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浙江省宁波外国语学校2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷
1．下列各点中，在反比例函数 图象上的点是（　　)
A．（2， - 1) B．（1， 2)
C．（1， - 2) D．（-2， 1)
2．若函数 是关于 x的二次函数，则 m为（　　)
A．2 B．±2 C．-2 D．0
3．抛物线 向上平移 3个单位，再向左平移 1个单位，得到新抛物线为（　　)
A．y=2 （x+1) 2+3 B．y=2 （x-1) 2+3
C．y=2 （x+1) 2-3 D．y=2 （x-1) 2-3
4．下表是满足二次函数 的五组数据，x1是方程 的一个解，则下列选项中正确的是（　　)
x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
y -0.80 -0.54 -0.20 0.22 0.72
A． B．
C． D．
5．如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形
7．已知点 （-2， a) ， （2， b) ， （3， c) 在反比例函数 图象上，则下列判断正确的是 （　　)
A．a8．如图， 四边形 ABCD为菱形， ∠ABC=80°， 延长 BC到 E， 在∠DCE内作射线 CM，使得∠ECM=30°，过点 D 作 DF⊥CM，垂足为 F，若 则 BD的长为 （　　)
A． B． C． D．3
9．已知二次函数 y=a （x-m) （x+m-4) +3 （a≠0) 的图象上有两个点 A （x1， y1) ， B （x2， y2) ， 其中 x1＜x2，则下列说法正确的是（　　）
A．若 a>0， x1+x2>4时， 则 y1＜y2
B．若 a>0， x1+x2<4时， 则 y1＜y2
C．若 时， 则 y1＜y2
D．若 时， 则 y1>y2
10．二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1，有下列结论：①abc<0； ②b2-4ac>0； ③3a+c>0； ④ （a+c) 2-b2<0； ⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）.其中正确结论的个数为（　　）.
A．2 B．3 C．4 D．5
11．对角线长为 的正方形的周长是　 　.
12．若二次函数 的图象经过点 A （-1， y1) ， B （2， y2) ， C （5， y3) ， 则 y1， y2， y3的大小关系是　 　（用＜号连接）.
13．如图， 菱形 ABCD的对角线 AC与 BD 相交于点 O， OE⊥CD于点 E，点 M，N分别为 OC，OD的中点，连结 ME，NE.则 ME+NE的值为　 　.
14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为　 　 ．
15．如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点 分别过这些点作 x轴的垂线与反比例函数 的图象相交于点 再分别过 作 垂足分别为 连结 得到一组. n.设它们的面积分别为S1， S2， S3， S4， … Sn， 则 S1=　 　；　 　.
16．已知二次函数 ，当-1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为 2，则n的取值范围是　 　.
17．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式 （其中 p，q，c均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息，如表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法
（2x+a) （x+b)
（x+a) （-x+b)
（说明： a，b，m，n，k1， k2均为常数)
有学生探究得到以下四个结论：
①若p+q=12， 则 2m+6=n；
②若 p=q=2，则
③若有且只有一个 x的值，使代数式 的值为 0，则 p-4q=0；
④若 m-n=2，则 c的值不可能是-5.
其中所有正确结论的序号是　 　.
18．如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E为边 AD上一点，过 E作 EF⊥AD交 BD于点 F，取 BE的中点 G，则 GF的最小值为　 　.
19．如图①、图②、图③均是 5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 AB的端点均在格点上.在图中按要求各画一个符合条件的四边形，且所画四边形的顶点均在格点上.
（1）在图①中画出以 AB为边的平行四边形 ABCD （非菱形)；
（2）在图②中画出以 AB为边的菱形 ABCD （非正方形)；
（3）在图③中画出以 AB为边的正方形 ABCD.
20．如图，已知二次函数 图象经过点 A （1， - 5)和 B （0， - 8) .
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
（2）当-2≤x<3时，求函数 y的取值范围；
（3）当 y≥-8时，利用图象，直接写出 x的取值范围.
21．如图， 在 ABCD中， 点 E， F分别在 BC， AD上， BE=DF， AC=EF.
（1） 求证： 四边形 AECF 是矩形；
（2） 若 求 ABCD的周长及矩形 AECF的面积.
22．如图， 一次函数 y1= kx+b （k≠0) 与函数 的图象交于A（4，1)，B（ ，a)两点.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足. 时 x的取值范围；
（3）点P在线段 AB 上，过点 P作 x轴的垂线，垂足为 M，交函数 y2的图象于点 Q，若 面积为3，求点 P的坐标.
23．某电商平台在五一长假期间举行了商品打折促销活动.经市场调查发现，某种商品的周销量 y （件)是关于售价 x （元/件)的一次函数，下表给出了该商品售价 x、周销量 y、周销售利润 w （元)的三组对应值数据：
x 40 70 90
y 180 90 30
w 3600 4500 2100
注：周销售利润=周销量× （售价-进价)
（1）求 y关于 x的函数表达式（不要求写自变量取值范围)
（2）①该商品的进价为 ▲ 元/件；
②若该商品的售价不低于 30元/件，销售量不低于 150件.当售价为多少时，周销售利润最大 并求出此时的最大利润.
24．已知抛物线 与 y轴交于点 A （0，3)，顶点 P在直线 x=1上.
（1）求抛物线 C1的解析式及顶点 P的坐标；
（2）将抛物线 C1向右平移 m（m>0)个单位，再向下平移 n （n>0)个单位，得到新抛物线 C2，新抛物线 C2的顶点为 Q，与抛物线 C1的交点为 B，如果四边形 PABQ是平行四边形.求 m、n之间的关系式（结果用含 m的代数式表示 n)；
（3）在（2）的条件下，若抛物线 C2的对称轴与直线 AP交于点 E，与抛物线 C1交于点 F，且
①求 m的值；
②若抛物线 C1上落在平行四边形 PABQ内部的点（不包括与平行四边形的交点)的横坐标记为 t，请直接写出 t的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、2×(-1)=-2≠2，故点(2，-1)不在反比例函数图象上；
B、1×2=2，故点(1，2)在反比例函数图象上；
C、1×(-2)=-2≠2，故点(1，-2)不在反比例函数图象上；
D、(-2)×1=-2≠2，故点(-2，1)不在反比例函数图象上；
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是关于x的二次函数
∴m-2≠0，且m2-2=2
解方程m2-2=2，即m2=4，
解得m=2或m=-2，
又∵m-2≠0
∴m≠2，
∴m=-2
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列出关系式即可求出m的值.
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位，再向左平移1个单位，得到新的抛物线的表达式为
y=2(x+1)2+3，
故答案为：A.
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可.
4．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵-0.20<0<0.22，
∴2.0故答案为：C.
【分析】利用表格中的数据来确定方程的解，根据y值的变化确定方程解的范围.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示：
点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴，
四边形和为矩形，
根据反比例函数比例系数的几何意义，得：
，，
则阴影部分的面积为，
故选：B．
【分析】
已知点A、B分别在反比例函数和的图象上，结合反比例函数比例系数的几何意义，得到，；再根据阴影部分面积等于矩形ACOD的面积减去矩形BEOF的面积，即，即可求出对应的结果.
6．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确；
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④当∠DAB=90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定其是正方形，故D错误；
故答案为：D．
【分析】通过矩形、菱形、矩形及正方形的判定方法一 一判断即可.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵对于反比例函数，k2≥0，
∴k2+1>0.
∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点(-2，a)的横坐标-2<0，
∴点(-2，a)在第三象限，可得a<0，
∵点(2，b)，(3，c)的横坐标0<2<3，两点都在第一象限
∴0综上可得a故答案为：C.
【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限，再结合各点横坐标的范围，利用反比例函数的增减性比较纵坐标大小即可.
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
又∵∠ECM=30°
∴∠DCF=50°
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°
∴∠CDF=40°
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC.
∴∠HDC=40°
在△CDH和△CDF中，
∴△DCH≌△DCF(AAS)，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度.
9．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题知，
∵二次函数y=a(x-m)(x+m-4)+3(a≠0)的图象可由抛物线y=a(x-m)(x+m-4)的图象向上平移3个单位长度得到
∴两条抛物线的对称轴相同为直线
当a>0时，抛物线的开口向上，
由x1+x2>4得，点B离抛物线的对称轴更远，
∴y1故A选项符合题意；
由x1+x2<4得，点A离抛物线的对称轴更远，
∴y1>y2，
故B选项不符合题意；
当a<0时，抛物线的开口向下，
由x1+x2>4得，点B离抛物线的对称轴更远
∴y1>y2，
故C选项不符合题意；
由x1+x2<4得，点A离抛物线的对称轴更远
∴y1故D选项不符合题意
故答案为：A.
【分析】根据题意，得出抛物线的对称轴为直线x=2，再结合抛物线的性质对所给选项依次进行判断即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线开口向上
∴a>0
∵对称轴是直线x=1，
∴，即b=-2a<0，
∵抛物线与轴交点在x轴下方，
∴c<0
∴abc>0，故结论①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，故结论②正确；
当x=-1时，y=a-b+c>0
∵b=-2a，
∴a-(-2a)+c>0，即3a+c>0，故结论③正确；
当x=1时，y=a+b+c<0，
∴(a-b+c)(a+b+c)<0，即[(a+c)-b][(a+c)+b]<0，
∴(a+c)2-b2<0，故结论④正确；
∵抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x=1时，函数取得最小值a+b+c，
∴当m≠1时，am2+bm+c>a+b+c
∴am2+bm>a+b，即a+b综上所述，正确的结论有②③④⑤，共4个
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置判断a，b，c的符号及相关代数式的值；利用x=1和x=-1时的函数值判断相关不等式，利用函数的最小值性质判断含参不等式.
11．【答案】4
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a(a>0)，
∵正方形的对角线长为
∴，
整理得2a2=2，解得a=1(负值已舍去)
∴正方形周长为=4a=4×1=4.
故答案为：4.
【分析】根据正方形的性质，结合勾股定理求出正方形的边长，再利用正方形周长公式计算结果.
12．【答案】y2>y3>y1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，二次函数对称轴为直线
∵a=-1<0
∴当x<3时，y随x增大而增大，当x>3时，y随x增大而减小
∵A(-1， y1)， B (2， y2)，
∴-1<2<3
∴y2>y3，
又根据抛物线图像的对称性，可知当x=2或x=4时，函数值相等
又∵5>4>3，
∴y3>y1.
故答案为y2>y3>y1.
【分析】利用二次函数对称轴及二次函数增减性求解.
13．【答案】3
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，，
在Rt△AOB中，，
∴OC=OA=2
∵OE⊥CD，
∴∠OEC=∠OED=90°
在Rt△OEC中，点M为OC的中点
∴，
在Rt△OED中，点N为OD的中点，
∴，
∴ME+NA=1+2=3.
故答案为：3.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，OA=OC，，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半分别求出ME、NE的长，最后求和即可.
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴CE=AE，
设CE=AE=x，则DE=4﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2=CE2，
即22+（4﹣x）2=x2，
解得：x=，
∴CE=；
故答案为：．
【分析】由矩形的性质得出CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，由线段垂直平分线的性质得出CE=AE，设CE=AE=x，则DE=4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
15．【答案】；
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：解： 设OA1=A1A2=A2A3=...=An-2An-1=a，
∵x=a时，
∴P1的坐标为，
∵x=2a时，
∴P2的坐标为，
∴
......，
∴
∴S1+S2+S3+...+S2026
故答案为：，.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到，，，由此得出，即可求得S1+S2+S3+...+S2026的值.
16．【答案】1≤n≤3
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x=(x-1)2-1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x<1时，y的值随着x的值增大而减小；当x>1时，y的值随着x的值增大而增大；
①当n<1时，当-1≤x≤n时，y随的x增大而减小，
那么x=-1时取得最大值，x=n时取得最小值，最大值为-1，最小值为(n-1)2-1，
则可列出方程：(n-1)2-1-1=2，
解得n=3或n=-1，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去
②当1≤n≤3时
此时x=1时取得最小值，x=-1时取得最大值，最大值为3，最小值为-1，
此时最大值与最小值的和为2，
符合题意；
③当n>3时
此时x=1时取得最小值，x=n时取得最大值，最小值为-1，最大值为(n-1)2-1，
则可列出方程：(n-1)2-1-1=2，
解得n=3或n=-1，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去
∴综上，得到n的取值范围为：1≤n≤3
故答案为：1≤n≤3.
【分析】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为n<1，1≤n≤3和n>3三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断.
17．【答案】①④
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵
(2x+a)(x+b)=2x2+(a+2b)x+ab
(x+a)(-x+b)=-x2+(b-a)x+ab
∴p=a+2b，c=ab，q=b-a，，，，
①∵，
∴
∵p+q=12，
∴q=12-p
∴
∴2m+6=n；故正确；
②∵p=q=2，
∴
解得：
∴；故错误；
③由题意可知：当2x2+px+c=0时，方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=p2-8c=(a+2b)2-8ab=(a-2b)2=0，
∴a=2b，
∴p=4b，q=-b.
∴p-4q=4b-4×(-b)=8b≠0；故错误；
④当m-n=2，即，
∴p+2q=-8
∴a+2b+2(b-a)=4b-a=-8，
∴a=4b+8
∴c=ab=b(4b+8)=4b2+8b=4(b+1)2-4，
∵4(b+1)2≥0，
∴c=4(b+1)2-4≥-4，所以c的值不可能是-5，说法正确；
综上所述：正确的结论有①④
故答案为：①④.
【分析】由题意易得p=a+2b，c=ab，q=b-a，，，，，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长FG，交AB于点H，取AB的中点N，连接NG，
∵EF⊥AD，
∴∠AEF=∠DEF=90°
∴∠AEF=∠A=90°
∴∠AEF+∠A=180°
∴AB//EF
∴∠GBH=∠GEF，
∵BE的中点为点G，
∴BG=EG
又∵∠HGB=∠FGE
∴△HGB≌△FGE(ASA)
∴GF=GH，EF=BH
∵AB的中点为点N，BE的中点为点G，
∴，NG//AE，
∴∠HNG=180°-∠A=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDF=45°
∴△DFE为等腰直角三角形，
∴DE=EF，
∴DE=EF=BH，
设DE=x，则BH=x，AE=4-x，，NH=|2-x|，GH2=y，
∴，
∴，
当时，y取得最小值，即GH的最小值为
∴GF的最小值为，
故答案为：.
【分析】延长FG，交AB于点H，取AB的中点N，连接NG，先证明△HGB≌△FGE，得到GF=GH，EF=BH，根据三角形中位线定理，可得到，NG//AE，设DE=x，则BH=x，AE=4-x，，NH=|2-x|，GH2=y，可得结论.
19．【答案】（1）解：如图①中，四边形 ABCD 即为所求；
∵AD//BC， AD=BC=3
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵，
∴AB≠BC，
∴四边形ABCD不是菱形；
（2）解：如图中，四边形ABCD即为所求；
∵，
∴四边形ABCD是菱形，
∵，AC2=22=4
∴AB2+BC2≠AC2，
∴△ABC不是直角三角形，AB不垂直于BC
∴四边形ABCD不是正方形；
（3）解：求如图③中，四边形ABCD即为所求；
∵，
∴四边形ABCD是菱形，
∵，AC2=12+32=10
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是正方形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形；
(2)根据菱形的判定以及题目要求作出图形；
(3)根据正方形的判定以及题目要求作出图形.
20．【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1，-5)和B(0，-8)，
∴
∴
∴该二次函数的表达式为y=x2+2x-8=(x+1)2-9，
∴顶点坐标为(-1，-9)
（2）解：由(1)得该二次函数的表达式为y=(x+1)2-9，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=-1，
∴离对称轴越远，函数值越大，
当x=3时，y=(3+1)2-9=7，且|-2-(-1)|=1<|3-(-1)|=4，
∴当-2≤x<3时，函数的最大值小于7，
∵顶点坐标为(-1，-9)，即当-2≤x<3时，函数的最小值为-9
∴当-2≤x<3时， -9≤y<7
（3）解：x≤-2或 x≥0
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(3)由(2)可知，对称轴为直线x=-1
∵B(0，-8)，
∴由对称性可知，点C(-2，-8)在该函数的图象上，
由函数图象可知，当y≥-8时，x≤-2或x≥0.
故答案为：x≤-2或x≥0.
【分析】(1)利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可；
(2)根据(1)所求可得函数的增减性和对称轴，求出x=3时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案；
(3)由对称性可得点C(-2，-8)在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案.
21．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC， AD∥BC，即AF//CE，
∵BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，
即AF=EC，
∴四边形 AECF是平行四边形，
又∵AC=EF，
∴平行四边形 AECF是矩形
（2）解：∵四边形AECF是矩形，
∴AE=CF，AF=CE，AE⊥BC，
∴∠AEB=90°
在Rt△ABE中，AE=BE，AB =2，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC
∵，
∴四边形ABCD的周长
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，即AF//CE，证明AF=CE，则可证明四边
形AECF是平行四边形，再由AC=EF即可证明结论；
(2)由矩形的性质得到AE=CF，AF=CE，AE⊥BC，由勾股定理求出，则，据此可求出矩形的面积；求出，根据平行四边形的周长公式可得答案.
22．【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点 A （4，1)，
∴m=4.
∴反比例函数解析式为
把 代入，得a=8.
∴点 B坐标为
∵一次函数解析式 y1= kx+b，经过 A （4， 1)， B （ ， 8)，
故一次函数解析式为： y1=-2x+9.
（2）解：
（3）解：由题意，设 P （p，-2p+9)且
解得
或（2， 5) .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：(2)由 y1-y2>0，∵y1>y2，即反比例函数值小于一次函数值.
由图象可得，
故答案为：.
【分析】(1)将A(4，1)代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将(4，1)和点B坐标代入y1=kx+b(k≠0)，即可求出一次函数解析式；
(2)直线AB在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
(3)设点P的横坐标为p，代入一次函数解析式求出纵坐标，将x=p代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出PQ，再根据△POQ面积为3列方程求解即可.
23．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为y=kx+b，
根据题意得：，解得
∴y关于x的函数解析式为y=-3x+300
（2）解：①20；
②根据题意得，a≥30，y=-3x+300≥150，
解得30≤x≤50
W=(-3x+300)(x-20)
=-3x2+360x-6000
=-3(x-60)2+4800.
∵-3<0，对称轴为直线x=60，
∴抛物线开口向下，当30≤x≤50时，W随x的增大而增大，
∴当售价为 50元/件时，周销售利润最大，此时w=-3×(50-60)2+4800=4500(元)，即最大利润为4500元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：①该商品的进价为a元/件：
根据题意得，180×(40-a)=3600，
解得a=20
即该商品的进价为20元/件；
故答案为：20.
【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可；
(2)①根据周销售利润=周销量×(售价-进价)列方程求解即可；
②先根据“商品的售价不低于30元/件，销售量不低于150件”确定x的取值范围，再根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可.
24．【答案】（1）解：将A代入y=-x2+bx+c，
∴c=3，
∵顶点P在直线x=1上，
∴，
解得b=2
∴y=-x2+2x+3
∴P(1，4)；
（2）解：∵将抛物线C1向右平移m(m>0)个单位，再向下平移n(n>0)个单位，
∴y'=-(x-1-m)2+4-n，
∴Q(1+m， 4-n)，
∵四边形PABQ是平行四边形，
∴Q点向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度得到B，
∴B(m， 3-n)，
∴3-n=-m2+2m+3
∴n=m2-2m；
（3）解：①∵A(0， 3)，P(1， 4)，
∴直线AP的解析式为y=x+1，
∴E(1+m，4+m)， F(1+m，4-m2).
∵Q(1+m，4-m2+2m)，
∴EQ=m2-m，FQ=2m
作PM⊥EQ交于M点，BN⊥FQ交于N点
∴PM=m，BN=1
∵S△PEQ：S△BFQ=3：1，
∴
解得m=3或m=-2(舍)；
∴m=3
②
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(3)②∵P(1， 4)， Q(4， 1)，
∴直线PQ的解析式为y=-x+5，
当-x+5=-x2+2x+3时，解得x=1或x=2，
∴直线y=-x+5与抛物线y=x2+2x+3的交点为(1，4)、(2，3)，
∴1故答案为：1【分析】(1)根据对称轴求出b=2，再将A点代入即可求函数的解析式；
(2)求出y'=-(x-1-m)2+4-n， 则Q(1+m，4-n)，由四边形PABQ是平行四边形，可知Q点向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度得到B(m，3-n)，将B点代入函数解析式即可得n=m2-2m；
(3)①求出直线AP的解析式为y=x+1，分别求出E(1+m，4+m)， F(1+m， 4-m2)，从而求出EQ=m2-m，FQ=2m，作PM⊥EQ交于M点，BN⊥FQ交于N点，则PM=m，BN=1，根据题意可得m(m2-m)：m·2m=3：1，求出m的值即可；
②求出直线PQ的解析式为y=-x+5，再求直线y=-x+5与抛物线y=-x2+2x+3的交点为(1，4)、(2，
3)，进而即可求解.
1 / 1浙江省宁波外国语学校2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷
1．下列各点中，在反比例函数 图象上的点是（　　)
A．（2， - 1) B．（1， 2)
C．（1， - 2) D．（-2， 1)
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、2×(-1)=-2≠2，故点(2，-1)不在反比例函数图象上；
B、1×2=2，故点(1，2)在反比例函数图象上；
C、1×(-2)=-2≠2，故点(1，-2)不在反比例函数图象上；
D、(-2)×1=-2≠2，故点(-2，1)不在反比例函数图象上；
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行逐项判断即可.
2．若函数 是关于 x的二次函数，则 m为（　　)
A．2 B．±2 C．-2 D．0
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是关于x的二次函数
∴m-2≠0，且m2-2=2
解方程m2-2=2，即m2=4，
解得m=2或m=-2，
又∵m-2≠0
∴m≠2，
∴m=-2
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列出关系式即可求出m的值.
3．抛物线 向上平移 3个单位，再向左平移 1个单位，得到新抛物线为（　　)
A．y=2 （x+1) 2+3 B．y=2 （x-1) 2+3
C．y=2 （x+1) 2-3 D．y=2 （x-1) 2-3
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位，再向左平移1个单位，得到新的抛物线的表达式为
y=2(x+1)2+3，
故答案为：A.
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可.
4．下表是满足二次函数 的五组数据，x1是方程 的一个解，则下列选项中正确的是（　　)
x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
y -0.80 -0.54 -0.20 0.22 0.72
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵-0.20<0<0.22，
∴2.0故答案为：C.
【分析】利用表格中的数据来确定方程的解，根据y值的变化确定方程解的范围.
5．如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示：
点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴，
四边形和为矩形，
根据反比例函数比例系数的几何意义，得：
，，
则阴影部分的面积为，
故选：B．
【分析】
已知点A、B分别在反比例函数和的图象上，结合反比例函数比例系数的几何意义，得到，；再根据阴影部分面积等于矩形ACOD的面积减去矩形BEOF的面积，即，即可求出对应的结果.
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确；
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④当∠DAB=90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定其是正方形，故D错误；
故答案为：D．
【分析】通过矩形、菱形、矩形及正方形的判定方法一 一判断即可.
7．已知点 （-2， a) ， （2， b) ， （3， c) 在反比例函数 图象上，则下列判断正确的是 （　　)
A．a【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵对于反比例函数，k2≥0，
∴k2+1>0.
∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点(-2，a)的横坐标-2<0，
∴点(-2，a)在第三象限，可得a<0，
∵点(2，b)，(3，c)的横坐标0<2<3，两点都在第一象限
∴0综上可得a故答案为：C.
【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限，再结合各点横坐标的范围，利用反比例函数的增减性比较纵坐标大小即可.
8．如图， 四边形 ABCD为菱形， ∠ABC=80°， 延长 BC到 E， 在∠DCE内作射线 CM，使得∠ECM=30°，过点 D 作 DF⊥CM，垂足为 F，若 则 BD的长为 （　　)
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
又∵∠ECM=30°
∴∠DCF=50°
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°
∴∠CDF=40°
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC.
∴∠HDC=40°
在△CDH和△CDF中，
∴△DCH≌△DCF(AAS)，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度.
9．已知二次函数 y=a （x-m) （x+m-4) +3 （a≠0) 的图象上有两个点 A （x1， y1) ， B （x2， y2) ， 其中 x1＜x2，则下列说法正确的是（　　）
A．若 a>0， x1+x2>4时， 则 y1＜y2
B．若 a>0， x1+x2<4时， 则 y1＜y2
C．若 时， 则 y1＜y2
D．若 时， 则 y1>y2
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题知，
∵二次函数y=a(x-m)(x+m-4)+3(a≠0)的图象可由抛物线y=a(x-m)(x+m-4)的图象向上平移3个单位长度得到
∴两条抛物线的对称轴相同为直线
当a>0时，抛物线的开口向上，
由x1+x2>4得，点B离抛物线的对称轴更远，
∴y1故A选项符合题意；
由x1+x2<4得，点A离抛物线的对称轴更远，
∴y1>y2，
故B选项不符合题意；
当a<0时，抛物线的开口向下，
由x1+x2>4得，点B离抛物线的对称轴更远
∴y1>y2，
故C选项不符合题意；
由x1+x2<4得，点A离抛物线的对称轴更远
∴y1故D选项不符合题意
故答案为：A.
【分析】根据题意，得出抛物线的对称轴为直线x=2，再结合抛物线的性质对所给选项依次进行判断即可.
10．二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1，有下列结论：①abc<0； ②b2-4ac>0； ③3a+c>0； ④ （a+c) 2-b2<0； ⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）.其中正确结论的个数为（　　）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线开口向上
∴a>0
∵对称轴是直线x=1，
∴，即b=-2a<0，
∵抛物线与轴交点在x轴下方，
∴c<0
∴abc>0，故结论①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，故结论②正确；
当x=-1时，y=a-b+c>0
∵b=-2a，
∴a-(-2a)+c>0，即3a+c>0，故结论③正确；
当x=1时，y=a+b+c<0，
∴(a-b+c)(a+b+c)<0，即[(a+c)-b][(a+c)+b]<0，
∴(a+c)2-b2<0，故结论④正确；
∵抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x=1时，函数取得最小值a+b+c，
∴当m≠1时，am2+bm+c>a+b+c
∴am2+bm>a+b，即a+b综上所述，正确的结论有②③④⑤，共4个
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置判断a，b，c的符号及相关代数式的值；利用x=1和x=-1时的函数值判断相关不等式，利用函数的最小值性质判断含参不等式.
11．对角线长为 的正方形的周长是　 　.
【答案】4
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a(a>0)，
∵正方形的对角线长为
∴，
整理得2a2=2，解得a=1(负值已舍去)
∴正方形周长为=4a=4×1=4.
故答案为：4.
【分析】根据正方形的性质，结合勾股定理求出正方形的边长，再利用正方形周长公式计算结果.
12．若二次函数 的图象经过点 A （-1， y1) ， B （2， y2) ， C （5， y3) ， 则 y1， y2， y3的大小关系是　 　（用＜号连接）.
【答案】y2>y3>y1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，二次函数对称轴为直线
∵a=-1<0
∴当x<3时，y随x增大而增大，当x>3时，y随x增大而减小
∵A(-1， y1)， B (2， y2)，
∴-1<2<3
∴y2>y3，
又根据抛物线图像的对称性，可知当x=2或x=4时，函数值相等
又∵5>4>3，
∴y3>y1.
故答案为y2>y3>y1.
【分析】利用二次函数对称轴及二次函数增减性求解.
13．如图， 菱形 ABCD的对角线 AC与 BD 相交于点 O， OE⊥CD于点 E，点 M，N分别为 OC，OD的中点，连结 ME，NE.则 ME+NE的值为　 　.
【答案】3
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，，
在Rt△AOB中，，
∴OC=OA=2
∵OE⊥CD，
∴∠OEC=∠OED=90°
在Rt△OEC中，点M为OC的中点
∴，
在Rt△OED中，点N为OD的中点，
∴，
∴ME+NA=1+2=3.
故答案为：3.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，OA=OC，，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半分别求出ME、NE的长，最后求和即可.
14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为　 　 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴CE=AE，
设CE=AE=x，则DE=4﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2=CE2，
即22+（4﹣x）2=x2，
解得：x=，
∴CE=；
故答案为：．
【分析】由矩形的性质得出CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，由线段垂直平分线的性质得出CE=AE，设CE=AE=x，则DE=4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
15．如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点 分别过这些点作 x轴的垂线与反比例函数 的图象相交于点 再分别过 作 垂足分别为 连结 得到一组. n.设它们的面积分别为S1， S2， S3， S4， … Sn， 则 S1=　 　；　 　.
【答案】；
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：解： 设OA1=A1A2=A2A3=...=An-2An-1=a，
∵x=a时，
∴P1的坐标为，
∵x=2a时，
∴P2的坐标为，
∴
......，
∴
∴S1+S2+S3+...+S2026
故答案为：，.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到，，，由此得出，即可求得S1+S2+S3+...+S2026的值.
16．已知二次函数 ，当-1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为 2，则n的取值范围是　 　.
【答案】1≤n≤3
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x=(x-1)2-1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x<1时，y的值随着x的值增大而减小；当x>1时，y的值随着x的值增大而增大；
①当n<1时，当-1≤x≤n时，y随的x增大而减小，
那么x=-1时取得最大值，x=n时取得最小值，最大值为-1，最小值为(n-1)2-1，
则可列出方程：(n-1)2-1-1=2，
解得n=3或n=-1，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去
②当1≤n≤3时
此时x=1时取得最小值，x=-1时取得最大值，最大值为3，最小值为-1，
此时最大值与最小值的和为2，
符合题意；
③当n>3时
此时x=1时取得最小值，x=n时取得最大值，最小值为-1，最大值为(n-1)2-1，
则可列出方程：(n-1)2-1-1=2，
解得n=3或n=-1，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去
∴综上，得到n的取值范围为：1≤n≤3
故答案为：1≤n≤3.
【分析】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为n<1，1≤n≤3和n>3三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断.
17．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式 （其中 p，q，c均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息，如表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法
（2x+a) （x+b)
（x+a) （-x+b)
（说明： a，b，m，n，k1， k2均为常数)
有学生探究得到以下四个结论：
①若p+q=12， 则 2m+6=n；
②若 p=q=2，则
③若有且只有一个 x的值，使代数式 的值为 0，则 p-4q=0；
④若 m-n=2，则 c的值不可能是-5.
其中所有正确结论的序号是　 　.
【答案】①④
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵
(2x+a)(x+b)=2x2+(a+2b)x+ab
(x+a)(-x+b)=-x2+(b-a)x+ab
∴p=a+2b，c=ab，q=b-a，，，，
①∵，
∴
∵p+q=12，
∴q=12-p
∴
∴2m+6=n；故正确；
②∵p=q=2，
∴
解得：
∴；故错误；
③由题意可知：当2x2+px+c=0时，方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=p2-8c=(a+2b)2-8ab=(a-2b)2=0，
∴a=2b，
∴p=4b，q=-b.
∴p-4q=4b-4×(-b)=8b≠0；故错误；
④当m-n=2，即，
∴p+2q=-8
∴a+2b+2(b-a)=4b-a=-8，
∴a=4b+8
∴c=ab=b(4b+8)=4b2+8b=4(b+1)2-4，
∵4(b+1)2≥0，
∴c=4(b+1)2-4≥-4，所以c的值不可能是-5，说法正确；
综上所述：正确的结论有①④
故答案为：①④.
【分析】由题意易得p=a+2b，c=ab，q=b-a，，，，，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案.
18．如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E为边 AD上一点，过 E作 EF⊥AD交 BD于点 F，取 BE的中点 G，则 GF的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长FG，交AB于点H，取AB的中点N，连接NG，
∵EF⊥AD，
∴∠AEF=∠DEF=90°
∴∠AEF=∠A=90°
∴∠AEF+∠A=180°
∴AB//EF
∴∠GBH=∠GEF，
∵BE的中点为点G，
∴BG=EG
又∵∠HGB=∠FGE
∴△HGB≌△FGE(ASA)
∴GF=GH，EF=BH
∵AB的中点为点N，BE的中点为点G，
∴，NG//AE，
∴∠HNG=180°-∠A=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDF=45°
∴△DFE为等腰直角三角形，
∴DE=EF，
∴DE=EF=BH，
设DE=x，则BH=x，AE=4-x，，NH=|2-x|，GH2=y，
∴，
∴，
当时，y取得最小值，即GH的最小值为
∴GF的最小值为，
故答案为：.
【分析】延长FG，交AB于点H，取AB的中点N，连接NG，先证明△HGB≌△FGE，得到GF=GH，EF=BH，根据三角形中位线定理，可得到，NG//AE，设DE=x，则BH=x，AE=4-x，，NH=|2-x|，GH2=y，可得结论.
19．如图①、图②、图③均是 5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 AB的端点均在格点上.在图中按要求各画一个符合条件的四边形，且所画四边形的顶点均在格点上.
（1）在图①中画出以 AB为边的平行四边形 ABCD （非菱形)；
（2）在图②中画出以 AB为边的菱形 ABCD （非正方形)；
（3）在图③中画出以 AB为边的正方形 ABCD.
【答案】（1）解：如图①中，四边形 ABCD 即为所求；
∵AD//BC， AD=BC=3
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵，
∴AB≠BC，
∴四边形ABCD不是菱形；
（2）解：如图中，四边形ABCD即为所求；
∵，
∴四边形ABCD是菱形，
∵，AC2=22=4
∴AB2+BC2≠AC2，
∴△ABC不是直角三角形，AB不垂直于BC
∴四边形ABCD不是正方形；
（3）解：求如图③中，四边形ABCD即为所求；
∵，
∴四边形ABCD是菱形，
∵，AC2=12+32=10
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是正方形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形；
(2)根据菱形的判定以及题目要求作出图形；
(3)根据正方形的判定以及题目要求作出图形.
20．如图，已知二次函数 图象经过点 A （1， - 5)和 B （0， - 8) .
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
（2）当-2≤x<3时，求函数 y的取值范围；
（3）当 y≥-8时，利用图象，直接写出 x的取值范围.
【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1，-5)和B(0，-8)，
∴
∴
∴该二次函数的表达式为y=x2+2x-8=(x+1)2-9，
∴顶点坐标为(-1，-9)
（2）解：由(1)得该二次函数的表达式为y=(x+1)2-9，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=-1，
∴离对称轴越远，函数值越大，
当x=3时，y=(3+1)2-9=7，且|-2-(-1)|=1<|3-(-1)|=4，
∴当-2≤x<3时，函数的最大值小于7，
∵顶点坐标为(-1，-9)，即当-2≤x<3时，函数的最小值为-9
∴当-2≤x<3时， -9≤y<7
（3）解：x≤-2或 x≥0
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(3)由(2)可知，对称轴为直线x=-1
∵B(0，-8)，
∴由对称性可知，点C(-2，-8)在该函数的图象上，
由函数图象可知，当y≥-8时，x≤-2或x≥0.
故答案为：x≤-2或x≥0.
【分析】(1)利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可；
(2)根据(1)所求可得函数的增减性和对称轴，求出x=3时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案；
(3)由对称性可得点C(-2，-8)在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案.
21．如图， 在 ABCD中， 点 E， F分别在 BC， AD上， BE=DF， AC=EF.
（1） 求证： 四边形 AECF 是矩形；
（2） 若 求 ABCD的周长及矩形 AECF的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC， AD∥BC，即AF//CE，
∵BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，
即AF=EC，
∴四边形 AECF是平行四边形，
又∵AC=EF，
∴平行四边形 AECF是矩形
（2）解：∵四边形AECF是矩形，
∴AE=CF，AF=CE，AE⊥BC，
∴∠AEB=90°
在Rt△ABE中，AE=BE，AB =2，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC
∵，
∴四边形ABCD的周长
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，即AF//CE，证明AF=CE，则可证明四边
形AECF是平行四边形，再由AC=EF即可证明结论；
(2)由矩形的性质得到AE=CF，AF=CE，AE⊥BC，由勾股定理求出，则，据此可求出矩形的面积；求出，根据平行四边形的周长公式可得答案.
22．如图， 一次函数 y1= kx+b （k≠0) 与函数 的图象交于A（4，1)，B（ ，a)两点.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足. 时 x的取值范围；
（3）点P在线段 AB 上，过点 P作 x轴的垂线，垂足为 M，交函数 y2的图象于点 Q，若 面积为3，求点 P的坐标.
【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点 A （4，1)，
∴m=4.
∴反比例函数解析式为
把 代入，得a=8.
∴点 B坐标为
∵一次函数解析式 y1= kx+b，经过 A （4， 1)， B （ ， 8)，
故一次函数解析式为： y1=-2x+9.
（2）解：
（3）解：由题意，设 P （p，-2p+9)且
解得
或（2， 5) .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：(2)由 y1-y2>0，∵y1>y2，即反比例函数值小于一次函数值.
由图象可得，
故答案为：.
【分析】(1)将A(4，1)代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将(4，1)和点B坐标代入y1=kx+b(k≠0)，即可求出一次函数解析式；
(2)直线AB在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
(3)设点P的横坐标为p，代入一次函数解析式求出纵坐标，将x=p代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出PQ，再根据△POQ面积为3列方程求解即可.
23．某电商平台在五一长假期间举行了商品打折促销活动.经市场调查发现，某种商品的周销量 y （件)是关于售价 x （元/件)的一次函数，下表给出了该商品售价 x、周销量 y、周销售利润 w （元)的三组对应值数据：
x 40 70 90
y 180 90 30
w 3600 4500 2100
注：周销售利润=周销量× （售价-进价)
（1）求 y关于 x的函数表达式（不要求写自变量取值范围)
（2）①该商品的进价为 ▲ 元/件；
②若该商品的售价不低于 30元/件，销售量不低于 150件.当售价为多少时，周销售利润最大 并求出此时的最大利润.
【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为y=kx+b，
根据题意得：，解得
∴y关于x的函数解析式为y=-3x+300
（2）解：①20；
②根据题意得，a≥30，y=-3x+300≥150，
解得30≤x≤50
W=(-3x+300)(x-20)
=-3x2+360x-6000
=-3(x-60)2+4800.
∵-3<0，对称轴为直线x=60，
∴抛物线开口向下，当30≤x≤50时，W随x的增大而增大，
∴当售价为 50元/件时，周销售利润最大，此时w=-3×(50-60)2+4800=4500(元)，即最大利润为4500元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：①该商品的进价为a元/件：
根据题意得，180×(40-a)=3600，
解得a=20
即该商品的进价为20元/件；
故答案为：20.
【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可；
(2)①根据周销售利润=周销量×(售价-进价)列方程求解即可；
②先根据“商品的售价不低于30元/件，销售量不低于150件”确定x的取值范围，再根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可.
24．已知抛物线 与 y轴交于点 A （0，3)，顶点 P在直线 x=1上.
（1）求抛物线 C1的解析式及顶点 P的坐标；
（2）将抛物线 C1向右平移 m（m>0)个单位，再向下平移 n （n>0)个单位，得到新抛物线 C2，新抛物线 C2的顶点为 Q，与抛物线 C1的交点为 B，如果四边形 PABQ是平行四边形.求 m、n之间的关系式（结果用含 m的代数式表示 n)；
（3）在（2）的条件下，若抛物线 C2的对称轴与直线 AP交于点 E，与抛物线 C1交于点 F，且
①求 m的值；
②若抛物线 C1上落在平行四边形 PABQ内部的点（不包括与平行四边形的交点)的横坐标记为 t，请直接写出 t的取值范围.
【答案】（1）解：将A代入y=-x2+bx+c，
∴c=3，
∵顶点P在直线x=1上，
∴，
解得b=2
∴y=-x2+2x+3
∴P(1，4)；
（2）解：∵将抛物线C1向右平移m(m>0)个单位，再向下平移n(n>0)个单位，
∴y'=-(x-1-m)2+4-n，
∴Q(1+m， 4-n)，
∵四边形PABQ是平行四边形，
∴Q点向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度得到B，
∴B(m， 3-n)，
∴3-n=-m2+2m+3
∴n=m2-2m；
（3）解：①∵A(0， 3)，P(1， 4)，
∴直线AP的解析式为y=x+1，
∴E(1+m，4+m)， F(1+m，4-m2).
∵Q(1+m，4-m2+2m)，
∴EQ=m2-m，FQ=2m
作PM⊥EQ交于M点，BN⊥FQ交于N点
∴PM=m，BN=1
∵S△PEQ：S△BFQ=3：1，
∴
解得m=3或m=-2(舍)；
∴m=3
②
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(3)②∵P(1， 4)， Q(4， 1)，
∴直线PQ的解析式为y=-x+5，
当-x+5=-x2+2x+3时，解得x=1或x=2，
∴直线y=-x+5与抛物线y=x2+2x+3的交点为(1，4)、(2，3)，
∴1故答案为：1【分析】(1)根据对称轴求出b=2，再将A点代入即可求函数的解析式；
(2)求出y'=-(x-1-m)2+4-n， 则Q(1+m，4-n)，由四边形PABQ是平行四边形，可知Q点向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度得到B(m，3-n)，将B点代入函数解析式即可得n=m2-2m；
(3)①求出直线AP的解析式为y=x+1，分别求出E(1+m，4+m)， F(1+m， 4-m2)，从而求出EQ=m2-m，FQ=2m，作PM⊥EQ交于M点，BN⊥FQ交于N点，则PM=m，BN=1，根据题意可得m(m2-m)：m·2m=3：1，求出m的值即可；
②求出直线PQ的解析式为y=-x+5，再求直线y=-x+5与抛物线y=-x2+2x+3的交点为(1，4)、(2，
3)，进而即可求解.
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