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物理 选择性必修 第一册 RJ
专题提升三　碰撞规律的拓展应用
提升　物块—弹簧模型
1．模型概述
如图所示，光滑水平面上的两个物块通过轻弹簧连接，物块m1向右运动压缩弹簧，与静止的物块m2作用，两物块与轻弹簧组成的系统动量守恒，机械能守恒。
2．模型的两个特殊状态
(1)弹簧处于最长(最短)状态时，两物块速度相等，弹簧弹性势能最大，系统动能通常最小。从开始至此时，相当于完全非弹性碰撞。
(2)弹簧恢复原长时，弹簧弹性势能为零，系统动能最大。从开始至此时，相当于弹性碰撞。
如图所示，两滑块A、B位于光滑水平面上，已知A的质量mA＝4 kg，B的质量mB＝3 kg，滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块A以v0＝7 m/s的速度水平向右运动，通过弹簧与静止的滑块B相互作用(整个过程弹簧没有超过弹性限度)，直至分开，求：
(1)整个过程中弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块A与B分开时，两者的速度大小分别为多少？
[解析]　(1)当弹簧压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，设为Ep，此时滑块A、B的速度相等，设为v，由动量守恒定律有
mAv0＝(mA＋mB)v
由机械能守恒定律有
mAv＝(mA＋mB)v2＋Ep
联立解得Ep＝42 J。
(2)设滑块A与B分开时，A、B的速度分别是vA、vB，以向右为正方向，从A与弹簧接触到A、B分开的过程中，由动量守恒定律有
mAv0＝mAvA＋mBvB
由机械能守恒定律有
mAv＝mAv＋mBv
联立解得vA＝1 m/s，vB＝8 m/s。
[答案]　(1)42 J　(2)1 m/s　8 m/s
[跟进训练]　如图所示，质量为m的物块A与质量为2m的物块B静置于光滑水平面上，B与一个水平轻质弹簧拴接。现让物块A获得水平向右的初速度v0，A与弹簧发生相互作用，最终与弹簧分离，全过程中弹簧始终处于弹性限度内。
(1)求两物块最终分离时各自的速度；
(2)在两物块相互作用过程中，求当物块A的速度大小为时弹簧的弹性势能。
答案：(1)，方向水平向左　，方向水平向右
(2)或
解析：(1)以水平向右为正方向，设A与弹簧分离时A、B的速度分别为vA、vB，由动量守恒定律有mv0＝mvA＋2mvB
由机械能守恒定律有
mv＝mv＋×2mv
解得vA＝－，vB＝
即分离时A的速度大小为，方向水平向左，B的速度大小为，方向水平向右。
(2)以水平向右为正方向，当物块A的速度为时，设物块B的速度为v1，弹簧的弹性势能为Ep1，则由动量守恒定律有
mv0＝m×＋2mv1
由机械能守恒定律有
mv＝m＋×2mv＋Ep1
解得Ep1＝
当物块A的速度为－时，设物块B的速度为v2，弹簧的弹性势能为Ep2，则由动量守恒定律有mv0＝m×＋2mv2
由机械能守恒定律有
mv＝m＋×2mv＋Ep2
解得Ep2＝
即当物块A的速度大小为时，弹簧的弹性势能为Ep1＝或Ep2＝。
提升　物块—斜(曲)面模型
1．模型概述
如图所示，光滑水平面上质量为M、有光滑圆弧轨道的曲面体不固定，质量为m的物块滑上曲面体，两者组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒。
2．模型的两个特殊状态
(1)最高点：m与M具有共同水平速度v共。系统水平方向动量守恒，有mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，有mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为物块上升的最大高度。从开始至此时，相当于完全非弹性碰撞。
(2)最低点：m与M分离点。水平方向动量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，有mv＝mv＋Mv。从开始至此时，相当于弹性碰撞。
如图所示，足够高的木块A的右侧为光滑曲面，且下端极薄，其质量为2 kg，静止于光滑水平面上。一质量为2 kg的小球B以2 m/s的速度从右向左运动冲上A的曲面，与A发生相互作用。重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)B球沿A曲面上升到最大高度处时的速率；
(2)B球沿A曲面上升的最大高度；
(3)B球与A相互作用结束后，A、B各自的速率。
[解析]　(1)设A、B的质量均为m，B的初速度为v0，B球沿A曲面上升到最大高度处时，A、B的共同速度为v，以向左为正方向，在水平方向根据动量守恒定律有mv0＝2mv
解得v＝1 m/s。
(2)设B球沿A曲面上升的最大高度为h，对A、B组成的系统，根据机械能守恒定律有
mv＝×2mv2＋mgh
解得h＝0．1 m。
(3)以水平向左为正方向，设B球与A相互作用结束后，A、B的速度分别为v1和v2，则在整个作用过程中
在水平方向，由动量守恒定律有
mv0＝mv1＋mv2
由机械能守恒定律有mv＝mv＋mv
解得v1＝2 m/s，v2＝0。
[答案]　(1)1 m/s　(2)0．1 m　(3)2 m/s　0
[跟进训练]　质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上是一个四分之一的光滑圆周轨道，轨道下端切线水平。质量为m的小球沿水平方向从轨道下端以初速度v0滑上小车，重力加速度为g，如图所示。已知小球不从小车上端离开小车，小球滑上小车又滑下，与小车分离时，小球与小车速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，则m∶M的值为(　　)
A．1∶3 B．1∶4
C．3∶5 D．2∶3
答案：C
解析：设小球与小车分离时，小车的速率为v1，小球的速率为v2，由题意可知＝，以小球的初速度方向为正方向，从小球滑上小车到与小车分离的过程中，在水平方向由动量守恒定律可得mv0＝Mv1－mv2，由机械能守恒定律可得mv＝Mv＋mv，联立解得＝，故选C。
提升　木块—木板模型
1．模型概述
如图所示，光滑水平面上的质量为M的木板不固定，质量为m的木块滑上木板，二者之间存在摩擦力，两者组成的系统动量守恒，机械能不守恒。
2．模型的两个特殊状态
(1)若木板足够长，木块始终未滑离木板，二者最终共速，即有mv0＝(m＋M)v共。
①系统损失的机械能ΔE损＝mv－(m＋M)v。
②系统增加的内能Q＝Ff·Δx＝ΔE损，其中Δx为二者间的相对位移大小，Ff为木块和木板之间的滑动摩擦力大小。
③类比碰撞模型：损失的机械能最多，相当于完全非弹性碰撞。
(2)若木块能够滑离木板，有mv0＝mv1＋Mv2。
①系统损失的机械能ΔE损＝mv－。
②系统增加的内能Q＝Ff·L＝ΔE损，其中L为木板的长度。
③类比碰撞模型：相当于一般非弹性碰撞。
如图所示，质量m1＝3 kg的平顶小车静止在光滑的水平轨道上，车顶与左侧光滑平台等高，平台上放置质量m2＝2 kg的小物块，小物块可视为质点。小物块以v0＝4 m/s的初速度向右运动，滑上小车。已知小物块未从小车上滑下，小物块与车顶间的动摩擦因数μ＝0．2，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)小车最终的速度大小；
(2)因摩擦而产生的热量；
(3)小物块相对小车运动的距离。
[解析]　(1)设小车最终的速度大小为v，最终小物块与小车共速，小物块在小车上滑动的过程中，由动量守恒定律得m2v0＝(m1＋m2)v
代入数据解得v＝1．6 m/s。
(2)小物块在小车上滑动的过程中，根据能量守恒定律可得，因摩擦而产生的热量为
Q＝m2v－(m1＋m2)v2
代入数据解得Q＝9．6 J。
(3)设小物块相对小车运动的距离为d，由功能关系得Q＝μm2gd
代入数据解得d＝2．4 m。
[答案]　(1)1．6 m/s　(2)9．6 J　(3)2．4 m
[跟进训练]　如图所示，长L＝1 m的小车静止在光滑的水平面上，一滑块以v0＝3 m/s的水平速度从小车左端滑入并从小车右端滑出，小车和滑块的质量均为1 kg，已知滑块与小车间的动摩擦因数μ＝0．2，g＝10 m/s2。滑块离开小车时，求：
(1)小车和滑块组成的系统损失的机械能；
(2)滑块和小车的速度大小。
答案：(1)2 J　(2)2 m/s　1 m/s
解析：(1)小车和滑块组成的系统损失的机械能等于因摩擦而产生的热量，即ΔE＝Q
设小车和滑块的质量均为m，由功能关系有
Q＝μmgL
联立并代入数据解得ΔE＝2 J。
(2)取水平向右为正方向，设滑块离开小车时，滑块和小车的速度分别为v1、v2，滑块在小车上滑动的过程中，由动量守恒定律有
mv0＝mv1＋mv2
由能量守恒定律有
ΔE＝mv－
滑块离开小车时有v1>v2
联立并代入数据解得v1＝2 m/s，v2＝1 m/s。
课后课时作业
题型一　物块—弹簧模型
1．如图所示，光滑水平地面上的P、Q两物体质量都为m，P以速度v向右运动，Q静止且左端有一轻弹簧。当P撞上弹簧，弹簧被压缩至最短时(　　)
A．P的动量变为0
B．P、Q的速度不相等
C．Q的动量达到最大值
D．P、Q系统总动量仍然为mv
答案：D
解析：P、Q组成的系统所受的合外力为零，系统动量守恒，初始时总动量为mv，弹簧被压缩至最短时，P、Q系统总动量仍然为mv，故D正确；P在压缩弹簧的过程中，Q做加速运动，P做减速运动，两者速度相等时，弹簧压缩量最大，然后Q继续加速，P继续减速，所以弹簧被压缩至最短时，Q的动量未达到最大值，根据mv＝(m＋m)v′，可知此时P的动量为mv′＝mv，故A、B、C错误。
2．(多选)如图所示，光滑水平面上静止一小球B，小球B的左端固定一轻弹簧，小球A位于小球B的左侧，某时刻小球A获得向右的初速度，动能的大小为E0，已知小球A的质量为小球B质量的一半。下列说法正确的是(　　)
A．弹簧的弹性势能最大时，小球B的动能为E0
B．弹簧的最大弹性势能为E0
C．弹簧恢复原长时，小球A与小球B的速率之比为2∶1
D．弹簧恢复原长时，小球A的动能与初动能之比为1∶9
答案：AD
解析：设A的质量为m，初速度大小为v，则B的质量为2m，E0＝mv2，轻弹簧被压缩到最短时，A和B的速度相等，弹簧的弹性势能最大，设此时A、B的速度大小为v共，由动量守恒定律有mv＝(2m＋m)v共，可得v共＝，则此时小球B的动能为EkB＝×2mv＝mv2＝E0，弹簧的最大弹性势能为Em＝E0－×3mv＝E0，故A正确，B错误；弹簧恢复原长时，以向右为正方向，设A的速度为vA，B的速度为vB，根据动量守恒定律有mv＝mvA＋2mvB，由机械能守恒定律有mv2＝mv＋×2mv，可得vA＝－v，vB＝v，即此时小球A与小球B的速率之比为|vA|∶|vB|＝1∶2，此时小球A的动能与初动能之比为＝，故C错误，D正确。
3．两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图所示。B与C碰撞后二者会粘在一起运动，则在以后的运动中：
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
(3)物块C的最大速度为多大？
答案：(1)3 m/s　(2)12 J　(3)4 m/s
解析：(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大。
由A、B、C三者组成的系统动量守恒得
(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)v1
解得v1＝ m/s＝3 m/s。
(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v2，则
mBv＝(mB＋mC)v2
解得v2＝ m/s＝2 m/s
物块A、B、C速度相等时弹簧的弹性势能最大，设为Ep，根据机械能守恒定律有
Ep＝(mB＋mC)v＋mAv2－(mA＋mB＋mC)v
解得Ep＝12 J。
(3)C的速度最大时，弹簧处于原长状态，设此时A的速度为v3，C的速度为v4，根据动量守恒定律有
mAv＋(mB＋mC)v2＝mAv3＋(mB＋mC)v4
根据机械能守恒定律有
mAv2＋(mB＋mC)v＝mAv＋(mB＋mC)v
解得v3＝0，v4＝4 m/s。
题型二　物块—斜(曲)面模型
4．如图所示，一质量为m的小球沿光滑的水平面以速度v冲上一个静止在水平面上的质量为2m的曲面体，曲面体的曲面部分为光滑圆弧面并且和水平面相切。当小球从曲面体再次滑到水平面的瞬间，其速度为(　　)
A．v B．－v
C．v D．－v
答案：B
解析：以速度v的方向为正方向，设当小球从曲面体再次滑到水平面的瞬间，其速度为v1，曲面体的速度为v2，小球在曲面体上滑动的过程中，对小球和曲面体组成的系统，由水平方向动量守恒得mv＝mv1＋2mv2，由机械能守恒定律得mv2＝mv＋×2mv，联立解得v1＝－v，故B正确。
5．在光滑水平地面上放一个质量为M＝2 kg的内侧带有光滑弧形凹槽的滑块，凹槽的底端切线水平，如图所示。质量为m＝1 kg的小物块以v0＝6 m/s的水平速度从滑块的底端沿槽上滑，恰好能到达滑块的顶端。重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻力。在小物块沿滑块滑行的整个过程中，下列说法正确的是(　　)
A．小物块沿滑块上滑的最大高度为0．3 m
B．小物块沿滑块上滑的最大高度为0．6 m
C．合力对滑块的冲量大小为8 N·s
D．合力对滑块的冲量大小为16 N·s
答案：C
解析：当二者速度相等时，小物块沿滑块上滑的高度最大，设最大高度为h，共同速度为v，以v0的方向为正方向，从小物块滑上滑块到上滑到最大高度的过程中，由系统水平方向动量守恒有mv0＝(m＋M)v，由机械能守恒定律有mv＝(m＋M)v2＋mgh，解得h＝1．2 m，A、B错误；设小物块返回滑块底端时，小物块与滑块的速度分别为v1、v2，在小物块沿滑块滑行的整个过程中，由系统水平方向动量守恒有mv0＝mv1＋Mv2，由机械能守恒定律有mv＝mv＋Mv，解得v1＝－v0＝－2 m/s，v2＝v0＝4 m/s，根据动量定理，合力对滑块的冲量大小为I＝Mv2－0＝8 N·s，C正确，D错误。
题型三　木块—木板模型
6．如图所示，一质量M＝3．0 kg的木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量m＝1．0 kg的小木块A。现A以v0＝4．0 m/s的初速度向左运动，则B的最终速度可能为(　　)
A．0．8 m/s B．1．2 m/s
C．1．6 m/s D．2．0 m/s
答案：A
解析：若A、B能达到共同速度，设共同速度为v，根据动量守恒定律，有mv0＝(m＋M)v，解得v＝1．0 m/s，若A、B未达到共同速度A就滑出B的左端，则B获得的速度将小于1．0 m/s，故选A。
7．如图所示，长2 m、质量为1 kg的木板静止在光滑水平面上，一木块质量也为1 kg(可视为质点)，与木板之间的动摩擦因数为0．2，重力加速度g＝10 m/s2，要使木块在木板上从左端滑向右端而不至滑落，则木块初速度的最大值为(　　)
A．1 m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．4 m/s
答案：D
解析：设木块初速度为v时，木块滑到木板右端时恰好与木板共速，共同速度为v1，对木块和木板组成的系统，由动量守恒定律有mv＝2mv1，由能量守恒定律可得μmgl＝mv2－×2mv，其中木块和木板的质量均为m＝1 kg，二者间动摩擦因数μ＝0．2，木板长度l＝2 m，代入数据解得v＝4 m/s，即木块初速度的最大值为4 m/s，故D正确。
8．(多选)如图所示，质量为2 kg、长度为2．5 m的长木板B在光滑的水平地面上以4 m/s的速度向右运动，将一可视为质点的物体A轻放在B的右端，A与B之间的动摩擦因数为0．2，A的质量为1 kg，g＝10 m/s2。A滑离B时，下列判断正确的是(　　)
A．A的速度是2 m/s B．B的速度是1 m/s
C．A的位移是2 m D．B的位移是3．5 m
答案：AD
解析：取水平向右为正方向，设A和B的质量分别为m1、m2，B的长度为L，A、B间的动摩擦因数为μ，A滑离B时，A和B的速度分别为v1、v2，A在B上滑动的过程，由动量守恒定律有m2vB＝m1v1＋m2v2，由能量守恒定律有μm1gL＝m2v－，且v2>v1，解得v1＝2 m/s，v2＝3 m/s，A正确，B错误；设A和B的位移分别为x1、x2，根据动能定理，对A有μm1gx1＝m1v－0，对B有－μm1gx2＝m2v－m2v，解得x1＝1 m，x2＝3．5 m，C错误，D正确。
9．(多选)如图所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹(可视为质点)以水平速度v0射中木块，并最终留在木块中与木块一起运动，已知当子弹相对木块静止时，子弹进入木块的深度为s，此过程经历的时间为t。若木块对子弹的阻力视为恒定，则下列判断正确的是(　　)
A．木块最终的速度大小是
B．木块对子弹的阻力大小是
C．子弹刚好相对木块静止时，木块前进距离为s
D．仅将木块换成较硬的木块，子弹射入木块的深度减小，系统产生的内能不变
答案：BD
解析：对木块、子弹组成的系统，根据动量守恒定律得mv0＝(M＋m)v，解得木块最终的速度大小v＝，故A错误；对木块、子弹组成的系统，根据能量守恒定律得－fs＝(M＋m)v2－mv，解得木块对子弹的阻力大小f＝，B正确；子弹刚好相对木块静止时，对木块由动能定理得fl＝Mv2－0，解得木块前进距离为l＝s，C错误；仅将木块换成较硬的木块，木块对子弹的阻力f增大，根据动量守恒定律仍有mv0＝(M＋m)v，可知木块最终的速度大小v不变，由能量守恒定律知，系统产生的内能仍为Q＝mv－(m＋M)v2，即系统产生的内能不变，由功能关系知Q＝fs，则子弹射入木块的深度s减小，D正确。
10．如图所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其左端放一质量为m的小木块A(可视为质点)，M>m，A、B间的动摩擦因数为μ，在平板车右方的水平面上固定一竖直挡板P。开始时A、B以速度v0一起向右运动，某时刻B与挡板P相撞并立即以原速率反向弹回，在此后的运动过程中A不会滑离B，重力加速度为g。求：
(1)A、B的最终速度大小；
(2)木板的最小长度；
(3)小木块A离挡板P最近时，平板车B的最右端距挡板P的距离。
答案：(1)　(2)
(3)
解析：(1)选水平向左为正方向，设A、B的最终速度为v共，从B撞挡板反向弹回到A、B相对静止的过程中，由动量守恒定律有
Mv0－mv0＝(M＋m)v共
解得v共＝。
(2)设A相对B滑行的距离为L，A在B上相对滑动的过程中，由能量守恒定律有
(M＋m)v＝(M＋m)v＋μmgL
解得L＝
即木板的最小长度为。
(3)小木块A向右匀减速到速度为零时离挡板P最近，设此时B的速度为vB，最右端距挡板P的距离为x，在此过程中，由动量守恒定律得Mv0－mv0＝MvB
对平板车B，由动能定理有
－μmgx＝Mv－Mv
联立解得x＝。
11．(多选)如图甲所示，静止在光滑水平面上的物块A、B通过轻弹簧连接在一起，初始时轻弹簧处于原长。现使A获得一水平向右的瞬时速度，并从此刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，已知物块A的质量为2 kg，下列说法正确的是(　　)
A．t1时刻，弹簧的弹性势能为2 J
B．t2时刻，弹簧处于原长
C．t2～t3时间内，物块A做加速度逐渐增大的加速运动
D．物块B的质量为4 kg
答案：BD
解析：设物块A、B的质量分别为m1、m2，由题图乙可知，t＝0时刻A获得的速度v0＝3 m/s，t1时刻两物块速度相同，为v1＝1 m/s，0～t1时间内，根据动量守恒定律有m1v0＝(m1＋m2)v1，解得m2＝4 kg，D正确；由能量守恒定律可知，t1时刻，弹簧的弹性势能为Ep＝m1v－(m1＋m2)v＝6 J，A错误；t2时刻，两物块的加速度为零，可知弹簧的弹力为零，弹簧处于原长，B正确；由题图乙可知，t2～t3时间内，物块A先做减速运动，后做加速运动，C错误。
12．如图所示，在光滑的水平面上有一长为L的木板B，上表面粗糙，在其左端有一光滑的圆弧槽C，与长木板接触但不相连，圆弧槽的下端与木板上表面相平，B、C静止在水平面上。现有滑块A以初速度v0从右端滑上B，并以速度滑离B，恰好能到达C的最高点。A、B的质量均为m，C的质量为2m，重力加速度为g，试求：
(1)滑块A与木板B上表面间的动摩擦因数μ；
(2)圆弧槽C的半径R；
(3)滑块A离开圆弧槽C时的速度。
答案：(1)　(2)　(3)v0，方向向左
解析：(1)A在B上运动过程中，B、C的速度一直相同，设A离开B时，B、C的速度大小均为v1，规定向左为正方向，A在B上滑动的过程，对A、B、C组成的系统，根据动量守恒定律有mv0＝m·＋(m＋2m)v1
由能量守恒定律得
μmgL＝mv－m－(m＋2m)v
联立解得μ＝。
(2)设A运动到C的最高点时A和C的速度大小均为v2，A在C上运动的过程，A、C组成的系统在水平方向上动量守恒，有
m·＋2mv1＝(m＋2m)v2
由机械能守恒定律有
m＋×2mv＝mgR＋(m＋2m)v
联立解得R＝。
(3)设A离开C时A的速度为vA，C的速度为vC，以向左为正方向，对A与C组成的系统，在水平方向由动量守恒定律得
m·＋2mv1＝mvA＋2mvC
由机械能守恒定律得
m＋×2mv＝mv＋×2mv
联立解得vA＝v0
vA>0，则此时A的速度方向向左。
13．如图所示，一小车静止在光滑的水平面上，小车上固定一竖直杆，总质量为M＝8 kg，杆顶系一长为L＝1 m的轻绳，轻绳的另一端系一质量为m＝2 kg的小球，轻绳被水平拉直处于静止状态。不计空气阻力，重力加速度大小g取10 m/s2。现将小球由静止释放，假设小球运动过程中始终未与杆相撞，则小球对轻绳的最大拉力为(　　)
A．52 N B．60 N
C．70 N D．80 N
答案：C
解析：小球向下摆动过程中，小球、轻绳和小车组成的系统在水平方向上不受外力作用，则水平方向上动量守恒，运动过程中，轻绳的拉力与重力沿轻绳方向分力的合力提供小球做圆周运动的向心力，当小球运动到最低点时，小球相对小车的速度最大，轻绳对小球的拉力最大。以水平向右为正方向，设小球到达最低点时的速度为v1，此时小车的速度为v2，根据水平方向上动量守恒有0＝mv1＋Mv2，根据机械能守恒定律有mgL＝mv＋Mv，联立解得v1＝－4 m/s，v2＝1 m/s；设轻绳对小球的拉力最大值为F，在最低点，根据牛顿第二定律有F－mg＝m，根据牛顿第三定律可知，小球对轻绳的最大拉力为F′＝F，联立解得F′＝70 N，故选C。
16(共53张PPT)
第一章　动量守恒定律
专题提升三　碰撞规律的拓展应用
目录
1
课后课时作业
提升
２
提升
提升　　　物块—弹簧模型
1．模型概述
如图所示，光滑水平面上的两个物块通过轻弹簧连接，物块m1向右运动压缩弹簧，与静止的物块m2作用，两物块与轻弹簧组成的系统动量守恒，机械能守恒。
2．模型的两个特殊状态
(1)弹簧处于最长(最短)状态时，两物块速度相等，弹簧弹性势能最大，系统动能通常最小。从开始至此时，相当于完全非弹性碰撞。
(2)弹簧恢复原长时，弹簧弹性势能为零，系统动能最大。从开始至此时，相当于弹性碰撞。
如图所示，两滑块A、B位于光滑水平面上，已知A的质量mA＝4 kg，B的质量mB＝3 kg，滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块A以v0＝7 m/s的速度水平向右运动，通过弹簧与静止的滑块B相互作用(整个过程弹簧没有超过弹性限度)，直至分开，求：
(1)整个过程中弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块A与B分开时，两者的速度大小分别为多少？
[答案]　(1)42 J　(2)1 m/s　8 m/s
提升　　 物块—斜(曲)面模型
如图所示，足够高的木块A的右侧为光滑曲面，且下端极薄，其质量为2 kg，静止于光滑水平面上。一质量为2 kg的小球B以2 m/s的速度从右向左运动冲上A的曲面，与A发生相互作用。重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)B球沿A曲面上升到最大高度处时的速率；
(2)B球沿A曲面上升的最大高度；
(3)B球与A相互作用结束后，A、B各自的速率。
[答案]　(1)1 m/s　(2)0．1 m　(3)2 m/s　0
[跟进训练]　质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上是一个四分之一的光滑圆周轨道，轨道下端切线水平。质量为m的小球沿水平方向从轨道下端以初速度v0滑上小车，重力加速度为g，如图所示。已知小球不从小车上端离开小车，小球滑上小车又滑下，与小车分离时，小球与小车速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，则m∶M的值为(　　)
A．1∶3 B．1∶4
C．3∶5 D．2∶3
提升 　 木块—木板模型
1．模型概述
如图所示，光滑水平面上的质量为M的木板不固定，质量为m的木块滑上木板，二者之间存在摩擦力，两者组成的系统动量守恒，机械能不守恒。
如图所示，质量m1＝3 kg的平顶小车静止在光滑的水平轨道上，车顶与左侧光滑平台等高，平台上放置质量m2＝2 kg的小物块，小物块可视为质点。小物块以v0＝4 m/s的初速度向右运动，滑上小车。已知小物块未从小车上滑下，小物块与车顶间的动摩擦因数μ＝0．2，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)小车最终的速度大小；
(2)因摩擦而产生的热量；
(3)小物块相对小车运动的距离。
[答案]　(1)1．6 m/s　(2)9．6 J　(3)2．4 m
[跟进训练]　如图所示，长L＝1 m的小车静止在光滑的水平面上，一滑块以v0＝3 m/s的水平速度从小车左端滑入并从小车右端滑出，小车和滑块的质量均为1 kg，已知滑块与小车间的动摩擦因数μ＝0．2，g＝10 m/s2。滑块离开小车时，求：
(1)小车和滑块组成的系统损失的机械能；
(2)滑块和小车的速度大小。
答案：(1)2 J　(2)2 m/s　1 m/s
课后课时作业
题型一　物块—弹簧模型
1．如图所示，光滑水平地面上的P、Q两物体质量都为m，P以速度v向右运动，Q静止且左端有一轻弹簧。当P撞上弹簧，弹簧被压缩至最短时(　　)
A．P的动量变为0
B．P、Q的速度不相等
C．Q的动量达到最大值
D．P、Q系统总动量仍然为mv
3．两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图所示。B与C碰撞后二者会粘在一起运动，则在以后的运动中：
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
(3)物块C的最大速度为多大？
答案：(1)3 m/s　(2)12 J　(3)4 m/s
5．在光滑水平地面上放一个质量为M＝2 kg的内侧带有光滑弧形凹槽的滑块，凹槽的底端切线水平，如图所示。质量为m＝1 kg的小物块以v0＝6 m/s的水平速度从滑块的底端沿槽上滑，恰好能到达滑块的顶端。重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻力。在小物块沿滑块滑行的整个过程中，下列说法正确的是(　　)
A．小物块沿滑块上滑的最大高度为0．3 m
B．小物块沿滑块上滑的最大高度为0．6 m
C．合力对滑块的冲量大小为8 N·s
D．合力对滑块的冲量大小为16 N·s
题型三　木块—木板模型
6．如图所示，一质量M＝3．0 kg的木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量m＝1．0 kg的小木块A。现A以v0＝4．0 m/s的初速度向左运动，则B的最终速度可能为(　　)
A．0．8 m/s B．1．2 m/s
C．1．6 m/s D．2．0 m/s
解析：若A、B能达到共同速度，设共同速度为v，根据动量守恒定律，有mv0＝(m＋M)v，解得v＝1．0 m/s，若A、B未达到共同速度A就滑出B的左端，则B获得的速度将小于1．0 m/s，故选A。
7．如图所示，长2 m、质量为1 kg的木板静止在光滑水平面上，一木块质量也为1 kg(可视为质点)，与木板之间的动摩擦因数为0．2，重力加速度g＝10 m/s2，要使木块在木板上从左端滑向右端而不至滑落，则木块初速度的最大值为(　　)
A．1 m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．4 m/s
8．(多选)如图所示，质量为2 kg、长度为2．5 m的长木板B在光滑的水平地面上以4 m/s的速度向右运动，将一可视为质点的物体A轻放在B的右端，A与B之间的动摩擦因数为0．2，A的质量为1 kg，g＝10 m/s2。A滑离B时，下列判断正确的是(　　)
A．A的速度是2 m/s
B．B的速度是1 m/s
C．A的位移是2 m
D．B的位移是3．5 m
10．如图所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其左端放一质量为m的小木块A(可视为质点)，M>m，A、B间的动摩擦因数为μ，在平板车右方的水平面上固定一竖直挡板P。开始时A、B以速度v0一起向右运动，某时刻B与挡板P相撞并立即以原速率反向弹回，在此后的运动过程中A不会滑离B，重力加速度为g。求：
(1)A、B的最终速度大小；
(2)木板的最小长度；
(3)小木块A离挡板P最近时，平板车B的最右端距挡板P的距离。
11．(多选)如图甲所示，静止在光滑水平面上的物块A、B通过轻弹簧连接在一起，初始时轻弹簧处于原长。现使A获得一水平向右的瞬时速度，并从此刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，已知物块A的质量为2 kg，下列说法正确的是(　　)
A．t1时刻，弹簧的弹性势能为2 J
B．t2时刻，弹簧处于原长
C．t2～t3时间内，物块A做加速度逐渐增大的加速运动
D．物块B的质量为4 kg
13．如图所示，一小车静止在光滑的水平面上，小车上固定一竖直杆，总质量为M＝8 kg，杆顶系一长为L＝1 m的轻绳，轻绳的另一端系一质量为m＝2 kg的小球，轻绳被水平拉直处于静止状态。不计空气阻力，重力加速度大小g取10 m/s2。现将小球由静止释放，假设小球运动过程中始终未与杆相撞，则小球对轻绳的最大拉力为(　　)
A．52 N B．60 N
C．70 N D．80 N

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