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实验九　用单摆测量重力加速度
原理装置 实验步骤 数据处理
单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可看成简谐运动，其固有周期T＝2π，可得g＝，测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度 1.做单摆：将细线穿过带中心孔的小球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让小球自然下垂。 2.测摆长：用刻度尺测出摆线长l'(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l'＋。 3.测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 4.改变摆长，重做几次实验 1.公式法：利用公式g＝算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。 2.图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l -T2图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条过原点的倾斜直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度
注意事项 1.摆线要选长1 m左右、柔软不易伸长的细线，不要过长或过短。 2.摆线长要待悬挂好小球后再测量。 3.单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。 4.要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数 误差分析 1.系统误差：悬点是否固定、小球与细线是否符合要求、是单摆运动还是圆锥摆运动等。 2.偶然误差 (1)振动时间t(单摆周期T＝)的测量：是否从摆球通过平衡位置开始计时、多记或漏记全振动的次数、停表的读数误差等。 (2)长度的测量：测量摆线长、摆球直径时读数的误差等
类型一　教材原型实验
(2026·北京延庆期末)实验课中，同学们用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图1所示。
(1)组装单摆时，应该选用　　　　。(用器材前的字母表示)
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为30 cm左右的细线
C.直径约为2.1 cm的塑料球
D.直径约为2.1 cm的钢球
(2)在实验中，某同学用游标卡尺测量金属球的直径，结果如图2所示，则小球直径为　　　　cm。
(3)在实验中，某同学的操作步骤如下：
a.取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上；
b.用米尺测量细线长度为l，l与小球半径之和记为摆长；
学生用书 第139页
c.缓慢拉动小球，使细线偏离竖直方向约为5°位置由静止释放小球；
d.用秒表记录小球完成n次全振动所用的总时间t，计算单摆周期T＝；
e.用公式g＝计算当地重力加速度；
f.改变细线长度，重复b、c、d、e步骤，进行多次测量。
在上述步骤中，错误的是　　　　(写出该步骤的字母)；改正后应该是：　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
(4)甲同学测量了5组数据，在坐标纸上描点作图得到了如图3所示的图像，其中T表示单摆的周期，L表示单摆的摆长。用g表示当地的重力加速度，图线的数学表达式可以写为T2＝　　　　　　(用题目所给的字母表示)。由图像可计算出当地的重力加速度g＝　　　　m/s2(π取3.14，计算结果保留2位有效数字)。
答案：(1)AD　(2)2.06　(3)e　用公式g＝计算当地重力加速度　(4)L　9.9
解析：(1)根据实验要求可知组装单摆时，应该选用长度为1 m左右的细线和直径约为2.1 cm的钢球。故选AD。
(2)小球直径为20 mm＋6×0.1 mm＝20.6 mm＝2.06 cm。
(3)错误的步骤是e；改正后应该是：用公式g＝计算当地重力加速度。
(4)根据T＝2π，可得T2＝L，由题图3可知k＝＝ s2/m，解得g≈9.9 m/s2。
(2026·江苏镇江期末)某同学甲利用如图1所示装置做“用单摆测重力加速度”的实验，进行了如下操作步骤：
(1)测量摆球的直径如图2所示，则摆球的直径为　　　　cm。
(2)在安装实验装置的过程中，下列有关器材的选择和安装最合理的是　　　　。
(3)在测量单摆周期时，为了减小实验误差，该组同学先测量了完成多个全振动所需要的时间，实验时应从摆球经过　　　　(选填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
(4)某同学乙在家里做用单摆测量重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一个质量分布不均匀的铁球，铁球的重心不在球心，但是在球心与悬点的连线上。他仍将从悬点到铁球中心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得几组L和对应的周期T，画出T2 -L图线如图3所示，根据图像判断测量摆长L　　　　(选填“大于”“小于”或“等于”)真实摆长；在图线上选取A、B两个点，坐标分别为、，可计算出重力加速度g＝　　　　　　　　　。
答案：(1)1.240　(2)D　(3)最低点　(4)大于　　
解析：(1)摆球的直径d＝12 mm＋8×0.05 mm＝12.40 mm＝1.240 cm。
(2)为了使单摆在摆动的过程中摆长保持不变，应选用不易拉伸的细丝线作为摆线，并用铁夹固定在铁架台上；为了减小空气阻力的影响，应选密度较大的铁球。故选D。
(3)摆球摆到最低点(平衡位置)时开始计时，此时摆球的速度最大，特征明显，可以减小测量周期产生的误差。
(4)由题图3可知，测量摆长大于实际摆长。设铁球重心在球心上方的距离为x，则有T＝2π，解得T2＝L－，T2 -L图像的斜率k＝＝，解得g＝。
类型二　拓展创新实验
(2025·浙江6月卷·T14-Ⅱ)在用单摆测重力加速度的实验中：
(1)如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为　　　　s(结果保留3位
学生用书 第140页
有效数字)。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为T＝　　　　　 。
(2)丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l -T2 关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度g＝　　　　，小钢球重心到摆线下端的高度差h＝　　　　。(结果均用k、b表示)
(3)丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.64 m/s2。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是　　　　　　　　　
　　　　。
[破题 “三步曲”]
答案：(1)1.31　　(2)4π2k　 kb　(3)见解析
解析：(1)单摆摆动过程中，在最低点细线的拉力最大，相邻两次拉力最大的时间间隔为半个周期。由题图2可知，从起始值到终止值经历的时间间隔Δt＝7.653 0 s－1.127 7 s＝6.525 3 s，则有Δt＝10·，解得T≈1.31 s。由题意可得＝t，解得周期为T＝。
(2)设小钢球重心到摆线下端的高度差为h，则摆长为L＝h＋l，根据单摆周期公式有T＝2π，可得T＝2π，变形得l＝T2－h，可得l -T2图像的斜率为k＝，解得g＝4π2k。当T2＝b时l＝0，则有0＝kb－h，解得小钢球重心到摆线下端的高度差h＝kb。
(3)存在空气阻力和圆弧槽的摩擦阻力，导致实际测出的周期大于理想情况下的周期，根据g＝可知g的测量值小于真实值。
(2026·广东江门模拟)在利用单摆实验测量重力加速度时，某同学想改变传统秒表计时的方式，改为使用霍尔元件和单片机进行计时。按图甲方式将霍尔元件置于磁性摆球静止时的正下方，当小球做单摆运动经过最低点时，霍尔传感器产生脉冲信号并发送给单片机，单片机接收信号并计时，并将数据传输给电脑和手机，实时显示测量结果并分析处理和存储数据。
(1)实验前，用刻度尺测出绳长为L，用游标尺上有20小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图乙所示，可读出摆球的直径d＝　　　　cm。
(2)电脑将单片机传输的计时数据处理后得到电压的脉冲信号随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为　　　　。
(3)最后根据测量得到单摆的摆长和运动周期，计算出重力加速度，其表达式为g＝　　　　　　　　。(用本题中涉及的符号表示)
(4)若某次实验找不到磁性小球，只有一个不规则的小磁体，将小磁体用细线悬挂起来做成单摆，取不同摆长L1、L2…Ln进行n次测量，得到周期T1、T2…Tn，以测量的绳长L为横坐标，T2为纵坐标，作出T2 -L图线，如图丁所示，应为图线　　　　(选填“a”“b”或“c”)。使用图像法处理数据测重力加速度，不规则小磁体的重心不确定，这对测量结果是否有影响？　　　　(选填“是”或“否”)。
[破题 “三步曲”]
答案：(1)0.810　 (2)2t0　 (3)　(4)a　否
解析：(1)由题图乙可读出摆球的直径是d＝8 mm＋2×0.05 mm＝8.10 mm＝0.810 cm。
(2)当小球做单摆运动经过最低点时，霍尔传感器产生脉冲信号，因此由题图丙可知相邻两个电压脉冲之间的时间间隔为半个周期，则该单摆的周期为2t0。
(3)绳长为L，摆球的直径为d，则摆长为l＝L＋，由单摆的周期公式可得g＝。
(4)以测量的绳长L为横坐标，T2为纵坐标，设小磁体的重心到固定小磁体悬线悬点的距离为d'，可知单摆的摆长为L＋d'，由单摆的周期公式可得T2＝L＋，可知T2 -L图线应为图线a。使用图像法处理数据测重力加速度，不规则小磁体的重心不确定，由T2＝L＋，可知T2 -L图线的斜率为不变，则测量值g不变，因此这对测量结果没有影响。
课时测评38　用单摆测量重力加速度
(时间：30分钟　满分：60分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1.(10分)某研究性学习小组设计了如图甲所示的实验装置，利用单摆测量当地的重力加速度。
(1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有　　　　(填字母)。
A.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相对平衡位置时有较大的偏角
B.摆球尽量选择质量较大、体积较小的
C.摆线要选择较轻、无伸缩性，并且适当长一些的
(2)测量单摆周期时，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“0”，当摆球再次通过最低点时数“1”，依此类推，当他数到“40”时，秒表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为　　　　。
(3)改变摆线长度，测量出多组周期T、摆线长L的数值后，画出T2-L图像如图乙所示，测得此图像斜率为k，则当地重力加速度的表达式为g＝　　　　(用k表示)。
(4)T2 -L图像不过坐标原点的原因是　　　　　　　　　　　　　。
答案：(1)BC　(2)　(3)　(4)忽略了摆球半径，使摆长测量值偏小
解析：(1)单摆摆角应小于5°，故A错误；为尽量减小空气阻力的影响，摆球尽量选择质量较大、体积较小的，故B正确；为避免单摆摆动过程中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细线，并且适当长一些，故C正确。
(2)计数为“40”时，单摆完成20次全振动，故周期T＝。
(3)由单摆周期公式有T＝2π，化简得T2＝L＋，则有k＝，解得g＝。
(4)由(3)可得，T2-L图像不过坐标原点的原因是忽略了摆球半径，使摆长测量值偏小。
2.(10分)(2026·河北秦皇岛模拟)如图甲所示，某实验小组利用单摆测量当地的重力加速度，所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、速度传感器和计算机等。
实验操作步骤如下：
A.取一根细线，下端系住一个金属小球，上端固定在铁架台上；
B.用米尺(分度值为1 mm)测得摆线长为L1；
C.在摆线偏离竖直方向较小夹角θ(θ＜5°)的位置由静止释放小球；
D.速度传感器连接计算机，记录了摆球摆动过程中速度随时间变化的关系，如图乙所示；
E.改变摆线长度，重复B、C、D的操作；
F.根据实验数据，利用计算机作出T2 -L图像，并根据图像得到方程T2＝4.05L＋0.036，由此可以得出当地的重力加速度g。
回答以下问题：
(1)摆线长为L1时，单摆的周期T1＝　　　　s。
(2)实验小组测得当地的重力加速度g＝　　　　m/s2。(π取3.14，结果保留3位有效数字)
(3)实验时没有测量摆球直径，L为摆线长而不是摆长，你认为这种做法　　　　(选填“会”或“不会”)引起实验的系统误差；为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是　　　　。
A.组装单摆须选用质量和直径都较大的摆球
B.当摆球经过最高点时开始计时
C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
D.摆球偏离平衡位置的角度尽可能大
答案：(1)2.0　(2)9.74　(3)不会　C
解析：(1)由题图乙可知摆线长为L1时，该单摆周期T1＝2.0 s。
(2)设摆球半径为r，根据单摆周期公式有T＝2π，整理得T2＝L＋r，结合题中根据图像得到的方程T2＝4.05L＋0.036，可知＝4.05 s2/m，解得g≈9.74 m/s2。
(3)根据T2＝L＋r，可知实验时没有测量摆球直径，L为摆线长度时得到的T2 -L图像斜率不变，在用斜率计算重力加速度时不会引起实验的系统误差。
为了减小空气阻力引起的误差，应选用密度大、体积小的摆球，故A错误；为准确测量单摆周期，应在摆球经过平衡位置时开始计时，故B错误；实验时须使摆球在同一竖直面内摆动，否则会形成圆锥摆，故C正确；为使摆球做简谐运动，摆球偏离平衡位置的角度应小于5°，故D错误。
3.(10分)(2026·广东惠州期末)某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示，测得每根悬线长为L，两悬点间距为2s，小球两侧为光电计数器。实验步骤如下，请回答下列问题：
(1)用游标卡尺测量小球的直径如图乙，则小球的直径D是　　　　　mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向的角度　　　　　(选填“大于”或“小于”)5°。
(3)启动光电计数器，悬线偏离竖直方向后，由静止释放小球，当小球经过平衡位置O时，计时器开始计时，并计为第1次。当光电计数器上显示的计数次数刚好为n时，测得所用的时间为t，由此可知，单摆的周期T为　　　　。
A. B.
C. D.
(4)根据上述实验方法测量得到的物理量，可得到当地重力加速度g＝　　　　　　　　　(用字母L、s、D、T表示)。
答案：(1)15.4　(2)小于　(3)D　(4)＋)
解析：(1)小球的直径为D＝15 mm＋4×0.1 mm＝15.4 mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动，为使小球做简谐运动，应使悬线偏离竖直方向的角度小于5°。
(3)当光电计数器显示数为“1”时是0时刻，计数次数刚好为n时，完成全振动的次数为N＝，则单摆的周期T＝＝。故选D。
(4)摆长等于摆线的有效长度与小球的半径之和，即等效摆长为l＝＋，根据单摆的周期公式T＝2π，可得g＝l，代入数据得g＝＋)。
4.(10分)(2026·湖北武汉期末)某高中学校一物理兴趣小组的几位同学，用一些器材测量某公园附近的重力加速度。为了便于携带，该组同学将一单摆固定于一深度为h(未测量)且开口向下的透明塑料杯顶端(单摆的下半部分露于筒外)，如图甲所示。每次实验前，组内同学利用钢板尺测出杯子的下端口到小球上端的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T。实验开始时，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，且单摆在摆动过程中悬线不会碰到杯壁，最后利用测得的数据，以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像求出小筒的深度h和当地的重力加速度g。
(1)实验时用游标卡尺测得摆球直径d＝12.0 mm。
(2)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时，同时数“1”，当摆球第二次通过最低点时数“2”，依此往下数，当他数到“60”时，按下停表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为　　　。
A. B.
C. D.
(3)实验中所得到的T2 -L关系图线如图乙中的　　　　(选填“a”“b”或“c”)所示，当地的重力加速度g＝　　　　m/s2(π取3.14，此结果保留2位小数)。
(4)根据以上数据，结合得到的T2 -L关系图线，可以求出透明塑料杯的深度h＝　　　　cm。
答案：(2)B　(3)a　9.86　(4)29.4
解析：(2)从数“1”到数“60”时经历了29.5个周期，所以该单摆的周期为T＝。故选B。
(3)摆线在筒内部分的长度为h，由单摆的周期公式T＝2π，可得T2＝L＋(h＋)，可知实验所得到的T2-L关系图线应为a；结合题图乙可知，斜率为k＝＝ s2/m，解得当地的重力加速度为g≈9.86 m/s2。
(4)由(3)可得(h＋)＝1.20 s2，联立可得透明塑料杯的深度h＝29.4 cm。
5.(10分)(2026·河南郑州期末)某同学利用磁性小球和电磁传感器，做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)实验仪器装置如图甲所示，用铁夹将摆线上端固定在铁架台的O点，将一个匀质磁性小球拴接在摆线下端，用刻度尺测量摆线的长度为l＝80.0 cm。
(2)用螺旋测微器测量磁性小球的直径，示数如图乙所示，可知小球直径为D＝　　
　　mm。
(3)将连接有计算机的电磁传感器置于磁性小球平衡位置正下方，把磁性小球由平衡位置拉开一个小角度(小于5°)，由静止释放，计算机记录磁感应强度B随时间t的变化曲线如图丙所示。已知图中t0＝0.500 s，Δt＝0.900 s，则单摆摆动周期为　　　　s。
(4)由单摆周期公式可知，该同学此次测得的重力加速度大小为　　　　m/s2。(取π2≈9.8，结果保留2位小数)
答案：(2)9.600　(3)1.800　(4)9.74
解析：(2)小球直径为D＝9.5 mm＋10.0×0.01 mm＝9.600 mm。
(3)实验中，磁性小球经过最低点时测得的磁感应强度B最大，根据题图丙有Δt＝T，解得周期为T＝2Δt＝1.800 s。
(4)根据T＝2π，解得g＝＝ m/s2≈9.74 m/s2。(共63张PPT)
实验九　用单摆测量重力加速度
高三总复习讲义　新高考
第八章 机械振动与机械波
课时测评
内容索引
实验梳理
典例研析
实验梳理
原理装置
单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可看成简谐运动，其固
有周期T＝2π，可得g＝，测出摆长l和周期T，即可计
算得到当地的重力加速度
实验步骤
1.做单摆：将细线穿过带中心孔的小球，并打一个比小孔大一
些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让小球自
然下垂。
2.测摆长：用刻度尺测出摆线长l'(精确到毫米)，用游标卡尺测
出小球直径D，则单摆的摆长l＝l'＋。
3.测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
4.改变摆长，重做几次实验
数据处理
1.公式法：利用公式g＝算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。
2.图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T， 作l -T2图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条过原点的倾斜直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度

注意事项 1.摆线要选长1 m左右、柔软不易伸长的细线，不要过长或过短。 2.摆线长要待悬挂好小球后再 测量。 3.单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。 4.要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数 误差分析
1.系统误差：悬点是否固定、小球与细线是否符合要求、是单摆运动还是圆锥摆运动等。
2.偶然误差
(1)振动时间t(单摆周期T＝)的测量：是否从摆球通过平衡位置开始计时、多记或漏记全振动的次数、停表的读数误差等。
(2)长度的测量：测量摆线长、摆球直径时读数的误差等
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典例研析
(2026·北京延庆期末)实验课中，同学们用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图1所示。
(1)组装单摆时，应该选用__________。(用器材
前的字母表示)
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为30 cm左右的细线
C.直径约为2.1 cm的塑料球
D.直径约为2.1 cm的钢球
例1
类型一　教材原型实验
AD
根据实验要求可知组装单摆时，应该选用长度为1 m左右的细线和直径约为2.1 cm的钢球。故选AD。
(2)在实验中，某同学用游标卡尺测量金属球的直径，结果如图2所示，则小球直径为__________cm。
2.06
小球直径为20 mm＋6×0.1 mm＝20.6 mm＝2.06 cm。
(3)在实验中，某同学的操作步骤如下：
a.取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上；
b.用米尺测量细线长度为l，l与小球半径之和记为摆长；
c.缓慢拉动小球，使细线偏离竖直方向约为5°位置由静止释放小球；
d.用秒表记录小球完成n次全振动所用的总时间t，计算单摆周期T＝；
e.用公式g＝计算当地重力加速度；
f.改变细线长度，重复b、c、d、e步骤，进行多次测量。
在上述步骤中，错误的是_________(写出该步骤的字母)；改正后应该是：
_______________________________________。
e
用公式g＝计算当地重力加速度
错误的步骤是e；改正后应该是：用公式g＝计算当地重力加
速度。
(4)甲同学测量了5组数据，在坐标纸上描点作图得到了如图3所示的图像，其中T表示单摆的周期，L表示单摆的摆长。用g表示当地的重力加速度，
图线的数学表达式可以写为T2＝_______(用题目所给的字母表示)。由图像可计算出当地的重力加速度g＝__________m/s2(π取3.14，计算结果保留2位有效数字)。
9.9
根据T＝2π，可得T2＝L，由题图3可知k＝＝ s2/m，解得g≈9.9 m/s2。
(2026·江苏镇江期末)某同学甲利用如图1所示装置做“用单摆测重力加速度”的实验，进行了如下操作步骤：
(1)测量摆球的直径如图2所示，则摆球的直径为__________cm。
例2
1.240
摆球的直径d＝12 mm＋8×0.05 mm＝12.40 mm＝1.240 cm。
(2)在安装实验装置的过程中，下列有关器材的选择和安装最合理的是____。
D
为了使单摆在摆动的过程中摆长保持不变，应选用不易拉伸的细丝线作为摆线，并用铁夹固定在铁架台上；为了减小空气阻力的影响，应选密度较大的铁球。故选D。
(3)在测量单摆周期时，为了减小实验误差，该组同学先测量了完成多个全振动所需要的时间，实验时应从摆球经过__________(选填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
最低点
摆球摆到最低点(平衡位置)时开始计时，此时摆球的速度最大，特征明显，可以减小测量周期产生的误差。
(4)某同学乙在家里做用单摆测量重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一个质量分布不均匀的铁球，铁球的重心不在球心，但是在球心与悬点的连线上。他仍将从悬点到铁球中心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得几组L和对应的周期T，画出T2 -L图线如图3所示，根据图像判断测量摆长L______(选填“大于”“小于”或“等于”)真实摆长；在图线上选取A、B两个
点，坐标分别为、，可计算出重力加速度g＝_________。
大于
由题图3可知，测量摆长大于实际摆长。设铁球重心在球心上方的距离
为x，则有T＝2π，解得T2＝L－，T2 -L图像的斜率k＝＝，解得g＝。
(2025·浙江6月卷·T14-Ⅱ)在用单摆测重力加速度的实验中：
类型二　拓展创新实验
例3
(1)如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为________s(结果保留3位有效数字)。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，
则单摆的周期为T＝_______。
1.31
单摆摆动过程中，在最低点细线的拉力最大，相邻两次拉力最大的时间间隔为半个周期。由题图2可知，从起始值到终止值经历的时间间隔Δt
＝7.653 0 s－1.127 7 s＝6.525 3 s，则有Δt＝10·，解得T≈1.31 s。由题意可得＝t，解得周期为T＝。
(2)丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l -T2 关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度g＝__________，小钢球重心到摆线下端的高度差h＝__________。(结果均用k、b表示)
4π2k
kb
设小钢球重心到摆线下端的高度差为h，则摆长为L＝h＋l，根据单摆周
期公式有T＝2π，可得T＝2π，变形得l＝T2－h，可得l -T2图像的斜率为k＝，解得g＝4π2k。当T2＝b时l＝0，则有0＝kb－h，解
得小钢球重心到摆线下端的高度差h＝kb。
(3)丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.64 m/s2。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是　　　 　　　.
　　　　 。
存在空气阻力和圆弧槽的摩擦阻力，导致实际测出的周期大于
理想情况下的周期，根据g＝可知g的测量值小于真实值
破题 “三步曲”
(2026·广东江门模拟)在利用单摆实验测量重力加速度时，某同学想改变传统秒表计时的方式，改为使用霍尔元件和单片机进行计时。按图甲方式将霍尔元件置于磁性摆球静止时的正下方，当小球做单摆运动经过最低点时，霍尔传感器产生脉冲信号并发送给单片机，单片机接收信号并计时，并将数据传输给电脑和手机，实时显示测量结果并分析处理和存储
数据。
例4
(1)实验前，用刻度尺测出绳长为L，用游标尺上有20小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图乙所示，可读出摆球的直径d＝__________cm。
0.810
由题图乙可读出摆球的直径是d＝8 mm＋2×0.05 mm＝8.10 mm＝
0.810 cm。
(2)电脑将单片机传输的计时数据处理后得到电压的脉冲信号随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为__________。
2t0
当小球做单摆运动经过最低点时，霍尔传感器产生脉冲信号，因此由题图丙可知相邻两个电压脉冲之间的时间间隔为半个周期，则该单摆的周期为2t0。
(3)最后根据测量得到单摆的摆长和运动周期，计算出重力加速度，其表达
式为g＝_________。(用本题中涉及的符号表示)
绳长为L，摆球的直径为d，则摆长为l＝L＋，由单摆的周期公式可得g＝。
(4)若某次实验找不到磁性小球，只有一个不规则的小磁体，将小磁体用细线悬挂起来做成单摆，取不同摆长L1、L2…Ln进行n次测量，得到周期T1、T2…Tn，以测量的绳长L为横坐标，T2为纵坐标，作出T2 -L图线，如图丁所示，应为图线__________(选填“a”“b”或“c”)。使用图像法处理数据测重力加速度，不规则小磁体的重心不确定，这对测量结果是否有影响？__________(选填“是”或“否”)。
a
否
以测量的绳长L为横坐标，T2为纵坐标，设小磁体的重心到固定小磁体悬线悬点的距离为d'，可知单摆的摆长为L＋d'，由单摆的周期公式可
得T2＝L＋，可知T2 -L图线应为图线a。使用图像法处理数据测重力加速度，不规则小磁体的重心不确定，由T2＝L＋，可知T2 -L图线的斜率为不变，则测量值g不变，因此这对测量结果没有影响。
破题 “三步曲”
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课 时 测 评
1.(10分)某研究性学习小组设计了如图甲所示的实验装置，利用单摆测量当地的重力加速度。
(1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有__________(填字母)。
A.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相对平衡位置时有较大的偏角
B.摆球尽量选择质量较大、体积较小的
C.摆线要选择较轻、无伸缩性，并且适当长一些的
BC
单摆摆角应小于5°，故A错误；为尽量减小空气阻力的影响，摆球尽量选择质量较大、体积较小的，故B正确；为避免单摆摆动过程中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细线，并且适当长一些，故C正确。
(2)测量单摆周期时，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“0”，当摆球再次通过最低点时数“1”，依此类推，当他数到“40”时，秒表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为__________。
计数为“40”时，单摆完成20次全振动，故周期T＝。
(3)改变摆线长度，测量出多组周期T、摆线长L的数值后，画出T2-L图像
如图乙所示，测得此图像斜率为k，则当地重力加速度的表达式为g＝____
(用k表示)。
由单摆周期公式有T＝2π，化简得T2＝L＋，则有k＝，解得g＝。
(4)T2 -L图像不过坐标原点的原因是　　_______　　　　　　　　　　　。
忽略了摆球半径，使摆长测量值偏小
由(3)可得，T2-L图像不过坐标原点的原因是忽略了摆球半径，使摆长测量值偏小。
2.(10分)(2026·河北秦皇岛模拟)如图甲所示，某实验小组利用单摆测量当地的重力加速度，所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、速度传感器和计算机等。
实验操作步骤如下：
A.取一根细线，下端系住一个金属小球，上端
固定在铁架台上；
B.用米尺(分度值为1 mm)测得摆线长为L1；
C.在摆线偏离竖直方向较小夹角θ(θ＜5°)的位置由静止释放小球；
D.速度传感器连接计算机，记录了摆球摆动过程中速度随时间变化的关系，如图乙所示；
E.改变摆线长度，重复B、C、D的操作；
F.根据实验数据，利用计算机作出T2 -L图像，并根据图像得到方程T2＝4.05L＋0.036，由此可以得出当地的重力加速度g。
回答以下问题：
(1)摆线长为L1时，单摆的周期T1＝__________s。
2.0
由题图乙可知摆线长为L1时，该单摆周期T1＝2.0 s。
(2)实验小组测得当地的重力加速度g＝__________m/s2。(π取3.14，结果保留3位有效数字)
9.74
设摆球半径为r，根据单摆周期公式有T＝2π，整理得T2＝L＋r，结合题中根据图像得到的方程T2＝4.05L＋0.036，可知＝
4.05 s2/m，解得g≈9.74 m/s2。
(3)实验时没有测量摆球直径，L为摆线长而不是摆长，你认为这种做法__________(选填“会”或“不会”)引起实验的系统误差；为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是__________。
A.组装单摆须选用质量和直径都较大的摆球
B.当摆球经过最高点时开始计时
C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
D.摆球偏离平衡位置的角度尽可能大
不会
C
根据T2＝L＋r，可知实验时没有测量摆球直径，L为摆线长度时得到的T2 -L图像斜率不变，在用斜率计算重力加速度时不会引起实验的系统误差。
为了减小空气阻力引起的误差，应选用密度大、体积小的摆球，故A错误；为准确测量单摆周期，应在摆球经过平衡位置时开始计时，故B错误；实验时须使摆球在同一竖直面内摆动，否则会形成圆锥摆，故C正确；为使摆球做简谐运动，摆球偏离平衡位置的角度应小于5°，故D错误。
3.(10分)(2026·广东惠州期末)某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示，测得每根悬线长为L，两悬点间距为2s，小球两侧为光电计数器。实验步骤如下，请回答下列问题：
(1)用游标卡尺测量小球的直径如图乙，则小球的直径D是_________mm。
15.4
小球的直径为D＝15 mm＋4×0.1 mm＝15.4 mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向的角度______(选填“大于”或“小于”)5°。
小于
现将小球垂直于纸面向外拉动，为使小球做简谐运动，应使悬线偏离竖直方向的角度小于5°。
(3)启动光电计数器，悬线偏离竖直方向后，由静止释放小球，当小球经过平衡位置O时，计时器开始计时，并计为第1次。当光电计数器上显示的计数次数刚好为n时，测得所用的时间为t，由此可知，单摆的周期T为___。
A.
B.
C.
D.
D
当光电计数器显示数为“1”时是0时刻，计数次数刚好为n时，完成全
振动的次数为N＝，则单摆的周期T＝＝。故选D。
(4)根据上述实验方法测量得到的物理量，可得到当地重力加速度g＝
____________________(用字母L、s、D、T表示)。
＋)
摆长等于摆线的有效长度与小球的半径之和，即等效摆长为l＝
＋，根据单摆的周期公式T＝2π，可得g＝l，代入数据得g＝＋)。
4.(10分)(2026·湖北武汉期末)某高中学校一物理兴趣小组的几位同学，用一些器材测量某公园附近的重力加速度。为了便于携带，该组同学将一单摆固定于一深度为h(未测量)且开口向下的透明塑料杯顶端(单摆的
下半部分露于筒外)，如图甲所示。每次实验前，组内同学利用钢板尺测出杯子的下端口到小球上端的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T。实验开始时，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，且单摆在摆动过程中悬线不会碰到杯壁，最后利用测得的数据，以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像求出小筒的深度h和当地的重力加速度g。
(1)实验时用游标卡尺测得摆球直径d＝12.0 mm。
(2)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时，同时数“1”，当摆球第二次通过最低点时数“2”，依此往下数，当他数到“60”时，按下停表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为________。
A.
B.
C.
D.
B
从数“1”到数“60”时经历了29.5个周期，所以该单摆的周期为T＝。故选B。
(3)实验中所得到的T2 -L关系图线如图乙中的__________(选填“a”“b”或“c”)所示，当地的重力加速度g＝__________m/s2(π取3.14，此结果保留2位小数)。
a
9.86
摆线在筒内部分的长度为h，由单摆的周期公式T＝2π，可得T2＝L＋(h＋)，可知实验所得到的T2-L关系图线应为a；结合题图乙可知，斜率为k＝＝ s2/m，解得当地的重力加速度为g≈
9.86 m/s2。
(4)根据以上数据，结合得到的T2 -L关系图线，可以求出透明塑料杯的深度h＝__________cm。
29.4
由(3)可得(h＋)＝1.20 s2，联立可得透明塑料杯的深度h＝29.4 cm。
5.(10分)(2026·河南郑州期末)某同学利用磁性小球和电磁传感器，做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)实验仪器装置如图甲所示，用铁夹将摆线上端固定在铁架台的O点，将一个匀质磁性小球拴接在摆线下端，用刻度尺测量摆线的长度为l＝
80.0 cm。
(2)用螺旋测微器测量磁性小球的直径，示数如图乙所示，可知小球直径为D＝______________mm。
9.600
小球直径为D＝9.5 mm＋10.0×0.01 mm＝9.600 mm。
(3)将连接有计算机的电磁传感器置于磁性小球平衡位置正下方，把磁性小球由平衡位置拉开一个小角度(小于5°)，由静止释放，计算机记录磁感应强度B随时间t的变化曲线如图丙所示。已知图中t0＝0.500 s，Δt＝0.900 s，则单摆摆动周期为__________s。
1.800
实验中，磁性小球经过最低点时测得的磁感应强度B最大，根据题图丙
有Δt＝T，解得周期为T＝2Δt＝1.800 s。
(4)由单摆周期公式可知，该同学此次测得的重力加速度大小为____m/s2。
(取π2≈9.8，结果保留2位小数)
9.74
根据T＝2π，解得g＝＝ m/s2
≈9.74 m/s2。
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实验九 用单摆测量重力加速度

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