资源简介

2.2 有理数的乘法与除法
知 识 点 梳 理
2026—2027学年 · 人教版（2024）数学 · 七年级上册
第二章 有理数的运算 2.2 有理数的乘法与除法
一、学习导航
课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生掌握有理数的乘法与除法运算，理解乘法运算律在有理数范围内仍然成立，会进行有理数的乘除混合运算，能运用有理数的乘除运算解决简单的实际问题。
学习目标：
1. 经历由算式归纳乘法法则的过程，理解「同号得正、异号得负、并把绝对值相乘」；
2. 掌握「先定符号、再算绝对值」的乘法运算程序，会用负因数个数的奇偶性处理多个有理数相乘；
3. 理解倒数的概念，会求一个有理数（0 除外）的倒数；
4. 掌握除法法则「除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数」，会进行乘除混合运算；
5. 体会数系扩充时「保持运算律不变」这一原则，感受有理数运算与小学运算的一致性。
本节在教材中的地位：
对应人教版（2024）数学七年级上册第二章 2.2 节（教材第 38—49 页），下辖 2.2.1 有理数的乘法与 2.2.2 有理数的除法两个子目；节末选学栏目「探究与发现 · 从数系扩充看有理数乘法法则」在教材第 50 页。
上一节我们把加法推广到了有理数，这一节继续把乘、除两种运算推广到有理数。推广的原则与上一节完全一致：既要解释清楚新出现的情形（如「负负得正」），又要让原有的运算律继续成立。
板 块 核 心 内 容 关 键 方 法
2.2.1 有理数的乘法 乘法法则（同号得正、异号得负、绝对值相乘）；多个数相乘的符号规律；乘法交换律、结合律、分配律；倒数 先定符号 → 再算绝对值
2.2.2 有理数的除法 除法法则 a÷b = a×（b≠0）；两数相除的符号法则；分数化简 除法一律转化为乘法
拓展与应用 乘除混合运算；用乘除运算解决实际问题 同级运算从左到右，有括号先算括号
二、有理数的乘法法则（2.2.1）
（一）由算式归纳：三种新情形
小学里我们学过正数与正数相乘、正数与 0 相乘。引入负数以后，出现了三种新情形：正数×负数、负数×正数、负数×负数。这些结果不能凭空规定，可以先借助一条明显的规律归纳出来——第一个因数不变，第二个因数每减少 1，积就增加 3。
算 式 积 观 察 到 的 规 律
( 3)×3 9 第一个因数固定为 3
( 3)×2 6 第二个因数减 1，积由 9 增加到 6（加 3）
( 3)×1 3 第二个因数再减 1，积再加 3
( 3)×0 0 第二个因数减到 0，积为 0
( 3)×( 1) 3 按同一规律继续，积再加 3
( 3)×( 2) 6 积继续加 3
( 3)×( 3) 9 积继续加 3
观察后四行可以看到：负数乘负数，积竟然是正数，而且积的绝对值正好等于两个因数绝对值的积。这正是「负负得正」的由来。
（二）乘法法则——按两数的符号分三种情形
两 数 的 符 号 积 的 符 号 积 的 绝 对 值 示 例
同号（正×正、负×负） 正 两数绝对值的积 ( 4)×( 5) = +(4×5) = 20
异号（正×负、负×正） 负 两数绝对值的积 ( 4)×5 = (4×5) = 20
任何数与 0 相乘 0 — ( 4)×0 = 0
法则的语言表述：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0。
特别提醒：积的绝对值一定是两个因数绝对值的积——「符号」与「绝对值」分开处理，是有理数乘法最省力的思路。
（三）运算三步法：先定符号，再算绝对值
步 骤 要 做 什 么 以 ( 4)×( 5) 为例 以 ( )× 为例
第一步 定符号 看两个因数是否同号：同号得正，异号得负 同号 → 正 异号 → 负
第二步 算绝对值 把两个因数的绝对值相乘，能约分先约分 4×5 = 20 × = =
第三步 写结果 把符号与绝对值合起来写 所以结果为 +20 = 20 所以结果为
（四）倒数
定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。也就是说，若 a×b = 1，则 a 与 b 互为倒数。
求法：求一个数 a（a≠0）的倒数，就是求 1÷a，即 。也就是说，只要把原数的分子与分母交换位置、符号保持不变即可。遇到小数或带分数，先化成假分数再交换。
原 数 倒 数 说 明
4 正数的倒数为正
4 负数的倒数为负
交换分子与分母，符号不变
0.5 2 小数先化成分数 ，再交换分子分母
1 1 倒数等于它本身
1 1 倒数等于它本身
0 不存在 任何数与 0 相乘都得 0，得不到 1，所以 0 没有倒数
两个重要结论：① 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数；② 若 a、b 互为倒数，则 a×b = 1。注意区分「倒数」与「相反数」：互为相反数的两个数和为 0，互为倒数的两个数积为 1。
例 1 计算下列各题：
（1）( 3)×( 6)； （2）( )×； （3）( 2.5)×4； （4）0×( 7.3)； （5）( )×( )
解：（1）( 3)×( 6)：同号得正，绝对值相乘 3×6 = 18，所以 ( 3)×( 6) = 18。
（2）( )×：异号得负，绝对值相乘 × = = ，
所以 ( )× = 。
（3）( 2.5)×4：异号得负，绝对值相乘 2.5×4 = 10，所以 ( 2.5)×4 = 10。
（4）0×( 7.3)：任何数同 0 相乘都得 0，所以 0×( 7.3) = 0。
（5）( )×( )：同号得正，绝对值相乘 × = = ，
所以 ( )×( ) = 。
方法提炼：有理数的乘法可以概括为一句话——「先定符号，再算绝对值」。定符号只看两个因数是否同号；算绝对值时能约分先约分，结果要化成最简。
三、多个有理数相乘的符号规律
三个或三个以上的有理数相乘，不必两个两个地判断符号，可以直接数一数负因数的个数，一次性确定积的符号。
负 因 数 的 个 数 积 的 符 号 示 例 与 说 明
奇数个 负 ( 2)×3×( 4)×( 5)：负因数有 3 个（奇数）， 积为负，|2×3×4×5| = 120，结果为 120
偶数个 正 ( 2)×( 3)×4×5：负因数有 2 个（偶数）， 积为正，2×3×4×5 = 120，结果为 120
有一个因数为 0 0 ( 2)×( 3)×0×5 = 0：只要有一个因数是 0，积就是 0
计算步骤：① 先数负因数的个数定符号（奇负偶正）；② 再把各因数的绝对值相乘；③ 若发现有一个因数是 0，可直接得积为 0。
理解这一规律并不困难：每两个负数相乘得一个正数，所以偶数个负数可以两两配对，最后积为正；奇数个负数两两配对后还会多出一个负数，与正数相乘，积就为负。
四、乘法的运算律
小学学过的乘法交换律、结合律和分配律，在有理数范围内仍然成立。这不是自然而然的事情——正是为了保住乘法分配律，数学上才必须规定「负负得正」（详见第八节的探究与发现）。
名 称 语 言 叙 述 字 母 表 示
乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 a × b = b × a
乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (a × b) × c = a × (b × c)
乘法分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 a × (b + c) = a × b + a × c
使用运算律的目的同样是「简化运算」。常用的简算思路有以下四种：
思 路 做 法 示 例
结合凑整 把积为整数（如 25×4 = 100、125×8 = 1000）的数先结合 ( 85)×( 25)×( 4) = 85×(25×4) = 85×100 = 8500
逆用分配律 把各乘积中相同的因数提取出来，反过来用分配律 ( )×( )+( )× = ( )×5 = 6
分配律展开 括号外的数分别乘括号内各数，尤其适合括号内是分数的情况 ( 24)×( +) = 12+16 18 = 14
化为假分数 带分数先化成假分数，便于约分，减少出错 ( 2)×( ) = ( )×( ) = 1
例 2 用简便方法计算：
（1）( 85)×( 25)×( 4)； （2）( )×( )+( )×； （3）( 24)×( +)
解：（1）先定符号：负因数有 3 个，积为负；再用结合律凑整：
( 85)×( 25)×( 4) = 85×(25×4) = 85×100 = 8500。
（2）各项中都有相同的因数 ( )，逆用分配律：
= ( )×( +) = ( )× = ( )×5 = 6。
（3）用分配律把 ( 24) 分别乘到括号内各数上：
= ( 24)× ( 24)×+( 24)× = 12+16 18 = 14。
方法提炼：什么时候用分配律更简便？当括号外的数与括号内各数都能约分或凑整时，用分配律往往能化繁为简；如果括号内的数很容易直接算出，就先算括号内的。两种做法都要注意「负号跟着项走」，展开时不要漏写或错写符号。
五、有理数的除法法则（2.2.2）
（一）从乘法出发：除法也转化为乘法
上一节我们学过「减法可以转化为加法」，除法同样可以转化为乘法——因为除法是乘法的逆运算：如果 a×b = c（b≠0），那么 c÷b = a。
除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。
用字母表示：a ÷ b = a × （b ≠ 0）。
除 法 算 式 转 化 为 乘 法 结 果
6 ÷ 3 6 × 2
( 6) ÷ 3 ( 6) × 2
( 6) ÷ ( 3) ( 6) × ( ) 2
0 ÷ ( 3) 0 × ( ) 0
注意：因为 0 没有倒数，所以除数不能为 0，0 不能作除数。
（二）两数相除的符号法则
把除法转化为乘法以后，符号规律可以直接由乘法法则得到。
两 数 的 符 号 商 的 符 号 商 的 绝 对 值 示 例
同号（正÷正、负÷负） 正 两数绝对值的商 ( 12)÷( 3) = +(12÷3) = 4
异号（正÷负、负÷正） 负 两数绝对值的商 ( 12)÷3 = (12÷3) = 4
0 除以一个不等于 0 的数 0 — 0÷( 4) = 0
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。它与乘法法则的形式完全一样，可以放在一起记忆。
（三）分数化简
分数线本身就表示除法， = a÷b，所以分数的符号规律也由除法法则决定：分子、分母同号时分数为正，异号时为负。化简时可以先定符号，再约分。
分 数 形 式 化 简 结 果 依 据
( 6) ÷ ( 3) 2 分子分母同号，结果为正
6 ÷ ( 3) 2 分子分母异号，结果为负
( 6) ÷ 3 2 分子分母异号，结果为负
0 ÷ ( 3) 0 被除数为 0，商为 0
例 3 计算下列各题：
（1）( 36)÷( 9)； （2）( )÷； （3）0÷( )； （4）( 1.2)÷0.4
解：（1）( 36)÷( 9)：两数同号，商为正，绝对值相除 36÷9 = 4，所以结果为 4。
（2）( )÷：先化除为乘，
= ( )× = (×) = = 。
（3）0÷( )：被除数是 0，商为 0，所以结果为 0。
（4）( 1.2)÷0.4：两数异号，商为负，绝对值相除 1.2÷0.4 = 3，所以结果为 3。
方法提炼：除法的第一步永远是「化除为乘」——把除号变成乘号，同时把除数换成它的倒数，然后按乘法法则处理符号与绝对值。
六、乘除混合运算
乘与除是同一级运算。在乘除混合运算中，可以先把所有除法统一成乘法，再一次性确定符号，最后算绝对值。这样可以避免「一步步判断符号」带来的失误。
步 骤 要 做 什 么 以 ( )÷( )×( ) 为例
第一步 统一成乘法 把每个除法改写成乘它的倒数 = ( )×( )×( )
第二步 定符号 数负因数的个数：奇负偶正 负因数有 3 个（奇数）→ 结果为负
第三步 算绝对值 各因数绝对值相乘，能约分先约分 ×× =
第四步 写结果 把符号与绝对值合起来 =
运算顺序提醒：同级运算（只有乘除，或只有加减）按从左到右的顺序进行；有括号的先算括号里面的。不要因为想先算乘法就跳过从左到右的顺序。
例 4 计算：( )÷×( )
解：先把除法化成乘法：
( )÷×( ) = ( )××( )。
负因数有 2 个（偶数），积为正，所以
= +(××) = = 。
例 5 计算：( 12)÷( )×( )
解：= ( 12)×( )×( ) （化除为乘）
负因数有 3 个（奇数），积为负，所以
= (12××) = (16×) = 8。
七、易错点辨析
易 错 说 法 辨 析 正 确 说 法
两个数的积为负，说明这两个数都是负数 异号两数相乘，积也是负数 积为负只说明两个因数异号
「负负得正」是人为硬性规定的 它可由「保持分配律成立」推导出来 把负数纳入数系时必须保留原有运算律，负负得正由此导出
0 的倒数是 0 0 与任何数相乘都得 0，永远得不到 1 0 没有倒数
求 的相反数就是它的倒数 相反数看「和为 0」，倒数看「积为 1」 的相反数是 ，倒数是
求带分数的倒数，直接交换整数部分与分数部分 带分数不是分数形式，必须先化成假分数 如 1 先化成 ，倒数为
乘除混合运算中可以先算乘法再算除法 乘与除是同一级运算 同级运算严格按从左到右的顺序进行
八、数学文化小站：从数系扩充看有理数乘法法则
教材第 50 页的「探究与发现」提出了一个问题：负数乘负数，为什么结果一定是正数？在现实生活中，我们很容易为「正×正」「正×负」找到实例，却很难为「负×负」找到合适的情境，所以「负负得正」在历史上曾长期被怀疑。
回答这个问题的关键，是数系扩充必须遵循的一条原则——原有的运算律要保持不变。特别是乘法分配律 a×(b+c) = a×b + a×c，我们希望它在有理数范围内依然成立。
于是可以这样推导：
取算式 ( 1)×[1+( 1)]。因为 1+( 1) = 0，而任何数乘 0 都得 0，所以
( 1)×[1+( 1)] = ( 1)×0 = 0。
另一方面，如果分配律成立，这个算式又应当等于
( 1)×1 + ( 1)×( 1) = 1 + ( 1)×( 1)。
两者相等，于是 1 + ( 1)×( 1) = 0，两边同时加上 1，就得到
( 1)×( 1) = 1。
更一般地，设 a、b 都是正数，由
( a)×( b) = ( a)×(0 b) = ( a)×0 ( a)×b = 0 ( ab) = ab
同样可以得到负数乘负数得正数。把三种情形的由来整理成表：
情 形 结 果 理 由
正数 × 正数 正 小学已经学过，保持不变
正数 × 负数、负数 × 正数 负 把其中一个因数换成它的相反数，积也变成原来结果的相反数
负数 × 负数 正 为保持乘法分配律成立，必须如此规定
任何数 × 0 0 小学已经学过，保持不变
所以「负负得正」并不是随意作出的规定，而是数系扩充时「保持运算律不变」这一原则的必然结果。19 世纪英国数学家德摩根曾对负数的运算法则提出过激烈批评，但最终数学界达成共识：运算法则可以规定，规定却不能与原有的运算律相矛盾。这是公理化思想的一次朴素启蒙。
九、知识网络与记忆口诀
运 算 法 则 要 点 关 键 提 示
有理数的乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 任何数同 0 相乘都得 0 先定符号 → 再算绝对值
多个有理数相乘 负因数奇数个，积为负；偶数个，积为正 有一个因数为 0，积就是 0 先数负因数的个数
乘法的运算律 交换律 a×b = b×a 结合律 (a×b)×c = a×(b×c) 分配律 a×(b+c) = a×b+a×c 凑整结合、逆用分配律、分配律展开
倒数 乘积为 1 的两个数互为倒数 a（a≠0）的倒数是 0 没有倒数；正数倒数为正，负数倒数为负
有理数的除法 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 除法一律转化为乘法；0 不能作除数
乘除混合运算 统一成乘法 → 定符号 → 算绝对值 → 写结果 同级运算从左到右，有括号先算括号
记忆口诀：
【乘法】同号得正异号负，绝对值积不能丢；任何数乘 0 都得 0，负因数个数定正负。
【倒数】倒数是积得 1，分子分母换位置；0 它没有倒数，符号照旧别忘记。
【除法】除法变乘莫发愁，除数先把倒数求；两数相除看符号，同正异负记心头。
十、达标自测
1. 计算 ( 6)×( 7) = ____________。
2. 计算 ( )× = ____________。
3. 计算 ( 1.5)×( 4) = ____________。
4. 的倒数是 ____________，它的相反数是 ____________。
5. 计算 ( 45)÷9 = ____________。
6. 计算 ( )÷ = ____________。
7. 用简便方法计算：( + )×( 36) = ____________。
8. 五个有理数相乘，其中有 3 个负因数，则积的符号是 ______（填「正」或「负」）。
自测答案：
1. 42。同号得正，绝对值相乘 6×7 = 42。
2. 。异号得负，× = = 。
3. 6。同号得正，绝对值相乘 1.5×4 = 6。
4. ；。 的倒数是 （符号不变），相反数是 。
5. 5。异号得负，绝对值相除 45÷9 = 5。
6. 。= ( )× = (×) = = 。
7. 9。= ( )×( 36)+×( 36)+( )×( 36) = 9 30+12 = 9。
8. 负。负因数有 3 个，是奇数个，所以积为负。

展开更多......

收起↑