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第4部分:数列
一、选择题：
5. （安徽省2010年高三六校联考理科）若等差数列的前项和为,且为一确定的常数,则下列各式中,也为确定的常数的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】由
=为一确定的常数,从而为确定的常数,故选B.
10．（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测理科）已右函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 （ C ）
A． B．
C． D．
9．（安徽省马鞍山市2010年高三第二次教学质量检测理科）等比数列的前项和为，若，，则等于( D )
A．-512 B．1024 C．-1024 D．512
4. （安徽省巢湖市2010届高三第二次教学质量检测理科）设等比数列的前项和为，若，则数列的公比的值为( C ).
A.-2或1 B.-１或2 C.-2 D.1
4. （安徽省巢湖市2010届高三第二次教学质量检测文科）已知等差数列中，则其前3项的积的取值范围是( B )
A.　　 B.　 C.　　 D.
4．（安徽省安庆市2010年高三第二学期重点中学联考文理科）已知等比数列中有，数列是等差数列，且，则（ C ）
A．2 B．4 C．8 D．1621世纪教育网
6. （安徽省安庆市2010年高三二模考试文科）已知实数、满足：(其中是虚数单位)，若用表示数列的前项和，则的最大值是( D )
A.12 B.14 C.15 D.16
3. （ 2010年安徽省“江南十校”高三联考理科）设数列的前项和为，若，则（ A ）
A. B. C. D.
二、填空题：
12. （ 2010年安徽省“江南十校”高三联考理科）已知是等比数列，，，则的取值范围是
三、解答题
20．（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测理科）（本小题满分13分）
各项均不为零的数列，首项，且对于任意均有
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，证明：当时，

则


所以
……13分
20．（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）（本小题满分13分）
各项均不为零的数列，首项，且对于任意均有
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前项和为，求证：
20. （安徽省巢湖市2010届高三第二次教学质量检测文科）(本小题满分13分)
设数列 的前项和为，且 ．
(I)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设数列 的前n项和为，对任意 ，比较 与 的大小.
20.（Ⅰ）由得，相减得：，∴
又 ………………5分
（Ⅱ）①
，②
①－②得，
则. ………………9分
当n=1时，
即当n=1或2时，
当n>2时， ……………13分
21. （安徽省巢湖市2010届高三第二次教学质量检测理科）(本小题满分14分)
已知点满足，且点的坐标是.
(Ⅰ)求过两点的直线的方程，并证明点 在直线上；
(Ⅱ)求使不等式对所有成立的最大实数.
21. (Ⅰ).
过的直线方程为 即 ………………2分
下面用数学归纳法证明点 在直线上，即 成立.
当时，成立；
假设时，成立，则
即时，也成立.
根据1)，2) 对所有点在直线上. ………………6分
(Ⅱ)
.
是以为首项，2为公差的等差数列.
………………10分
=
21. （安徽省2010年高三六校联考理科）(本小题满分13分)
设数列的前项和为,且,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的通项公式;
(Ⅲ)若正项数列满足,
求证: .
21. 【解题过程】 (Ⅰ)
………………………………………………3分
(Ⅱ) ………………………①
当时, 代入①式得………②……………5分
由 (Ⅰ) 知
猜想……………………………………………………………………………6分
下用数学归纳法证明
()已证明;
()假设
则时
成立
综合,猜想成立.
∴当时, ,当时也满足,故
………………………………………………………………………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ) ,,则
……………………………………………………13分
21．（安徽省安庆市2010年高三第二学期重点中学联考理科）（本题满分13分）
已知函数。（1）数列满足，若对任意恒成立，求的取值范围；（2）数列满足，记，为数列前项和，为数列的前项积，求证：。
21．（13分）
（1）
为等比数列 从而
＜

故 …………………6分
（2）
，又由得


＜＜。…13分
21．（安徽省安庆市2010年高三第二学期重点中学联考文科）（本题满分13分）
已知各项全不为零的数列的前项和为,且,
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：对任意的不小于2的正整数，不等式＞都成立。
21、由（1）S1==a1, 知a1=1 ……………………………………………1分
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
即（n-2）an-(n-1)an-1+1=0 ……………………………………………3分
以（n+1）代替n,得（n-1）an+1-nan+1=0
两式相减得 an+1-2an+an-1=0
∴｛an｝为等差数列…………………………………………………………5分
∵ a1=1,a2=2, ∴an=n ………………………………………………………6分
（2）由（1）知不等式 lnan+1＞+lnanln(n+1)-lnn＞
ln(1+)＞ ……………………………………………8分
设x= 只需证 ln(1+x)＞x2-x3 即x3-x2+ln(1+x)＞0
令h（x）=x3-x2+ln(1+x)
则h′(x)=3x2-2x+在[0，+∞)上恒正
∴h(x)在[0，+∞]上单调递增
当x∈(0, +∞)时，恒有h(x) ＞h(0)=0， 即得证. ……………13分
21. （安徽省安庆市2010年高三二模考试文科）(13分)设数列的前项为，，且对任意正整数，点在直线上.
⑴求数列的通项公式；⑵是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由；
⑶求证：.
故存在实数，使得数列成等差数列. ……… 9分
解法二: ………… 5分
……… 7分
欲使成等差数列,只须即便可. ………8分
故存在实数，使得数列成等差数列. ………9分
（Ⅲ） ………10分
………11分
………12分
又函数在上为增函数，
，
，． ………13分
21．（安徽省安庆市宿松县2010年高三第三次模拟考试理科）(本小题满分12分)若数列的前项和是二项展开式中各项系数的和．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，且，求数列 的通项及其前项和；
（III）求证：．
21. 解：（Ⅰ）由题意, , 两式相减得．
当时，, ∴．
（Ⅱ）∵，∴,,, ………
．
以上各式相加得
∴
=.
∴．
（3）=
=4+
=．
∵, ∴ 需证明，用数学归纳法证明如下：
①当时，成立．
②假设时，命题成立即，
那么，当时，成立．
由①、②可得，对于都有成立．
∴． ∴

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