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四川省眉山市2026年中考一模考试数学试题
1．比-3小的有理数是(　　)
A．- 4 B．- 2 C．4 D．0
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-4<-3，-2>-3，4>-3，0>-3
∴各数中，比-3小的有理数是-4，
故答案为：A.
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
2．2026年春假期间，许多家长热衷于带孩子参观各地博物馆增长见识.下列博物馆标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A，C，D将图形旋转180°后，图形与原图不重合，不是中心对称图形；选项B，将图形旋转180°后，与原图完全重合，因此是中心对称图形
故答案为：B.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来的重合，那么这个图形就是中心对称图形.
3．二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材.实验课上小文将一根燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条熄灭是(　　)
A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定
【答案】C
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：∵二氧化碳不支持燃烧，将燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，木条一定熄灭，该事件满足必然事件的定义，
∴该事件是必然事件.
故答案为：C.
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件指一定条件下一定不发生的事件，随机事件指一定条件下可能发生也可能不发生的事件.
4．将一个三角板如图放置，直线AB∥CD，若∠1=50°，则∠2的度数为(　　)
A．140° B．130° C．50° D．40°
【答案】A
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得：∠3=90°-∠1=40°，
∵AB//CD
∴∠4=∠3=40°，
∴∠2=180°-∠4=140°
故答案为：A.
【分析】先求出∠3=40°，再由平行线的性质可得：∠4=∠3=40°，最后由邻补角的定义计算即可得出结果.
5．下列计算结果正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(-a)6÷(-a)2=(-a)6-2=(-a)4=a4，此选项符合题意；
B、a9÷a3=a9-3=a6≠a，此选项不符合题意；
C、(a2b)2=(a2)2·b2=a4b2≠a2b2，此选项不符合题意；
D、(3ab2)2=32·a2·(b2)2=9a2b4≠6a2b4， 此选项不符合题意；
故选：A.
【分析】根据同底数幂除法法则，积的乘方、幂的乘方法则即可求解.
6．《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，问门的高度是（　　）
A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺
【答案】B
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，
依题意得：，
解得，（不合题意，舍去），
即竹竿的长度为尺，
则（尺）
即门的高度是8尺．
故答案为：B．
【分析】设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．如图是一款符合国标的可供学生午休的躺椅简化结构示意图，已知椅座AB平行于地面CD，支点O到地面的距离OD为m米，靠背AE的长为n米.若 则点E到地面的距离EF的长是(　　)
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：∵∠BAE=140°，
∴∠EAG=40°
∴，
∴EG=n·sin40°
∵FG=OD=m
∴EF=EG+GF=m+n·sin40°
故答案为：D.
【分析】根据题意得到，求出EG=n·sin40°，即可得到答案.
8． 如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办.某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲、乙、丙三个测试点.该机器人从甲处以1.5m/s的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以2m/s的速度匀速跑到丙处，停留15s后，从丙处匀速返回甲处.该机器人离测试点甲的距离y(m)与离开测试点甲的时间x(s)之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（　　）
A．该机器人从测试点甲到测试点乙用了20s
B．该机器人在测试点乙处停留了10s
C．测试点乙与测试点丙之间的距离为60m
D．该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为2.7m/s
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、甲到乙速度，距离，时间，A正确.
B、乙处停留时间，B正确.
C、乙到丙时间，速度，距离，C正确.
D、甲到丙总距离，返回时间，速度，D错误.
故答案为：D .
【分析】结合函数图象，分段分析机器人运动状态（运动、停留 ），用“路程 = 速度×时间”计算各阶段路程、时间、速度，逐一验证选项.
9．已知二次函数 的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)且n>0.下列结论正确的是(　　)
A．abc<0
B．4a-2b+c<0
C．当x=1和x=-3时，函数 的值相等
D．函数y= kx+1与 的图象总有两个不同的交点
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)且n>0.
∴对称轴为直线x=-1，开口向下，
得a<0
由对称轴公式，
得b=2a
∵a<0，
∴b<0
∵二次函数与x轴交于点(2，0)，
由对称性得另一个交点为2×(-1)-2=-4，
即(-4，0)
∵开口向下，x=0在两交点(-4，0)和(2，0)之间，
∴x=0时y=c>0，
∵a<0，b<0，c>0，
∴abc>0，
故A选项不符合题意；
依题意，把x=-2代入y=ax2+bx+c
得y=4a-2b+c
∵x=-2在-4∴4a-2b+c>0，
故B选项不符合题意；
∵|1-(-1)|=|-3-(-1)|=2，
∴x=1和x=-3关于对称轴x=-1对称，
∴函数值相等，
即当x=1和x=-3时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值相等
故C选项符合题意；
∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2，0)，
∴0=4a+2b+c，
∵b=2a，
∴c=-8a，
依题意，联立，整理得
ax2+(b-k)x+(c-1)=0
∵c=-8a
∴ax2+(b-k)x+(-8a-1)=0
则Δ=(b-k)2-4a(-8a-1)，
整理得Δ=(2a-k)2+32a2+4a，
当，时，
，无两个交点，
故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】结合二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)且n>0，得出对称轴为直线x=-1，a<0，即b=2a，又结合由对称性得另一个交点为2×(-1)-2=-4，运用二次函数的性质得出abc>0，4a-2b+c>0，x=1和x=-3关于对称轴x=-1对称，即函数值相等，再把(2，0)代入y=ax2+bx+c，得0=4a+2b+c，整理得c=-8a，依题意，联立，整理得ax2+(b-k)x+(c-1)=0，然后整理得Δ=(2a-k)2+32a2+4a，运用取特殊值法进行分析，即可作答.
10．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上， DE⊥AF于点G， 交AC于点O， FH⊥AC于点H，交AB的延长线于点M ，连接BH.下列四个结论：①∠ACB=∠AMH；②BHE= ；③CH=AO；④若BII∥DE，则 正确的是(　　)
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形
∴∠ACB=∠CAB=45°，AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，AB//CD
∵FH⊥AC于点H，交AB的延长线于点M，
∴∠AHM=90°，
∴∠AMH=90°-∠CAB=45°
∴∠ACB=∠AMH，△AHM为等腰直角三角形，故①正确，符合题意；
∴AH=HM
②∵DE⊥AF，
∴∠DAF+∠ADE=90°，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF
∴△ADE≌△BAF(ASA)，
∴DE=AF
连接CM，如图：
∵∠ACB=∠CAB=45°，FH⊥AC，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴，∠HFC=45°，
∵AH=MH，∠AHF=∠MHC=90°，
∴△AHF≌△MHC(SAS)，
∴AF=CM=DE，
∵∠BFM=∠HFC=45°，∠CBM=180°-∠ABC=90°=∠CHF，
∴△CHF∽△MBF
∴
∴
∴
∵，∠HFB=∠CFM
∴△BFH∽△MFC
∴
∴，故②正确，符合题意；
③利用已知条件无法证明出AO=CH，故③错误，不符合题意；
④∵AB//CD
∴△AOE∽△COD
∴
∵AB=CD，
∴
∵BH//DE
∴
∴
∴AH=OC
∴AH-OH=OC-OH
∴AO=CH
∵∠AHF=∠ABF =90°
∴点A、H、F、B在以AF为直径的圆上，
∵BH//DE，DE⊥AF
∴BH⊥AF
∴AF垂直平分BH，
∴AH=AB=OC，
在Rt△ABC中，，
∴，
∴，
∴，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②④.
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质可得∠ACB=∠CAB=45°，由题意可得∠AHM=90°，再求出∠AMH=45°，即可判断①正确；先证明△ADE≌△BAF(ASA)，得出DE=AF，连接CM，则△CHF为等腰直角三角形，从而可得，∠HFC=45°，证明△AHF≌△MHC(SAS)，得出AF=CM=DE，证明△CHF∽△MFB，得出，再证明△BFH∽△MFC，得出，即可判断②正确；利用已知条件无法证明出AO=CH，即可判断③错误；证明△AOE∽△COD，得出，再由平行线分线段成比例定理可得，进而得出AO=CH，证明点A、H、F、B在以AF为直径的圆上，BH⊥AF，得出AF垂直平分BH，由线段垂直平分线的性质可得AH=AB=OC，求出，从而可得，即可判断④正确.
11．因式分解　 　．
【答案】2x（x－2y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式＝2x（x－2y），
故答案为：2x（x－2y）．
【分析】提取公因式进行因式分解即可求出答案.
12．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
13．已知关于x的方程 的一个根是 5，则它的另一个根是　 　.
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设该方程的另一个根为x1，
由关于x的一元二次方程的一个根是5，根据根与系数的关系可得：5x1=-20，
∴x1=-4
故答案为：-4.
【分析】设该方程的另一个根为x1，然后根据“”可进行求解.
14．如图， PA， PB是⊙O的切线， A， B为切点， AC是⊙O的直径， ∠BAC=30°，则∠P的度数为　 　.
【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，
∵∠BAC=30°，
∴∠PAB=90°-30°=60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠P=60°
故答案为：60°.
【分析】如图，由切线的性质得到∠OAP=90°，由切线长定理推出PA=PB，求出∠PAB=60°，推出△PAB是等边三角形，即可得到∠P的度数.
15．如图， Rt△ABC中， ∠C=90°，点D为AB的中点，动点P从A点出发沿AC→CB运动到点B，设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图所示，则AB的长为　 　.
【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意可知AC+BC=14，当点P运动到点C时，点P到AB的距离最大，此时△APD的面积有最大值12.
∵点D是AB的中点，
∴当点P运动到点C时，，
∴，
∴AC·BC=48，
∴，
故答案为：10.
【分析】由题意可知AC+BC=14，当点P运动到点C时，点P到AB的距离最大，此时△APD的面积有最大值12，此时，所以AC·BC=48，再结合勾股定理，利用完全平方公式变形求得AB即可.
16．计算：
（1）
（2）x(2-x)+(x+1)(x-1)
【答案】（1）解：
=-2+1
=-1；
（2）解：x(2-x)+(x+1)(x-1)
=2x-1.
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；零指数幂；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)先根据绝对值的性质求出|-2|的值，再根据零指数幂的运算法则求出π的值，最后进行加法运算；
(2)先根据单项式乘多项式的运算法则计算x(2-x)，再根据平方差公式计算(x+1)(x-1)，最后合并同类项.
17．解不等式组： 并写出该不等式组的所有整数解.
【答案】解：解不等式①，得x<2，
解不等式②，得x≥-1，
∴不等式组的解集是-1≤x<2，
∴不等式组的整数解是-1，0，1.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)"求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可.
18．如图，在△ABC中， AD⊥BC于点D， ∠B=2∠C.
（1）在线段BC上求作一点P，使得PA=PC (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
（2）在(1)的条件下，连接PA，若BD=1， CD=4，求AD的长.
【答案】（1）解：如图，点P 即为所求.
（2）解：∵PA=PC，
∴∠PAC=∠C，
∴∠APD=∠PAC+∠C=2∠C，
又∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠APD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADP=90°，且AD=AD，
∴BD=PD=1，
又CD=4，
∴PA=PC=CD-PD=3.
在Rt△ADP中，
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)根据垂直平分线的性质或圆的基本性质作图即可；
(2)根据等边对等角可得∠PAC=∠C，进而证明△ABD≌△APD可得BD=PD=1，PA=PC=CD-PD=3，然后在Rt△ADP中运用勾股定理即可解答.
19．某校举办了以“循迹竞速赛”为主题的编程比赛.为评估不同年级学生的编程与逻辑思维水平，从七、八年级各随机抽取 10个小组参赛，记录其机器人完成比赛的时间用t (单位：秒，用时越短成绩越好)表示，分为三组： A. t≤8s(优秀) ； B. 8年级 平均数 中位数 众数
七年级 9.9 10 b
八年级 9.9 a 9
（1）填空： a=　 　， b=　 　， m=　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生在此次比赛中表现更好 请说明理由.
（3）若学校要从七、八年级的优秀小组中随机抽取 2个小组代表学校参加区级比赛.请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的概率.
【答案】（1）9；10；40
（2）解：八年级学生在此次比赛中表现更好，理由如下：
因为七年级、八年级的平均数一样，七年级、八年级的中位数和众数差不多大，但是七年级优秀的人数有2个，八年级优秀的人数有 4个，明显八年级的优秀率高，故八年级学生在此次比赛中表现更好；
（3）解：七年级的优秀小组有 2个，记为 A、B；八年级的优秀小组有 4个，记为 C、D、E、F，画树状图为
可知一共有 30种等可能性的结果数，其中被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的结果数有 16种，
∴被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的概率是
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【解答】解：(1)七年级10个小组的完成时间是：7，9，8， 10，10， 10， 11，10， 12，12，
则众数b=10；
八年级C组的数据个数为10×20%=2，而B组有4个数据，则A组有10-2-4=4个数据
而中位数是第5、6个数据的平均数，
故中位数a=(9+9)÷2=9；
m%=4÷10×100%=40%， 故m=40；
故答案为：9，10，40.
【分析】(1)由中位数、众数的定义求解a，b，再结合扇形统计图求解m的值；
(2)根据中位数、众数、优秀率分析即可；
(3)先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
20．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，点D为 中点(点A、D在BC的异侧)，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE.
（1）求证： ∠CBE=∠ACE；
（2）若∠CBE=30°，求证： AE=DE.
【答案】（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
又∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACE；
（2）证明：连接BD、CD，
设⊙O的半径为 r，则BC=2r，
∵∠CBE=30°，∠CEB=90°，
∵点D为 中点
∴BD=CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠CDE=∠CBE=∠ECA， ∠CAD=∠EAC，
∴△CAD∽△EAC，
∴DE=AE.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】(1)利用直径BC对应的圆周角∠CEB=90°，得到∠CBE与∠BCE互余，进而即可求解；
(2)连接BD、CD，设⊙O的半径为 r，则BC=2r，利用弧中点的性质得到，结合直径所对圆周角∠BDC=90°，再根据勾股定理可得，最后利用相似三角形的判定与性质即可求解.
21．如图，一次函数y=ax-2的图象与反比例函数 的图象交于点A(4，1)，与y轴交于点B.
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）过点A作x轴的垂线l，将一次函数y=ax-2的图象向上平移，交y轴于点C，交直线l于点D，连接AC. 当△ACD是以CD为腰的等腰三角形时，求平移的距离.
【答案】（1）解：∵一次函数y=ax-2的图象与反比例函数 的图象交于点A(4，1)，
∴反比例函数的解析式为 一次函数的解析式为
（2）解：设平移后的函数解析式为
当x=4时， y=1+h；当x=0时， y=h-2，
∴D(4，1+h)， C(0，h-2)
当AD=CD时，则
解得h=5；
当AC=CD时，
解得h=6或h=0 (舍去) ，
综上，平移的距离 5或 6.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)根据待定系数法求解即可；
(2)设平移后的函数解析式为(h>0)，先求出C、D的坐标，然后分AD=CD；AC=CD讨论，根据两点间距离公式构建关于h的方程求解即可.
22．为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
【答案】（1）解：设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
此时，60×（1+20%）=72（米）．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；
（2）解：设以后每天改造管网还要增加米，
由题意得：，
解得：．
答：以后每天改造管网至少还要增加36米．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）已知实际施工时每天的工作效率比原计划提高了20%，我们可以先设出合适的未知数，再结合任务比原计划提前10天完成这一条件，列出对应方程，即可求解得到结果；
（2）结合题目要求工期不超过40天，我们可以列出对应的不等式，求解不等式就能得到最终结果.
23．如图，在菱形ABCD中，点E在边AB上，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接DF.
（1）如图 1，当直线EF⊥BC时，判断△CDF的形状；
（2）如图 2，线段EF、CF与AD分别交于点M、N，连接BD交CE于点G，设BC=a， AN=b；
①当EF∥BD时，求证： BC+BE=BD；
②当FM =FD时，用含a、b的代数式表示CN的长.
【答案】（1）解：延长FE交BC于点H，
∵EF⊥BC，
∴FH⊥BC，
∵△BCE沿CE翻折得到△FCE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△FCD是等腰直角三角形；
（2）解：①证明∵△BCE沿CE翻折得到△FCE，
∴∠BEG=∠FEC，
∵EF∥BD，
∴∠FEG=∠EGB，
∴∠BEG=∠BGE，
∴BE=BG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD， AB=BC=CD
∴∠BEC=∠ECD，
∵∠BEG=∠BGE=∠DGC，
∴∠DGC=∠DCG，
∴DG=CD，
∴BD=BG+GD，
∴BD=BE+CD，
∴BD=BE+BC；
②在菱形ABCD中，
∠ABC=∠ADC， AD=BC=CD，
∵BC=a， AN=b，
∴AD=a， DN=a-b
由翻折条件可知：
CF=BC， ∠CFE=∠ABC，
∴CF=CD=a， ∠CFE=∠ADC，
∴M， F， D， C四点共圆，
∴∠FMD=∠FCD，
∵MF=DF，
∴∠FMD=∠FDM，
∴∠FCD=∠FDM
又∵∠DFC=∠NFD，
∴△FDN ∽△FCD，
∵CF=CD，
∴FD=DN=a-b，
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)延长FE交BC于点H，根据已知条件得出∠BPC=∠FCD=90°，根据菱形的性质得到BC=CF=CD，即可得解；
(2)①根据已知条件分别证明BE=BG，DG=DC，即可得证；②由菱形和折叠条件可推导出∠EFC=∠ADC，进而推导出 F，M，C，D四点共圆，由圆周角定理，得∠DCF=∠FMD可以得到∠FDM=∠DCF，可推出△FDN~△FCD，根据相似三角形对应边成比例，即可求出CN的长.
24．某校九年级数学社团学习小组，为了学习二次函数问题，经历了实践——应用——探究的过程.
（1）【实践】学习小组对即将开通的某隧道进行了测量，该隧道横截面其轮廓可看作是抛物线的一部分.学习小组成员小皓测得隧道的路面宽为 10米，隧道顶部最高处距地面 6.25米，按照如图 1所示的方式建立了平面直角坐标系，请你求出抛物线的解析式.
（2）【应用】该隧道设计为单向双车道通行，按相关规定机动车辆通过隧道时，车辆顶部与隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于 0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔1米(中心线宽度不计).学习小组成员小莉说：若两辆宽为 2.5米，高为 3.5米的大型客车并列行驶是安全的.请你判断小莉的说法是否正确，并说明理由.
（3）【探究】该课题学习小组为了进一步探究抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，提出以下数学问题，请你予以解决：如图 2，过原点作直线.y=x，交抛物线于点P，点Q是抛物线对称轴上一动点，点M 是平面直角坐标系内的一点，是否存在以点P、Q、M、O为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵隧道的路面宽为 10米，
∴OA=10
∴A(10，0)，
∵隧道顶部最高处距地面 6.25米，
∴顶点坐标为(5，6.25)
设抛物线解析式为
把A(10，0)代入，得
解得
（2）解：小莉的说法正确，
理由如下：
如图 1，设对称轴与 x轴交于点 K，矩形DEFG，MNPQ表示两辆货车，延长DG交抛物线于点 C，
∴对称轴为直线x=5，
∵两车至少间隔 1米，
∴当MN=1时， EK=0.5.
∵车辆宽为 2.5 米，
∴DE=2.5，
∴DK=2.5+0.5=3，
∴OD=5-3=2，
当x=2时，
∴CD=4.
∵货车高为 3.5米，隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于 0.5米，3.5+0.5=4，
∴刚好满足安全要求，因此说法正确
（3）解：设M(m，n).
解 得
∴P(6，6).
∵对称轴为直线x=5，
∴设Q(5，q).
①当OP为矩形OPQM 的一边且点 Q和点 M在直线OP 的上方时，如图2-1，连接OQ，
解得q=7，
∴Q(5，7)，
∴把点 P先向左移动 1个单位，再向上移动 1个单位可得点 Q，
∴把点 O先向左移动 1个单位，再向上移动 1个单位可得点 M，
∴M(-1，1).
②当OP为矩形OQMP的一边且点 Q和点 M在直线OP的下方时，如图2-2，连接PQ，
解得q=-5，
∴Q(5，-5)，
∴把点 O先向右移动 5个单位，再向下移动 5个单位可得点 Q，
∴把点 P先向右移动 5个单位，再向下移动 5个单位可得点 M，
∴M(11，1).
③当OP为矩形OQPM的对角线时， 如图2-3和图2-4，
解得
或
∵OP的中点坐标为(3，3)，
或 即 或
综上可知， 点M的坐标为(-1，1)或(11，1)或( 或
【知识点】勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)先求出A(10，0)和顶点坐标为(5，6.25)，然后用待定系数法求解即可；
(2)设对称轴与x轴交于点K，矩形DEFG，MNPQ表示两辆货车，延长DG交抛物线于点C，求出OD=2，进而求出CD=4，再求出货车安全行驶时需要的高度即可解答；
(3)设M(m，n)，求出P(6，6)，设Q(5，q)，根据勾股定理求出OP2=72，PQ2=q2-12q+37，OQ2=q2+25，①当OP为矩形OPQM的一边且点Q和点M在直线OP的上方时，如图2-1，连接OQ，根据OP2+PQ2=OQ2求出q=7，然后利用平移的性质求解；②当OP为矩形OQMP的一边且点Q和点M在直线OP的下方时，如图2-2，连接PQ，根据OP2+OQ2=PQ2求出q=-5，然后利用平移的性质求解；③当OP为矩形OQPM的对角线时，如图2-3和图2-4，根据PQ2+OQ2=OP2求出，然后利用中点坐标公式求解.
1 / 1四川省眉山市2026年中考一模考试数学试题
1．比-3小的有理数是(　　)
A．- 4 B．- 2 C．4 D．0
2．2026年春假期间，许多家长热衷于带孩子参观各地博物馆增长见识.下列博物馆标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
3．二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材.实验课上小文将一根燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条熄灭是(　　)
A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定
4．将一个三角板如图放置，直线AB∥CD，若∠1=50°，则∠2的度数为(　　)
A．140° B．130° C．50° D．40°
5．下列计算结果正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，问门的高度是（　　）
A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺
7．如图是一款符合国标的可供学生午休的躺椅简化结构示意图，已知椅座AB平行于地面CD，支点O到地面的距离OD为m米，靠背AE的长为n米.若 则点E到地面的距离EF的长是(　　)
A．米 B．米
C．米 D．米
8． 如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办.某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲、乙、丙三个测试点.该机器人从甲处以1.5m/s的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以2m/s的速度匀速跑到丙处，停留15s后，从丙处匀速返回甲处.该机器人离测试点甲的距离y(m)与离开测试点甲的时间x(s)之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（　　）
A．该机器人从测试点甲到测试点乙用了20s
B．该机器人在测试点乙处停留了10s
C．测试点乙与测试点丙之间的距离为60m
D．该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为2.7m/s
9．已知二次函数 的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)且n>0.下列结论正确的是(　　)
A．abc<0
B．4a-2b+c<0
C．当x=1和x=-3时，函数 的值相等
D．函数y= kx+1与 的图象总有两个不同的交点
10．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上， DE⊥AF于点G， 交AC于点O， FH⊥AC于点H，交AB的延长线于点M ，连接BH.下列四个结论：①∠ACB=∠AMH；②BHE= ；③CH=AO；④若BII∥DE，则 正确的是(　　)
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
11．因式分解　 　．
12．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
13．已知关于x的方程 的一个根是 5，则它的另一个根是　 　.
14．如图， PA， PB是⊙O的切线， A， B为切点， AC是⊙O的直径， ∠BAC=30°，则∠P的度数为　 　.
15．如图， Rt△ABC中， ∠C=90°，点D为AB的中点，动点P从A点出发沿AC→CB运动到点B，设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图所示，则AB的长为　 　.
16．计算：
（1）
（2）x(2-x)+(x+1)(x-1)
17．解不等式组： 并写出该不等式组的所有整数解.
18．如图，在△ABC中， AD⊥BC于点D， ∠B=2∠C.
（1）在线段BC上求作一点P，使得PA=PC (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
（2）在(1)的条件下，连接PA，若BD=1， CD=4，求AD的长.
19．某校举办了以“循迹竞速赛”为主题的编程比赛.为评估不同年级学生的编程与逻辑思维水平，从七、八年级各随机抽取 10个小组参赛，记录其机器人完成比赛的时间用t (单位：秒，用时越短成绩越好)表示，分为三组： A. t≤8s(优秀) ； B. 8年级 平均数 中位数 众数
七年级 9.9 10 b
八年级 9.9 a 9
（1）填空： a=　 　， b=　 　， m=　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生在此次比赛中表现更好 请说明理由.
（3）若学校要从七、八年级的优秀小组中随机抽取 2个小组代表学校参加区级比赛.请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的概率.
20．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，点D为 中点(点A、D在BC的异侧)，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE.
（1）求证： ∠CBE=∠ACE；
（2）若∠CBE=30°，求证： AE=DE.
21．如图，一次函数y=ax-2的图象与反比例函数 的图象交于点A(4，1)，与y轴交于点B.
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）过点A作x轴的垂线l，将一次函数y=ax-2的图象向上平移，交y轴于点C，交直线l于点D，连接AC. 当△ACD是以CD为腰的等腰三角形时，求平移的距离.
22．为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
23．如图，在菱形ABCD中，点E在边AB上，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接DF.
（1）如图 1，当直线EF⊥BC时，判断△CDF的形状；
（2）如图 2，线段EF、CF与AD分别交于点M、N，连接BD交CE于点G，设BC=a， AN=b；
①当EF∥BD时，求证： BC+BE=BD；
②当FM =FD时，用含a、b的代数式表示CN的长.
24．某校九年级数学社团学习小组，为了学习二次函数问题，经历了实践——应用——探究的过程.
（1）【实践】学习小组对即将开通的某隧道进行了测量，该隧道横截面其轮廓可看作是抛物线的一部分.学习小组成员小皓测得隧道的路面宽为 10米，隧道顶部最高处距地面 6.25米，按照如图 1所示的方式建立了平面直角坐标系，请你求出抛物线的解析式.
（2）【应用】该隧道设计为单向双车道通行，按相关规定机动车辆通过隧道时，车辆顶部与隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于 0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔1米(中心线宽度不计).学习小组成员小莉说：若两辆宽为 2.5米，高为 3.5米的大型客车并列行驶是安全的.请你判断小莉的说法是否正确，并说明理由.
（3）【探究】该课题学习小组为了进一步探究抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，提出以下数学问题，请你予以解决：如图 2，过原点作直线.y=x，交抛物线于点P，点Q是抛物线对称轴上一动点，点M 是平面直角坐标系内的一点，是否存在以点P、Q、M、O为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-4<-3，-2>-3，4>-3，0>-3
∴各数中，比-3小的有理数是-4，
故答案为：A.
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A，C，D将图形旋转180°后，图形与原图不重合，不是中心对称图形；选项B，将图形旋转180°后，与原图完全重合，因此是中心对称图形
故答案为：B.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来的重合，那么这个图形就是中心对称图形.
3．【答案】C
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：∵二氧化碳不支持燃烧，将燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，木条一定熄灭，该事件满足必然事件的定义，
∴该事件是必然事件.
故答案为：C.
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件指一定条件下一定不发生的事件，随机事件指一定条件下可能发生也可能不发生的事件.
4．【答案】A
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得：∠3=90°-∠1=40°，
∵AB//CD
∴∠4=∠3=40°，
∴∠2=180°-∠4=140°
故答案为：A.
【分析】先求出∠3=40°，再由平行线的性质可得：∠4=∠3=40°，最后由邻补角的定义计算即可得出结果.
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(-a)6÷(-a)2=(-a)6-2=(-a)4=a4，此选项符合题意；
B、a9÷a3=a9-3=a6≠a，此选项不符合题意；
C、(a2b)2=(a2)2·b2=a4b2≠a2b2，此选项不符合题意；
D、(3ab2)2=32·a2·(b2)2=9a2b4≠6a2b4， 此选项不符合题意；
故选：A.
【分析】根据同底数幂除法法则，积的乘方、幂的乘方法则即可求解.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，
依题意得：，
解得，（不合题意，舍去），
即竹竿的长度为尺，
则（尺）
即门的高度是8尺．
故答案为：B．
【分析】设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：∵∠BAE=140°，
∴∠EAG=40°
∴，
∴EG=n·sin40°
∵FG=OD=m
∴EF=EG+GF=m+n·sin40°
故答案为：D.
【分析】根据题意得到，求出EG=n·sin40°，即可得到答案.
8．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、甲到乙速度，距离，时间，A正确.
B、乙处停留时间，B正确.
C、乙到丙时间，速度，距离，C正确.
D、甲到丙总距离，返回时间，速度，D错误.
故答案为：D .
【分析】结合函数图象，分段分析机器人运动状态（运动、停留 ），用“路程 = 速度×时间”计算各阶段路程、时间、速度，逐一验证选项.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)且n>0.
∴对称轴为直线x=-1，开口向下，
得a<0
由对称轴公式，
得b=2a
∵a<0，
∴b<0
∵二次函数与x轴交于点(2，0)，
由对称性得另一个交点为2×(-1)-2=-4，
即(-4，0)
∵开口向下，x=0在两交点(-4，0)和(2，0)之间，
∴x=0时y=c>0，
∵a<0，b<0，c>0，
∴abc>0，
故A选项不符合题意；
依题意，把x=-2代入y=ax2+bx+c
得y=4a-2b+c
∵x=-2在-4∴4a-2b+c>0，
故B选项不符合题意；
∵|1-(-1)|=|-3-(-1)|=2，
∴x=1和x=-3关于对称轴x=-1对称，
∴函数值相等，
即当x=1和x=-3时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值相等
故C选项符合题意；
∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2，0)，
∴0=4a+2b+c，
∵b=2a，
∴c=-8a，
依题意，联立，整理得
ax2+(b-k)x+(c-1)=0
∵c=-8a
∴ax2+(b-k)x+(-8a-1)=0
则Δ=(b-k)2-4a(-8a-1)，
整理得Δ=(2a-k)2+32a2+4a，
当，时，
，无两个交点，
故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】结合二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)且n>0，得出对称轴为直线x=-1，a<0，即b=2a，又结合由对称性得另一个交点为2×(-1)-2=-4，运用二次函数的性质得出abc>0，4a-2b+c>0，x=1和x=-3关于对称轴x=-1对称，即函数值相等，再把(2，0)代入y=ax2+bx+c，得0=4a+2b+c，整理得c=-8a，依题意，联立，整理得ax2+(b-k)x+(c-1)=0，然后整理得Δ=(2a-k)2+32a2+4a，运用取特殊值法进行分析，即可作答.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形
∴∠ACB=∠CAB=45°，AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，AB//CD
∵FH⊥AC于点H，交AB的延长线于点M，
∴∠AHM=90°，
∴∠AMH=90°-∠CAB=45°
∴∠ACB=∠AMH，△AHM为等腰直角三角形，故①正确，符合题意；
∴AH=HM
②∵DE⊥AF，
∴∠DAF+∠ADE=90°，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF
∴△ADE≌△BAF(ASA)，
∴DE=AF
连接CM，如图：
∵∠ACB=∠CAB=45°，FH⊥AC，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴，∠HFC=45°，
∵AH=MH，∠AHF=∠MHC=90°，
∴△AHF≌△MHC(SAS)，
∴AF=CM=DE，
∵∠BFM=∠HFC=45°，∠CBM=180°-∠ABC=90°=∠CHF，
∴△CHF∽△MBF
∴
∴
∴
∵，∠HFB=∠CFM
∴△BFH∽△MFC
∴
∴，故②正确，符合题意；
③利用已知条件无法证明出AO=CH，故③错误，不符合题意；
④∵AB//CD
∴△AOE∽△COD
∴
∵AB=CD，
∴
∵BH//DE
∴
∴
∴AH=OC
∴AH-OH=OC-OH
∴AO=CH
∵∠AHF=∠ABF =90°
∴点A、H、F、B在以AF为直径的圆上，
∵BH//DE，DE⊥AF
∴BH⊥AF
∴AF垂直平分BH，
∴AH=AB=OC，
在Rt△ABC中，，
∴，
∴，
∴，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②④.
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质可得∠ACB=∠CAB=45°，由题意可得∠AHM=90°，再求出∠AMH=45°，即可判断①正确；先证明△ADE≌△BAF(ASA)，得出DE=AF，连接CM，则△CHF为等腰直角三角形，从而可得，∠HFC=45°，证明△AHF≌△MHC(SAS)，得出AF=CM=DE，证明△CHF∽△MFB，得出，再证明△BFH∽△MFC，得出，即可判断②正确；利用已知条件无法证明出AO=CH，即可判断③错误；证明△AOE∽△COD，得出，再由平行线分线段成比例定理可得，进而得出AO=CH，证明点A、H、F、B在以AF为直径的圆上，BH⊥AF，得出AF垂直平分BH，由线段垂直平分线的性质可得AH=AB=OC，求出，从而可得，即可判断④正确.
11．【答案】2x（x－2y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式＝2x（x－2y），
故答案为：2x（x－2y）．
【分析】提取公因式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
13．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设该方程的另一个根为x1，
由关于x的一元二次方程的一个根是5，根据根与系数的关系可得：5x1=-20，
∴x1=-4
故答案为：-4.
【分析】设该方程的另一个根为x1，然后根据“”可进行求解.
14．【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，
∵∠BAC=30°，
∴∠PAB=90°-30°=60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠P=60°
故答案为：60°.
【分析】如图，由切线的性质得到∠OAP=90°，由切线长定理推出PA=PB，求出∠PAB=60°，推出△PAB是等边三角形，即可得到∠P的度数.
15．【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意可知AC+BC=14，当点P运动到点C时，点P到AB的距离最大，此时△APD的面积有最大值12.
∵点D是AB的中点，
∴当点P运动到点C时，，
∴，
∴AC·BC=48，
∴，
故答案为：10.
【分析】由题意可知AC+BC=14，当点P运动到点C时，点P到AB的距离最大，此时△APD的面积有最大值12，此时，所以AC·BC=48，再结合勾股定理，利用完全平方公式变形求得AB即可.
16．【答案】（1）解：
=-2+1
=-1；
（2）解：x(2-x)+(x+1)(x-1)
=2x-1.
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；零指数幂；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)先根据绝对值的性质求出|-2|的值，再根据零指数幂的运算法则求出π的值，最后进行加法运算；
(2)先根据单项式乘多项式的运算法则计算x(2-x)，再根据平方差公式计算(x+1)(x-1)，最后合并同类项.
17．【答案】解：解不等式①，得x<2，
解不等式②，得x≥-1，
∴不等式组的解集是-1≤x<2，
∴不等式组的整数解是-1，0，1.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)"求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可.
18．【答案】（1）解：如图，点P 即为所求.
（2）解：∵PA=PC，
∴∠PAC=∠C，
∴∠APD=∠PAC+∠C=2∠C，
又∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠APD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADP=90°，且AD=AD，
∴BD=PD=1，
又CD=4，
∴PA=PC=CD-PD=3.
在Rt△ADP中，
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)根据垂直平分线的性质或圆的基本性质作图即可；
(2)根据等边对等角可得∠PAC=∠C，进而证明△ABD≌△APD可得BD=PD=1，PA=PC=CD-PD=3，然后在Rt△ADP中运用勾股定理即可解答.
19．【答案】（1）9；10；40
（2）解：八年级学生在此次比赛中表现更好，理由如下：
因为七年级、八年级的平均数一样，七年级、八年级的中位数和众数差不多大，但是七年级优秀的人数有2个，八年级优秀的人数有 4个，明显八年级的优秀率高，故八年级学生在此次比赛中表现更好；
（3）解：七年级的优秀小组有 2个，记为 A、B；八年级的优秀小组有 4个，记为 C、D、E、F，画树状图为
可知一共有 30种等可能性的结果数，其中被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的结果数有 16种，
∴被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的概率是
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【解答】解：(1)七年级10个小组的完成时间是：7，9，8， 10，10， 10， 11，10， 12，12，
则众数b=10；
八年级C组的数据个数为10×20%=2，而B组有4个数据，则A组有10-2-4=4个数据
而中位数是第5、6个数据的平均数，
故中位数a=(9+9)÷2=9；
m%=4÷10×100%=40%， 故m=40；
故答案为：9，10，40.
【分析】(1)由中位数、众数的定义求解a，b，再结合扇形统计图求解m的值；
(2)根据中位数、众数、优秀率分析即可；
(3)先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
20．【答案】（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
又∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACE；
（2）证明：连接BD、CD，
设⊙O的半径为 r，则BC=2r，
∵∠CBE=30°，∠CEB=90°，
∵点D为 中点
∴BD=CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠CDE=∠CBE=∠ECA， ∠CAD=∠EAC，
∴△CAD∽△EAC，
∴DE=AE.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】(1)利用直径BC对应的圆周角∠CEB=90°，得到∠CBE与∠BCE互余，进而即可求解；
(2)连接BD、CD，设⊙O的半径为 r，则BC=2r，利用弧中点的性质得到，结合直径所对圆周角∠BDC=90°，再根据勾股定理可得，最后利用相似三角形的判定与性质即可求解.
21．【答案】（1）解：∵一次函数y=ax-2的图象与反比例函数 的图象交于点A(4，1)，
∴反比例函数的解析式为 一次函数的解析式为
（2）解：设平移后的函数解析式为
当x=4时， y=1+h；当x=0时， y=h-2，
∴D(4，1+h)， C(0，h-2)
当AD=CD时，则
解得h=5；
当AC=CD时，
解得h=6或h=0 (舍去) ，
综上，平移的距离 5或 6.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)根据待定系数法求解即可；
(2)设平移后的函数解析式为(h>0)，先求出C、D的坐标，然后分AD=CD；AC=CD讨论，根据两点间距离公式构建关于h的方程求解即可.
22．【答案】（1）解：设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
此时，60×（1+20%）=72（米）．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；
（2）解：设以后每天改造管网还要增加米，
由题意得：，
解得：．
答：以后每天改造管网至少还要增加36米．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）已知实际施工时每天的工作效率比原计划提高了20%，我们可以先设出合适的未知数，再结合任务比原计划提前10天完成这一条件，列出对应方程，即可求解得到结果；
（2）结合题目要求工期不超过40天，我们可以列出对应的不等式，求解不等式就能得到最终结果.
23．【答案】（1）解：延长FE交BC于点H，
∵EF⊥BC，
∴FH⊥BC，
∵△BCE沿CE翻折得到△FCE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△FCD是等腰直角三角形；
（2）解：①证明∵△BCE沿CE翻折得到△FCE，
∴∠BEG=∠FEC，
∵EF∥BD，
∴∠FEG=∠EGB，
∴∠BEG=∠BGE，
∴BE=BG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD， AB=BC=CD
∴∠BEC=∠ECD，
∵∠BEG=∠BGE=∠DGC，
∴∠DGC=∠DCG，
∴DG=CD，
∴BD=BG+GD，
∴BD=BE+CD，
∴BD=BE+BC；
②在菱形ABCD中，
∠ABC=∠ADC， AD=BC=CD，
∵BC=a， AN=b，
∴AD=a， DN=a-b
由翻折条件可知：
CF=BC， ∠CFE=∠ABC，
∴CF=CD=a， ∠CFE=∠ADC，
∴M， F， D， C四点共圆，
∴∠FMD=∠FCD，
∵MF=DF，
∴∠FMD=∠FDM，
∴∠FCD=∠FDM
又∵∠DFC=∠NFD，
∴△FDN ∽△FCD，
∵CF=CD，
∴FD=DN=a-b，
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)延长FE交BC于点H，根据已知条件得出∠BPC=∠FCD=90°，根据菱形的性质得到BC=CF=CD，即可得解；
(2)①根据已知条件分别证明BE=BG，DG=DC，即可得证；②由菱形和折叠条件可推导出∠EFC=∠ADC，进而推导出 F，M，C，D四点共圆，由圆周角定理，得∠DCF=∠FMD可以得到∠FDM=∠DCF，可推出△FDN~△FCD，根据相似三角形对应边成比例，即可求出CN的长.
24．【答案】（1）解：∵隧道的路面宽为 10米，
∴OA=10
∴A(10，0)，
∵隧道顶部最高处距地面 6.25米，
∴顶点坐标为(5，6.25)
设抛物线解析式为
把A(10，0)代入，得
解得
（2）解：小莉的说法正确，
理由如下：
如图 1，设对称轴与 x轴交于点 K，矩形DEFG，MNPQ表示两辆货车，延长DG交抛物线于点 C，
∴对称轴为直线x=5，
∵两车至少间隔 1米，
∴当MN=1时， EK=0.5.
∵车辆宽为 2.5 米，
∴DE=2.5，
∴DK=2.5+0.5=3，
∴OD=5-3=2，
当x=2时，
∴CD=4.
∵货车高为 3.5米，隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于 0.5米，3.5+0.5=4，
∴刚好满足安全要求，因此说法正确
（3）解：设M(m，n).
解 得
∴P(6，6).
∵对称轴为直线x=5，
∴设Q(5，q).
①当OP为矩形OPQM 的一边且点 Q和点 M在直线OP 的上方时，如图2-1，连接OQ，
解得q=7，
∴Q(5，7)，
∴把点 P先向左移动 1个单位，再向上移动 1个单位可得点 Q，
∴把点 O先向左移动 1个单位，再向上移动 1个单位可得点 M，
∴M(-1，1).
②当OP为矩形OQMP的一边且点 Q和点 M在直线OP的下方时，如图2-2，连接PQ，
解得q=-5，
∴Q(5，-5)，
∴把点 O先向右移动 5个单位，再向下移动 5个单位可得点 Q，
∴把点 P先向右移动 5个单位，再向下移动 5个单位可得点 M，
∴M(11，1).
③当OP为矩形OQPM的对角线时， 如图2-3和图2-4，
解得
或
∵OP的中点坐标为(3，3)，
或 即 或
综上可知， 点M的坐标为(-1，1)或(11，1)或( 或
【知识点】勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)先求出A(10，0)和顶点坐标为(5，6.25)，然后用待定系数法求解即可；
(2)设对称轴与x轴交于点K，矩形DEFG，MNPQ表示两辆货车，延长DG交抛物线于点C，求出OD=2，进而求出CD=4，再求出货车安全行驶时需要的高度即可解答；
(3)设M(m，n)，求出P(6，6)，设Q(5，q)，根据勾股定理求出OP2=72，PQ2=q2-12q+37，OQ2=q2+25，①当OP为矩形OPQM的一边且点Q和点M在直线OP的上方时，如图2-1，连接OQ，根据OP2+PQ2=OQ2求出q=7，然后利用平移的性质求解；②当OP为矩形OQMP的一边且点Q和点M在直线OP的下方时，如图2-2，连接PQ，根据OP2+OQ2=PQ2求出q=-5，然后利用平移的性质求解；③当OP为矩形OQPM的对角线时，如图2-3和图2-4，根据PQ2+OQ2=OP2求出，然后利用中点坐标公式求解.
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