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第8部分:立体几何
一、选择题：
4. （安徽省2010年高三六校联考理科）设为两条直线,为两个平面,则下列结论成立的是 ( )
(A)若,且∥,则∥ (B) 若,且⊥,则⊥
(C)若∥,,则∥ (D)若,则∥
【答案】D
【解析】由空间中线线、线面、面面的位置关系可得D选项正确,故选D.
8. （安徽省2010年高三六校联考理科）如图(1)是一个简单的组合体的直观图与三视图.下 面是一个棱长为4的正方体,正上面放一个球,且球的一部分嵌入正方体中,则球的半径是( )
(A) (B) 1
(C) (D) 2
【答案】B
【解析】由三视图可得,球的半径为1,故选B.
7。（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测理科）右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ A ）
A．
B．
C．
D．
4．（安徽省马鞍山市2010年高三第二次教学质量检测理科）给定下列四个命题：
①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②如果一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；
③如果一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；21世纪教育网
④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是( D )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
6．（安徽省安庆市2010年高三第二学期重点中学联考理科）一个空间几何体的三视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边边长为，则这个几何体的体积为（ A ）21世纪教育网
A． B．6 C． D．12
6. （安徽省合肥市2010年高三第一次教学质量检测文科）已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ D ）
A． ①②③⑤ B。②③③⑤ C。①②④⑤ D。①②③④
4. （安徽省安庆市2010年高三二模考试文科）如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( B )
A. B. C. D.
5. （ 2010年安徽省“江南十校”高三联考理科）已知、、表示三条不同的直线，、、表示三个不同平面，有下列四个命题：
①若，且，则；
②若、相交且都在、外，，，，，则；
③若，，，，则；
④若，，，，则.
其中正确的是( B )
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
10. （ 2010年安徽省“江南十校”高三联考理科）已知四面体中，，且、、两两互相垂直，在该四面体表面上与点距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是 ( A )
A. B. C. D.
2．（安徽省安庆市宿松县2010年高三第三次模拟考试理科）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（C ）
A． B．
C． D．
二、填空题：
15．（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测理科）三条直线两两异面，则称为一组“T型线”，任选正方体12条面对角线中的三条，“T型线”的组数为 24 。
15．（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）以正方体八个顶点中的四个顶点为顶点的四面体中，其中对棱互相垂直的四面体的个数是 10 。
15. （安徽省巢湖市2010届高三第二次教学质量检测理科）已知正方体的棱长为1，分别是的中点．
下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号). ②③④
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；
②在直线上运动时，；
③在直线上运动时，三棱锥的体积不变；
④是正方体的面内到点D和 距离相等的点，则点的轨迹是一条线段.
15．（安徽省安庆市2010年高三第二学期重点中学联考理科）从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体的4个顶点，这些几何体是（写出所有正确的结论的编号）__________________。①③④⑤
①矩形
②不是矩形的平行四边形
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体21世纪教育网
④每个面都是等边三角形的四面体
⑤每个面都是直角三角形的四面体
15、（安徽省合肥市2010年高三第一次教学质量检测文科）设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，ι为直线，给出下列命题
①若α∥β，α⊥β．则β⊥γ，
②若α⊥γ，β⊥γ，且αnβ=ι，则ι⊥γ
③若直线l与平面α内的无数条直线垂直则直线ι与平而α垂直，
④若α内存在不共线的三点到β的距离相等．则平面α平行于平面β
上面命题中，真命题的序号为 (写出所有真命题的序号)①②
三、解答题
18．（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测理科）（本小题满分12分）
如图，平面ABCD，点O在AB上，EA//PO，四边形ABCD为直角梯形，BCAB，BC=CD=BO=PO，
（1）求证：PE平面PBC；
（2）直线PE上是否存在点M，使DM//平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由。
（3）由已知可知四边形BCDO是正方形， 显然OD，OB，OP两两垂直；
如图建立空间直角坐标系，
设CD=1，则，
设平面BDE的一个法向量为


即
取

取平面ABD的一个法向量为

故二面角E—BD—A的余弦值为
18．（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）（本小题满分12分）
如图，平面ABCD，点O在AB上，EA//PO，四边形ABCD为直角梯形，BCAB，BC=CD=BO=PO，
（1）求证：BC平面ABPE；
（2）直线PE上是否存在点M，使DM//平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由。
18．解：
（1）平面ABCD，
平面ABCD，BCPO，
又BCAB，
所以BC平面ABP，
又EA//PO，平面ABP，
平面PAB，
平面ABPE。 6分
（2）点E即为所求的点，即点M与点E重合。
取PB的中点F，连结EF，CF，DE，
由平面几何知识知EF//AB，
且EF=DE，[来源:21世纪教育网]
四边形DCFE为平行四边形，
所以DE//CF，
CF在平面PBC内，DE不在平面PBC内，
平面PBC。 12分
18. （安徽省巢湖市2010届高三第二次教学质量检测理科）(本小题满分12分)
如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧视图、俯视图.已知 ，侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示.
(Ⅰ)求该几何体的体积；
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
18.(Ⅰ) 18. （安徽省巢湖市2010届高三第二次教学质量检测文科）(本小题满分12分)
如图是某三棱柱被截去一部分后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，，是的中点. 侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示.
(Ⅰ)求该几何体的体积；
(Ⅱ)求证：.
18.(Ⅰ),
,,,
. …………6分
（Ⅱ）由三视图可知，，，
取中点,连结，
又
. …………12分
18. （安徽省2010年高三六校联考理科）(本小题满分13分)
已知四边形为菱形,,两个正三棱锥(底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心)的侧棱长都相等,如图(4),分别在上,且.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求平面与底面所成锐二面角的平面角的正切
值;
(Ⅲ)求多面体的体积.
18.【解题过程】(Ⅰ)解答见文科…………………………………………………………3分
(Ⅱ)设在底面的射影分别为,则
由所给的三棱锥均为正三棱锥且两三棱锥全等,
故∥,且=,∴四边形为平行四边形,
∴∥,又分别为△,△的中心,
∴在菱形的对角线上,
∴∥,即∥平面…………………………………………………………5分
设平面与平面的交线为,取中点连结,
由
∴为平面与平面所成二面角的平面角
…………………………………………………………………………………………………7分
在△中, ,
∴，
∴……………………………………………………………9分
(Ⅲ)解答见文科…………………………………………………………………………13分
17．（安徽省安庆市2010年高三第二学期重点中学联考理科）（本题满分12分）
三棱锥中是边长为4的等边三角形，△为等腰直角三角形，，平面面ABC，D、E分别为AB、PB的中点。
（1）求证；
（2）求二面角的正切值。
（3）求三棱锥与三棱锥的体积之比；
17．（安徽省安庆市2010年高三第二学期重点中学联考文科）（本题满分12分）
三棱锥中△是边长为4的等边三角形，
△为等腰直角三角形，，平面[来源:21世纪教育网]
面ABC，D、E分别为AB、PB的中点。
（1）求证；
（2）求三棱锥的体积。
17．（1）取中点，连，则，又面面，面，连，则∥，则，∴面，∴。…6分
（2）， ∵ E为PB中点，∴，
， 即。
易求得，故。……………………………12分
18. （安徽省安庆市2010年高三二模考试文科）(12分)如图，是棱长为1的正方体，是四棱锥，且平面，.
⑴证明：平面；⑵求到平面的距离.
18．（本小题满分12分）
解：(1) 作于点，则为的中点，连接。
平面平面，∴平面 ……… 2分
又
∴∥且 ……… 4分
∴四边形是平行四边形，∴∥
又平面 ∴1∥平面；………6分
（2）连接，则，设垂足为。
平面平面，平面平面=，
∴平面，∴点到平面的距离= ……… 9分
又由（1）知：∴1∥平面；
∴点到平面的距离即为点到平面的距离为。……… 12分
19．（安徽省安庆市宿松县2010年高三第三次模拟考试理科）（本小题满分12分）已知平面，，与交于点，，，
（1）取中点，求证:平面。
（2）求二面角的余弦值。
∴是二面角的平面角等腰直角三角形中，，等边三角形中，，
∴Rt中，，∴，∴.
∴二面角的余弦值为。
解法2：
以分别为轴，为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵
∴，
∴是等边三角形，且是中点，
则、、、、、

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