资源简介

第2讲　电场能的性质
【学习目标】　1.理解静电力做功的特点及静电力做功与电势能变化的关系。2.理解电势、电势能、电势差的概念及电势差与电场强度的关系。3.会解决电场线、等势面(线)与粒子运动轨迹的综合问题。4.会解决静电场中有关图像的问题。
考点一　静电力做功　电势能与电势
4.静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少。
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能在数值上等于将其从该点移到零势能位置静电力所做的功。
【正误辨析】
(1)电荷在电场中的位移越大，静电力做功不一定越多。(√)
(2)电场强度为零的点，电势一定为零。(×)
(3)沿电场线的方向电场强度一定越来越小，电势逐渐降低。(×)
(4)电荷的电荷量越大，其电势能一定越大。(×)
1.计算静电力做功的方法
2.电势高低的判断
判断依据 判断方法
电场线方向 沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷的正负 取无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
静电力做功 根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
3.电势能大小的判断
判断方法 方法解读
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小
电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
做功法 静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加
学生用书 第149页
(多选)(2024·广东卷·T8)污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于底部，金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有(　　)
A.M点的电势比N点的低
B.N点的电场强度比P点的大
C.污泥絮体从M点移到N点，静电力对其做正功
D.污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
答案：AC
解析：沿着电场线方向电势降低，可知M点的电势比N点的低，污泥絮体带负电，根据Ep＝qφ可知污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，静电力对其做正功，故A、C正确；根据电场线的疏密程度可知N点的电场强度比P点的小，故B错误；M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，结合A、C选项分析可知污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，故D错误。故选AC。
针对练1.(2025·甘肃卷·T5)如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是(　　)
A.M点的电势比P点的低
B.M点的电场强度比N点的小
C.负电荷从M点运动到P点，速度增大
D.负电荷从M点运动到P点，静电力做负功
答案：D
解析：M、N两点电势相等，上极板与电源正极相连，则电场方向由上到下，N、P在同一电场线上，沿电场线方向电势逐渐降低，可知N点电势高于P点，则M点电势高于P点，A错误；M点电场线分布比N点密集，可知M点电场强度比N点大，B错误；负电荷从M点运动到P点，电势降低，电势能增加，则静电力做负功，动能减小，速度减小，C错误，D正确。故选D。
针对练2. (多选)(2023·海南卷·T12)如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是(　　)
A.M、N两点电场强度相同
B.M、N两点电势相同
C.负电荷在M点电势能比在O点时要小
D.负电荷在N点电势能比在O点时要大
答案：BC
解析：根据场强叠加原理以及对称性可知，M、N两点的场强大小相同，但是方向不同，A错误。因在A、B处的正电荷产生的电场中M、N两点的合电势相等，在C点的负电荷产生的电场中M、N两点的电势也相等，则M、N两点电势相同，B正确。负电荷从M到O，A、B两电荷对负电荷的静电力的合力从O指向M，则静电力对负电荷做负功，C点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，则该负电荷的电势能增加，即负电荷在M点的电势能比在O点小；同理可知负电荷在N点的电势能比在O点小，C正确，D错误。故选BC。
考点二　等势面　电势差与电场强度的关系
1.电势差
(1)定义：电荷在电场中由一点A移到另一点B时，静电力做功与移动电荷的电荷量的比值。
(2)定义式：UAB＝。
(3)电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。
2.等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点组成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与电场线垂直。
②在同一等势面上移动电荷时静电力不做功。
③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
3.几种常见的等势面
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
学生用书 第150页
等量同种正点电荷的电场 在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高
4.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积，即U＝Ed，也可以写作E＝。
(2)公式E＝、U＝Ed的适用范围：匀强电场。
【正误辨析】
(1)电势差由电场本身的性质决定，与零电势点的选取无关。(√)
(2)电势差UAB与WAB成正比，与q成反比。(×)
(3)匀强电场的电场强度越大，电场中任意两点间的电势差一定越大。(×)
(4)匀强电场中任意两点间的距离越大，电势差不一定越大。(√)
1.应用公式E＝的两点注意
(1)定量计算时只适用于匀强电场，但是可以对非匀强电场定性分析。
(2)d为某两点沿电场方向上的距离(或者为两点连线在电场方向上的投影，或者为两点所在等势面之间的距离)。
2.由E＝可推出的三个重要推论
推论1：电场强度的方向是电势降低最快的方向。
推论2：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝(如图甲所示)。
推论3：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD(如图乙所示)，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)或者UAC＝UBD。
等势面的理解及应用
(2025·浙江1月卷·T4)三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d、e与e、f两点间的距离相等，则(　　)
A.a点电势高于b点电势
B.a、c两点的电场强度相同
C.d、f间电势差为d、e间电势差的两倍
D.从a到b与从f到b，静电力对电子做的功相等
答案：D
解析：电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷，电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，由题图可知b点的电势高于a点的电势，A错误；电场强度方向沿电场线的切线方向，则a、c两点电场强度的方向不同，B错误；电场线的疏密程度反映电场强度的大小，d→e→f电场线越来越稀疏，则电场强度逐渐减小，所以de段的平均电场强度大于ef段的平均电场强度，又de＝ef，由U＝d可知｜Ued｜＞｜Uef｜，则｜Ufd｜＜2｜Ued｜，C错误；由题图可知，a、f两点在同一等势线上，则a、f两点的电势相等，则φa－φb＝φf－φb，即Uab＝Ufb，由静电力做功与电势差的关系WAB＝qUAB知，从a到b与从f到b，静电力对电子做的功相等，D正确。故选D。
U＝Ed或E＝的定性应用
(多选)为避免发生雷击，高大的建筑物顶端均需安装避雷针。如图是某避雷针放电时空间电场线的分布图，a、b、c三点在同一电场线上，空间电场分布关于直线ac对称。图中的虚线是一带电粒子只在静电力作用下在电场中的运动轨迹。已知ab＝bc，下列说法正确的是(　　)
A.该粒子一定带正电
B.a点的电场强度一定大于b点的电场强度
C.a、b两点的电势差等于b、c两点的电势差
D.粒子在图中A点的电势能一定大于在B点的电势能
答案：AD
解析：根据粒子的运动轨迹可知，粒子所受静电力方向大致向下，可知该粒子一定带正电，A正确；b点处的电场线较a点处密集，可知a点的电场强度一定小于b点的电场强度，B错误；根据U＝Ed，由于ab间的平均场强小于bc间的平均场强，可知a、b两点的电势差小于b、c两点的电势差，C错误；从A到B静电力做正功，粒子电势能减小，可知粒子在题图中A点的电势能一定大于在B点的电势能，D正确。故选AD。
学生用书 第151页
U＝Ed或E＝在非匀强电场中的两点“妙用”
1.结合等差等势面的疏密判断场强大小：在非匀强电场中，等差等势面越密，相邻等势面沿电场方向的距离d越小，根据E＝知场强E越大；反之，则E越小。
2.结合电场线的疏密判断电势差大小：在非匀强电场中，距离d相等的两点间电场线分布越密，平均场强E越大，根据U＝Ed知电势差U越大，反之则电势差U越小。如图甲所示，AB＝BC，则UAB＞UBC；如图乙所示，AB＝BC，则UAB ＜UBC。
U＝Ed或E＝的定量应用
(多选)(2025·湖南卷·T8)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为＋q、－q和＋2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为Ep。下列说法正确的是(　　)
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
答案：AD
解析：根据题意可知O点、A点和B点的电势分别为φO＝，φA＝－，φB＝，故OA中点的电势为φM＝＝0，故A正确；如图，设N点为AB的三等分点，同理易知N点电势为0，连接MN为一条等势线，过A点作MN的垂线，可知电场线沿该垂线指向右下方，由几何关系可知∠NMA＝45°，故电场的方向与x轴正方向成45°角，故B错误；电场强度的大小为E＝＝，故C错误，D正确。故选AD。
等分法及其应用
1.等分法：在匀强电场中，把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于两点间电势差的(如图所示)，采用这种等分间距求某点电势的方法，叫作等分法。
2.等分法的应用思路
考点三　电场线、等势面(线)与粒子运动轨迹的综合问题
电场线、等势面(线)与粒子运动轨迹的综合问题的分析方法
1.判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
2.判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧且与电场线相切，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
3.判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
(多选)静电透镜是由带电导体所产生的静电场来使电子束聚焦和成像的装置，它广泛应用于电子器件(如阴极射线示波管)和电子显微镜中。如图为某静电透镜示意图，图中虚线为等差等势面。实线为电场线，一电子束从左侧射入该区域后，沿POR轨迹运动，下列说法正确的是(　　)
学生用书 第152页
A.O点的电场强度小于P点的电场强度
B.φP＜φO＜φR
C.该电子束从P点到R点过程中动能一直增大
D.该电子束从P点到R点过程中电势能一直增大
答案：BC
解析：由题图知，O点附近的等差等势面比P点附近的等差等势面密集，则O点的电场强度大于P点的电场强度，故A错误；沿电场线方向电势降低，则有φP＜φO＜φR，故B正确；电子束从P点到R点过程中，静电力一直做正功，因此该电子束从P点到R点过程中电势能一直减小，动能一直增大，故C正确，D错误。故选BC。
针对练.(2025·云南卷·T4)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2 V、－1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点静电力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
答案：C
解析：相邻两等势线间的电势差相等，则题图中的等势线为等差等势线，等差等势线密的地方电场强度大，由题图可知a点的电场强度最大，c点的电场强度最小，A、B错误；一个电子从b点移动到c点的过程，静电力做功为Wbc＝qUbc，又q＝－e、Ubc＝φb－φc，代入数据解得Wbc＝2 eV，C正确；同理，—个电子从a点移动到d点的过程，静电力做功为Wad＝qUad，又Uad＝φa－φd，代入数据解得Wad＝4 eV，则该过程电子的电势能减少了4 eV，D错误。故选C。
考点四　静电场中的三类图像
E -x图像问题
1.E -x图像反映了电场强度随位移变化的规律，E＞0表示电场强度沿x轴正方向；E＜0表示电场强度沿x轴负方向。
2.在给定了电场的E -x图像后，可以由图像确定电场强度的变化情况和电势的变化情况，E -x图像与x轴所围图形的“面积”表示电势差，两点的电势高低根据电场方向判定。
(多选)空间内有一沿x轴分布的电场，其电场强度E随x变化的图像如图所示。－x1、x1、x2、x3是x轴上的四个点，图像关于坐标原点O中心对称，下列说法中正确的是(　　)
A.－x1处的电势比x1的电势高
B.将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大，后减小
C.将一负电荷由－x1处由静止释放，若只受静电力作用，它将在－x1和x1之间往复运动
D.负电荷在这四个点中位于x2处时电势能最大
答案：BC
解析：根据题意，电场关于x轴对称分布，作出可能的电场线如图所示。根据沿着电场线电势降低，则x轴上O点电势最高，由题图可知，x轴上的点的电场强度关于原点O对称，则x轴上关于O点对称位置的电势相等，即－x1处的电势与x1处的电势相等，A错误；将正电荷由－x1移到x2，电势先增大，后减小，则电势能先增大，后减小，B正确；－x1和x1之间的电场是对称的，将一负电荷由－x1处由静止释放，负电荷先向右做加速运动，经过O点之后做减速运动，到x1处速度减为零，则它将在－x1和x1之间往复运动，C正确；负电荷在电势低的地方电势能大，在这四个点中，x3处的电势最低，则负电荷在四个点中位于x3处时电势能最大，D错误。故选BC。
φ -x图像问题
1.电场强度的大小等于φ -x图像切线斜率的绝对值，电场强度为零时，φ -x图像存在极值，其切线的斜率为零。
2.在φ -x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
3.在φ -x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用EpA－EpB＝WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
(2025·海南卷·T6)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM＝ON；有一电子从M点静止释放，仅受x方向的静电力作用，则下列说法正确的是(　　)
A.P点电场强度方向沿x负方向
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.电子在P点的动能小于在N点的动能
D.电子在M点的电势能大于在P点的电势能
答案：D
解析：由题图可知在x正半轴沿x轴正方向电势降低，则x正半轴的电场强度方向沿x轴正方向，故A错误；φ -x图像的斜率表示电场强度，由题图可知M点的电场强度大小等于N点的电场强度大小，方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，故D正确。故选D。
学生用书 第153页
Ep-x图像
1.根据电势能的变化可以判断静电力做功的正负，电势能减少，静电力做正功；电势能增加，静电力做负功。
2.根据ΔEp＝－W＝－Fx，Ep -x图像切线斜率的绝对值表示静电力的大小，正负表示静电力的方向。
在某电场中建立x坐标轴，一个质子沿x轴正方向运动，经过间距相等的A、B、C三点，该质子的电势能Ep随位置坐标x变化的关系如图所示，该质子只受静电力作用。下列说法正确的是(　　)
A.A点电势高于B点电势
B.A点的电场强度大于B点的电场强度
C.质子经过A点的速率小于经过B点的速率
D.C、B两点电势差UCB大于B、A两点电势差UBA
答案：D
解析：质子电势能增大，则静电力做负功，静电力方向与质子运动方向相反，质子带正电，说明电场方向与质子运动方向相反，即电场方向沿x轴负方向，沿电场线方向电势降低，则A点电势低于B点电势，A错误；由Ep -x图像斜率的绝对值表示静电力大小可知FxA＜FxB，说明A点的电场强度小于B点的电场强度，B错误；由图像可知EpA＜EpB，质子只受静电力作用，由能量守恒可知EkA＞EkB，即质子经过A点的速率大于经过B点的速率，C错误；根据U＝Ed定性分析，由A至C电场强度逐渐变大，A、B、C三点间距相等，则C、B两点电势差UCB大于B、A两点电势差UBA，D正确。故选D。
立体空间的电场分布
　　将点电荷、等量的同种电荷、等量的异种电荷放在立体图形(如三棱锥、正四面体、正六棱柱等)的顶点。求解立体空间内电场的电场强度及电势的分布情况。在高考试题中出现的频率逐年增加，这类题目主要考查学生的空间立体感，学会利用几何知识灵活处理。
拓展应用1. (多选)(2023·山东卷·11)如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和O'，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是(　　)
A.F'点与C'点的电场强度大小相等
B.B'点与E'点的电场强度方向相同
C.A'点与F'点的电势差小于O'点与D'点的电势差
D.将试探电荷＋q由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小
答案：ACD
解析：根据等量异号点电荷的电场线与等势面的空间分布知，F'点与C'点分居在中垂面两侧且到中垂面的距离相等，则F'点与C'点的电场强度大小相等，A正确；同理B'点和E'点的电场强度大小相等，但方向不同，B错误；等量异号点电荷连线的中垂面是一个等势面，O、O'点在该等势面上，F'点在中垂面左侧，F'点的电势比O'点的高，则有UA'F'＜UA'O'＝UO'D'，C正确；如图所示，根据几何关系可知β＝30°，作出试探电荷＋q在F点所受静电力的示意图，设正六边形的边长为a，则FA＝k，FD＝k，则tan α＝＝3＞tan 60°，即α＞60°，即试探电荷＋q在F点所受静电力与FO的夹角大于90°，在O点试探电荷＋q所受静电力的方向沿OD方向，此时静电力与FO的夹角为60°，则在试探电荷＋q从F点移动到O点的过程中，静电力对其先做负功后做正功，则试探电荷＋q的电势能先增大后减小，故D正确。
拓展应用2. (2026·湖北黄冈模拟)如图所示，M、N为两个对称的圆锥的顶点，相距2l，圆锥的底面半径为l，P点为圆锥底面圆周上的一点(未画出)，O点为MN连线的中点，Q点为ON连线的中点。现把两个电荷量都是q的负点电荷分别置于M、N两点。该空间为真空，静电力常量为k。则下列说法正确的是(　　)
A.圆周上各点的电场强度的方向都平行于MN连线
B.圆周上的某点P的电场强度大小为
C.在ON连线上各点的电场强度都一定大于P点的电场强度
D.正试探电荷q从P点沿PO、OQ移动到Q点，其电势能逐渐减小
答案：D
解析：根据等量同种点电荷电场线的分布特点可知，圆周上各点的电场强度的方向都垂直于MN连线，故A错误；设圆锥母线与MN连线的夹角为θ，根据几何关系有tan θ＝＝1，可得θ＝45°，圆周上的某点P的电场强度大小为E＝2kcos 45°＝2kcos 45°＝，故B错误；O到N，电场强度由0逐渐增加，而P点电场强度不为0，则在ON连线上各点的电场强度不是都大于P点的电场强度，故C错误；将正试探电荷q从P点沿PO、OQ的折线路径移动到Q点的过程中，一直是顺着电场线运动，静电力做正功，其电势能逐渐减小，故D正确。
拓展应用3.如图所示，在圆锥体空间的顶点O固定一正点电荷，底面圆周上有三点a、b、c，O'是底面圆心，OO'与底面垂直，d点为Oc的中点。在该点电荷所产生的电场中，下列判断正确的是(　　)
A.a、b、c三点的电场强度相同
B.O点与d点的电势差和d点与c点电势差的关系为UOd＝Udc
C.带正电的试探电荷沿直线从a移动至O'过程中受到的静电力逐渐增大，电势能也逐渐增大
D.带负电的试探电荷沿直线从a移动至b过程中电势能不变
答案：C
解析：由于a、b、c三点到点电荷的距离相等，根据E＝k，可知三点的电场强度大小相等，但方向不同，故A错误；根据点电荷的电场分布规律可知，O点与d点之间的任意位置的电场强度均大于d点与c点之间的任意位置的电场强度，由于d点为Oc的中点，根据E＝可知，O点与d点的电势差和d点与c点电势差的关系为UOd＞Udc，故B错误；带正电的试探电荷沿直线从a移动至O'过程中，到O点的距离逐渐减小，根据库仑定律可知，试探电荷受到的静电力逐渐增大，正电荷受到斥力作用，电荷克服静电力做功，其电势能增大，故C正确；带负电的试探电荷沿直线从a移动至b过程中，其到O点的距离先减小后增大，负电荷受到引力作用，静电力对负电荷先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。
课时测评40　电场能的性质
(时间：30分钟　满分：60分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－12，每题5分，共60分)
题组1　电场力做功、电势能与电势
1. (2025·河北卷·T1)《汉书》记载“姑句家矛端生火”，表明古人很早就发现了尖端放电现象。若带电长矛尖端附近某条电场线如图，则a、b、c、d四点中电势最高的是(　　)
A.a点 B.b点
C.c点 D.d点
答案：D
解析：根据沿电场线方向电势逐渐降低，可知φa＜φb＜φc＜φd，因此电势最高的是d点。故选D。
2. (2025·福建卷·T4)某种静电分析器简化图如图所示，在两条半圆形圆弧板组成的管道中加上径向电场。现将一电子a自A点垂直电场射出，恰好做圆周运动，运动轨迹为ABC，半径为r。另一电子b自A点垂直电场射出，轨迹为弧APQ，其中PBO共线，已知BP电势差为U，｜CQ｜＝2｜BP｜，a电子入射动能为Ek，则(　　)
A.B点的电场强度E＝
B.P点场强大于C点场强
C.b电子在P点动能小于在Q点动能
D.b电子全程克服静电力做功小于2eU
答案：D
解析：a电子入射动能为Ek，根据动能的表达式有Ek＝m，电子恰好做圆周运动，则eE＝m，联立解得E＝，故A错误；由题图可知，P点电场线较C点电场线稀疏，则P点场强小于C点场强，故B错误；已知｜CQ｜＝2｜BP｜，因为BC在同一等势线上，且沿电场方向电势降低，则Q点电势小于P点，电子在电势低处电势能大，则b电子在Q点电势能较P点大，根据能量守恒可知，b电子在Q点动能较P点小，故C错误；由题图可知，沿径向向外电场强度减小，则BP之间平均电场强度大小大于CQ之间的平均电场强度大小，根据U＝d，则UCQ＜2UBP，则b电子全程克服静电力做功W＝eUCQ＜2eUBP＝2eU，故D正确。故选D。
3.(多选)(2026·福建福州高三质检)生活在尼罗河的反天刀鱼，它的器官能在其周围产生电场，电场线分布如图所示，M、N、P为电场中的点。下列说法正确的是(　　)
A.P点的电场强度小于M点的电场强度
B.P点的电势小于N点的电势
C.M点的电势小于N点的电势
D.某带电小颗粒只在静电力作用下从N点沿虚线轨迹运动到M点，其在N点的电势能小于在M点的电势能
答案：AC
解析：电场线的疏密程度表示电场强度的大小，显然P点的电场强度小于M点的电场强度，故A正确；沿电场线方向电势逐渐降低，从P点到无限远处，电势降低，从无限远处到N点，电势降低，则P点的电势比N点的电势高，故B错误；M点离负电荷更近，则N点的电势比M点的电势高，故C正确；带电小颗粒仅在静电力的作用下由N点沿虚线运动到M点，静电力方向指向虚线轨迹的凹侧，故小颗粒带正电，静电力对小颗粒做正功，小颗粒的电势能一定减小，即小颗粒在N点的电势能大于在M点的电势能，故D错误。故选AC。
题组2　等势面、电势差与电场强度的关系
4.(多选)(2023·辽宁卷·T9)图甲为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图乙为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则(　　)
A.P点电势比M点的低
B.P点电场强度大小比M点的大
C.M点电场强度方向沿z轴正方向
D.沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
答案：CD
解析：因P点所在的等势面电势高于M点所在的等势面电势，可知P点电势比M点的高，A错误；因M点处的等差等势面比P点处的密集，则P点电场强度大小比M点的小，B错误；场强方向垂直等势面，且沿电场线方向电势逐渐降低，可知M点电场强度方向沿z轴正方向，C正确；因x轴上各点电势相等，则沿x轴运动的带电粒子，电势能不变，D正确。故选CD。
5.(多选)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为4 V、8 V、10 V，一电荷量为q＝－2×10－5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是(　　)
A.坐标原点O的电势为6 V
B.电场强度的大小为 V/m
C.该点电荷在c点的电势能为2×10－5 J
D.该点电荷从a点移到d点的过程中，静电力做功为8×10－5 J
答案：AD
解析：由于是匀强电场，所以φb－φc＝φa－φO，代入数据解得φO＝6 V，故A正确；同理，ab中点e的电势为φe＝6 V，连接Oe则为等势线，如图所示，由几何关系可知ab垂直于Oe，则ab为一条电场线，且方向由b指向a，电场强度大小E＝＝ V/m＝100 V/m，故B错误；该点电荷在c点的电势能＝qφc＝－2×10－4 J，故C错误；连接bd，由几何关系可知bd∥Oe，即bd为等势线，φd＝φb＝8 V，该点电荷从a点移动到d点静电力做功Wad＝qUad＝(－2×10－5)×(4－8) J＝8×10－5 J，故D正确。故选AD。
题组3　粒子运动轨迹问题
6. (多选)(2024·甘肃卷·T9)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点。下列说法正确的是(　　)
A.粒子带负电荷
B.M点的电场强度比N点的小
C.粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D.粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
答案：BCD
解析：电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面，根据沿电场线方向电势降低，结合粒子的运动轨迹及粒子做曲线运动所受合力指向轨迹凹侧可知，粒子带正电，A错误；根据等差等势面越密集，电场强度越大，可知M点的电场强度小于N点的电场强度，B正确；粒子在运动过程中，静电力先做负功后做正功，粒子动能先减小后增大，粒子在电势最高处动能最小，C正确；根据Ep＝qφ可知，带正电的粒子在电势高的地方电势能大，因此粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，D正确。故选BCD。
7.(2026·湖北黄冈二模)雷雨天带电的乌云飘过一栋建筑物上空时，在避雷针周围形成电场，a、b、c、d为等差等势面，一个电子只在静电力作用下的运动轨迹如图中实线所示，A、B是轨迹上的两点。下列说法正确的是(　　)
A.云层带负电
B.A点的电场强度大小比B点的小
C.电子在A点动能比在B点动能小
D.电子在A点电势能比在B点电势能大
答案：A
解析：电场线垂直于等势线，根据电子所受静电力的方向斜向左下方，且电子带负电，可知电场方向斜向右上方，沿电场线方向电势降低，故A点电势比B点电势高，由此可知云层带负电，故A正确；等差等势面分布的疏密程度表示电场强度的大小，可知A点场强比B点场强大，故B错误；结合A项分析，若电子从A运动到B，静电力方向与运动方向的夹角为钝角，则静电力做负功，电子在A点动能比在B点动能大，故C错误；结合C项分析，若电子从A运动到B，静电力做负功，电势能增大，可知电子在A点电势能比在B点电势能小，故D错误。故选A。
题组4　电场中的三类图像
8.空间中有一试探电荷处在一区域电场中，沿某方向建立x轴，该试探电荷在x轴上各点的电势能Ep随x的分布如图所示。根据Ep-x图像，下列说法正确的是(　　)
A.x1处的电场强度大于0
B.沿x轴正方向电势逐渐降低
C.x3处的电场强度大于x4处的电场强度
D.试探电荷从x3处运动至x2处的过程中，静电力做功为Ep1－Ep2
答案：C
解析：因为试探电荷的电性未知，所以由题图不能判断出沿x轴方向电势的升降，故B错误；根据静电力做功与电势能变化的关系可知，Ep-x图像切线斜率的绝对值表示静电力的大小，静电力越大则电场强度越大，由题图可知，x1处斜率等于0，x3处切线的斜率绝对值大于x4处切线的斜率绝对值，故x1处的电场强度等于0，x3处的电场强度大于x4处的电场强度，故A错误，C正确；试探电荷从x3处运动至x2处的过程中，电势能增加量为Ep1－Ep2，静电力做功为Ep2－Ep1，故D错误。故选C。
9.(2024·重庆卷·T6)沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，其电势φ随位置x变化的图像如图所示，一电荷量为e的带负电的试探电荷，经过x2点时动能为1.5 eV，速度沿x轴正方向，若该电荷仅受静电力，则其将(　　)
A.不能通过x3点 B.在x3点两侧往复运动
C.能通过x0点 D.在x1点两侧往复运动
答案：B
解析：带负电的试探电荷在x2处动能为1.5 eV，电势能为－1 eV，总能量为0.5 eV，且试探电荷速度方向沿x轴正方向，在x2 ～ x3区域试探电荷受到沿x轴正方向的静电力，做加速运动，在x3处速度最大，试探电荷继续运动到x3右侧，做减速运动，当速度为零时，电势能为0.5 eV，即运动到电势为－0.5 V处减速到零，然后向x轴负方向运动，回到x2处动能仍为1.5 eV，继续向左运动，在电势为－0.5 V处减速到零又反向，不会运动到x0、x1处，即试探电荷在x3点两侧往复运动。故选B。
10.(2026·安徽黄山二模)如图1所示，真空中x轴原点O处固定一点电荷a，其电荷量Q未知，另一试探点电荷b，其电荷量为q，以初动能Ek0自x2位置沿x轴负方向做直线运动，该过程粒子动能Ek -图像如图2所示。已知静电力常量为k。设无限远处电势为0，距点电荷a距离r处的电势φ＝k，粒子仅受静电力作用。下列说法正确的是(　　)
A.点电荷a在x1、x2两处产生的电场强度之比等于x1∶x2
B.沿x轴正方向电势逐渐升高
C.电荷量Q＝
D.如仅将a的电荷量变为2Q，点电荷b速度减为0时的位置坐标是
答案：D
解析：点电荷a在x1、x2两处产生的电场强度之比为＝＝，故A错误；由题图2可知，点电荷b由x2运动到x1的过程中，动能减小，则电势能增大，但由于电性未知，所以不能确定电势的变化，故B错误；根据能量守恒定律可得Ek0＝Ep1－Ep2＝－，所以Q＝，故C错误；如仅将a的电荷量变为2Q，点电荷b速度减为0时，有Ek0＝Ep－Ep2＝－，解得x＝。故选D。
11.(多选)如图所示，某平面内存在方向未知的匀强电场，有一半径为R＝0.2 m的圆，点a、b、c、d、e、f将圆六等分，电势φb＝2 V，φc＝1 V，φf＝－1 V。下列说法正确的是(　　)
A.a点电势φa＝3 V
B.电场强度大小为10 V/m
C.电场强度方向沿c、f连线方向
D.电子沿圆运动一周，在e处电势能最大
答案：BD
解析：如图，圆心O为cf的中点，所以O点电势为0 V，g为bO的中点，则g点电势为1 V，a、g、c三点共线且电势相等，ac为等势线，φa＝1 V，故A错误；电场线与等势线垂直，且指向电势低的地方，故电场强度方向为b、e连线方向且由b指向e，故C错误；电场强度大小E＝＝10 V/m，故B正确；电子沿圆运动一周，圆周e处电势最低，又电子带负电，所以在e处电势能最大，故D正确。故选BD。
12.(多选)(2026·湖南张家界二模)如图所示，空间中存在匀强电场，电场强度的大小和方向均未知。ABCD -A'B'C'D'为空间内的一个棱长为10 cm的正方体，已知φA＝6 V、φD＝0、φC'＝18 V、φD'＝12 V，则下列说法正确的是(　　)
A.正方体中心O(图中未画出)的电势为12 V
B.面AA'D'D中心O'(图中未画出)的电势为6 V
C.将一个电荷量大小为e的电子从C'点沿棱移动到C点，静电力做功为－12 eV
D.该匀强电场电场强度的大小为60 V/m
答案：ACD
解析：匀强电场中平行且等长的两条线段端点之间的电势差相等，则有φC'－φO＝φO－φA，解得φO＝12 V，故A正确；同理可知φD'－φO'＝φO'－φA，解得φO'＝9 V，故B错误；同理可知φD'－φC'＝φD－φC，解得φC＝6 V，则C'点与C点之间的电势差UC'C＝18 V－6 V＝12 V，电子由C'点到C点，则静电力做功为WC'C＝－eUC'C＝－12 eV，故C正确；设D'D的中点为E，同理可知φD'－φE＝φE－φD，解得φE＝6 V，结合C项分析有φE＝φC＝φA＝6 V，可知面ACE是该匀强电场的一个等势面，电势为6 V，作出该等势面，如图所示，
设D点到面ACE的距离DG的长度为x，则有x＝xDEcos θ，由几何关系可知cos θ＝，解得x＝ cm，则电场强度的大小为E＝＝ V/m＝60 V/m，故D正确。故选ACD。(共89张PPT)
第2讲　电场能的性质
高三总复习讲义　新高考
第九章 静电场
1.理解静电力做功的特点及静电力做功与电势能变化的关系。
2.理解电势、电势能、电势差的概念及电势差与电场强度的关系。
3.会解决电场线、等势面(线)与粒子运动轨迹的综合问题。
4.会解决静电场中有关图像的问题。
学习目标
内容索引
考点一　 静电力做功　电势能与电势
考点二　 等势面　电势差与电场强度的关系
考点三　 电场线、等势面(线)与粒子运动轨迹的综合问题
课时测评
考点四　 静电场中的三类图像
静电力做功　电势能与电势
考点一
知识梳理
起始
qEd
qUAB
零势能
EpA－EpB
零电势
4.静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的________，即WAB＝EpA－EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就______多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就______多少。
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能在数值上等于将其从该点移到零势能位置静电力所做的功。
减少量
减少
增加
正误辨析
(1)电荷在电场中的位移越大，静电力做功不一定越多。 ( )
(2)电场强度为零的点，电势一定为零。 ( )
(3)沿电场线的方向电场强度一定越来越小，电势逐渐降低。 ( )
(4)电荷的电荷量越大，其电势能一定越大。 ( )
√
×
×
×
归纳提升
1.计算静电力做功的方法
2.电势高低的判断
判断依据 判断方法
电场线方向 沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷的正负 取无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
静电力做功 根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
3.电势能大小的判断
判断方法 方法解读
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小
电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
做功法 静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加
(多选)(2024·广东卷·T8)污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于底部，金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有
A.M点的电势比N点的低
B.N点的电场强度比P点的大
C.污泥絮体从M点移到N点，静电力对其做正功
D.污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
√
例1
√
沿着电场线方向电势降低，可知M点的电势比N点的低，污泥絮体带负电，根据Ep＝qφ可知污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，静电力对其做正功，故A、C正确；根据电场线的疏密程度可知N点的电场强度比P点的小，故B错误；M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，结合A、C选项分析可知污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，故D错误。故选AC。
针对练1.(2025·甘肃卷·T5)如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是
A.M点的电势比P点的低
B.M点的电场强度比N点的小
C.负电荷从M点运动到P点，速度增大
D.负电荷从M点运动到P点，静电力做负功
√
M、N两点电势相等，上极板与电源正极相连，则电场方向由上到下，N、P在同一电场线上，沿电场线方向电势逐渐降低，可知N点电势高于P点，则M点电势高于P点，A错误；M点电场线分布比N点密集，可知M点电场强度比N点大，B错误；负电荷从M点运动到P点，电势降低，电势能增加，则静电力做负功，动能减小，速度减小，C错误，D正确。故选D。
针对练2. (多选)(2023·海南卷·T12)如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是
A.M、N两点电场强度相同
B.M、N两点电势相同
C.负电荷在M点电势能比在O点时要小
D.负电荷在N点电势能比在O点时要大
√
√
根据场强叠加原理以及对称性可知，M、N两点的场
强大小相同，但是方向不同，A错误。因在A、B处的
正电荷产生的电场中M、N两点的合电势相等，在C点
的负电荷产生的电场中M、N两点的电势也相等，则
M、N两点电势相同，B正确。负电荷从M到O，A、B两电荷对负电荷的静电力的合力从O指向M，则静电力对负电荷做负功，C点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，则该负电荷的电势能增加，即负电荷在M点的电势能比在O点小；同理可知负电荷在N点的电势能比在O点小，C正确，D错误。故选BC。
返回
等势面　电势差与电场强度的关系
考点二
1.电势差
(1)定义：电荷在电场中由一点A移到另一点B时，____________与移动电荷的电荷量的比值。
(2)定义式：UAB＝。
(3)电势差与电势的关系：UAB＝____________，UAB＝－UBA。
知识梳理
静电力做功
φA－φB
2.等势面
(1)定义：电场中______相同的各点组成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与________垂直。
②在同一等势面上移动电荷时静电力不做功。
③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度______，反之______。
电势
电场线
越大
越小
3.几种常见的等势面
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
电场 等势面(虚线)图样 特点
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
等量同种正点电荷的电场 在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高
4.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿______方向的距离的乘积，即U＝Ed，也可以写作E＝。
(2)公式E＝、U＝Ed的适用范围：匀强电场。
电场
正误辨析
(1)电势差由电场本身的性质决定，与零电势点的选取无关。 ( )
(2)电势差UAB与WAB成正比，与q成反比。 ( )
(3)匀强电场的电场强度越大，电场中任意两点间的电势差一定越大。
( )
(4)匀强电场中任意两点间的距离越大，电势差不一定越大。 ( )
√
×
×
√
1.应用公式E＝的两点注意
(1)定量计算时只适用于匀强电场，但是可以对非匀强电场定性分析。
(2)d为某两点沿电场方向上的距离(或者为两点连线在电场方向上的投影，或者为两点所在等势面之间的距离)。
核心突破
2.由E＝可推出的三个重要推论
推论1：电场强度的方向是电势降低最快的方向。
推论2：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝(如图甲
所示)。
推论3：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD(如图乙所示)，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)或者UAC＝UBD。
考向1 等势面的理解及应用
(2025·浙江1月卷·T4)三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d、e与e、f两点间的距离相等，则
A.a点电势高于b点电势
B.a、c两点的电场强度相同
C.d、f间电势差为d、e间电势差的两倍
D.从a到b与从f到b，静电力对电子做的功相等
例2
√
电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电
荷，电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，
由题图可知b点的电势高于a点的电势，A错误；电场强
度方向沿电场线的切线方向，则a、c两点电场强度的
方向不同，B错误；电场线的疏密程度反映电场强度的大小，d→e→f电场线越来越稀疏，则电场强度逐渐减小，所以de段的平均电场强度大于ef段的平均电场强度，又de＝ef，由U＝d可知｜Ued｜＞｜Uef｜，则｜Ufd｜＜2｜Ued｜，C错误；由题图可知，a、f两点在同一等势线上，则a、f两点的电势相等，则φa－φb＝φf－φb，即Uab＝Ufb，由静电力做功与电势差的关系WAB＝qUAB知，从a到b与从f到b，静电力对电子做的功相等，D正确。故选D。
考向2 U＝Ed或E＝的定性应用
(多选)为避免发生雷击，高大的建筑物顶端均需安装避雷针。如图是某避雷针放电时空间电场线的分布图，a、b、c三点在同一电场线上，空间电场分布关于直线ac对称。图中的虚线是一带电粒子只在静电力作用下在电场中的运动轨迹。已知ab＝bc，下列说法正确的是
A.该粒子一定带正电
B.a点的电场强度一定大于b点的电场强度
C.a、b两点的电势差等于b、c两点的电势差
D.粒子在图中A点的电势能一定大于在B点的电势能
例3
√
√
根据粒子的运动轨迹可知，粒子所受静电力方向大致向下，可知该粒子一定带正电，A正确；b点处的电场线较a点处密集，可知a点的电场强度一定小于b点的电场强度，B错误；根据U＝Ed，由于ab间的平均场强小于bc间的平均场强，可知a、b两点的电势差小于b、c两点的电势差，C错误；从A到B静电力做正功，粒子电势能减小，可知粒子在题图中A点的电势能一定大于在B点的电势能，D正确。故选AD。
U＝Ed或E＝在非匀强电场中的两点“妙用”
1.结合等差等势面的疏密判断场强大小：在非匀强电场中，等差等势面越密，相邻等势面沿电场方向的距离d越小，根据E＝知场强E越大；反之，则E越小。
总结提升
2.结合电场线的疏密判断电势差大小：在非匀强电场中，距离d相等的两点间电场线分布越密，平均场强E越大，根据U＝Ed知电势差U越大，反之则电势差U越小。如图甲所示，AB＝BC，则UAB＞UBC；如图乙所示，AB＝BC，则UAB ＜UBC。
总结提升
考向3 U＝Ed或E＝的定量应用
(多选)(2025·湖南卷·T8)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为＋q、－q和＋2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为Ep。下列说法正确的是
A.OA中点的电势为零
B.电场的方向与x轴正方向成60°角
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
例4
√
√
根据题意可知O点、A点和B点的电势分别为φO＝
，φA＝－，φB＝，故OA中点的电势为φM
＝＝0，故A正确；如图，设N点为AB的三
等分点，同理易知N点电势为0，连接MN为一条等势线，过A点作MN的垂线，可知电场线沿该垂线指向右下方，由几何关系可知∠NMA＝45°，故电场的方向与x轴正方向成45°角，故B错误；电场强度的大小为E＝＝，故C错误，D正确。故选AD。
等分法及其应用
1.等分法：在匀强电场中，把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于两点间电势差的(如图所示)，采用这种等分间距求某点电势的方法，叫作等分法。
方法技巧
2.等分法的应用思路
方法技巧
返回
电场线、等势面(线)与粒子运动轨迹的综合问题
考点三
电场线、等势面(线)与粒子运动轨迹的综合问题的分析方法
1.判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度
方向。
2.判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧且与电场线相切，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
3.判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
(多选)静电透镜是由带电导体所产生的静电场来使电子束聚焦和成像的装置，它广泛应用于电子器件(如阴极射线示波管)和电子显微镜中。如图为某静电透镜示意图，图中虚线为等差等势面。实线为电场线，一电子束从左侧射入该区域后，沿POR轨迹运动，下列说法正确的是
A.O点的电场强度小于P点的电场强度
B.φP＜φO＜φR
C.该电子束从P点到R点过程中动能一直增大
D.该电子束从P点到R点过程中电势能一直增大
例5
√
√
由题图知，O点附近的等差等势面比P点附近的等差等势面密集，则O点的电场强度大于P点的电场强度，故A错误；沿电场线方向电势降低，则有φP＜φO＜φR，故B正确；电子束从P点到R点过程中，静电力一直做正功，因此该电子束从P点到R点过程中电势能一直减小，动能一直增大，故C正确，D错误。故选BC。
针对练.(2025·云南卷·T4)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2 V、－1 V、1 V、
2 V的等势线上，则
A.a、b、c、d中a点电场强度最小
B.a、b、c、d中d点电场强度最大
C.一个电子从b点移动到c点静电力做功为2 eV
D.一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
√
相邻两等势线间的电势差相等，则题图中的等势线为
等差等势线，等差等势线密的地方电场强度大，由题
图可知a点的电场强度最大，c点的电场强度最小，A、
B错误；一个电子从b点移动到c点的过程，静电力做功
为Wbc＝qUbc，又q＝－e、Ubc＝φb－φc，代入数据解得
Wbc＝2 eV，C正确；同理，—个电子从a点移动到d点的过程，静电力做功为Wad＝qUad，又Uad＝φa－φd，代入数据解得Wad＝4 eV，则该过程电子的电势能减少了4 eV，D错误。故选C。
返回
静电场中的三类图像
考点四
考向1 E -x图像问题
1.E -x图像反映了电场强度随位移变化的规律，E＞0表示电场强度沿x轴正方向；E＜0表示电场强度沿x轴负方向。
2.在给定了电场的E -x图像后，可以由图像确定电场强度的变化情况和电势的变化情况，E -x图像与x轴所围图形的“面积”表示电势差，两点的电势高低根据电场方向判定。
(多选)空间内有一沿x轴分布的电场，其电场强度E随x变化的图像如图所示。－x1、x1、x2、x3是x轴上的四个点，图像关于坐标原点O中心对称，下列说法中正确的是
A.－x1处的电势比x1的电势高
B.将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大，后减小
C.将一负电荷由－x1处由静止释放，若只受静电力作
用，它将在－x1和x1之间往复运动
D.负电荷在这四个点中位于x2处时电势能最大
例6
√
√
根据题意，电场关于x轴对称分布，作出可能的电场线如图所示。根据沿着电场线电势降低，则x轴上O点电势最高，由题图可知，x轴上的点的电场强度关于原点O对称，则x轴上关于O点对称位置的电势相等，即－x1处的电势与x1处的电势相等，A错误；将正电荷由－x1移到x2，电势先增大，后减小，则电势能先增大，后减小，B正确；
－x1和x1之间的电场是对称的，将一负电荷由－x1处由静止释放，负电荷先向右做加速运动，经过O点之后做减速运动，到x1处速度减为零，则它将在－x1和x1之间往复运动，C正确；负电荷在电势低的地方电势能大，在这四个点中，x3处的电势最低，则负电荷在四个点中位于x3处时电势能最大，D错误。故选BC。
考向2 φ -x图像问题
1.电场强度的大小等于φ -x图像切线斜率的绝对值，电场强度为零时，φ -x图像存在极值，其切线的斜率为零。
2.在φ -x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
3.在φ -x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用EpA－EpB＝WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
(2025·海南卷·T6)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM＝ON；有一电子从M点静止释放，仅受x方向的静电力作用，则下列说法正确的是
A.P点电场强度方向沿x负方向
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.电子在P点的动能小于在N点的动能
D.电子在M点的电势能大于在P点的电势能
例7
√
由题图可知在x正半轴沿x轴正方向电势降低，则x正半轴的电场强度方向沿x轴正方向，故A错误；φ -x图像的斜率表示电场强度，由题图可知M点的电场强度大小等于N点的电场强度大小，方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，故D正确。故选D。
考向3 Ep-x图像
1.根据电势能的变化可以判断静电力做功的正负，电势能减少，静电力做正功；电势能增加，静电力做负功。
2.根据ΔEp＝－W＝－Fx，Ep -x图像切线斜率的绝对值表示静电力的大小，正负表示静电力的方向。
在某电场中建立x坐标轴，一个质子沿x轴正方向运动，经过间距相等的A、B、C三点，该质子的电势能Ep随位置坐标x变化的关系如图所示，该质子只受静电力作用。下列说法正确的是
A.A点电势高于B点电势
B.A点的电场强度大于B点的电场强度
C.质子经过A点的速率小于经过B点的速率
D.C、B两点电势差UCB大于B、A两点电势差UBA
例8
√
质子电势能增大，则静电力做负功，静电力方向
与质子运动方向相反，质子带正电，说明电场方
向与质子运动方向相反，即电场方向沿x轴负方向，
沿电场线方向电势降低，则A点电势低于B点电势，
A错误；由Ep -x图像斜率的绝对值表示静电力大小可知FxA＜FxB，说明A点的电场强度小于B点的电场强度，B错误；由图像可知EpA＜EpB，质子只受静电力作用，由能量守恒可知EkA＞EkB，即质子经过A点的速率大于经过B点的速率，C错误；根据U＝Ed定性分析，由A至C电场强度逐渐变大，A、B、C三点间距相等，则C、B两点电势差UCB大于B、A两点电势差UBA，D正确。故选D。
立体空间的电场分布
将点电荷、等量的同种电荷、等量的异种电荷放在立体图形(如三棱锥、正四面体、正六棱柱等)的顶点。求解立体空间内电场的电场强度及电势的分布情况。在高考试题中出现的频率逐年增加，这类题目主要考查学生的空间立体感，学会利用几何知识灵活处理。
素养拓展
拓展应用1. (多选)(2023·山东卷·11)如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和O'，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是
A.F'点与C'点的电场强度大小相等
B.B'点与E'点的电场强度方向相同
C.A'点与F'点的电势差小于O'点与D'点的电势差
D.将试探电荷＋q由F点沿直线移动到O点，其电
势能先增大后减小
√
√
√
根据等量异号点电荷的电场线与等势面的空间分布知，F'点与C'点分居在中垂面两侧且到中垂面的距离相等，则F'点与C'点的电场强度大小相等，A正确；同理B'点和E'点的电场强度大小相等，但方向不同，B错误；等量异号点电荷连线的中垂面是一个等势面，O、O'点在该等势面上，F'点在中垂面左侧，F'点的电势比O'点的高，则有UA'F'＜UA'O'＝UO'D'，C正确；
如图所示，根据几何关系可知β＝30°，作出试探电
荷＋q在F点所受静电力的示意图，设正六边形的边
长为a，则FA＝k，FD＝k，则tan α＝＝3＞
tan 60°，即α＞60°，即试探电荷＋q在F点所受静
电力与FO的夹角大于90°，在O点试探电荷＋q所
受静电力的方向沿OD方向，此时静电力与FO的夹角为60°，则在试探电荷＋q从F点移动到O点的过程中，静电力对其先做负功后做正功，则试探电荷＋q的电势能先增大后减小，故D正确。
拓展应用2. (2026·湖北黄冈模拟)如图所示，M、N为两个对称的圆锥的顶点，相距2l，圆锥的底面半径为l，P点为圆锥底面圆周上的一点(未画出)，O点为MN连线的中点，Q点为ON连线的中点。现把两个电荷量都是q的负点电荷分别置于M、N两点。该空间为真空，静电力常量为k。则下列说法正确的是
A.圆周上各点的电场强度的方向都平行于MN连线
B.圆周上的某点P的电场强度大小为
C.在ON连线上各点的电场强度都一定大于P点的电场强度
D.正试探电荷q从P点沿PO、OQ移动到Q点，其电势能逐渐减小
√
根据等量同种点电荷电场线的分布特点可知，圆
周上各点的电场强度的方向都垂直于MN连线，故
A错误；设圆锥母线与MN连线的夹角为θ，根据几
何关系有tan θ＝＝1，可得θ＝45°，圆周上的某点P的电场强度大小为E＝2kcos 45°＝2kcos 45°＝，故B错误；O到N，电场强度由0逐渐增加，而P点电场强度不为0，则在ON连线上各点的电场强度不是都大于P点的电场强度，故C错误；将正试探电荷q从P点沿PO、OQ的折线路径移动到Q点的过程中，一直是顺着电场线运动，静电力做正功，其电势能逐渐减小，故D正确。
拓展应用3.如图所示，在圆锥体空间的顶点O固定一正点电荷，底面圆周上有三点a、b、c，O'是底面圆心，OO'与底面垂直，d点为Oc的中点。在该点电荷所产生的电场中，下列判断正确的是
A.a、b、c三点的电场强度相同
B.O点与d点的电势差和d点与c点电势差的关系为UOd＝Udc
C.带正电的试探电荷沿直线从a移动至O'过程中受到的静电
力逐渐增大，电势能也逐渐增大
D.带负电的试探电荷沿直线从a移动至b过程中电势能不变
√
由于a、b、c三点到点电荷的距离相等，根据E＝k，可知三点的电场强度大小相等，但方向不同，故A错误；根据点电荷的电场分布规律可知，O点与d点之间的任意位置的电场强度均大于d点与c点之间的任意位置的电场强度，由于d点为Oc的中点，根据E＝可知，O点与d点的电势差和d点与c点电势差的关系为UOd＞Udc，故B错误；
返回
带正电的试探电荷沿直线从a移动至O'过程中，到O点的距离逐渐减小，根据库仑定律可知，试探电荷受到的静电力逐渐增大，正电荷受到斥力作用，电荷克服静电力做功，其电势能增大，故C正确；带负电的试探电荷沿直线从a移动至b过程中，其到O点的距离先减小后增大，负电荷受到引力作用，静电力对负电荷先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。
课 时 测 评
题组1　电场力做功、电势能与电势
1. (2025·河北卷·T1)《汉书》记载“姑句家矛端生火”，表明古人很早就发现了尖端放电现象。若带电长矛尖端附近某条电场线如图，则a、b、c、d四点中电势最高的是
A.a点
B.b点
C.c点
D.d点
√
根据沿电场线方向电势逐渐降低，可知φa＜φb＜φc＜φd，因此电势最高的是d点。故选D。
2. (2025·福建卷·T4)某种静电分析器简化图如图所示，在两条半圆形圆弧板组成的管道中加上径向电场。现将一电子a自A点垂直电场射出，恰好做圆周运动，运动轨迹为ABC，半径为r。另一电子b自A点垂直电场射出，轨迹为弧APQ，其中PBO共线，已知BP电势差为U，｜CQ｜＝2｜BP｜，a电子入射动能为Ek，则
A.B点的电场强度E＝
B.P点场强大于C点场强
C.b电子在P点动能小于在Q点动能
D.b电子全程克服静电力做功小于2eU
√
a电子入射动能为Ek，根据动能的表达式有Ek＝m，电子恰好做圆周运动，则eE＝m，联立解得E＝，故A错误；由题图可知，P点电场线较C点电场线稀疏，则P点场强小于C点场强，故B错误；
已知｜CQ｜＝2｜BP｜，因为BC在同一等势线上，且沿电场方向电势降低，则Q点电势小于P点，电子在电势低处电势能大，则b电子在Q点电势能较P点大，根据能量守恒可知，b电子在Q点动能较P点小，故C错误；由题图可知，沿径向向外电场强度减小，则BP之间平均电场强度大小大于CQ之间的平均电场强度大小，根据U＝d，则UCQ＜2UBP，则b电子全程克服静电力做功W＝eUCQ＜2eUBP＝2eU，故D正确。故
选D。
3.(多选)(2026·福建福州高三质检)生活在尼罗河的反天刀鱼，它的器官能在其周围产生电场，电场线分布如图所示，M、N、P为电场中的点。下列说法正确的是
A.P点的电场强度小于M点的电场强度
B.P点的电势小于N点的电势
C.M点的电势小于N点的电势
D.某带电小颗粒只在静电力作用下从N点沿虚线轨迹运动到M点，其在N点的电势能小于在M点的电势能
√
√
电场线的疏密程度表示电场强度的大小，显
然P点的电场强度小于M点的电场强度，故A
正确；沿电场线方向电势逐渐降低，从P点到
无限远处，电势降低，从无限远处到N点，电
势降低，则P点的电势比N点的电势高，故B错误；M点离负电荷更近，则N点的电势比M点的电势高，故C正确；带电小颗粒仅在静电力的作用下由N点沿虚线运动到M点，静电力方向指向虚线轨迹的凹侧，故小颗粒带正电，静电力对小颗粒做正功，小颗粒的电势能一定减小，即小颗粒在N点的电势能大于在M点的电势能，故D错误。故选AC。
题组2　等势面、电势差与电场强度的关系
4.(多选)(2023·辽宁卷·T9)图甲为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图乙为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则
A.P点电势比M点的低
B.P点电场强度大小比M点的大
C.M点电场强度方向沿z轴正方向
D.沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
√
√
因P点所在的等势面电势高于M点所在的等势面电势，可知P点电势比M点的高，A错误；因M点处的等差等势面比P点处的密集，则P点电场强度大小比M点的小，B错误；场强方向垂直等势面，且沿电场线方向电势逐渐降低，可知M点电场强度方向沿z轴正方向，C正确；因x轴上各点电势相等，则沿x轴运动的带电粒子，电势能不变，D正确。故
选CD。
5.(多选)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为4 V、8 V、10 V，一电荷量为q＝－2×10－5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是
A.坐标原点O的电势为6 V
B.电场强度的大小为 V/m
C.该点电荷在c点的电势能为2×10－5 J
D.该点电荷从a点移到d点的过程中，静电力做功为8×10－5 J
√
√
由于是匀强电场，所以φb－φc＝φa－φO，代入数据
解得φO＝6 V，故A正确；同理，ab中点e的电势为
φe＝6 V，连接Oe则为等势线，如图所示，由几何
关系可知ab垂直于Oe，则ab为一条电场线，且方向
由b指向a，电场强度大小E＝＝ V/m＝100 V/m，故B错误；该点电荷在c点的电势能＝qφc＝－2×10－4 J，故C错误；连接bd，由几何关系可知bd∥Oe，即bd为等势线，φd＝φb＝8 V，该点电荷从a点移动到d点静电力做功Wad＝qUad＝(－2×10－5)×(4－8) J＝8×
10－5 J，故D正确。故选AD。
题组3　粒子运动轨迹问题
6. (多选)(2024·甘肃卷·T9)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点。下列说法正确的是
A.粒子带负电荷
B.M点的电场强度比N点的小
C.粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D.粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
√
√
√
电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的
等势面，根据沿电场线方向电势降低，结合粒子
的运动轨迹及粒子做曲线运动所受合力指向轨迹
凹侧可知，粒子带正电，A错误；根据等差等势
面越密集，电场强度越大，可知M点的电场强度小于N点的电场强度，B正确；粒子在运动过程中，静电力先做负功后做正功，粒子动能先减小后增大，粒子在电势最高处动能最小，C正确；根据Ep＝qφ可知，带正电的粒子在电势高的地方电势能大，因此粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，D正确。故选BCD。
7.(2026·湖北黄冈二模)雷雨天带电的乌云飘过一栋建筑物上空时，在避雷针周围形成电场，a、b、c、d为等差等势面，一个电子只在静电力作用下的运动轨迹如图中实线所示，A、B是轨迹上的两点。下列说法正确的是
A.云层带负电
B.A点的电场强度大小比B点的小
C.电子在A点动能比在B点动能小
D.电子在A点电势能比在B点电势能大
√
电场线垂直于等势线，根据电子所受静电力的方向斜向左
下方，且电子带负电，可知电场方向斜向右上方，沿电场
线方向电势降低，故A点电势比B点电势高，由此可知云
层带负电，故A正确；等差等势面分布的疏密程度表示电
场强度的大小，可知A点场强比B点场强大，故B错误；结
合A项分析，若电子从A运动到B，静电力方向与运动方向的夹角为钝角，则静电力做负功，电子在A点动能比在B点动能大，故C错误；结合C项分析，若电子从A运动到B，静电力做负功，电势能增大，可知电子在A点电势能比在B点电势能小，故D错误。故选A。
题组4　电场中的三类图像
8.空间中有一试探电荷处在一区域电场中，沿某方向建立x轴，该试探电荷在x轴上各点的电势能Ep随x的分布如图所示。根据Ep-x图像，下列说法正确的是
A.x1处的电场强度大于0
B.沿x轴正方向电势逐渐降低
C.x3处的电场强度大于x4处的电场强度
D.试探电荷从x3处运动至x2处的过程中，静电力做功为Ep1－Ep2
√
因为试探电荷的电性未知，所以由题图不能判断出沿x轴方向电势的升降，故B错误；根据静电力做功与电势能变化的关系可知，Ep-x图像切线斜率的绝对值表示静电力的大小，静电力越大则电场强度越大，由题图可知，x1处斜率等于0，x3处切线的斜率绝对值大于x4处切线的斜率绝对值，故x1处的电场强度等于0，x3处的电场强度大于x4处的电场强度，故A错误，C正确；试探电荷从x3处运动至x2处的过程中，电势能增加量为Ep1－Ep2，静电力做功为Ep2－Ep1，故D错误。故选C。
9.(2024·重庆卷·T6)沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，其电势φ随位置x变化的图像如图所示，一电荷量为e的带负电的试探电荷，经过x2点时动能为1.5 eV，速度沿x轴正方向，若该电荷仅受静电力，则其将
A.不能通过x3点
B.在x3点两侧往复运动
C.能通过x0点
D.在x1点两侧往复运动
√
带负电的试探电荷在x2处动能为1.5 eV，电势能
为－1 eV，总能量为0.5 eV，且试探电荷速度方
向沿x轴正方向，在x2 ～ x3区域试探电荷受到沿
x轴正方向的静电力，做加速运动，在x3处速度
最大，试探电荷继续运动到x3右侧，做减速运动，当速度为零时，电势能为0.5 eV，即运动到电势为－0.5 V处减速到零，然后向x轴负方向运动，回到x2处动能仍为1.5 eV，继续向左运动，在电势为－0.5 V处减速到零又反向，不会运动到x0、x1处，即试探电荷在x3点两侧往复运动。故选B。
10.(2026·安徽黄山二模)如图1所示，真空中x轴原点O处固定一点电荷a，其电荷量Q未知，另一试探点电荷b，其电荷量为q，以初动能Ek0自x2位置沿x轴负方向做直线运动，该过程粒子动能Ek -图像如图2所示。已知静电力常量为k。设无限远处电势为0，距点电荷a距离r处的电势φ＝k，粒子仅受静电力作用。下列说法正确的是
A.点电荷a在x1、x2两处产生的电场强度之比等于x1∶x2
B.沿x轴正方向电势逐渐升高
C.电荷量Q＝
D.如仅将a的电荷量变为2Q，点电荷b速度减为0时的位置坐标是
√
点电荷a在x1、x2两处产生的电场
强度之比为＝＝，故A错
误；由题图2可知，点电荷b由x2运动到x1的过程中，动能减小，则电势能增大，但由于电性未知，所以不能确定电势的变化，故B错误；根据能量守恒定律可得Ek0＝Ep1－Ep2＝－，所以Q＝，故C错误；如仅将a的电荷量变为2Q，点电荷b速度减为0时，有Ek0＝Ep－Ep2＝－，解得x＝。故选D。
11.(多选)如图所示，某平面内存在方向未知的匀强电场，有一半径为R＝0.2 m的圆，点a、b、c、d、e、f将圆六等分，电势φb＝2 V，φc＝1 V，φf＝－1 V。下列说法正确的是
A.a点电势φa＝3 V
B.电场强度大小为10 V/m
C.电场强度方向沿c、f连线方向
D.电子沿圆运动一周，在e处电势能最大
√
√
如图，圆心O为cf的中点，所以O点电势为0 V，g为bO的中点，则g点电势为1 V，a、g、c三点共线且电势相等，ac为等势线，φa＝1 V，故A错误；电场线与等势线垂直，且指向电势低的地方，故电场强度方向为b、e连线方向且由b指向e，故C错误；电场强度大小E＝＝10 V/m，故B正确；电子沿圆运动一周，圆周e处电势最低，又电子带负电，所以在e处电势能最大，故D正确。故选BD。
12.(多选)(2026·湖南张家界二模)如图所示，空间中存在匀强电场，电场强度的大小和方向均未知。ABCD -A'B'C'D'为空间内的一个棱长为10 cm的正方体，已知φA＝6 V、φD＝0、φC'＝18 V、φD'＝12 V，则下列说法正确的是
A.正方体中心O(图中未画出)的电势为12 V
B.面AA'D'D中心O'(图中未画出)的电势为6 V
C.将一个电荷量大小为e的电子从C'点沿棱移
动到C点，静电力做功为－12 eV
D.该匀强电场电场强度的大小为60 V/m
√
√
√
匀强电场中平行且等长的两条线段端点之间的电势差相等，则有φC'－φO＝φO－φA，解得φO＝12 V，故A正确；同理可知φD'－φO'＝φO'－φA，解得φO'＝9 V，故B错误；同理可知φD'－φC'＝φD－φC，解得φC＝6 V，则C'点与C点之间的电势差UC'C＝18 V－6 V＝12 V，电子由C'点到C点，则静电力做功为WC'C＝－eUC'C＝－12 eV，故C正确；
设D'D的中点为E，同理可知φD'－φE＝φE－φD，解得
φE＝6 V，结合C项分析有φE＝φC＝φA＝6 V，可知面
ACE是该匀强电场的一个等势面，电势为6 V，作出
该等势面，如图所示，
设D点到面ACE的距离DG的长度为x，则有x＝xDEcos θ，由几何关系可知cos θ＝，解得x＝ cm，则电场强度的大小为E＝＝
V/m＝60 V/m，故D正确。故选ACD。
返回
谢 谢 观 看
第2讲　电场能的性质

展开更多......

收起↑