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专题提升十三　 “动态圆”“磁发散”与“磁聚焦”模型
【学习目标】　1.会用“平移圆”“放缩圆”“旋转圆”三类“动态圆”模型处理带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题及有关临界极值问题。 2.理解“磁聚焦”与“磁发散”模型的特点及应用。
提升点一　磁场中的三类“动态圆”模型
“平移圆”模型
条件及规律 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径r＝，如图所示
特点 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，而且圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
用法 将半径相同的轨迹圆沿入射点所在的直线进行平移，从而探索粒子运动的有关临界问题
(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，
学生用书 第207页
若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　)
A.粒子在磁场中的运动半径为
B.粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C.粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D.能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
答案：CD
解析：带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点与A点的距离为AE＝AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间最短，且最短弦长为d，与半径相同，故轨迹对应圆心角为60°，在Ⅱ区域运动的最短时间为tmin＝＝，选项D正确。
“放缩圆”模型
条件及规律 粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们的运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上
特点 带电粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心，一定位于沿着粒子在入射点所受洛伦兹力方向的射线上，速度越大，半径越大，圆心离入射点越远
用法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题
(多选)(2026·海南海口期末)如图所示，在矩形GHIJ区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P点是GH边的中点，四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P点射入匀强磁场，它们轨迹在同一平面(纸面)内，忽略粒子重力及相互作用，下列说法正确的是(　　)
A.①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场区域的运动周期相同
B.④粒子的速率最大
C.③粒子的向心加速度最大
D.②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长
答案：AB
解析：对于完全相同的粒子，其相同，又T＝，则在同一匀强磁场中，周期都相同，由题图知③粒子在磁场中转过的圆心角最大，所以③粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长，故A正确，D错误；根据qvB＝m，可得r＝，由于④粒子的轨迹半径最大，则④粒子的速率最大，因为a＝，T＝，所以粒子的向心加速度a＝v，可知④粒子的向心加速度最大，故B正确，C错误。
“旋转圆”模型
条件及规律 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为r＝
特点 轨迹圆的圆心共圆：带正电的粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
用法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题
(2025·安徽卷·T7)如图，在竖直平面内的xOy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿xOy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q，质量为m，速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则(　　)
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
答案：C
解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得粒子的运动半径为r＝d，A错误；当粒子恰经过薄板最右端打到薄板上表面时，粒子打到薄板上表面的位置距N点最远，当粒子沿x轴正方向射出时，粒子打到薄板上表面的位置距N点最近，对应运动轨迹如图1所示，由几何关系可知，薄板的上表面接收到粒子的区域长度Δx1＝2rcos 30°－r＝(－1)d，B错误；结合B项分析可知，粒子能打到薄板下表面的最右端，当粒子的运动轨迹与薄板相切时，粒子打到薄板下表面的位置距N点最远，轨迹如图2所示，由几何关系可知，薄板的下表面接收到粒子的区域长度Δx2＝d，C正确；粒子在磁场中的运动周期T＝＝ ，又t＝T，故粒子运动轨迹所对圆心角越小，运动时间越短，结合B、C项分析可知，打在薄板下表面最右端的粒子运动时间最短，结合几何关系有tmin＝＝，D错误。故选C。
学生用书 第208页
提升点二　“磁发散”与“磁聚焦”模型
“磁发散” “磁聚焦”
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线方向与入射方向平行
(多选)(2026·山东潍坊一模)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　)
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为
答案：BC
解析：根据“磁聚焦”原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，有qvB0＝m，解得B0＝，要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子在正方形区域磁场中的轨迹半径为2r0，正方形磁场区域应该为圆形磁场的一部分，有qvB1＝m，解得B1＝＝B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确；如图所示，磁场区域的最小面积为阴影部分面积，即Smin＝2×＝2(π－2)，C正确，D错误。
针对练.(多选)(2026·重庆万州区模拟)如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，O点是圆心，P是磁场边界上的最低点。大量质量为m、电荷量为－q的带电粒子，以相同的速率从P点沿纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r，A、C为圆形区域水平直径的两个端点，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是(　　)
A.若r＝2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为t＝
B.若r＝2R，则从A点有沿水平方向射出磁场的粒子
C.若r＝R，则圆周上有一半区域有粒子射出
D.若r＝R，则与OP连线成30°角偏右侧进入磁场的粒子在磁场中经历的时间为t＝
答案：AC
解析：根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，要使带电粒子在圆形磁场中的运动时间最长，则粒子圆周运动的轨迹对应的弦应最长，为磁场圆直径，则粒子的运动轨迹如图甲，由几何关系知，此轨迹在磁场中的偏转角为60°，所以最长时间为t＝×＝，故A正确；若粒子能从A点水平射出磁场，
则在A点作出射速度方向的垂线，再作AP两点连线的中垂线，交点即为圆心，如图乙所示，此时圆周运动的半径r≠2R，故B错误；若r＝R，以P为圆心、R为半径画圆，通过几何关系可知，粒子只能从圆弧PAM(M为PO延长线与磁场边界的交点)射出，即圆周上有一半区域有粒子射出，故C正确；若r＝R，与OP连线成30°角偏右侧进入磁场的粒子，其轨迹所对的圆心角为120°，在磁场中运动时间t＝T＝，故D错误。
课时测评53　“动态圆” “磁发散”与“磁聚焦”模型
(时间：30分钟　满分：40分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－7，每题4分，共28分)
题组1　磁场中的三类“动态圆”模型
1.(多选)如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入磁场区域，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc边和ac边的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是(　　)
A.粒子的入射速度为
B.粒子的入射速度为
C.粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为
D.从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为
答案：AC
解析：粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得r＝，因bc边只有一半区域有粒子射出，恰从bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示，由几何关系可得r＝，则粒子的入射速度v＝，A正确，B错误；粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为s＝πr＝，C正确；与bc边相切、恰从bc边射出的粒子对应的圆心角最大，为，从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为t＝，D错误。
2.(2026·河南洛阳模拟)如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中与x轴及y轴最远距离分别为(　　)
A.　 B.　
C.　 D.　
答案： A
解析：若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示)，可以得出离y轴最远距离为｜x｜＝2r＝，离x轴最远距离为y＝2r＝。故选A。
3.(2026·甘肃平凉模拟)水平桌面上方区域内存在一垂直于桌面的磁感应强度大小为B0的匀强磁场，科研人员将内部均匀涂抹有荧光物质的无底正方形纸盒，放置于水平桌面上，如图所示，正方形ABCD为纸盒的水平截面，E点为AB边的中点。大量相同的带电粒子以相同的速率v0经过E点，在水平面内沿不同的方向射入磁场，科研人员观测到整个纸盒内部只有AF段和AE段发出淡淡的荧光(高速微观粒子打在荧光物质上会将动能转化为光能)。已知正方形纸盒的边长为2a，AF＝a，不计带电粒子的重力以及粒子间的相互作用，则下列说法正确的是(　　)
A.粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝
B.粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝a
C.通过A点的粒子在磁场中运动的时间t＝
D.粒子的比荷为＝
答案：C
解析：只有AF段和AE段有荧光发出，且这些位置中F点距离E点最远，故EF连线长度为带电粒子运动轨迹的直径，其运动轨迹如图中的轨迹1所示，由几何关系有r＝＝a，故B错误；粒子运动的周期T＝＝，故A错误；通过A点的粒子在磁场中运动的轨迹如图中的轨迹2所示，由几何关系知，轨迹2的圆弧所对的圆心角为120°，运动的时间t＝＝，故C正确；根据洛伦兹力提供向心力可得qv0B0＝m，则＝，故D错误。
题组2　“磁发散”与“磁聚焦”模型
4.(多选)如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，AC边长为L，∠A＝30°。带正电的粒子流(其重力忽略不计)以相同速度在CD范围内垂直AC边射入(不计粒子间的相互作用力)，从D点射入的粒子恰好不能从AB边射出。已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为4t，则(　　)
A.粒子的比荷为
B.粒子运动的轨迹半径为L
C.粒子射入磁场的速度大小为
D.粒子流在磁场中扫过的面积为L2
答案：BD
解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t，则有3t＝，根据周期公式可得T＝，解得粒子的比荷为＝，故A错误；设运动时间最长的粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为θ，根据题意有T＝＝4t，解得θ＝，粒子运动轨迹如图所示，设粒子轨迹半径为R，根据几何关系可得＋Rcos 60°＝L，解得R＝L，故B正确；粒子在磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB0＝m，解得粒子射入磁场的速度大小为v＝，故C错误；从D点射入的粒子恰好不从AB边界射出，结合几何知识可得粒子流在磁场中扫过的面积为S＝πR2＋R·Rcos 60°＝L2，故D正确。
5.(多选)(2026·江苏南通模拟)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入。粒子的质量为m，电荷量为q，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子、粒子间的相互作用和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是(　　)
A.对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中通过的时间越短
B.对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中通过的时间越长
C.若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上
D.若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于
答案：ACD
解析：对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由t＝T＝可知，运动时间越短，故A正确，B错误；若粒子速度大小均为v＝时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为r＝＝R，根据几何关系可知，入射点P、磁场圆心O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上，根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角均小于180°，粒子在磁场中的运动时间t＜T＝，故C、D正确。
6.(多选)(2026·安徽淮北二模)在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。如图所示，正方形abcd边长为L，一束相同的正离子以相同的速度v垂直ab边射入，如果在abcd的某区域内存在着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从c点射出，则(　　)
A.磁场方向垂直纸面向里
B.离子的比荷为
C.磁场区域的最小面积为
D.离子在磁场中运动的最长时间为
答案：BD
解析：离子向下偏转，由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误；画出离子的运动轨迹如图所示，可知为“磁聚焦”模型，故运动半径r＝L，再由qvB＝m，解得＝，故B正确；磁场区域最小面积为“叶”型面积S＝2＝，故C错误；离子轨迹的最大圆心角为，则最长时间为t＝＝，故D正确。
7.(多选)(2026·安徽六安模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy内，以坐标原点O为圆心，半径为R的圆形区域内存在垂直于坐标平面的匀强磁场(图中未画出)，磁场区域外右侧有宽度为R的粒子源，M、N为粒子源两端点，M、N连线垂直于x轴，粒子源中点P位于x轴上，粒子源持续沿x轴负方向发射质量为m、电荷量为q(q＞0)、速率为v的粒子。已知从粒子源中点P发出的粒子，经过磁场区域后，恰能从圆与y轴负半轴的交点Q处沿y轴负方向射出磁场，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则(　　)
A.带电粒子在磁场中运动的半径为R
B.匀强磁场的磁感应强度大小为
C.在磁场中运动的带电粒子路程最长为
D.带电粒子在磁场中运动的时间最短为
答案：AC
解析：从粒子源中点P发出的粒子，在磁场中的轨迹如图甲所示，由几何知识可知带电粒子在磁场中运动的半径为R，A正确；根据牛顿第二定律有qvB＝m，解得B＝，B错误；从M点发出的粒子在磁场中的轨迹如图乙所示，此时轨迹最长，由几何知识可知四边形O2DOQ为菱形，则∠QO2D＝120°，则在磁场中运动的带电粒子路程最长为l＝×2πR＝，C正确；从N点发出的粒子在磁场中的轨迹如图丙所示，
可知四边形OAO3Q为菱形，则∠QO3A＝60°，此时粒子经过磁场区域的时间最短，则t＝×＝，D错误。
8.(12分)(2026·河南豫西重点高中联考)如图所示，真空区域内有一足够大的荧光屏PQ，其左侧有一无限大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。S为一粒子源，可沿纸面向各个方向发射大量速度大小为v的带负电的粒子。已知粒子的比荷为k，S到荧光屏的距离为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：
(1)粒子距S的最远距离；
(2)粒子到达荧光屏的最短时间和最长时间；
(3)荧光屏的发光长度。
答案：(1)　(2)　　(3)
解析：(1)带负电的粒子在匀强磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
解得R＝
粒子距S的最远距离L＝2R＝。
(2)作出粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可知，轨迹圆的圆心为图中O1点时，轨迹圆的圆心角最小且为60°
又T＝
解得T＝＝
粒子到达荧光屏的最短时间为tmin＝T
解得tmin＝
同理，由几何关系可知，轨迹圆的圆心为图中O2点时，粒子到达荧光屏时，轨迹圆的圆心角最大且为270°，粒子到达荧光屏的最长时间tmax＝T
解得tmax＝。
(3)由几何关系可知，轨迹圆的圆心为O3时，粒子到达荧光屏下方最远处，由几何关系可得x1＝R
同理，轨迹圆圆心为O4时，粒子到达荧光屏上方最远处，由几何关系可得x2＝R
则荧光屏的发光长度l＝x1＋x2
解得l＝。(共52张PPT)
专题提升十三
“动态圆”“磁发散”与“磁聚焦”模型
高三总复习讲义　新高考
第十一章 磁场
1.会用“平移圆”“放缩圆”“旋转圆”三类“动态圆”模型处理带电粒子在
有界匀强磁场中的运动问题及有关临界极值问题。
2.理解“磁聚焦”与“磁发散”模型的特点及应用。
学习目标
提升点一 磁场中的三类“动态圆”模型
提升点二 “磁发散”与“磁聚焦”模型
课时测评
内容索引
磁场中的三类“动态圆”模型
提升点一
考向1 “平移圆”模型
条件及规律 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径r＝，如图所示

特点 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，而且圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
用法 将半径相同的轨迹圆沿入射点所在的直线进行平移，从而探索粒子运动的有关临界问题
(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，
若入射速度大小为，不计粒子重力，则
A.粒子在磁场中的运动半径为
B.粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C.粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D.能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
√
例1
√
带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点与A点的距离为AE＝AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；
进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间最短，且最短弦长为d，与半径相同，故轨迹对应圆心角为60°，在Ⅱ区域运动的最短时间为tmin＝＝，选项D正确。
考向2 “放缩圆”模型
条件及规律 粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子进入
匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨
迹半径随速度的变化而变化。可以发现这些带电粒子射入
磁场后，它们的运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线
PP'上
特点 带电粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心，一定位于沿着粒子在入射点所受洛伦兹力方向的射线上，速度越大，半径越大，圆心离入射点越远
用法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题
(多选)(2026·海南海口期末)如图所示，在矩形GHIJ区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P点是GH边的中点，四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P点射入匀强磁场，它们轨迹在同一平面(纸面)内，忽略粒子重力及相互作用，下列说法正确的是
A.①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场区域的运动周期相同
B.④粒子的速率最大
C.③粒子的向心加速度最大
D.②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长
例2
√
√
对于完全相同的粒子，其相同，又T＝，则在同
一匀强磁场中，周期都相同，由题图知③粒子在磁
场中转过的圆心角最大，所以③粒子在矩形GHIJ磁
场区域运动的时间最长，故A正确，D错误；根据
qvB＝m，可得r＝，由于④粒子的轨迹半径最大，则④粒子的速率最大，因为a＝，T＝，所以粒子的向心加速度a＝v，可知④粒子的向心加速度最大，故B正确，C错误。
考向3 “旋转圆”模型
条件及规律 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子
进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半
径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半
径为r＝
特点 轨迹圆的圆心共圆：带正电的粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
用法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题
(2025·安徽卷·T7)如图，在竖直平面内的xOy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿xOy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q，质量为m，速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
例3
√
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得粒子的运动半径为r＝d，A错误；当粒子恰经过薄板最右端打到薄板上表面时，粒子打到薄板上表面的位置距N点最远，当粒子沿x轴正方向射出时，粒子打到薄板上表面的位置距N点最近，对应运动轨迹如图1所示，由几何关系可知，薄板的上表面接收到粒子的区域长度Δx1＝2rcos 30°－r＝(－1)d，B错误；
结合B项分析可知，粒子能打到薄板下表面的最右端，当粒子的运动轨迹与薄板相切时，粒子打到薄板下表面的位置距N点最远，轨迹如图2所示，由几何关系可知，薄板的下表面接收到粒子的区域长度Δx2＝d，C正确；
粒子在磁场中的运动周期T＝＝ ，又t＝T，故粒子运动轨迹所对圆心角越小，运动时间越短，结合B、C项分析可知，打在薄板下表面最右端的粒子运动时间最短，结合几何关系有tmin＝＝，D错误。故选C。
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“磁发散”与“磁聚焦”模型
提升点二
“磁发散” “磁聚焦”
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线方向与入射方向平行

(多选)(2026·山东潍坊一模)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下
列说法正确的是
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向
垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸
面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为
例4
√
√
根据“磁聚焦”原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中
运动，粒子运动的轨迹半径为r0，有qvB0＝m，解得B0
＝，要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转
后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图
所示，由几何关系可知粒子在正方形区域磁场中的轨迹半径为2r0，正方形磁场区域应该为圆形磁场的一部分，有qvB1＝m，解得B1＝＝B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确；如图所示，磁场区域的最小面积为阴影部分面积，即Smin＝2×＝2(π－2)，C正确，D错误。
针对练.(多选)(2026·重庆万州区模拟)如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，O点是圆心，P是磁场边界上的最低点。大量质量为m、电荷量为－q的带电粒子，以相同的速率从P点沿纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r，A、C为圆形区域水平直径的两个端点，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是
A.若r＝2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为t＝
B.若r＝2R，则从A点有沿水平方向射出磁场的粒子
C.若r＝R，则圆周上有一半区域有粒子射出
D.若r＝R，则与OP连线成30°角偏右侧进入磁场的粒子在磁场中经历的时间为t＝
√
√
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，要使带电粒子在圆形磁场中的运动时间最长，则粒子圆周运动的轨迹对应的弦应最长，为磁场圆直径，则粒子的运动轨迹如图甲，由几何关系知，此轨迹在磁场中的偏转角为60°，所以最长时间为t＝×＝，故A正确；
若粒子能从A点水平射出磁场，则在A点作出射速度方
向的垂线，再作AP两点连线的中垂线，交点即为圆心，
如图乙所示，此时圆周运动的半径r≠2R，故B错误；
若r＝R，以P为圆心、R为半径画圆，通过几何关系可
知，粒子只能从圆弧PAM(M为PO延长线与磁场边界的交点)射出，即圆周上有一半区域有粒子射出，故C正确；若r＝R，与OP连线成30°角偏右侧进入磁场的粒子，其轨迹所对的圆心角为120°，在磁场中运动时间t＝T＝，故D错误。
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题组1　磁场中的三类“动态圆”模型
1.(多选)如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入磁场区域，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc边和ac边的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是
A.粒子的入射速度为
B.粒子的入射速度为
C.粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为
D.从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为
√
√
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得r＝，因bc边只有一半区域有粒子射出，恰从bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示，由几何关系可得r＝，则粒子的入射速度v＝，A正确，B错误；
粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为s＝πr＝，C正确；与bc边相切、恰从bc边射出的粒子对应的圆心角最大，为，从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为t＝，D错误。
2.(2026·河南洛阳模拟)如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中与x轴及y轴最远距离分别为
A.　
B.　
C.　
D.　
√
若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示)，可以得出离y轴最远距离为｜x｜＝2r＝，离x轴最远距离为y＝2r＝。故选A。
3.(2026·甘肃平凉模拟)水平桌面上方区域内存在一垂直于桌面的磁感应强度大小为B0的匀强磁场，科研人员将内部均匀涂抹有荧光物质的无底正方形纸盒，放置于水平桌面上，如图所示，正方形ABCD为纸盒的水平截面，E点为AB边的中点。大量相同的带电粒子以相同的速率v0经过E点，在水平面内沿不同的方向射入磁场，科研人员观测到整个纸盒内部只有AF段和AE段发出淡淡的荧光(高速微观粒子打在荧光物质上会将动能转化为光能)。已知正方形纸盒的边长为2a，AF＝a，不计带电粒子的重力以及粒子间的相互作用，则下列说法正确的是
A.粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝
B.粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝a
C.通过A点的粒子在磁场中运动的时间t＝
D.粒子的比荷为＝
√
只有AF段和AE段有荧光发出，且这些位置中F点距离E点最远，故EF连线长度为带电粒子运动轨迹的直径，其运动轨迹如图中的轨迹1所示，由几何关系有r＝＝a，故B错误；粒子运动的周期T＝＝，故A错误；
通过A点的粒子在磁场中运动的轨迹如图中的轨迹2所示，由几何关系知，轨迹2的圆弧所对的圆心角为120°，运动的时间t＝＝，故C正确；根据洛伦兹力提供向心力可得qv0B0＝m，则＝，故D
错误。
题组2　“磁发散”与“磁聚焦”模型
4.(多选)如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，AC边长为L，∠A＝30°。带正电的粒子流(其重力忽略不计)以相同速度在CD范围内垂直AC边射入(不计粒子间的相互作用力)，从D点射入的粒子恰好不能从AB边射出。已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为4t，则
A.粒子的比荷为
B.粒子运动的轨迹半径为L
C.粒子射入磁场的速度大小为
D.粒子流在磁场中扫过的面积为L2
√
√
粒子在磁场中做匀速圆周运动，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t，则有3t＝，根据周期公式可得T＝，解得粒子的比荷为＝，故A错误；
设运动时间最长的粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为θ，根据题意有T＝＝4t，解得θ＝，粒子运动轨迹如图所示，设粒子轨迹半径为R，根据几何关系可得＋Rcos 60°＝L，解得R＝L，故B正确；
粒子在磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB0＝m，解得粒子射入磁场的速度大小为v＝，故C错误；从D点射入的粒子恰好不从AB边界射出，结合几何知识可得粒子流在磁场中扫过的面积为S＝πR2＋R·Rcos 60°＝L2，故D正确。
5.(多选)(2026·江苏南通模拟)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入。粒子的质量为m，电荷量为q，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子、粒子间的相互作用和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是
A.对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中通过的时间越短
B.对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中通过的时间越长
C.若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上
D.若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于
√
√
√
对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由t＝T＝可知，运动时间越短，故A正确，B错误；
若粒子速度大小均为v＝时，根据洛伦兹力提供向心力
可得粒子的轨迹半径为r＝＝R，根据几何关系可知，入
射点P、磁场圆心O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱
形，粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上，根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角均小于180°，粒子在磁场中的运动时间t＜T＝，故C、D正确。
6.(多选)(2026·安徽淮北二模)在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。如图所示，正方形abcd边长为L，一束相同的正离子以相同的速度v垂直ab边射入，如果在abcd的某区域内存在着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从c点射出，则
A.磁场方向垂直纸面向里
B.离子的比荷为
C.磁场区域的最小面积为
D.离子在磁场中运动的最长时间为
√
√
离子向下偏转，由左手定则可知，磁场方向垂直纸
面向外，故A错误；画出离子的运动轨迹如图所示，
可知为“磁聚焦”模型，故运动半径r＝L，再由
qvB＝m，解得＝，故B正确；磁场区域最小面
积为“叶”型面积S＝2＝，故C错误；离子轨迹的最大圆心角为，则最长时间为t＝＝，故D正确。
7.(多选)(2026·安徽六安模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy内，以坐标原点O为圆心，半径为R的圆形区域内存在垂直于坐标平面的匀强磁场(图中未画出)，磁场区域外右侧有宽度为R的粒子源，M、N为粒子源两端点，M、N连线垂直于x轴，粒子源中点P位于x轴上，粒子源持续沿x轴负方向发射质量为m、电荷量为q(q＞0)、速率为v的粒子。已知从粒子源中点P发出的粒子，经过磁场区域后，恰能从圆与y轴负半轴的交点Q处沿y轴负方向射出磁场，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则
A.带电粒子在磁场中运动的半径为R
B.匀强磁场的磁感应强度大小为
C.在磁场中运动的带电粒子路程最长为
D.带电粒子在磁场中运动的时间最短为
√
√
从粒子源中点P发出的粒子，在磁场中的轨迹如图甲所示，由几何知识可知带电粒子在磁场中运动的半径为R，A正确；根据牛顿第二定律有qvB＝m，解得B＝，B错误；从M点发出的粒子在磁场中的轨迹如图乙所示，此时轨迹最长，由几何知识可知四边形O2DOQ为菱形，则∠QO2D＝120°，则在磁场中运动的带电粒子路程最长为l＝×2πR＝，C正确；
从N点发出的粒子在磁场中的轨迹如图丙所示，
可知四边形OAO3Q为菱形，则∠QO3A＝60°，此时粒子经过磁场区域的时间最短，则t＝×＝，D错误。
8.(12分)(2026·河南豫西重点高中联考)如图所示，真空区域内有一足够大的荧光屏PQ，其左侧有一无限大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。S为一粒子源，可沿纸面向各个方向发射大量速度大小为v的带负电的粒子。已知粒子的比荷为k，S到荧光屏的距离为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求：
(1)粒子距S的最远距离；
答案：
带负电的粒子在匀强磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
解得R＝
粒子距S的最远距离L＝2R＝。
(2)粒子到达荧光屏的最短时间和最长时间；
答案：
作出粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可知，轨迹圆的圆心为图中O1点时，轨迹圆的圆心角最小且为60°
又T＝
解得T＝＝
粒子到达荧光屏的最短时间为tmin＝T
解得tmin＝
同理，由几何关系可知，轨迹圆的圆心为图中O2点时，粒子到达荧光屏时，轨迹圆的圆心角最大且为270°，粒子到达荧光屏的最长时间tmax＝T
解得tmax＝。
(3)荧光屏的发光长度。
答案：
由几何关系可知，轨迹圆的圆心为O3时，粒子到达荧光屏下方最远处，由几何关系可得x1＝R
同理，轨迹圆圆心为O4时，粒子到达荧光屏上方最远处，由几何关系可得x2＝R
则荧光屏的发光长度l＝x1＋x2
解得l＝。
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专题提升十三　 “动态圆”“磁发散”
与“磁聚焦”模型

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