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课件246张PPT。数学史与中学数学教学数学史与中学数学教学一座宝藏
一条进路
一缕书香
一种视角
一个领域数学史与中学数学教学全日制义务教育《数学课程标准》：
在教学活动中，教师……要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材。 案例 1 相似三角形的应用案例 1 相似三角形的应用案例 1 相似三角形的应用案例 1 相似三角形的应用案例 1 相似三角形的应用案例 1 相似三角形的应用隧道全长 1036米，
宽1.8米，高1.8米。
设计者：欧帕里诺斯案例 1 相似三角形的应用萨莫斯岛上的穿山隧道(前530年)案例 1 相似三角形的应用泰勒斯是如何测量金字塔高度的？Thales (about 624 BC - about 547 BC)案例 1 相似三角形的应用泰勒斯是如何测量轮船离海岸距离的？案例 1 相似三角形的应用《周髀算经》卷上：
取竹空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径一寸。故以勾为首，以髀为股。从髀之日下六万里而髀无影，从此以上至日则八万里。若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。从髀所旁至日所十万里。以率率之，八十里得径一里。十万里得径千二百五十里。故曰日晷径千二百五十里。案例 1 相似三角形的应用刘徽《九章算术》序：
以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为勾率，日去人之数为大股，大股之勾即日径也。案例 1 相似三角形的应用《周髀算经》测日径法 案例 1 相似三角形的应用《九章算术》勾股章：
今有句五步、股十二步，问：句中容方几何？
案例 1 相似三角形的应用《九章算术》勾股章（17）：
今有邑方二百步，各开中门。
出东门一十五步有木。问：
出南门几何步而见木？案例 1 相似三角形的应用《九章算术》勾股章（18）：
今有邑，东西七里，南北九里，各开中门。出东门一十五里有木。问：出南门几何步而见木？案例 1 相似三角形的应用《九章算术》勾股章（19）：
今有邑方不知大小，各开中门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？案例 1 相似三角形的应用《九章算术》勾股章（22）：
今有木去人不知远近。立四
表，相去各一丈。另左两表
与所望参相直。从后右表望
之，入前右表三寸。问：木
去人几何？案例 1 相似三角形的应用《九章算术》勾股章（23）：
今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九长五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺，问：山高几何？案例 1 相似三角形的应用《九章算术》勾股章（24）：
今有井径五尺，不知其深。
立五尺木于井上，从木末
望水岸，入径四寸。问：
井深几何？案例 1 相似三角形的应用巴比伦泥版文献（巴格达博物馆藏）：
已知直角三角形ABC中，AB =75，BC = 60，CA = 45。S(ΔACD)= 8, 6；S(CDE) = 5, 11; 2, 24；S(ΔDEF) = 3, 19; 3, 56, 9, 36； S(ΔEFB)= 5, 53; 53, 39, 50, 24。求AD、CD、BD、CE、DE、EF、DF、BE、BF。答案：AD = 27；CD =36；BD = 48；CE =21; 36。 案例 1 相似三角形的应用案例 1 相似三角形的应用16世纪的测量方法案例 2 全等三角形的应用古代的水准仪
在古代埃及和巴比伦，一些测量工具和基本的几何图形，往往被看作神圣的符号而被用作护身符。下图是埃及古墓中出土的测量工具形状的护身符，其中第二种显然是测水准的工具。 案例 2 全等三角形的应用古代的水准仪由一个等
腰三角形以及悬挂在顶
点处的铅垂线组成。测
量时，调整底边的位置，
如果铅垂线经过底边中
点，就表明底边垂直于
铅垂线，即底边是水平
的。这就是“边边边”定
理的应用。 案例 2 全等三角形的应用我们有理由相
信，埃及人在
建造金字塔时
必用到这种测
量工具。 案例 2 全等三角形的应用 在古罗马土地丈量员的墓碑上，我们也看到了这种水平仪。中世纪和文艺复兴时代，这种工具仍被广泛使用。 案例 2 全等三角形的应用 17世纪意大利数学家Pomodoro的《实用几何》一书中给出的利用水准仪测量山坡高度的方法案例 2 全等三角形的应用角边角
希腊几何学的鼻祖泰勒斯（Thales, 前6世纪）发现了角边角定理。普罗克拉斯（Proclus, 5世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其《几何史》中将该定理归于泰勒斯。因为他说，泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离，其方法中必须用到该定理。” 案例 2 全等三角形的应用 坦纳里（P. Tannery, 1843～1904）认为，泰勒斯应该是用右图所示的方法来求船到海岸的距离的：设A为海岸上的观察点，作线段AC垂直于AB，取AC的中点D，过C作AC的垂线，在垂线上取点E，使得B、D和E三点共线。利用角边角定理，CE的长度即为所求的距离。这种方法为后来的罗马土地丈量员所普遍采用。 案例 2 全等三角形的应用希思（T. L. Heath, 1861-1940）
提出了另一种猜测：如图，泰
勒斯在海边的塔或高丘上利用
一种简单的工具进行测量。直
竿 EF 垂直于地面，在其上有
一固定钉子A，另一横杆可以绕
A 转动，但可以固定在任一位置
上。将该细竿调准到指向船的
位置，然后转动EF（保持与底
面垂直），将细竿对准岸上的
某一点C。则根据角边角定理，
DC = DB。 案例 2 全等三角形的应用上述测量方法广泛使用于文艺复兴时期。右图是16世纪意大利
数学家贝里（S. Belli, ?～1575）出版于1565年的测量著作中
的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。有一个故事说，拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重要角色。案例3 三角比日晷（古埃及、巴比伦、古希腊Anaximander）案例3 三角比Aristarchus（310 B.C.-230B.C.）案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 古代两河流域的陶碗（图1）以及中国仰韶文化陶盆（图2）上的花瓣纹则表明，新石器时代的人们已经知道用圆弧来构造若干对称图形了。 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 大英博物馆所藏古巴比伦时期（公元前1800年-公元前1600年）的数学泥版BM 15285（残缺不全）上，我们看到很多圆弧或圆弧与线段所围图形的面积问题，这些问题很可能是当时祭司编制的学校数学练习题。案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 公元前5世纪，希波克拉底在研究化圆为方问题时，求得了某些特殊弓月形的面积。在图17中，希波克拉底发现，等腰直角三角形斜边上的半圆与以直角顶点为圆心、直角边为半径的四分之一圆弧所围成的弓月形面积与等腰直角三角形的面积相等。在图18中，希波克拉底发现，大圆内接正六边形相邻三边上的小半圆与大圆所围成的三个弓月形连同其中一个小半圆的面积与等腰梯形面积相等。 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇“盐窖”形 “鞋匠刀”形 阿基米德发现，鞋匠刀形的面积恰好等于以图中大圆的半弦为直径的圆面积。盐窖形的面积恰好等于以大半圆直径中垂线介于大半圆和中间小半圆之间的线段为直径的圆面积。 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇达芬奇笔记本中的数学问题案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇达芬奇笔记本中的数学问题案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 拿破仑远征埃及途中提出的数学问题——用圆将一个圆四等分案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇Reuleaux三角形“海豚形”案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 “蘑菇”形 “海豚形”Reuleaux三角形案例 5 一元二次方程求根公式巴比论：泥版数学文献
泥版数学文献中含有三种类型的一元二次方程：
x2 + bx = c；x2 = bx + c ；x2 + c = bx
巴比伦人已经分别知道求根公式案例 5 一元二次方程求根公式巴比伦泥版问题1：“【正方形】面积与边长之和为3/4，【求边长。】”
解法：“置投影（projection）1，半之，得1/2。1/2和1/2相乘，得1/4。将1/4与3/4相加，得1，从中减去1/2，即得边长为1/2。”案例 5 一元二次方程求根公式H?yrup之解释：
案例 5 一元二次方程求根公式巴比伦泥版问题：一个正方形面积减去它的边长，差为870。求边长。相当于求解 。
解法： “取1的一半，得1/2，以1/2乘1/2，得1/4；将1/4加到870，得870 1/4。这是29 1/2的平方。把1/2加到29 1/2，结果得30，即为正方形的边长。”案例 5 一元二次方程求根公式《几何原本》
在长度为b的线段AB的延 长线上求一点D，使 AD（b+ x）与BD（x）构成的矩形面积为c。 欧几里得的作图法b/2b/2b/2xx案例 5 一元二次方程求根公式释律佗罗 (Sridhara,10世纪)
方程ax2 + bx = c的解法：
方程两边乘以 4 倍的二次项系数，再加上一次项系数的平方。(然后开方。)案例 5 一元二次方程求根公式
Al-Kitāb al-mukhta Jar fī Hisāb
al-jabr wa-l-muqābala Al-Khwarizmi (780?-850?)案例 5 一元二次方程求根公式花拉子米《代数学》案例 5 一元二次方程求根公式韦达
x2+ax=b (令 x = u+ z )
? u2+(2z+a) u+(z2+az+b)=0
(令2z + a =0)
? u2-1/4 (a2-4b)=0
?

? F. Viète （1540-1603）案例 6 等比数列求和公式泥版MS 1844（约公元前2050年）上记载如下问题的解法：七兄弟分财产，最小的得2，后一个比前一个多得1/6，问所分财产共有多少？七兄弟所得构成一个首项为2、公比为7/6、项数为6的等比数列。案例 6 等比数列求和公式 泥版M 7857（古巴比伦时期）上，人们发现了一个等比数列问题。正面是一个首项为99、公比为9的等比数列：99，891，8019，72171，649539。反面是：
649539 大麦
72171 麦穗
8019 蚂蚁
891 鸟
99 人案例 6 等比数列求和公式莱因得纸草书（约公元前1650年）莱因得纸草上的等比数列问题 案例 6 等比数列求和公式埃及乘法12?7案例 6 等比数列求和公式《几何原本》第 9 卷命题 35案例 6 等比数列求和公式References
[1] T. L. Heath (1921). A History of Greek Mathematics. London: Oxford University Press.
[2] C. S. Roero (1994). Egyptian Mathematics. In I. Grattan-Guiness ed., Encyclopaedia of the History and Philosophy of Mathematical Sciences. London: Rourledge. 30-45
[3] 汪晓勤, 韩祥临 (2002). 中学数学中的数学史, 北京: 科学出版社
[4] 汪晓勤等 (2003). HPM视角下的等比数列教学，中学教研（数学）, (7)
[5] 汪晓勤(2006). 几何视角下的等比数列求和公式. 中学数学教学参考, (2)案例 7 椭圆的方程N. Guisnée《代数在几何上的应用》 (1705年)案例 7 椭圆的方程《圆锥曲线解析》(1707)M. de L’Hospital 1661-1704案例 7 椭圆的方程 斯蒂尔《圆锥曲线论》(1745)案例 7 椭圆的方程 赖特（J. M. F. Wright）《圆锥曲线之代数体系》（1836），案例 7 椭圆的方程罗宾逊（H. N. Robinson, 1806-1867）
《圆锥曲线与解析几何》 （1862）案例 7 椭圆的方程查尔斯·戴维斯（C. Davies, 1798-1876）《解析几何基础》（1867），案例 7 椭圆的方程查理·斯密（C. Smith, 1844-1916）《圆锥曲线初论》（1890） ，案例 7 椭圆的方程References
[1] Guisnée, N. Application de l'Algebre à la Geometrie. J. Boudot et J. Quillau, 1705. 71-72
[2] L’Hospital, M. de. Traité Analytique des Sections Coniques. Paris: Montalant, 1720. 22-25
[3] Robinson, H. N. Conic Sections & Analytical Geometry. New York: Ivison, Phinney & Co., 1862. 140-141
[4] Steell, R. A Treatise of Conic Sections. London: St John’s Gate, 1745. 17
[5] Wright, J. M. F. An Algebraic System of Conic Sections & Other Curves. London: Black & Amstrong, 1836. 94-95
[6] Davies, C. Elements of Analytic Geometry. New York: A. S. Barnes & Co., 1867. 95-96
[7] Smith, C. An Elementary Treatise on Conic Sections. London: Macmillan & Co., 1890. 112-113案例8 和角公式 托勒密（2世纪）案例8 和角公式 托勒密（2世纪）案例8 和角公式帕普斯（Pappus, 3世纪末）《数学汇编》 案例8 和角公式帕普斯（Pappus, 3世纪末）《数学汇编》 案例8 和角公式阿布·韦发(Abu’l-Wefa, 940-998)案例8 和角公式克拉维斯（C. Clavius, 1537-1612）《星盘》(1593) 案例8 和角公式阿布·韦发的启示案例8 和角公式阿布·韦发的启示案例8 和角公式面积变换法之一 案例8 和角公式面积变换法之二 11数学史与中学数学教学 一座宝藏
一条进路
一缕书香
一种视角
一个领域2 一条进路在数学教学中，我们总是在不断地回答“为什么”。
为什么等腰三角形两底角相等？（驴桥定理）
为什么 是无理数？（不可公度量的发现）
为什么 ？（均值不等式）
为什么正整数和（正）偶数是一样多的？（实无穷）
为什么函数 是奇函数？2 一条进路为什么要将圆周分成360度？（即，为什么在角度制里，要将圆周的1/360作为度量角的单位？）为什么 ？
为什么平面直角坐标系将平面所分成的四个部分叫“象限”？
为什么将幂指数称为“对数”？
为什么某些函数被称为“奇函数”和“偶函数”？
为什么称未知数为“元”？2 一条进路为什么要将圆周分成360度？
1年＝360天；
60 进制
迦勒底人将黄道圆分成12宫，每一宫分成30等分。
2 一条进路古希腊天文学家Hypsicles (c. 180 B.C.) 将黄道圆分成360等分
托勒密（Ptolemy, 125 A.D.）在《天文大成》中使用60进小数，将圆周分成360度，每1度分成60小部分（分），每一小部分再分为60个小部分（秒），等等。2 一条进路 2 一条进路为什么巴比伦人选择60进制（以60为底）？
Theon（4世纪）：60是能被1、2、3、4、5整除
的最小正整数。
诺伊格鲍尔（O. Neugebauer,
1899-1990）：可以将度量三
等分。
康托：巴比伦人知道一年有
360天；2 一条进路60是一年中的月数与行星（金、木、水、火、土）个数的乘积；
苏美尔人将等边三角形看作是基本几何图形，而等边三角形内角为60度，因此若将60十等分，则就成为基本的角度单位，圆周含60个角度单位，故巴比伦人选择60为底；
人除左手拇指为2节外，另四指各有3节，共12节；分别用右手五指数这12部分，得60。
苏美尔文明融合了两种文明，其中一个文明采用12进制，另一文明采用5进制。2 一条进路 许凯（N. Chuquet, 1445～1488）《算学三部》
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 … 1048576
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 20
4对应的数16自乘，等于8对应的256；
7对应的128乘以9对应的512，等于16对应的65536。2 一条进路 施雷伯（H. Schreyber, 1495～1525）《艺术新作》（1521）
0 1 2 3 4 5 … 16
1 2 4 8 16 32 … 65536
第二个数列中两数的乘积对应于第一个数列中两数的和。
第二个数列中三数的乘积对应于第一个数列中三数的和。
第二个数列中平方数的开方对应于第一个数列中偶数除以2。
第二个数列中某数开立方对应于第一个数列中某数除以3。2 一条进路斯蒂菲尔（M. Stifel, 1487～1567）《整数算术》（1544）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
等差数列中的加法对应于等比数列中的乘法；
等差数列中的减法对应于等比数列中的除法；
等差数列中的简单乘法对应于等比数列中的乘方；
等差数列中的除法对应于等比数列中的开方。2 一条进路克拉维斯(C. Clavius, 1538-1612)《实用算术概论》(1583)
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
32自乘，得10上面的1024，而10等于32下面的5的两倍；
8乘以256等于11上面的2048，而11等于8和256下面3和8之和。 2 一条进路纳皮尔（J. Napier, 1550～1617）2 一条进路薛凤祚（?～1680）《比例对数表》(1653)《数理精蕴》：“对数比例，乃西士若往·讷白尔所作。以借数与真数对列成表，故名对数表。……其法以加代乘，以减代除，以加倍代自乘，故折半即开平方。以三因代再乘，故三归即开立方。推之至于诸乘方，莫不皆以假数相乘而得真数。盖为乘除之数甚繁，而以假数代之甚易也。” 数学史与中学数学教学 一座宝藏
一条进路
一缕书香
一种视角
一个领域3 一缕书香 萨顿
Isis (1913)
《科学史引论》(1927-1947)
《数学史研究》 (1936)
《科学史研究》（1936）
《科学史与新人文主义》（19??）G. Sarton（1884-1956）3 一缕书香萨顿
在科学和人文之间只有一座桥梁，那就是科学史。建造这座桥梁是我们这个时代的主要文化需要。 3 一缕书香同样，在数学和人文之间也只有一座桥梁，那就是数学史。3 一缕书香 “人生之意义在于研究日、月、天。”
放弃财产、追求真理、身陷囹圄、铁窗下仍在研究化圆为方问题的古希腊数学家阿那克萨哥拉Anaxagoras (499B.C.-428B.C.)16世纪法国数学家拉缪斯，少时家贫，祖父是烧炭的，父亲是个卑微的农夫。12岁时，拉缪斯作为一位富家子弟的仆人进入巴黎的Navarre学院，白天伺候主人，黑夜挑灯苦学，9年后竟获硕士学位！他的硕士论文是《亚里士多德所说的一切都是错的》！3 一缕书香Peter Ramus （1515-1572）3 一缕书香 每天只花4小时睡觉、2小时吃饭休息、18小时学习学习、做研究的16世纪英国数学家约翰·第John Dee（1527 – 1609）3 一缕书香 为了研究数学，常常三天三夜不出房门的韦达F. Viète (1540- 1603)3 一缕书香 吾先正有言：“一物不知，儒者之耻。”今此一家已失传，为其学者，皆暗中摸索耳。既遇此书，又遇子不骄不吝，欲相指授，岂可畏劳玩日，当吾世而失之！呜呼，吾避难，难自长大；吾迎难，难自消微。必成之。 Matteo Ricci (1552-1610)
Seu Kuang-ke (1562-1633) 3 一缕书香 在墨水结冰的冬夜，依然勤学不怠的索菲· 热尔曼Sophie Germain（1776-1831）3 一缕书香 如果你要成为一名真正的追求真理的人，那么你在一生中必须对一切事情至少都怀疑一次。
——笛卡儿《方法论》3 一缕书香华里司
人活着既然注定要含辛茹苦，那么，我希望用求知的快乐给人生的酒杯加点糖。 W. Wallace (1768-1843) 3 一缕书香法布尔:牛顿二项式定理J. H. Fabre (1823-1915)3 一缕书香 “自任国会议员以来，他学习并几乎精通了《几何原本》前6卷。他开始学习这门严密的学科，为的是提高他的能力，特别是逻辑和语言的能力。因此他酷爱《几何原本》，每次巡行，他总是随身携带它；直到能够轻而易举地证明前六卷中的所有命题为止。他常常学到深更半夜，枕边烛光摇曳，而同事们的鼾声却已此起彼伏、不绝于耳。” (1860年总统候选人简介)A. Lincohn (1809-1865)3 一缕书香托马斯·霍布斯
（Thomas Hobbes,
1588～1679）
40岁时才开始学习
几何。3 一缕书香 美国著名爵士乐作曲家和演奏家亚提萧（Artie Shaw）
数学学习以某种奇怪的方式给了我所知道的唯一实实在在的安全感，所以我感受到了在我整个生命里从未曾有过的那种精神上的快乐。 数学史与中学数学教学 一座宝藏
一条进路
一缕书香
一种视角
一个领域4 一种视角Furinghetti: 将数学史用于数学教学的过程4 一种视角 设计发生教学法时影考虑的因素：
学生的学习（心理学领域）
概念的历史（数学史领域）
数学教材
课程标准
案例1 一元二次方程的概念案例1 一元二次方程的概念例 1 矩形面积为12，宽为长的3/4。问该矩形的长、宽各为多少？（埃及纸草书）
例 2 已知矩形面积为60，长比宽多7。问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。
例 3 已知矩形面积为60，长比宽多7。长宽之和为17，问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。 （巴比伦泥版 ）案例1 一元二次方程的概念案例1 一元二次方程的概念例 4 长为30英尺的梯子竖直靠在墙上，当梯子的顶端沿墙向下滑动6英尺时，底端离墙滑动多远？
例 5 在例 3 中，如果梯子的顶端沿墙再一次向下滑动6英尺，那么底端将再一次滑动多远？试列出底端再一次滑动的距离所满足的方程。案例1 一元二次方程的概念例 6 如图，有一所正方形的学校，南门和北门各开在南、北面围墙的正中间。在北门的正北方20米处有一颗大榕树。一个学生从南门出来，朝正南方走14米，然后转向西走1775米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校每一面围墙的长度是多少？试列出方程。案例1 一元二次方程的概念案例1 一元二次方程的概念（展示图片）现在大家看到的是
中世纪欧洲最伟大的一位数学家，
他叫斐波纳契。他在1225年写成
一本书，叫《花朵》（听起来不
像数学书名）。在该书中，斐波
纳契提出了如下问题——斐波纳契案例1 一元二次方程的概念 例7、如图2，在等腰三
角形ABC中，已知AB=AC
=10，BC=12。AD是底边
BC上的高。在AB、AC上
各求一点 E、F，在BC上
求两点G和H，使AEGHF
是等边五边形。案例1 一元二次方程的概念在教师的引导下，基于已有的知识和经验，学生从例2、3、5、6、7中分别得到各不相同的一元二次方程，如下表所示。 案例1 一元二次方程的概念案例1 一元二次方程的概念 练习1、两个正方形面积之和为1000。一个正方形边长是另一正方形边长的减去10。求这两个正方形的边长。（巴比伦泥版上的问题）
练习2、在某公园内一块边长为50米的正方形空地上建造一个正方形鱼池，要求水池旁边有供人观赏行走的通道，且水池占地面积为空地面积的60%。请完成你的设计。案例1 一元二次方程的概念案例1 一元二次方程的概念 本教学设计在以下几个方面贯彻了新课程的思想、理念、目标和要求。
1、包含浓郁的历史文化气息，体现数学是人类的一种文化。让学生体会数学的悠久历史，数学与人类文明的密切相关性，数学文化的多元性。
2、教学活动建立在学生已有的知识经验基础之上，在引出新知识的同时也巩固了旧知识（如开平方、轴对称、勾股定理、图形的相似性等）。案例1 一元二次方程的概念本教学设计在以下几个方面贯彻了新课程的思想、理念、目标和要求。
3、增强学生的应用意识，让学生体会数学与现实生活的联系。
4、使学生经历从实际问题中建立数学模型的过程，感受一元二次方程作为一种数学模型的重要性。
5、使学生经历数学知识的形成过程。案例1 一元二次方程的概念6、利用背景知识以及古人的问题情境，激发学生的好奇心与学习兴趣，促进自主学习。
7、使学生体会到不同数学知识之间的密切联系。
8、创造学生的学习动机，为后面一元二次方程解法的教学埋下了伏笔。
案例2 相似三角形的应用 例 1、古塔测高
如图所示，有一座落在平地上的古塔，不知高度，测得影长为11.3米。
现将一长为0.8米的竹竿直立，使其影子的末端与塔影的末端重合，测得竹竿的影长为0.2米。求塔高。案例2 相似三角形的应用 这个例子根据古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的传说以及欧几里得《光学》中测量物体高度问题改编而成，原型为杭州西湖北岸宝石山上的保俶塔。教师在讲完这个例子后，可向学生介绍泰勒斯测量金字塔高度的故事，让学生明白，历史上人们对相似三角形性质的认识和应用很早，我们今天的方法早在两千五百多年前就以经为泰勒斯所用。真是“太阳底下没有新鲜事”！
案例2 相似三角形的应用例2、隔河测距
如图所示，在A和B两点之间有一条河。在BA延长线上取一点C，作BC的垂线AD和CE，点D位于BE上。测得AC = 5米，CE = 3.3米，AD = 3米。求A、B之间的距离。案例2 相似三角形的应用 这个问题根据海伦《Dioptra》中的间接测量问题改编而成。比古塔测高问题稍为复杂一些，因为，根据相似三角形性质所得到的比例中，有两项含有未知数，不能直接求得AB。意大利HPM学者Chung Ip Fung等曾将与上述问题类似的问题与中国刘徽（3世纪）的海岛测高问题同用于教学设计，目的是让学生了解数学文化的多元性。案例2 相似三角形的应用 例3、校园占地
如图，有一所正方形的学校，西门和北门各开在西、北面围墙的正中间。在北门的正北方30米处有一颗大榕树。一个学生从西门出来，朝正西方走750米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校占地多少？案例2 相似三角形的应用 这个问题是根据《九章算术》勾股章中的“邑方”问题改编而成的，原题为：“今有邑方不知大小，各开中门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？”本问题比前面两个问题稍难，需通过开方求解。教师告诉学生，中国在汉代就有这类问题，汉代的测量技术已十分高超；中国古代的几何学与测量密切相关。案例2 相似三角形的应用例4、勾股定理的推广（分组讨论，合作探究）
我们知道，在直角三角形ABC三边上作三个正方形，则两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，这就是勾股定理。现在直角三角形ABC三边上任作两两相似的三个三角形BCD、ACE和ABF，如图所示。关于这三个三角形的面积，你能得到什么结论？给出你的证明。案例2 相似三角形的应用案例2 相似三角形的应用 这个问题要用到相似三角形的另一个性质，即面积之比等于相似比的平方。事实上，古代巴比伦人已经知道这个性质；而对于毕达哥拉斯是如何发现勾股定理的，西方数学史家的其中一种推测也是基于这个性质：过直角三角形直角顶点向斜边引高线，得大小三个两两相似的直角三角形，它们的面积之比等于各自斜边平方之比，但两个小直角三角形面积之和等于大直角三角形面积，故它们的斜边平方之和等于大直角三角形斜边的平方。案例2 相似三角形的应用例5、爱琴文明的遗迹
古希腊历史学家希罗多德（Herodotus, 前5世纪）描述了毕 达哥拉斯的故乡、萨莫斯岛上的一条约建于公元前530年、用于从爱琴海引水的穿山隧道，设计者为工程师欧帕里诺斯（Eupalinos）。这个隧道后来被人遗忘，直到19世纪末，它才被考古工作者重新发现。20世纪70年代，考古工作者对隧道进行了全面的发掘。隧道全长1036米，宽1.8米，高1.8米。两个工程队从山的南北两侧同时往里挖掘，最后在山底某处会合，考古发现，会合处误差极小。当时人们挖隧道所用的标准方法是在挖掘过程中在山的表面向下挖若干通风井，以确定所抵达的位置，并校正挖掘的方向。然而，令考古学家惊讶的是，该隧道挖掘过程中并未使用这一方法！人们不禁要问：欧帕里诺斯到底是用什么方法来确保两个工程队在彼此看不到的情况下沿同一条直线向里挖的？案例2 相似三角形的应用在欧帕里诺斯600年后，希腊数学家海伦在一本介绍测量方法的小书《Dioptra》中给出一种在山两侧的两个已知出口之间挖掘直线隧道的方法，人们相信：这正是欧帕里诺斯当年用过的方法。案例2 相似三角形的应用练习题
1、如图，过直角顶点C向斜边AB引垂线，D为垂足。于是直角三角形ADC、BDC、和ABC两两相似。你能利用相似三角形的性质证明勾股定理吗？案例2 相似三角形的应用2、解《九章算术》问题：“今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问：井深几何？”案例2 相似三角形的应用3、在一个勾5米，股12米的直角三角形空地上，要建一个正方形花坛，要求花坛的面积尽量大。请给出你的设计方法。（改编自《九章算术》勾股章“勾股容方”问题）
案例3 等比数列前 n 项和上海市杨浦高级中学
方耀华老师等比数列的定义：等比数列的通项公式：通项公式的推广：设等比数列 ，首项 ，公比为 ， 【知识回顾】【问题】“一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿
意，哪知富人一口应承了下来，但提出了如下条
件：借钱第一天，穷人还1分钱；第二天，还2分钱，
……以后每天所还的钱数都是前一天的2倍，
30天后，互不相欠。在30天中，第一天借给穷人1万元，第二天借
给穷人2万元，第三天借给穷人3万元，……，以后每一天多借给穷人1万元。能不能答应富人以上的条件?【问题解析】穷人还钱总数－富人借钱总数 ＝ ？富人借钱总数＝穷人还钱总数＝小组讨论班级交流【问题解析】穷人还钱总数－富人借钱总数 ＝ ？富人借钱总数穷人还钱总数【问题解析】穷人还钱总数－富人借钱总数富人借钱总数穷人还钱总数答：不能答应富人的条件。【问题小结】求等比数列 前30项和等比数列前 项和【公式探究】设等比数列 ，首项 ，公比为 ，其前 对于一般的等比数列，它的前 项和公式是什么？项和【公式探究】莱因得纸草书（1650B.C.） 【公式探究】莱因得纸草书（1650B.C.） 【公式探究】设等比数列 ，首项 ，公比为 ，其前 项和方程法：【公式探究】如果 是等比数列， 几何原本Euclid
(325B.C.~265B.C.) 【公式探究】设等比数列 ，首项 ，公比为 ，其前 项和合比定理：【公式探究】设等比数列 ，首项 ，公比为 ，其前 项和错位相减法：—）个构造常数列【例题举隅】例 1 两河流域泥版MS 1844（约公元前2050年）上的问题：七兄弟分财产，最小的得2，后一个比前一个多得1/6，问所分财产共有多少？
例 2. 求等比数列1，2，4，… 第5项到第16项的和。例 3. 求 的值. (a 为常数)一个中心:两个基本点：(1) 重要的求和方法：方程法；比例法；错位相
减法；
(2) 重要的思想方法：特殊到一般、类比与转化、
分类讨论的思想方法.等比数列前n项和公式的推导及运用。【课堂小结】数学史与中学数学教学 一座宝藏
一条进路
一缕书香
一种视角
一个领域5 一个领域1859年，达尔文发表进化论。在此基础上，海克尔提出一个生物发生学定律：“个体发育史重蹈种族发展史”，并将该定律运用于心理学领域，指出“儿童的心理发展不过是种族进化的简短重复而已”。该定律被运用于数学教育，便诞生了历史发生原理。E. Haeckel (1834-1919)5 一个领域▲波利亚(G. Pólya, 1887-1985)
弗赖登塔尔(H. Freudenthal, 1905-1990) ?? 庞加莱(H. Poincaré, 1854-1912)
F·克莱因(F. Klein, 1849-1925) ▼案例1 角的概念Keiser(2004)
研究对象：6年级学生
研究问题：6年级学生是如何理解角概念 的？他们在理解0?、180?和360?时有困难吗？
研究方法：课堂观察和访谈。案例1 角的概念历史回溯：
古希腊人从关系、质和量三方面之一来定义角，欧几里得在《几何原本》中将角定义为“平面上两条不在同一直在线的直线彼此之间的倾斜度”（关系）。卡普斯（Carpus）将角定义为“包含它的两线或两面之间的距离”（量）。而普罗克拉斯（Proclus）则认为必须同时从大小（量）、存在案例1 角的概念 的形状和特征（质）、两条直线之间的关系三方面来定义角 。但在古希腊时代，无论从哪一种定义，都未能很完善地刻划这个概念。
另外，历史上数学家在理解0?、180?和360?三种特殊角时遇到了困难，许多数学家给出的“角”的定义（其中包括希尔伯特《几何基础》中的定义）都不含这三种角。 案例1 角的概念研究发现：学生对角的理解也分成三种情形：
(1) 强调“质”的方面：一些学生认为，随着正多边形边数的增加，“角”越来越小；即形状越“尖”的“角”越大。
(2) 强调“量”的方面：一些学生认为，边越长或者边所界区域越大，角越大；
(3) 强调“关系”方面：一个学生不同意把角看作“两条射线之间的‘宽度’，他认为角是将一条边（终边）旋转后与始边之间的一种“关系”。 案例1 角的概念 课堂上学生同样很难理解0?、180? 和 360?这三种特殊角，因为在他们的概念表像中并不存在这些角。
Claire：
“如果它（180?）是一个角的话，那么它就需要有两条边，我看不出哪儿有两条边相交。”
“角有顶点以及两条不同的线。我知道（在180?中）有两条直线，但你说不出顶点在哪儿。”
“（对于360?的角）圆是没有任何角的，所以我不明白。”
……………………………………案例1 角的概念 研究结论
学生对角概念的理解具有历史相似性。教材和学生都可以从前人理解角概念的困难中获得諸多启示。案例2 符号代数E. Harper (1987)
研究问题：学生对符号代数的认知过程是否与符号代数的历史发展过程相似？
研究方法：测试。丟番图《算术》：“已知两数的和与差，证明这两个数总能求出。”
被 试：英国两所文法学校1-6年级各12名学生，共144人。案例2 符号代数G. H. Nezzelmann《希腊代数》(1842)：
代数学的发展经历三个阶段：
案例2 符号代数修辞代数解法：文字表达
丢番图的解法：设和为 100，差为 40，较小数为x，则较大数为 x + 40。这样就有2x + 40 =100，从而得 x = 30。因此两数分别为30、70。
韦达的解法：设和为a，差为b。又设较小数为x，则较大数为 x + b，于是 2x+b=a，故得x =(a-b)/2。因此两数分别为 (a-b)/2、(a+b)/2。案例2 符号代数 1? 修辞的解法
Jane（二年級，12岁零8月）：
“和除以2，差除以2。和除以2的商与差除以2的商相加，得到第一个数；从和除以2的商中減去差除以2的商，得到第二个数。例如：和＝8，差＝2，8/2＝4，2/2=1，第一个数＝4+1=5；第二个数＝4-1=3。”案例2 符号代数 2? 丟番图的解法
Barry（三年級，13岁零10个月）：
x – y = 2 （1）
x + y = 8 （2）
（1）+（2）得2x =10，x =5。代入（2）得：5+ y =8，y = 8-5，y = 3。对于任何数，你都可以这样做。”案例2 符号代数 3? 韦达的解法
设两数为 x 和 y，n = x 和 y 的和，m = x 和 y 的差，一般的方程为 n = x + y，m = x- y。兩式相加，m + n = 2x。求得 x，回代，求出y。案例2 符号代数案例2 符号代数研究结论：
学生对符号代数的认知发展过程与符号代数的历史发展过程具有相似性。
案例3 数轴上的无理数——它们在何处？
1 研究背景
前人的研究表明：被试在有理数和无理数的判断、有理数、无理数的定义和对无理数不同表征的灵活运用等方面，存在困难。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？Arcavi运用数学史知识，从教师的知识、观念、误解三个方面对84位在职初中数学教师作了调查。70%的教师知道无理数概念最早出现于公元前的希腊。但很少有人知道无理数是如何产生的。
关于历史上负数、小数和无理数的出现次序，55%的教师认为历史上小数的出现比无理数早；10%的教师不作回答。这表明，教师不仅缺乏历史知识，而且认为无理性取决于小数。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？Arcavi认为，无理数起源与几何有关，这为无理数教学提供一个新的视角。
大约在公元前400年，欧多克斯首次从理论上讨论了无理数，后出现在欧几里得的《原本》中。
斯蒂文（S. Stevin，1545-1620）在《十进算术》（1585）中引入了十进制小数。
欧拉（L. Euler,1707-1783）在《代数学引论》(1770)中首次正式引入负数。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？研究问题：初中数学教师是如何理解无理数的几何表示的？案例3 数轴上的无理数——它们在何处？ 2 研究方法
问卷调查与访谈。
你怎样在数轴上找出 的准确位置？
这里用 而不用 ，是因为 会让测试者不由自主地回忆起原来的知识，而不是自己构造。
题目已经给出带有格点的笛卡尔坐标系，为了简化作图已在其上标出数轴。显然是利用勾股定理来构造所需的长度。答案如图1所示。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？图 1 的几何构造法一案例3 数轴上的无理数——它们在何处？被试
46名中学数学职前教师
（参加专业发展课程“学习的设计：中学数学” ）
其中16人参加了访谈。
案例3 数轴上的无理数——它们在何处？ 3 研究结果案例3 数轴上的无理数——它们在何处？ 3.1 几何表示法有4人运用以下方法：图2 的几何构造法二 案例3 数轴上的无理数——它们在何处？有4人运用以下方法： 图3 运用现成的直角三角形来确定 的位置 案例3 数轴上的无理数——它们在何处？11有1人运用以下方法：图4 运用螺旋三角形法来构造 案例3 数轴上的无理数——它们在何处？有1人运用以下方法：图5 运用等积法来确定 的位置 A的面积 = B的面积案例3 数轴上的无理数——它们在何处？ 5.2 数字表示法 有24人运用 的小数展开形式来确定 的位置，按照精确度由低到高来排列：一些教师在可能存在的周围画了一个“大大的点”，并说“大约在这里”。 ，因此在2和3之间。在2和3之间的某个位置。我不知道具体的位置，但是肯定比较接近2。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？我用计算器算出 ，找到2、3之间的中点，再
找2和2.5之间的中点，则 大约在2.25处。 在4和9这两个平方数之间一共有5个整数，而5就在4的后面，因此 在2和3之间的 处。线形插值法
把2和3之间10等分，找到两个相邻的分点 ，使得 的平方值小于5而 的平方值大于5。然后再将 之间10等分，重复以上过程直至找到最合适的近似值。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？离5最近的平方数是4 ， ，所以应该比2大一点。为了更加精确，我们尝试更多的数字。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？3.3 函数图像表示法有3名教师运用图像法。他们假设图像是具有有效性，从图中可以简便地读出长度，而不是寻找一种构造该长度的方法。应该指出的是，其中一名教师对该做法有效性进行质疑。根据函数 的图像 ，然后找到 的解。该解法附有如下说明，“如果图像作得绝对精确，我就会找到确切的位置”。与上述做法类似，运用函数 的图像，在图上找出函数在 的值。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？ 5.4 不可能 一些教师对该题的正确性产生了怀疑，大部分可能是因“准确”这个词产生了如下的回答。 我认为在数轴上无法找到 确切的位置，因为它是一个无限小数。我确信用计算器可以做出来，但是我不知道怎么做。案例5 数轴上的无理数——它们在何处？如果不知道小数点后的无穷位数，我能找到 准确的位置吗？ 你不能作出确切的位置。这是个诡秘的问题， 是无理数（即无限小数），因此它不可能在数轴上准确地标出。计算器上就没有那样的点。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？3.5 实数轴与有理数轴只有9 名职前教师（ 19.6 ％ ）能够找到 的位置，我们调查其中的原因。结果发现，绝大多数准教师认为数轴就是有理数轴。那些认为“你不能”和或多或少用小数近似值的人都持有这一看法。
我们希望从访谈中，探讨 一个精确的而不是近似的位置。在这样的要求下，大家共同的意见是它必须四舍五入后才可以定位。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？安娜：不可以，因为我们不知道确切值。由于以5结尾的小数0.05比以6结尾的小数0.06要小。所以它们不相等，而 没有尾数我们就永远都不会知道其确切的值。卡拉：嗯，它就在那，因为还有很多其它无理数。你看，如果你能够像距离1和2点之间就是1厘米或什么，你就可以精确地做出这个点，像这样一个无理数我不能标出精确的位置，或者你也知道……访谈的问题：在数轴上是否可以精确地标出 的位置？案例3 数轴上的无理数——它们在何处？3.6 找出有理数精确的位置访谈者： 呢，你能够在数轴上找到 的位置吗？
安娜：在数轴上？
访谈者：是…
一数。但因为我们假设3是循环的，我们可以四舍五入。从这些片断中，很显然看出困惑在于无限小数。认为它不是无理数而是小数的无限展开，访谈者询问有理数的精确位置。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？安娜：是啊，也就是，好吧你可以用除法，1除以3等于0.3的循环小数…哦它又是没有终点的。好吧，（停顿）嗯，我觉得由于3是不变的，所以我们可以知道它的位置，但是它是循环的我又不知道了。就像我们不知道在小数的百万分位上是4或什么，或是0
访谈者：也就是说我们无法找到确切的位置吗？
安娜：不是，是说在0.3的循环小数与0.4之间的某个位置。
访谈者：在中间的某个位置？
安娜：但是，不（笑）我猜不是，因为它是一个不同的数，如果使它不循环的话你减小它的值。像假设它有一个特定值，而实际上它没有，在现实中也不会有。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？在进一步采访中,讨论做法产生这样一个疑问，究竟是什么导致大家认为把一个单位10等分比把它3等分更容易。
威廉：我知道，我把直尺放在那我就知道了，很简单的。直尺可以十等分，我也可以用圆规来做…（在这，威廉想要示范用圆规来十等分一个单位，但没有成功） …我不知道怎样做，但我认为显然是可能的。直尺是最简单的，在直尺上你不用看，如果把10厘米分成3等分，作每一份是3.33时，我想，我通常取近似值大概是3 …案例3 数轴上的无理数——它们在何处？ 应该指出的是，威廉对无理数的理解是接受访谈教师中最差之一。从威廉的有理数概念上很难建构无理数的概念。在大多数实际应用中有理数的近似值就足够了，他看成数轴变成一把普通直尺子的极端例子，也就是说无限循环小数不存在。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？ 3.7 从数值法到几何法 如上所述，最常见的方法是小数近似值。这个问题很少有人用勾股定理。我们好奇地是，是否因为一看题目没人想起勾股定理，或是否有更深层次的问题。原来，虽然职前教师熟悉定理，一般会用它来求某个直角三角形的未知边长，而不会构造所需的长度。访谈者提示史蒂夫思考几何方法，甚至用 例子来说明对于如何来做。访谈如下：
访谈者：好的，下一个问题。嗯，你在数轴上如何找到 确切的位置？
史蒂夫：那么，这次也不能用计算器？
访谈者：是的，不能。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？史蒂夫：嗯，大致找到。两个最近的完全平方数，4的平方根是2，9的平方根是3，所以就在2和3之间的某个地方。那么我猜我会用2.2试一下，看2.2平方是否是5，或是否太小了，我猜我会尝试不同的数，然后平方看它与 接近的程度…
访谈者：如果不用计算器的话，这种做法相当的枯燥，对吗？
史蒂夫：是的，是的。
访谈者：用一种几何的方法呢？
（访谈者介绍找 的思想，就是边长是1的等腰直角三角形的斜边）
史蒂夫：哦好的，这很有趣。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？访谈者：嗯，其他方法很好，但是都只是一个近似值而且做法相当繁琐。那么我想看看是否也可以用几何法来找 确切的位置。
史蒂夫：嗯，嗯，那么你怎么处理 的问题，嗯（停顿）
访谈者：你知道的，我打算跳过的…
史蒂夫：别跳过，我要用很长的时间来思考哪些数可以凑成 …
访谈者：你用什么方法来凑出 的？案例3 数轴上的无理数——它们在何处？史蒂夫：好的，你看边长为45、45、90的三角形可作出 ，边长为60、30、90的三角形可以作出 ，但是我必须，我猜我能够找到关于 的比率。只是看看是找不到答案的…不用计算器的话对我来说确实很难。
经提示后，史蒂夫引用一些常用三角形比，这些三角形比是要求学生记忆的，如果想不起来就先用勾股定理来算。事实上，只有20 ％职前教师能够运用勾股定理解题。此外，在访谈通过启发提问，也没能从职前教师的概念印象中唤起该定理。
基于此，我们认为勾股定理对大多数职前中学数学教师来说，是一种惰性知识。我们可以把它看成目前国家数学教育2个普遍问题的征兆：一、在学校课程中弱化几何的趋势；二、不成体系的课程。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？ 3.8 精确的位置：可以得到什么？那些能够找到 确切位置的职前教师，我们发现他们确信这样的数是存在的。他们的理解似乎更强劲。甚至我们可以说正是几何表示的有效性，帮助他们的概念发展升华到最后阶段。这与那些提供小数近似值的人形成了对比，数被看作是一个过程，需要不停地试。斯蒂芬妮的访谈如下：
斯蒂芬妮：嗯，好吧。我想，你怎么可以建立这样一个三角形并且该三角形是存在的，是无理数的另一种解释。由于存在这样一个三角形，这个斜边长表示 。所以应该我们可以接触的一些一样，我不知道。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？在克莱尔的访谈中，她谈了一下教师不应该仅满足于无理数近似值的原因。克莱尔的访谈如下：
克莱尔：一点当然没有尺寸的。因此在数轴上你不能用铅笔点，因为这样是有尺寸的，尽管它没有。从直觉上你可以说是的，它在那，用这种方式表示一个数…作为答案，如果你用圆规来做，而且你假设构造是准确和精细的，好的， 则 表示无理数 ，而不是我们常说的近似值1.41 。
访谈者：在你看来，我们让学生了解这一点的重要性是什么，你知道精确值和近似值，他们什么时候做出的答案是近似值？对你有什么价值？你觉得他们应该了解这些东西吗？案例3 数轴上的无理数——它们在何处？克莱尔：我仍然认为最好求出精确值，而不是估计值。我是一个喜欢讲数学术语的人，如果你在7、8年级不强调 不是3.14，它只是一个数的估计值的话，你解释圆的周长或什么就出现问题。我觉得对于理解某个特定值来说，这是一个非常重要的术语。
访谈者：好的…
克莱尔：因此我认为不应该轻视这个问题。当它是精确值，那么就求精确值，当它是四舍五入的时候，那么就求四舍五入的估计值。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？ 4 结论与教学建议无理数概念对于理解从有理数系到实数系——数的概念扩充是至关重要，因此教学应关注这个概念的发展。 无理数的小数表示，对无理数概念的理解毫无帮助。 必须清楚地认识到，从有理数的发现到建构实数集合经历了2500年。数学家们花费几千年才发展起来的内容，要让学生几节课的时间就理解了，这是不合理的。尤其是学习者处于无理数概念的形成阶段时，无理数的几何表示是一个非常有力的和不可缺少的教学工具。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？无理数的几何表示可以从以下两方面来帮助学生。
第一，学生可能会对无理数和它的有理近似值之间的区别更加敏感。
第二，通过无理数的另一种表示法（数轴上的点，无理数的长度）来吸引学生的注意力，及时地摆脱无限构造，帮助他们掌握无理数的概念。
但是如果教师自己没有掌握相关的知识，企图让学生理解是不可能的。案例3 数轴上的无理数——它们在何处？案例4 平面概念K. Zormbala, C. Tzanakis
研究对象：51位大学非数学专业毕业、从事各种职业的对象（社会学家、小学教师、德文和英文教师、心理学家、律师、医生）
研究问题：非数学专业毕业生是如何理解平面概念的？案例4 平面概念研究方法：问卷调查。
调查问题：
(1) 请描述什么是平面；
(2) 在你看來，“平面”和“表面”有何不同？
(3) 作出一个平面。 案例4 平面概念案例4 平面概念案例4 平面概念萊布尼茨辛松高斯案例4 平面概念研究结论
被试对平面概念的理解与历史上巴门尼德(Parme-nides, 前5世紀)、海伦(Heron, 1世紀)、莱布尼茨(G. W. Leibniz, 1646～1716)、辛松 (R. Simson, 1687-1768)、高斯 (C. F. Gauss, 1777-1855)、皮埃里(M. Pieri, 1860-1930)等数学家的理解具有相似性 。案例5 实无穷概念研究问题：高中生比较无穷集合时采用何种策略？是否具有历史相似性？
研究方法：测试与访谈
被试：江苏省某中学高二、高三两个年级各一个班，共94人。他们只具有一些初步的集合和元素的知识，尚未接触过无穷集合的知识，也不曾阅读过有关康托尔集合论方面的书籍。 案例5 实无穷概念实无穷测试题
1、正整数集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比平方数集
{1，4，9，16，25，…}中的元素多？
A、是 B、否 C、不知道
解释你的答案。
2、正整数集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比偶数集
{2，4，6，8，10，…}中的元素多？
A、是 B、否 C、不知道
解释你的答案。案例5 实无穷概念3、观察长度分别为4厘米和6厘米的线段AB和CD，若比较
AB和CD上的点，CD上的点是否比AB上的点更多？
A、是 B、否 C、不知道
解释你的答案。 案例5 实无穷概念 4、再观察线段AB和CD，连接CA和DB，并延长，交于点O，设P是CD上任意一点，连接PO，交AB于P?。CD上的点是否比AB上的点更多？
A、是； B、否； C、不知道
解释你的答案。案例5 实无穷概念5、设 ， ，则集合A和
B是否具有同样多的元素？
A、是; B、否; C、不知道
解释你的答案。案例5 实无穷概念 两个集合 A 和 B都满足：
(1) A和B都是无穷集合；
(2) B是A的真子集；
(3) A和B的元素之间存在一一对应关系。 案例5 实无穷概念案例5 实无穷概念研究发现：学生比较无穷集合所用的策略
类型1 集合A与集合B中的元素个数均为无穷，所以元素一样多。
类型2 集合A与集合B的元素都是无穷多，无法比较。
类型3 集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。
类型4 集合A与B之间存在一一对应关系，两个集合中的元素一样多。案例5 实无穷概念历史相似性
古希腊
G. Galilei (1638)：Dialogues concerning two new sciences：两条不相等的线段AB和CD上的点可以构成一一对应；正整数集和正整数平方所构成的集合之间可以建立一一对应关系。伽利略没能解决部分与整体“相等”的矛盾。他认为无穷大量都是一样的，不能比较大小，即不能将“大于”、“小于”和“等于”这样的词用于无穷大量。 案例5 实无穷概念19世纪，高斯（C. F. Gauss, 1777-1855）、柯西（A. L. Cauchy, 1789-1857）、魏尔斯特拉斯（K. Wierestrass, 1815 -1897）等都无法接受无穷集合，因为它们和伽利略一样，无法解决“部分等于整体”这个矛盾。
波尔察诺（B. Bolzano,1781-1848）Paradoxes of the Infinite：包含关系准则－－“如果集合A是集合B的真子集，即A真包含于B，那么A中的元素少于B中的元素。”案例6 中学生对古典概率的理解研究问题：中学生在解决概率论早期历史上的古典概率问题时是否重复了历史上数学家的解决方法？
研究方法：测试、访谈
被试：浙江省某一级重点中学、普通中学和综合高中高一（16-17岁）、高二（17-18岁）两个年级共16个班级652名学生。案例6 中学生对古典概率的理解研究工具
1.在古代机会游戏中，一方掷两个骰子，让另一方猜点数和。显然，有些点数出现的可能性要小一些。比如，要掷得 12 点，只有一种方式，即两个骰子必须同为 6 点，亦即。但要掷出 8 点，就不止一种方式了，因为，等等。其他点数相类似。案例6 中学生对古典概率的理解(1) A 认为，最佳选择是7点，因为它是可能性最大的点数；
(2) B 认为，最佳选择是6点或8点，因为它们都是可能性最大的点数；
(3) C 认为，最佳选择是6点、7点或8点，因为它们都是可能性最大的点数；
(4) D认为，最佳选择是3、4、5、6、7、8、9、10或11点（除了2点和12点以外的所有点数），因为它们都是可能性最大的点数。
你认为A、B、C、D四人中谁的看法是正确的？为什么？案例6 中学生对古典概率的理解案例6 中学生对古典概率的理解16世纪贵族们以及数学家卡丹、帕西沃里等人都出了错，把有序当作了无序，直到伽俐略解决了它。而本测试结果看，总共有204人选C，占了31.3%。而选C的被试中有57.8%的学生所给出的理由重复了历史上贵族与数学家们长达3个世纪的错误， 案例6 中学生对古典概率的理解2. 赌技相当的甲、乙两人各出资赌金96金币，规定必须要赢三场者才能赢得全部赌金共192金币，但比赛中途因故终止，且此时甲乙胜局数为2:1。若你是仲裁者，请问此时应如何分配赌金，并说明理由。案例6 中学生对古典概率的理解案例6 中学生对古典概率的理解案例6 中学生对古典概率的理解结论
中学生在解决概率前史阶段的“投掷问题”、“点数问题”时与历史上数学家们的方法具有相似性。案例7 虚数与发散级数研究问题：中学生对虚数和发散级数的理解是否具有历史相似性？
研究方法：测试
被 试：江苏扬州某中学高一 3 个班级共 155 名学生，他们在学校里都没有学过复数和无穷级数概念。案例7 虚数与发散级数 (1) 瑞士大数学家欧拉（L. Euler, 1707～1783）曾经遇到这样的题目：求 。欧拉的结果是： 。丹麦著名数学家邹腾（H. G. Zeuthen, 1839～1920）在大学考试中也遇到类似题目：求 。邹腾的答案是 。你认为欧拉和邹腾的答案对吗？请发表任何评论。 案例7 虚数与发散级数 (2) 1703年，意大利数学家格兰第（G. Grandi, 1671～1742）研究了 的和（有无穷多个加数，1 和-1交替出現）。你能求出这个和吗？ 案例7 虚数与发散级数第1题结果案例7 虚数与发散级数第2题结果案例7 虚数与发散级数研究结论
就虚数和无穷级数概念而言，学生的认知过程重蹈历史发展过程。本研究支持了F·克莱因、庞加莱、波利亚、弗赖登塔尔、M ·克莱因这些论断。 案例8 函数概念研究问题：高中生是如何理解函数概念的？是否具有历史相似性？
研究方法：测试与访谈。用自己的语言描述什么是函数。
被试：洛阳某中学高一和高三两个年级的部分学生，其中高一122人，高三116人。案例8 函数概念案例8 函数概念案例8 函数概念研究结论
尽管中学生已经学过函数概念，但他们对函数的理解却是多种多样的，与17世纪以后到20世纪上叶不同时空数学家的理解有着高度的相似性。
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