝3 s，t2＝11 s，解得Wf＝－3 750 J，D错误。
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课 时 测 评
题组1　功的理解及恒力做功的计算
1.(2026·四川绵阳三诊)如图所示，成人用与水平方向夹角为α、斜向上的拉力F向前拉总质量为m的小孩和雪橇，重力加速度为g，从静止开始沿直线匀加速通过距离x的过程中
A.雪橇对地面的压力大小是mg－Fcos α
B.雪橇与地面之间摩擦力大小是Fsin α
C.拉力做功是Fx
D.拉力做功是Fxcos α
√
将小孩和雪橇作为整体，受力分析可知，在竖直方向上有Fsin α＋FN＝mg，解得FN＝mg－Fsin α，根据牛顿第三定律可知，雪橇对地面的压力大小FN'＝FN＝mg－Fsin α，A错误；由于雪橇做匀加速运动，可知摩擦力Ff＜Fcos α，无法比较摩擦力与Fsin α的大小关系，B错误；根据功的定义可知，拉力做功W＝Fxcos α，C错误，D正确。
2.(多选)一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如图所示，如果运动员在下滑过程中受到的阻力恒为Ff＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是
A.重力做的功为6 000 J
B.阻力做的功为1 000 J
C.支持力不做功
D.各力做的总功为5 000 J
√
√
√
对运动员受力分析如图所示，重力做功WG＝mgh＝60×10×10 J＝
6 000 J，阻力做功Wf＝－Ff·＝－50× J＝－1 000 J，由于支持力方向与位移方向垂直，则支持力不做功，即WN＝0，各力做的总功W总＝WG＋Wf＋WN＝5 000 J，故A、C、D正确，B错误。
题组2　变力做功的计算
3.一质量为4 kg的物体，在粗糙的水平面上受水平恒定的拉力F作用做匀速直线运动。物体运动一段时间后拉力逐渐减小，当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图为拉力F随位移x变化的关系图像，重力加速度大小取10 m/s2，则可以求得
A.物体做匀速直线运动的速度为4 m/s
B.整个过程拉力对物体所做的功为4 J
C.整个过程摩擦力对物体所做的功为－8 J
D.整个过程合力对物体所做的功为－4 J
√
F -x图线与横轴所围区域的面积表示拉力对物体所做的功，所以WF＝
J＝12 J，故B错误；0～2 m阶段，根据平衡条件可得F＝Ff＝4 N，所以整个过程中摩擦力对物体做的功Wf＝－Ffx＝－4×4 J＝－16 J，故C错误；整个过程中合力所做的功为W合＝WF＋Wf＝12 J＋(－16 J)＝－4 J，故D正确；根据动能定理可得W合＝0－m，解得v0＝ m/s，故A错误。故选D。
4.(2026·江苏南通联考)某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F＝kh＋F0(k，F0已知)，石头沿竖直方向做直线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为
A.F0h0 B.kF0
C.F0h0＋k D.(kh0＋F0)h0
√
所受的阻力F与深度h的关系为线性关系，则有W克＝h0＝h0＝F0h0＋k，故C正确。
题组3　功率的理解与计算
5.(多选)(2026·山西太原模拟)采酥梨时，假设质量为250 g的梨子从树上由静止坠落，经2 s到达地面，不计空气阻力，重力加速度大小g取10 m/s2。则
A.酥梨坠落2 s过程中所受重力做的功为100 J
B.酥梨坠落2 s过程中重力做功的平均功率为25 W
C.酥梨2 s末到达地面前的动能为50 J
D.酥梨2 s末到达地面前重力的瞬时功率为75 W
√
√
酥梨在2 s内下落的高度为h＝gt2＝20 m，则重力做的功为W＝mgh＝50 J，重力做功的平均功率为＝＝25 W，故A错误，B正确；酥梨在2 s末的速度为v＝gt＝20 m/s，酥梨2 s末到达地面前的动能为Ek＝mv2＝50 J，酥梨2 s末到达地面前重力的瞬时功率为P＝mgv＝50 W，故C正确，D错误。
6.(2026·陕西榆林期中)如图甲所示，质量m＝2 kg的物体放在粗糙水平地面上，t＝0时刻物体在水平拉力F的作用下开始运动，t＝6 s时撤去水平拉力，物体速度v随时间t的变化关系如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是
A.物体与水平地面间的动摩擦因数为0.3
B.水平拉力的最大功率为9 W
C.水平拉力做的功为36 J
D.物体克服摩擦力做的功为30 J
√
t＝6 s时撤去水平拉力，在6～8 s内，由v -t图像可得加速度大小为a2＝＝ m/s2＝1.5 m/s2，根据牛顿第二定律可得Ff＝μmg＝ma2，解得物体与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.15，故A错误；在0～6 s内，由v -t图像可得加速度大小为a1＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，由牛顿第二定律得F－μmg＝ma1，解得F＝4 N，t＝6 s时物体速度最大，拉力功率最大，则有Pm＝Fvm＝12 W，故B错误；
0～6 s内物体位移为x1＝t1＝9 m，拉力做功为WF＝Fx1＝36 J，故C正确；在0～8 s内，根据动能定理可得WF－W克＝ΔEk＝0，可得物体克服摩擦力做的功为W克＝WF＝36 J，故D错误。
题组4　机车启动问题
7.(2026·江苏南通开学考试)新能源汽车以恒定的加速度由静止开始沿平直的公路行驶，t1时刻达到发动机额定功率后保持功率不变，t2时刻起匀速行驶。汽车所受的阻力不变，则此过程中汽车的加速度a、功率P随时间t的变化规律正确的是
√
汽车在0～t1时间内做匀加速运动，则加速度a不变；t1～t2时间内，功率P保持不变，根据P＝Fv可知牵引力F不断减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，但非线性减小，直到t2时刻开始做匀速运动，加速度变为0，故A、B错误。汽车在0～t1时间内做匀加速运动，则加速度a不变，速度v均匀增加，牵引力F保持不变，根据P＝Fv＝Fat，可知0～t1时间内功率随时间均匀增加；t1～t2时间内，功率P保持不变，故C错误，D正确。
8.(多选)(2026·陕西汉中期末)某“复兴号”列车的额定功率为1.0×104 kW，列车的质量为1.0×105 kg，列车在水平轨道上行驶时，阻力是车重的
0.1倍。列车在水平轨道上行驶，受到的阻力保持不变，重力加速度g取
10 m/s2。下列选项正确的是
A.若列车保持额定功率行驶，当列车行驶速度为20 m/s
时，列车的加速度大小为4.0 m/s2
B.列车保持额定功率行驶能达到的最大速度为120 m/s
C.若列车由静止开始，以1.0 m/s2的加速度做匀加速直线运动的最长时间为40 s
D.若列车由静止开始，以1.0 m/s2的加速度做匀加速运动，则25 s末列车的瞬时功率为5.0×106 W
√
√
若列车保持额定功率行驶，当列车行驶速度为20 m/s时，解得牵引力F1＝＝5.0×105 N，根据牛顿第二定律有F1－kmg＝ma1，解得a1＝
4.0 m/s2，故A正确；列车保持额定功率行驶，列车达到最大速度后受力平衡，则有＝kmg，解得vmax＝100 m/s，故B错误；
若列车由静止开始，保持以1.0 m/s2的加速度做匀加速运动，根据牛顿第二定律有F0－kmg＝ma0，解得F0＝2.0×105 N，则匀加速末状态有
P额＝F0v0，匀加速过程有v0＝a0t0，解得t0＝50 s，即匀加速运动的最长时间为50 s，故C错误；若列车由静止开始，保持以1.0 m/s2的加速度做匀加速运动，则25 s末的速度v2＝a0t1＝25 m/s，此时列车的瞬时功率P1＝F0v1＝2.0×105×25 W＝5.0×106 W，故D正确。
9.如图甲所示，辘轱是古代民间提水设施，由辘轱头、支架、井绳、水斗等部分构成，如图乙为提水设施工作原理简化图，某次从井中汲取m＝
2 kg的水，辘轱绕绳轮轴半径为r＝0.1 m，水斗的质量为0.5 kg，井足够深且井绳的质量忽略不计，t＝0时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动向上提水桶，其角速度随时间变化规律如图丙所示，g取10 m/s2，则
A.水斗速度随时间变化规律为v＝2t
(所涉及物理量均用国际单位制单位)
B.井绳拉力大小恒定，其值为25 N
C.0～10 s内，水斗上升的高度为4 m
D.0～10 s内，井绳拉力所做的功为255 J
√
由题图丙知ω＝2t，水斗速度随时间变化规律为v＝ωr＝0.2t(所涉及物理量均用国际单位制单位)，A错误；由A项分析知，水斗匀加速上升时的加速度大小a＝0.2 m/s2，根据牛顿第二定律得F－(m＋m')g＝(m＋m')a，解得井绳拉力大小F＝25.5 N，B错误；0～10 s内，水斗上升的高度为h＝at2＝10 m，C错误；0～10 s内，井绳拉力所做的功为W＝Fh＝255 J，D正确。故选D。
10.质量为m＝200 kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车发动机的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在18 s末汽车的速度恰好达到最大。则下列说法正确的是
A.汽车受到的阻力为800 N
B.汽车的最大牵引力为800 N
C.8～18 s过程中汽车牵引力做的功为4×104 J
D.汽车在做变加速运动过程中的位移大小为90 m
√
在18 s末汽车的速度恰好达到最大，由题
图甲、乙知vm＝10 m/s，P额＝8×103 W，
则汽车受到的阻力Ff＝＝800 N，故A正
确；0～8 s内，汽车做匀加速直线运动，8 s
末汽车的牵引力最大，汽车功率最大，由题图甲知汽车匀加速的加速度大小为a＝＝1 m/s2，由牛顿第二定律知Fm－Ff＝ma，解得汽车的最大牵引力为Fm＝1 000 N，故B错误；8～18 s过程中汽车的功率不变，则牵引力做的功为W＝P额t2＝8×104 J，故C错误；设汽车做变加速运动过程的位移为x，由动能定理得W－Ffx＝m－m，解得x＝95.5 m，故D错误。故选A。
11.(多选)电动汽车在研发过程中都要进行性能测试，如图所示为某次测试中某型号汽车在水平路面上由初速度为2 m/s开始运动，牵引力F与速度v的倒数的F -图像，vm表示最大速度，ab平行于轴，bc反向延长线过原点。已知阻力恒定，汽车质量为1×103 kg。下列说法正确的是
A.汽车从a到b持续的时间为9 s
B.汽车由b到c过程做匀加速直线运动
C.在此测试过程中汽车最大功率为80 kW
D.汽车能够获得的最大速度为30 m/s
√
√
c点时汽车速度最大，牵引力等于阻力，所以Ff＝2×
103 N，汽车从a到b牵引力恒定，做匀加速直线运动，
加速度为a＝＝ m/s2＝2 m/s2，汽车从a到
b持续的时间为t＝＝ s＝9 s，故A正确；根据
F＝，结合bc段图像，可知汽车从b到c以恒定功率加速，根据牛顿第二定律有－Ff＝ma，可知汽车由b到c过程做加速度减小的加速运动，故B错误；由b点知Pm＝Fbvb＝80 kW，故C正确；汽车能够获得的最大速度为vm＝＝
40 m/s，故D错误。
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第1讲　功和功率

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