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第2讲　磁场对运动电荷的作用
【学习目标】　1.理解洛伦兹力的概念，会判断洛伦兹力的方向、计算洛伦兹力的大小。2.会分析带电体在匀强磁场中的运动。3.会分析处理带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动问题及多解问题。
考点一　洛伦兹力的理解
1.洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力。
2.洛伦兹力的方向
(1)方向：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。
(2)判定方法：左手定则。
3.洛伦兹力的大小：F＝qvBsin θ ，θ为v与B的方向夹角。
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB。(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0。
自测1.(2023·海南卷·T2)如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力说法正确的是(　　)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
答案：A
解析：根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确；小球受到洛伦兹力和重力的作用，运动过程中速度和加速度的大小、方向都在变，B、C错误；洛伦兹力永不做功，D错误。
自测2.(多选)如图所示，粗糙木板MN竖直固定在方向垂直纸面向里的匀强磁场中。t＝0时，一个质量为m、电荷量为q的带正电物块沿MN以某一初速度竖直向下滑动，则物块运动的v -t图像可能是(　　)
答案：ACD
解析：设物块的初速度为v0，则FN＝qv0B，若满足mg＝Ff＝μFN，即mg＝μqv0B，物块向下做匀速直线运动，选项A有可能是物块运动的v -t图像；若mg＞μqv0B，则物块开始时有向下的加速度，由a＝可知，随着物块速度的增大，其加速度减小，即物块先做加速度减小的加速运动，最后达到匀速运动的状态，选项D有可能是物块运动的v -t图像，B不可能是物块运动的v -t图像；若mg＜μqv0B，则物块开始时有向上的加速度，由a＝可知，随着速度减小，加速度减小，即物块先做加速度减小的减速运动，最后达到匀速运动的状态，选项C有可能是物块运动的v -t图像。故选ACD。
洛伦兹力的理解
1.利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
2.当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
3.运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力的作用。
4.洛伦兹力永不做功。
考点二　带电粒子在匀强磁场中的运动
1.若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。
2.若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。
3.轨道半径和周期(v⊥B)
【正误辨析】
(1)带电粒子在匀强磁场中一定做匀速圆周运动。(×)
(2)带电粒子的速度越大，在匀强磁场中做圆周运动的半径一定越大。(×)
(3)带电粒子的速度越大，在匀强磁场中做圆周运动的周期一定越大。(×)
(4)同一带电粒子的动量越大，在同一匀强磁场中做圆周运动的半径一定越大。(√)
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1.带电粒子在有界匀强磁场中的圆心、半径及运动时间的确定
— 基本思路 图例 说明
圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 P、M点速度方向的垂线的交点
P点速度方向的垂线与弦PM的垂直平分线的交点
半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：图中r＝，或由r2＝L2＋(r－d)2求得r＝
续表
— 基本思路 图例 说明
运动时间的 确定 利用轨迹对应的圆心角θ或轨迹长度l求时间 t＝T＝T＝T t＝＝
2.带电粒子在有界匀强磁场中运动的常见情况
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图1所示)
(2)平行边界(往往存在临界条件，如图2所示)
(3)圆形边界
①速度指向圆心：沿半径方向射入必沿半径方向射出，如图3甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。
②速度方向不指向圆心：如图3乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。
③环形磁场：如图3丙所示，带电粒子沿半径方向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。
半径公式和周期公式的理解
云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹的装置。如图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向外的匀强磁场。图中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或电子的径迹。关于这些径迹，下列判断正确的是(　　)
A.d、e都是正电子的径迹
B.a径迹对应的粒子动量最大
C.b径迹对应的粒子动能最大
D.a径迹对应的粒子运动时间最长
答案： D
解析： 带电粒子在垂直于纸面向外的匀强磁场中运动，根据左手定则可知a、b、c是正电子的径迹，d、e是电子的径迹，A错误；带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得R＝，由题图可知a径迹对应的粒子运动半径最小，a径迹对应的粒子速度最小，根据p＝mv，可知a径迹对应的粒子动量最小，B错误；根据Ek＝mv2，可知Eka＜Ekb＜Ekc，即b径迹对应的粒子动能不是最大的，C错误；带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，T＝，则T＝，所以Ta＝Tb＝Tc＝Td＝Te，粒子在磁场中的运动时间t＝T，其中α为粒子在磁场中的偏转角度，由题图可知a径迹对应的粒子偏转角度最大，则a径迹对应的粒子运动时间最长，D正确。
直线边界的磁场中运动
(2026·山东临沂模拟)如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点
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沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则t1∶t2为(　　)
A.3∶1 B.2∶3
C.3∶2 D.2∶1
答案：A
解析：两电子在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出电子的运动轨迹，如图所示，电子1垂直射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r＝可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则粒子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝＝，电子2运动的时间t2＝＝，所以＝3，A正确。
平行边界的磁场中运动
(多选)(2026·山西太原期末)两个带等量异种电荷的粒子a、b分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则(　　)
A.a粒子带正电，b粒子带负电
B.两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝∶1
C.两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2
D.两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1
答案：BD
解析：由左手定则可得a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；粒子做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示，则Ra＝＝d，Rb＝＝d，所以Ra∶Rb＝∶1，故B正确；由几何关系可得，从A运动到B，a粒子轨迹对应的圆心角为60°，b粒子轨迹对应的圆心角为120°，ta＝＝tb＝，则Ta∶Tb＝2∶1，再根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，则运动周期T＝＝，根据a、b两粒子所带电荷量相等可得ma∶mb＝Ta∶Tb＝2∶1，故C错误，D正确。
解决带电粒子在匀强磁场中运动问题的步骤
圆形边界的磁场中运动
(多选)(2026·广东深圳期末)以O为圆心，半径为R的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场(图中未画出)，PQ为圆的直径。如图所示，在圆的PM区域有圆弧状的荧光屏，N为荧光屏的中点。OQ与OM间夹角α＝60°。在P处有一粒子源沿垂直于磁场的各个方向，向磁场内发射质量均为m、电荷量均为＋q、速率不同的带电粒子，其中a粒子的速度方向沿直径PQ、速度大小为v0，恰好打在荧光屏上的M点。b粒子速度方向与PQ夹角β＝60°，恰好打在荧光屏上的N点，下列说法正确的有(　　)
A.磁场方向垂直纸面向外
B.匀强磁场的磁感应强度大小为
C.b粒子的速度大小为
D.b粒子在磁场中运动的时间为
答案：ABC
解析：根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，故A正确；作出a粒子在磁场中的运动轨迹，如图甲所示，由几何知识可得，a粒子做圆周运动的轨道半径r＝PM＝2Rcos 30°＝R，由洛伦兹力提供圆周运动的向心力有qv0B＝m，联立解得B＝，故B正确；b粒子的速度方向与PQ夹角为β＝60°，恰好打在N点，如图乙所示，由几何知识可知PN＝R＝2r'sin 60°，解得r'＝R，由洛伦兹力提供向心力有Bqv＝m，由B项分析知B＝，解得v＝，故C正确；b粒子在磁场中运动的周期T＝，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，联立解得T＝，b粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角θ＝240°，则b粒子在磁场中的运动时间t＝·T＝T＝，联立B＝，可得t＝，故D错误。
(多选)(2025·甘肃卷·T10)2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为va＝，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.外圆半径等于2R0
B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D.c粒子的速度大小为va
答案：BD
解析：由题意，作出a粒子运动轨迹，如图甲所示，a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界相切，然后沿径向在内圆做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A点，有qvaB＝m，根据a粒子的速度大小为va＝，可得Ra＝R0，设外圆半径等于R'，由几何关系得∠AO'B＝90°，则R'＝R0＋R0，A错误；由A项分析，a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间tmin，a粒子做匀速圆周运动的周期T＝＝，在磁场中运动的时间t1＝·T＝，匀速直线运动的时间t2＝＝，故a粒子返回A点所用的最短时间为tmin＝t1＋t2＝，B正确；由题意，作出b、c粒子运动轨迹，如图乙、丙所示，因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动周期相同，故两粒子返回A点所用的最短时间之比为1∶1，C错误；由几何关系得2Rc＝R0，根据洛伦兹力提供向心力有qvcB＝m，联立解得vc＝va，D正确。
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解决带电粒子在有界匀强磁场中运动临界问题的方法
　　带电粒子在有界匀强磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题。解决此类问题时，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
常用的结论：
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。　　
(2)当速度v一定时，弧长越长，对应圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速度v变化时，圆心角越大，运动时间越长。
直角边界的磁场中运动
(2026·河南新乡模拟)如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP＝a。不计粒子重力。根据上述信息可以得出(　　)
A.带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B.带电粒子在磁场中运动的速率
C.带电粒子在磁场中运动的时间
D.该匀强磁场的磁感应强度
答案：A
解析：如图，找出轨迹圆心O'，画出带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹，利用几何知识可知轨迹半径r＝＝a，OO'＝＝a，则轨迹方程为x2＋＝a2(x＞0，y＞0)，故A正确；由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得v＝，B和v均不可得出，故B、D错误；因为T＝＝，B未知，则不能求出周期T，也不能求出带电粒子在磁场中运动的时间，故C错误。
考点三　带电粒子在磁场中运动的多解问题
　　带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、速度大小或方向不确定、运动的往复性等造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。分析此类问题要抓住以下两点：
(1)找出多解的原因。
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。
带电粒子电性不确定形成多解
分析 图例
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b
(多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速度v的最大值可能是(　　)
A.(q为正电荷)
B.(q为负电荷)
C.(q为正电荷)
D.(q为负电荷)
答案：AD
解析：若q为正电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中上方与NN'相切的圆弧，轨迹半径R＝，又d＝R－Rcos 45°，解得v＝，故A正确，C错误；若q为负电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中下方与NN'相切的圆弧，则有R'＝，d＝R'＋R'cos 45°，解得v'＝，故B错误，D正确。
磁场方向不确定形成多解
分析 图例
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解 粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b
(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知
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O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　)
A.B＞，垂直纸面向里
B.B＞，垂直纸面向里
C.B＞，垂直纸面向外
D.B＞，垂直纸面向外
答案：BD
解析：当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，可得r1＝s，由qvB1＝m可得B1＝，故B正确，A错误；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系可知s＝＋r2，可得r2＝，又qvB2＝m，所以B2＝，故D正确，C错误。
临界状态的不确定形成多解
分析 图例
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
(多选)(2026·安徽合肥模拟)如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内(含边界)处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad＝L，ab＝L。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子，从a点沿ab方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是(　　)
A.粒子能通过cd边的最短时间t＝
B.若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度v＝
C.若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度v＝
D.若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度0＜v≤
答案：BD
解析：粒子能通过cd边，从c点射出的粒子在磁场中运动的时间最短，轨迹如图所示，根据几何关系有(r2－L)2＋(L)2＝，解得r2＝2L，则转过的圆心角的正弦sin θ＝＝，即θ＝60°，粒子在磁场中运动的周期T＝，则粒子能通过cd边的最短时间t＝T＝，故A错误；若粒子恰好从c点射出磁场，由洛伦兹力提供向心力得qv2B＝m，解得v2＝，故B正确；若粒子恰好从d点射出磁场，由几何关系可知其半径r1＝，根据qv1B＝m，解得v1＝，故C错误；若粒子从d点射出磁场，粒子运动轨迹为半圆，从d点射出时半径最大，对应的入射速度最大，则vm＝，若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度0＜v≤，故D正确。
课时测评52　磁场对运动电荷的作用
(时间：30分钟　满分：50分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－10，每题5分，共50分)
题组1　洛伦兹力的理解
1.(2026·广东佛山模拟)地磁场可以有效抵御宇宙射线的侵入。不考虑磁偏角，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球厚度为d的匀强磁场，方向垂直于该剖面，如图所示。宇宙射线中对地球危害最大的带电粒子主要是β粒子。设β粒子的质量为m，电荷量为e，最大速率为v＝，地球半径为R，匀强磁场的磁感应强度为B，不计大气对β粒子运动的影响，下列说法错误的是(　　)
A.赤道上空的磁感应强度方向由南指向北
B.β粒子指向地心射入磁场，将向西偏转
C.γ射线射入磁场后的偏转方向与β射线射入磁场后的偏转方向相反
D.要使赤道平面内任意方向射入的β粒子均不能到达地面，则磁场厚度d应大于2R
答案：C
解析：赤道上空的磁感应强度方向由南指向北，选项A正确；β粒子带负电，根据左手定则可知，β粒子指向地心射入磁场，将向西偏转，选项B正确；γ射线不带电，射入磁场后不偏转，选项C错误；β粒子在磁场中的最大半径r＝＝R，则要使赤道平面内任意方向射入的β粒子均不能到达地面，则磁场厚度d应大于2R，选项D正确。故选C。
2.(多选)带电粒子在匀强磁场中的运动，如图所示，磁场水平向右分布在空间中，所有粒子的质量均为m，电荷量均为q，且粒子的速度方向与纸面平行，忽略粒子重力的影响，以下判断正确的是(　　)
A.甲粒子受到的洛伦兹力大小为qvB，且方向水平向右
B.乙粒子受到的洛伦兹力大小为0，做匀速直线运动
C.丙粒子做匀速圆周运动
D.所有粒子运动过程中动能均不变
答案：BD
解析：由左手定则知甲粒子所受洛伦兹力大小为qvB，方向垂直纸面向里，故A错误；乙粒子速度方向与磁场方向平行，所受洛伦兹力大小为0，做匀速直线运动，故B正确；丙粒子速度方向与磁场方向不垂直，不做匀速圆周运动，故C错误；洛伦兹力不做功，根据功能关系可知，所有粒子运动过程中动能均不变，故D正确。
题组2　带电粒子在匀强磁场中的运动
3.(2026·广西柳州模拟)如图所示，MN上方存在匀强磁场，同种粒子a、b从O点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界MN的夹角分别为30°和60°，且均由P点射出磁场，则a、b两粒子在磁场中(　　)
A.运动半径之比为∶1
B.运动速率之比为1∶
C.转过的角度之比为5∶1
D.运动时间之比为6∶5
答案：A
解析：设OP＝2d，由几何关系可知ra＝＝2d，rb＝＝，可知a、b的运动半径之比为∶1，选项A正确；根据qvB＝m，可得v＝∝r，则运动速率之比为∶1，故B错误；a、b两粒子转过的角度之比为300°∶120°＝5∶2，根据T＝和t＝T知t∝θ，则运动时间之比为5∶2，故C、D错误。
4.(多选)(2026·甘肃张掖模拟)如图所示为宽度为L、磁感应强度大小为B的有界匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面向外，长度足够长。在下边界O处有一个粒子源，沿与边界成60°角方向连续发射大量的速度大小不相同的同种带正电粒子，速度方向均在纸面内。已知以最大速度v射入的粒子，从磁场上边界飞出经历的时间为其做圆周运动周期的。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是(　　)
A.粒子的比荷为
B.粒子在磁场中运动的周期为
C.在下边界有粒子飞出的长度为L
D.从上边界飞出的粒子速度大小范围为(－1)v～v
答案：AD
解析：速度最大的粒子在磁场中运动的时间为其做圆周运动周期的，运动轨迹如图所示，圆心为O1，其圆弧所对圆心角为30°，由几何关系得，圆弧所对的弦长为L，根据几何关系可得sin 15°＝，解得R＝(＋1)L，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得粒子比荷＝，粒子在磁场中运动的周期T＝＝，故A正确，B错误；当粒子轨迹恰好与上边界相切时，刚好不从上边界飞出，运动轨迹如图，圆心为O2，设这种情况下粒子速度大小为v1，半径为R1，由几何关系得R1＝L＋R1cos 60°，解得R1＝2L，由洛伦兹力提供向心力有qv1B＝m，解得v1＝(－1)v，可知粒子从上边界飞出的粒子速度大小范围为(－1)v～v，故D正确；下边界有粒子飞出的长度为x＝2R1sin 60°＝2L，故C错误。
5.(多选)(2026·江苏盐城模拟)两个质量相同的带电粒子a、b，从圆上A点沿AO方向进入垂直于纸面向里的圆形匀强磁场，O为圆心，其运动轨迹如图所示，两粒子离开磁场区域的出射点连线过圆心O，且与AO方向的夹角为60°，两粒子在磁场中运动的时间相等。不计粒子的重力，则(　　)
A.a粒子带负电，b粒子带正电
B.a、b两粒子在磁场中运动的速度之比为2∶3
C.a、b两粒子的电荷量之比为1∶3
D.a、b两粒子在磁场中运动的周期之比为2∶1
答案：AB
解析：根据左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，故A正确；作出粒子运动的轨迹圆心如图所示，根据几何关系可知θ＝60°，α＝120°，两粒子在磁场中运动的时间相等，则有Ta＝Tb，解得Ta∶Tb＝1∶2，故D错误；粒子运动的周期Ta＝，Tb＝，结合D项分析可以解得a、b两粒子的电荷量之比为2∶1，故C错误；设圆形磁场半径为R，根据几何关系有Ra＝Rtan 30°＝，Rb＝Rtan 60°＝R，根据线速度的公式有va＝，vb＝，结合D项分析解得＝，故B正确。
6.如图所示，边长为L的正方形ABCD边界内有垂直纸面向里的匀强磁场，E为AD上一点，ED＝L。完全相同的两个带电粒子a、b以不同速度分别从A、E两点平行AB向右射入磁场，且均从C点射出磁场。已知a粒子在磁场中运动的时间为t，不计粒子的重力和相互作用，则b粒子在磁场中运动的时间为(　　)
A.t B.t
C.t D.t
答案：C
解析：根据题意可知粒子做圆周运动的轨迹如图所示，由图可知a粒子运动轨迹所对的圆心角为θa＝90°。对b粒子根据几何知识有＋L2＝，解得b粒子的轨迹半径R2＝L，sin θb＝＝，所以b粒子运动轨迹所对的圆心角为θb＝60°，根据T＝，t＝T，解得＝＝，b粒子在磁场中运动的时间为tb＝ta＝t，故C正确。
题组3　带电粒子在磁场中运动的多解问题
7.(多选)如图所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长相等且均为L，梯形处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断地射出速度方向沿cd、大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为(　　)
A. B.
C. D.
答案：BC
解析：能够从ab边射出的电子，从b点射出的电子轨迹半径最小，如图甲所示，由几何关系可知r1＝＝L，从a点射出的电子轨迹半径最大，如图乙所示，由几何关系可知r2＝L，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得r＝＝，则有L≤≤L，为使电子从ab边射出磁场区域，电子的速度范围为≤v≤kBL，故B、C正确，A、D错误。
8.(多选)(2024·浙江6月卷·T15)如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成θ角。质量为m、电荷量为＋q的带电小球套在细杆上。小球始终处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直细杆所在的竖直面，不计空气阻力。小球以初速度v0沿细杆向上运动至最高点，则该过程(　　)
A.合力冲量大小为mv0cos θ
B.重力冲量大小为mv0sin θ
C.洛伦兹力冲量大小为
D.若v0＝，弹力冲量为零
答案：CD
解析：根据动量定理得I合＝0－mv0＝－mv0，则合力冲量大小为mv0，A错误；小球上滑时间t0＝，重力冲量大小为IG＝mgt0＝mg·＝，B错误；小球所受洛伦兹力垂直杆向上，大小为F洛＝qvB＝qB(v0－at)＝－qBat＋qBv0，随时间线性变化，则洛伦兹力的冲量大小为I洛＝q·Bt0＝q·B·＝，C正确；若v0＝，t＝0时刻小球所受洛伦兹力为F洛0＝qv0B＝2mgcos θ，小球在垂直细杆方向所受合力为零，有qvB＝mgcos θ＋FN，则小球在整个减速过程的FN -t图线如图所示，由FN -t图线与横轴围成的面积表示冲量可知，弹力冲量为零，D正确。
9.(2024·广西卷·T5)xOy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　)
A. B.
C.(1＋ D.(1＋
答案：C
解析：粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得粒子做圆周运动的半径r＝，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO＝r＋＝(1＋。故选C。
10.(2024·湖北卷·T7)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　)
A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
答案：D
解析：根据带电粒子在圆形边界磁场中的运动性质可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，粒子射出圆形区域时的速度方向一定沿该区域的半径方向，A、B错误；当粒子在磁场中运动的轨迹半径为r1＝R时，粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的时间间隔最短，其运动轨迹如图甲所示，由洛伦兹力提供向心力有qv1B＝m，又T1＝，则最小时间间隔为tmin＝2T1＝，C错误；粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短时，粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何关系可知此时粒子的轨迹半径为r2＝R，由洛伦兹力提供向心力有qv2B＝m，联立解得v2＝，D正确。(共79张PPT)
第2讲　磁场对运动电荷的作用
高三总复习讲义　新高考
第十一章 磁场
1.理解洛伦兹力的概念，会判断洛伦兹力的方向、计算洛伦兹力的大小。
2.会分析带电体在匀强磁场中的运动。
3.会分析处理带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动问题及多解问题。
学习目标
考点一　洛伦兹力的理解
考点二　带电粒子在匀强磁场中的运动
考点三　带电粒子在磁场中运动的多解问题
课时测评
内容索引
洛伦兹力的理解
考点一
1.洛伦兹力：磁场对__________的作用力。
2.洛伦兹力的方向
(1)方向：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。
(2)判定方法：______定则。
3.洛伦兹力的大小：F＝_____________，θ为v与B的方向夹角。
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝______。(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0。
知识梳理
运动电荷
左手
qvBsin θ
qvB
自测1.(2023·海南卷·T2)如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力说法正确的是
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
√
根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确；小球受到洛伦兹力和重力的作用，运动过程中速度和加速度的大小、方向都在变，B、C错误；洛伦兹力永不做功，D错误。
自测2.(多选)如图所示，粗糙木板MN竖直固定在方向垂直纸面向里的匀强磁场中。t＝0时，一个质量为m、电荷量为q的带正电物块沿MN以某一初速度竖直向下滑动，则物块运动的v -t图像可能是
√
√
√
设物块的初速度为v0，则FN＝qv0B，若满足mg＝Ff＝μFN，即mg＝μqv0B，物块向下做匀速直线运动，选项A有可能是物块运
动的v -t图像；若mg＞μqv0B，则物块开始时有向下的加
速度，由a＝可知，随着物块速度的增大，其加速
度减小，即物块先做加速度减小的加速运动，最后达到匀
速运动的状态，选项D有可能是物块运动的v -t图像，B不
可能是物块运动的v -t图像；
若mg＜μqv0B，则物块开始时有向上的加速度，由a＝可知，随着速度减小，加速度减小，即物块先做加速度减小的减速运动，最后达到匀速运动的状态，选项C有可能是物块运动的v -t图像。故选ACD。
归纳提升
洛伦兹力的理解
1.利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
2.当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
3.运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力的作用。
4.洛伦兹力永不做功。
返回
带电粒子在匀强磁场中的运动
考点二
1.若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做__________运动。
2.若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做__________运动。
3.轨道半径和周期(v⊥B)
知识梳理
匀速直线
匀速圆周
正误辨析
(1)带电粒子在匀强磁场中一定做匀速圆周运动。 ( )
(2)带电粒子的速度越大，在匀强磁场中做圆周运动的半径一定越大。 ( )
(3)带电粒子的速度越大，在匀强磁场中做圆周运动的周期一定越大。 ( )
(4)同一带电粒子的动量越大，在同一匀强磁场中做圆周运动的半径一定
越大。 ( )
×
×
×
√
1.带电粒子在有界匀强磁场中的圆心、半径及运动时间的确定
核心突破
— 基本思路 图例 说明
圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 P、M点速度方向的垂线的交点
P点速度方向的垂线与弦PM的垂直平分线的交点
— 基本思路 图例 说明
半径的确定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：图中r＝，或由r2＝L2＋(r－d)2求得r＝
运动时间的确定 利用轨迹对应的圆心角θ或轨迹长度l求时间 t＝T＝T＝T
t＝＝
2.带电粒子在有界匀强磁场中运动的常见情况
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图1所示)
(2)平行边界(往往存在临界条件，如图2所示)
(3)圆形边界
①速度指向圆心：沿半径方向射入必
沿半径方向射出，如图3甲所示。粒子
轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏
向角。
②速度方向不指向圆心：如图3乙所示。
粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。
③环形磁场：如图3丙所示，带电粒子沿半径方向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。
考向1 半径公式和周期公式的理解
云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹的装置。如图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向外的匀强磁场。图中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或电子的径迹。关于这些径迹，下列判断正确的是
A.d、e都是正电子的径迹
B.a径迹对应的粒子动量最大
C.b径迹对应的粒子动能最大
D.a径迹对应的粒子运动时间最长
例1
√
带电粒子在垂直于纸面向外的匀强磁场中运动，根据左手定则可知a、b、c是正电子的径迹，d、e是电子的径迹，A错误；带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得R＝，由题图可知a径迹对应的粒子运动半径最小，a径迹对应的粒子速度最小，根据p＝mv，可知a径迹对应的粒子动量最小，B错误；
根据Ek＝mv2，可知Eka＜Ekb＜Ekc，即b径迹对应的粒子动能不是最大的，C错误；带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，T＝，则T＝，所以Ta＝Tb＝Tc＝Td＝Te，粒子在磁场中的运动时间t＝T，其中α为粒子在磁场中的偏转角度，由题图可知a径迹对应的粒子偏转角度最大，则a径迹对应的粒子运动时间最长，D正确。
考向2 直线边界的磁场中运动
(2026·山东临沂模拟)如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则t1∶t2为
A.3∶1
B.2∶3
C.3∶2
D.2∶1
例2
√
两电子在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出电子的运动轨迹，如图所示，电子1垂直射进磁场，从b点离开，则运动了
半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同
速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的
中点c离开磁场，根据半径r＝可知，电子1和2的半
径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则粒子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝＝，电子2运动的时间t2＝＝，所以＝3，A正确。
考向3 平行边界的磁场中运动
(多选)(2026·山西太原期末)两个带等量异种电荷的粒子a、b分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则
A.a粒子带正电，b粒子带负电
B.两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝∶1
C.两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2
D.两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1
例3
√
√
由左手定则可得a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误；粒子做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示，则Ra＝＝d，Rb＝＝d，所以Ra∶Rb＝∶1，故B正确；
由几何关系可得，从A运动到B，a粒子轨迹对应的圆心角为60°，b粒子轨迹对应的圆心角为120°，ta＝＝tb＝，则Ta∶Tb＝2∶1，再根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，则运动周期T＝＝，根据a、b两粒子所带电荷量相等可得ma∶mb＝Ta∶Tb＝2∶1，故C错误，D正确。
解决带电粒子在匀强磁场中运动问题的步骤
总结提升
考向4 圆形边界的磁场中运动
(多选)(2026·广东深圳期末)以O为圆心，半径为R的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场(图中未画出)，PQ为圆的直径。如图所示，在圆的PM区域有圆弧状的荧光屏，N为荧光屏的中点。OQ与OM间夹角α＝60°。在P处有一粒子源沿垂直于磁场的各个方向，向磁场内发射质量均为m、电荷量均为＋q、速率不同的带电粒子，其中a粒子的速度方向沿直径PQ、速度大小为v0，恰好打在荧光屏上的M点。b粒子速度方向与PQ夹角β＝60°，恰好打在荧光屏上的N点，下列说法正确的有
A.磁场方向垂直纸面向外
B.匀强磁场的磁感应强度大小为
C.b粒子的速度大小为
D.b粒子在磁场中运动的时间为
例4
√
√
√
根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，故A
正确；作出a粒子在磁场中的运动轨迹，如图甲所
示，由几何知识可得，a粒子做圆周运动的轨道半
径r＝PM＝2Rcos 30°＝R，由洛伦兹力提供圆
周运动的向心力有qv0B＝m，联立解得B＝，
故B正确；
b粒子的速度方向与PQ夹角为β＝60°，恰好打在N点，如图乙所示，由几何知识可知PN＝R＝2r'sin 60°，解得r'＝R，由洛伦兹力提供向心力有Bqv＝m，由B项分析知B＝，解得v＝，故C正确；
b粒子在磁场中运动的周期T＝，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，联立解得T＝，b粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角θ＝240°，则b粒子在磁场中的运动时间t＝·T＝T＝，联立B＝，可得t＝，故D错误。
(多选)(2025·甘肃卷·T10)2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为va＝，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是
A.外圆半径等于2R0
B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D.c粒子的速度大小为va
√
√
例5
由题意，作出a粒子运动轨迹，如图甲所示，a粒子恰好
到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外
边界相切，然后沿径向在内圆做匀速直线运动，再做匀
速圆周运动恰好回到A点，有qvaB＝m，根据a粒子的
速度大小为va＝，可得Ra＝R0，设外圆半径等于R'，由几何关系得∠AO'B＝90°，则R'＝R0＋R0，A错误；
由A项分析，a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回
到A点的时间tmin，a粒子做匀速圆周运动的周期T＝
＝，在磁场中运动的时间t1＝·T＝，匀速直
线运动的时间t2＝＝，故a粒子返回A点所用的最短
时间为tmin＝t1＋t2＝，B正确；
由题意，作出b、c粒子运动轨迹，如图乙、丙所示，因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动周期相同，故两粒子返回A点所用的最短时间之比为1∶1，C错误；由几何关系得2Rc＝R0，根据洛伦兹力提供向心力有qvcB＝m，联立解得vc＝va，D正确。
解决带电粒子在有界匀强磁场中运动临界问题的方法
　　带电粒子在有界匀强磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题。解决此类问题时，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
常用的结论：
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。　　
总结提升
(2)当速度v一定时，弧长越长，对应圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速度v变化时，圆心角越大，运动时间越长。
总结提升
考向5 直角边界的磁场中运动
(2026·河南新乡模拟)如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP＝a。不计粒子重力。根据上述信息可以得出
A.带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B.带电粒子在磁场中运动的速率
C.带电粒子在磁场中运动的时间
D.该匀强磁场的磁感应强度
例6
√
如图，找出轨迹圆心O'，画出带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹，利用几何知识可知轨迹半径r＝＝a，OO'＝＝a，则轨迹方程为x2＋＝a2(x＞0，y＞0)，故A正确；
由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得v＝，B和v均不可得出，故B、D错误；因为T＝＝，B未知，则不能求出周期T，也不能求出带电粒子在磁场中运动的时间，故C错误。
返回
带电粒子在磁场中运动的多解问题
考点三
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、速度大小或方向不确定、运动的往复性等造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。分析此类问题要抓住以下两点：
(1)找出多解的原因。
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。
考向1 带电粒子电性不确定形成多解
分析 图例
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b
(多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速度v的最大值可能是
A.(q为正电荷)
B.(q为负电荷)
C.(q为正电荷)
D.(q为负电荷)
例7
√
√
若q为正电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中上方与
NN'相切的圆弧，轨迹半径R＝，又d＝R－Rcos 45°，
解得v＝，故A正确，C错误；若q为负电荷，入射
速度最大时的运动轨迹是图中下方与NN'相切的圆弧，则
有R'＝，d＝R'＋R'cos 45°，解得v'＝，故B错误，D
正确。
考向2 磁场方向不确定形成多解
分析 图例
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解

粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b
(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是
A.B＞，垂直纸面向里
B.B＞，垂直纸面向里
C.B＞，垂直纸面向外
D.B＞，垂直纸面向外
√
√
例8
当磁场方向垂直纸面向里时，
离子恰好与OP相切的轨迹如图
甲所示，切点为M，设轨迹半
径为r1，由几何关系可知sin 30°
＝，可得r1＝s，由qvB1＝m可得B1＝，故B正确，A错误；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系可知s＝＋r2，可得r2＝，又qvB2＝m，所以B2＝，故D正确，C错误。
考向3 临界状态的不确定形成多解
分析 图例
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解

(多选)(2026·安徽合肥模拟)如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内(含边界)处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad＝L，ab＝L。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子，从a点沿ab方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是
A.粒子能通过cd边的最短时间t＝
B.若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度v＝
C.若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度v＝
D.若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度0＜v≤
例9
√
√
粒子能通过cd边，从c点射出的粒子在磁场中运动的时间最短，轨迹如图所示，根据几何关系有(r2－L)2＋(L)2＝，解得r2＝2L，则转过的圆心角的正弦sin θ＝＝，即θ＝60°，粒子在磁场中运动的周期T＝，则粒子能通过cd边的最短时间t＝T＝，故A错误；
若粒子恰好从c点射出磁场，由洛伦兹力提供向心力得qv2B＝m，解得v2＝，故B正确；若粒子恰好从d点射出磁场，由几何关系可知其半径r1＝，根据qv1B＝m，解得v1＝，故C错误；
若粒子从d点射出磁场，粒子运动轨迹为半圆，从d点射出时半径最大，对应的入射速度最大，则vm＝，若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度0＜v≤，故D正确。
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课 时 测 评
题组1　洛伦兹力的理解
1.(2026·广东佛山模拟)地磁场可以有效抵御宇宙射线的侵入。不考虑磁偏角，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球厚度为d的匀强磁场，方向垂直于该剖面，如图所示。宇宙射线中对地球危害最大的带电粒子主要是β粒子。设β粒子的质量为m，电荷量为e，最大速率为v＝，地球半径为R，匀强磁场的磁感应强度为B，不计大气对β粒子运动的影响，下列说法错误的是
A.赤道上空的磁感应强度方向由南指向北
B.β粒子指向地心射入磁场，将向西偏转
C.γ射线射入磁场后的偏转方向与β射线射入磁场后
的偏转方向相反
D.要使赤道平面内任意方向射入的β粒子均不能到达
地面，则磁场厚度d应大于2R
√
赤道上空的磁感应强度方向由南指向北，选项A正确；β粒子带负电，根据左手定则可知，β粒子指向地心射入磁场，将向西偏转，选项B正确；γ射线不带电，射入磁场后不偏转，选项C错误；β粒子在磁场中的最大半径r＝＝R，则要使赤道平面内任意方向射入的β粒子均不能到达地面，则磁场厚度d应大于2R，选项D正确。故选C。
2.(多选)带电粒子在匀强磁场中的运动，如图所示，磁场水平向右分布在空间中，所有粒子的质量均为m，电荷量均为q，且粒子的速度方向与纸面平行，忽略粒子重力的影响，以下判断正确的是
A.甲粒子受到的洛伦兹力大小为qvB，且方向水平
向右
B.乙粒子受到的洛伦兹力大小为0，做匀速直线运动
C.丙粒子做匀速圆周运动
D.所有粒子运动过程中动能均不变
√
√
由左手定则知甲粒子所受洛伦兹力大小为qvB，方向垂直纸面向里，故A错误；乙粒子速度方向与磁场方向平行，所受洛伦兹力大小为0，做匀速直线运动，故B正确；丙粒子速度方向与磁场方向不垂直，不做匀速圆周运动，故C错误；洛伦兹力不做功，根据功能关系可知，所有粒子运动过程中动能均不变，故D正确。
题组2　带电粒子在匀强磁场中的运动
3.(2026·广西柳州模拟)如图所示，MN上方存在匀强磁场，同种粒子a、b从O点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界MN的夹角分别为30°和60°，且均由P点射出磁场，则a、b两粒子在磁场中
A.运动半径之比为∶1
B.运动速率之比为1∶
C.转过的角度之比为5∶1
D.运动时间之比为6∶5
√
设OP＝2d，由几何关系可知ra＝＝2d，rb＝＝，可知a、b的运动半径之比为∶1，选项A正确；根据qvB＝m，可得v＝∝r，则运动速率之比为∶1，故B错误；a、b两粒子转过的角度之比为300°∶120°＝5∶2，根据T＝和t＝T知t∝θ，则运动时间之比为5∶2，故C、D错误。
4.(多选)(2026·甘肃张掖模拟)如图所示为宽度为L、磁感应强度大小为B的有界匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面向外，长度足够长。在下边界O处有一个粒子源，沿与边界成60°角方向连续发射大量的速度大小不相同的同种带正电粒子，速度方向均在纸面内。已知以最大速度v射入的粒子，从磁场上边界飞出经历的时间为其做圆周运动周期的。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是
A.粒子的比荷为
B.粒子在磁场中运动的周期为
C.在下边界有粒子飞出的长度为L
D.从上边界飞出的粒子速度大小范围为(－1)v～v
√
√
速度最大的粒子在磁场中运动的时间为其
做圆周运动周期的，运动轨迹如图所示，
圆心为O1，其圆弧所对圆心角为30°，由几
何关系得，圆弧所对的弦长为L，根据几
何关系可得sin 15°＝，解得R＝(＋1)L，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得粒子比荷＝，粒子在磁场中运动的周期T＝＝，故A正确，B错误；
当粒子轨迹恰好与上边界相切时，刚好
不从上边界飞出，运动轨迹如图，圆心
为O2，设这种情况下粒子速度大小为v1，
半径为R1，由几何关系得R1＝L＋R1cos 60°，
解得R1＝2L，由洛伦兹力提供向心力有qv1B＝m，解得v1＝(－1)v，可知粒子从上边界飞出的粒子速度大小范围为(－1)v～v，故D正确；下边界有粒子飞出的长度为x＝2R1sin 60°＝2L，故C错误。
5.(多选)(2026·江苏盐城模拟)两个质量相同的带电粒子a、b，从圆上A点沿AO方向进入垂直于纸面向里的圆形匀强磁场，O为圆心，其运动轨迹如图所示，两粒子离开磁场区域的出射点连线过圆心O，且与AO方向的夹角为60°，两粒子在磁场中运动的时间相等。不计粒子的重力，则
A.a粒子带负电，b粒子带正电
B.a、b两粒子在磁场中运动的速度之比为2∶3
C.a、b两粒子的电荷量之比为1∶3
D.a、b两粒子在磁场中运动的周期之比为2∶1
√
√
根据左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，
故A正确；作出粒子运动的轨迹圆心如图所示，根
据几何关系可知θ＝60°，α＝120°，两粒子在磁
场中运动的时间相等，则有Ta＝Tb，解
得Ta∶Tb＝1∶2，故D错误；粒子运动的周期Ta＝
，Tb＝，结合D项分析可以解得a、b两粒子的电荷量之比为2∶1，故C错误；
设圆形磁场半径为R，根据几何关系有Ra＝Rtan 30°＝，Rb＝
Rtan 60°＝R，根据线速度的公式有va＝，vb＝，结合D项分析解得＝，故B正确。
6.如图所示，边长为L的正方形ABCD边界内有垂直纸面向里的匀强磁场，E为AD上一点，ED＝L。完全相同的两个带电粒子a、b以不同速度分别从A、E两点平行AB向右射入磁场，且均从C点射出磁场。已知a粒子在磁场中运动的时间为t，不计粒子的重力和相互作用，则b粒子在磁场中运动的时间为
A.t B.t
C.t D.t
√
根据题意可知粒子做圆周运动的轨迹如图所示，由图
可知a粒子运动轨迹所对的圆心角为θa＝90°。对b粒
子根据几何知识有＋L2＝，解得b粒
子的轨迹半径R2＝L，sin θb＝＝，所以b粒子
运动轨迹所对的圆心角为θb＝60°，根据T＝，t＝T，解得＝＝，b粒子在磁场中运动的时间为tb＝ta＝t，故C正确。
题组3　带电粒子在磁场中运动的多解问题
7.(多选)如图所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长相等且均为L，梯形处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断地射出速度方向沿cd、大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为
A. B.
C. D.
√
√
能够从ab边射出的电子，从b点
射出的电子轨迹半径最小，如
图甲所示，由几何关系可知r1＝
＝L，从a点射出的电
子轨迹半径最大，如图乙所示，由几何关系可知r2＝L，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得r＝＝，则有L≤≤L，为使电子从ab边射出磁场区域，电子的速度范围为≤v≤kBL，故B、C正确，A、D错误。
8.(多选)(2024·浙江6月卷·T15)如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成θ角。质量为m、电荷量为＋q的带电小球套在细杆上。小球始终处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直细杆所在的竖直面，不计空气阻力。小球以初速度v0沿细杆向上运动至最高点，则该
过程
A.合力冲量大小为mv0cos θ
B.重力冲量大小为mv0sin θ
C.洛伦兹力冲量大小为
D.若v0＝，弹力冲量为零
√
√
根据动量定理得I合＝0－mv0＝－mv0，则合力
冲量大小为mv0，A错误；小球上滑时间t0＝
，重力冲量大小为IG＝mgt0＝mg·＝
，B错误；小球所受洛伦兹力垂直杆向上，
大小为F洛＝qvB＝qB(v0－at)＝－qBat＋qBv0，随时间线性变化，则洛伦兹力的冲量大小为I洛＝q·Bt0＝q·B·＝，C正确；
若v0＝，t＝0时刻小球所受洛伦兹力为F洛0＝qv0B＝2mgcos θ，小球在垂直细杆方向所受合力为零，有qvB＝mgcos θ＋FN，则小球在整个减速过程的FN -t图线如图所示，由FN -t图线与横轴围成的面积表示冲量可知，弹力冲量为零，D正确。
9.(2024·广西卷·T5)xOy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为
A.
B.
C.(1＋
D.(1＋
√
粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得粒子做圆周运动的半径r＝，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO＝r＋＝(1＋。故选C。
10.(2024·湖北卷·T7)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是
A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径
方向
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
√
根据带电粒子在圆形边界磁场中的运动性质可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，粒子射出圆形区域时的速度方向一定沿该区域的半径方向，A、B错误；当粒子在磁场中运动的轨迹半径为r1＝R时，粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的时间间隔最短，其运动轨迹如图甲所示，由洛伦兹力提供向心力有qv1B＝m，又T1＝，则最小时间间隔为tmin＝2T1＝，C错误；
粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短时，粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何关系可知此时粒子的轨迹半径为r2＝R，由洛伦兹力提供向心力有qv2B＝m，联立解得v2＝，D正确。
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第2讲　磁场对运动电荷的作用

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