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吉林省长春市吉大附中2025-2026学年九年级下学期数学二模试卷
1． 2026年是乘风启岁，马到皆成功的一年，2026的绝对值是（　　）
A．-2026 B． C． D．2026
【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：由题意可知：.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了有理数绝对值的求法，根据正数的绝对值为本身，负数的绝对值为它的相反数，0的绝对值为0即可确定.
2．据统计，截至目前中国现存且处于存续状态的人工智能相关企业已超过4243000000家，4243000000用科学记数法表示为（　　）
A．4243×102 B．4.243×109 C．424300×104 D．4.243×105
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法的形式a×10n，
其中a为整数位只有一位的小数，n为整数位减1，
故4243000000=4.243×109.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示大于10的数，根据题意结合科学记数法的形式a×10n，确定a和n即可.
3．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了66°，小孩的位置从点A运动到了点A'，则∠OA'A的度数为（　　）
A．33° B．57° C．60° D．114°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知OA'=OA，
所以∠OA'A=∠OAA'，
因为∠AOA'=66°，
所以∠OA'A=.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了旋转的性质和等边对等角，首先根据旋转的性质可知OA=OA'，然后根据等边对等角，得到∠OA'A=∠OAA'，最后根据三角形内角和为180°，即可得到∠OA'A的度数.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项：根据同底数幂的除法法则，，故A选项不符合题意；
B选项：根据同底数幂的乘法法则，，故B选项不符合题意；
C选项：根据幂的乘方法则， ，故C选项符合题意；
D选项：根据合并同类项法则，只有是同类项才能合并，故选项D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方和合并同类项，根据运算法则对每个选项进行逐一判断即可.
5．把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点E恰好落在CB的延长线上，FE⊥CE，则∠BDE的大小为（　　）
A．15° B．25° C．30° D．10°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：因为FE⊥CE，
所以∠FEC=90°，
因为∠FED=45°，
所以∠DEB=90°-∠FED=45°，
因为∠ABC=60°，
所以∠BDE=∠ABC-∠DEB=60°-45°=15°.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了垂直的定义，三角形外角的性质，首先根据垂直的定义得到∠DEB的度数，然后知∠ABC的度数，利用三角形外角的性质即可得到∠BDE的度数.
6．二次函数的图象上有两点A（a，0）和B（b，0），则a+b的值等于（　　）
A．-2 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点A(a，0)和B(b，0)代入二次函数y=x2-2x，
得a=0，b=2，
所以a+b=0+2=2.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，令y=0，则可以解出a，b的值，进而计算a+b值.
7．白塔是中国现存最早木塔之一.小明想测量白塔AB的高度，在离白塔底端B正前方8米的C处，用高为1.5米的测角仪CD测得白塔顶部A处的仰角为α，则白塔AB的高度为（　　）米.
A．8tanα+1.5 B．1.5tanα+8 C．8cosα+1.5 D．8sinα+1.5
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
则可知四边形BCDE为矩形，
所以BC=DE=8m，BE=CD=1.5m，
在Rt△ADE中，，
所以AE=DE×tanα=8tanα，
所以AB=AE+BE= (8tanα+1.5)m.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题，直角三角形的边角关系，首先过D作AB的垂线，垂足为E，可得四边形BCDE为矩形，得到DE=BC=8m，CD=BE=1.5m，然后在Rt△ADE中，由，得到AE的长，然后AB=AE+BE得到AB的长.
8．如图，已知反比例函数的图象与线段BC有公共点，其中点B在y轴上，BC//x轴，点A是x轴上一点，连结AB、AC，若△ABC的面积为3，则k的值可能为（　　）
A．8 B．7 C．6.5 D．5
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设△ABC的高为h，因为BC||x轴，点B在y轴上， △ABC的面积为3 ，
所以，即BC×h=6，
所以点C的横纵坐标的积为6，
而反比例函数的图象与线段BC有公共点，
故0结合选项可知，只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，首先根据三角形的面积公式得到点C的横纵坐标的乘积的值，然后根据反比例函数系数k的几何意义确定k的最大值，结合选项确定.
9．计算：=　 　．
【答案】-9
【知识点】有理数的减法法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：
故答案为：-9.
【分析】根据算术平方根的定义解答即可.
10．因式分解：　 　 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据提公因式法因式分解，即可求解．
11．刀削面是山西传统特色小吃，制作臊子时，若每份羊肉臊子面需要用8颗羊肉粒，每份牛肉臊子面需要用6颗牛肉粒，则制作a份羊肉臊子面和b份牛肉臊子面需要的肉粒总数为　 　个．（用含a，b的代数式表示）
【答案】（8a+6b）
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：制作a份羊肉臊子面需要的肉粒数为8a，制作b份牛肉臊子面需要的肉粒数为6b，
故制作a份羊肉臊子面和b份牛肉臊子面需要的肉粒总数为(8a+6b)个
故答案为：（8a+6b）.
【分析】根据需要的肉粒总数由a份羊肉臊子面的肉粒数和b份牛肉臊子面的肉粒数组成，分别计算后相加即可.
12．小宇阅读了一：篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图①所示的图片，图中有许多不规则的多边形.小宇从图案中提取了一个由六条线段组成的图形（如图②），若∠1=60°，则的度数是　 　.
【答案】300°
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由任何多边形的外角和均为360°，∠1=60°，
所以=360°-∠1=300°.
故答案为：300°.
【分析】本题主要考查了多边形的外角和，根据任何多边形的外角和均为360°，已知∠1，则可求出的度数.
13．如图，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：①连结OA，②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；③在射线OB上截取BC=OB；④连结AC.若OA=2，则AC的长为　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由作图知，OA=OB=AB=BC=2，
所以△OAB为等边三角形，∠ABC=∠C，
所以∠OBA=60°，
所以∠C=30°，
所以∠OAC=90°，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：.
故答案为：.
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，首先根据作图步骤证明△OAB为等边三角形，得到∠OBA=60°，然后得到△ABC为等腰三角形，从而得到∠C度数，从而证明∠OAC为直角三角形，接着用勾股定理得到AC的长度.
14．如图，四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，连结CE，作点B关于CE的对称点B'，连结B'C，B'E，连结BB'并延长交AD于点F，交CE于点G，连结AB'并延长交CD于点H，给出下面四个结论：
①F为AD的中点；
②AH上BF；
③连结AG，则∠AGE≠∠AGF；
④连结AG并延长交BC于点P，则CP=2BP；
上述结论中，正确结论的序号是　 　.
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】 设正方形 ABCD 边长为 2，E 为 AB 中点，
则 BE=AE=1，
由 B、B' 关于 CE 对称可知 CE 垂直平分线段 BB'，
所以∠BGC=90°，∠CBE + ∠BCE=90°，∠CBE + ∠ABF=90°，
可得∠BCE = ∠ABF，
又 AB=BC，∠BAF =∠CBE=90°，
所以△ABF≌△BCE，
可得AF=BE=1，AD=2，
因此 F 是 AD 中点，结论①正确；
由△ABF≌△BCE 得 AF=BE=AE，AE=AF，∠ABF = ∠BCE，
因为∠BAH +∠ABF = ∠BAH +∠BCE，∠BCE +∠BEC=90°，
所以∠ AB'B=90°，即 AH 垂直 BF，结论②正确；
因为 CE 垂直平分 BB'，EB=EB'，EG 垂直 BB'，AE=AF，EG 公共边，
可证△AEG ≌△FEG，
所以∠AGE =∠AGF，结论③错误；
因为AD 平行 BC，AF=1，BC=2，
所以△AFG△CPG，相似比 1：2，
可得，即 CP=2BP，
结论④正确，综上正确结论为①②④。
故答案为：①②④.
【分析】 先设正方形边长为 2，利用对称性质得到 CE 垂直平分 BB'，E 是 AB 中点可推出△CBE 和△ BAF 全等，证明 F 是 AD 中点，验证结论①；通过角度等量代换推导 AH 与 BF 相交所成直角，证明 AH 垂直 BF，验证结论②；依据对称得 EB=EB'，EG 垂直 BB'，可证△AEG 和△FEG 全等，得到角 AGE 等于角 AGF，判断结论③错误；结合平行线分线段成比例，由 AF 长度和 BC 平行 AD 推出 BP 与 CP 的倍数关系，验证结论④，最后汇总正确结论。
15．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它们是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同.将这4张书签背面向上，洗匀放好.从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率.
【答案】解：画树状图如下：
∴P（抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”）
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】 先明确四张书签 A 对应论语、B 对应孟子、C 对应大学、D 对应中庸，采用树状图列举不放回抽取两张书签的全部等可能结果，数出所有总基本事件数量，再从中找出一张为 A 一张为 C 的符合条件事件数量，最后用符合条件的结果数除以总结果数算出对应概率。
16．在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形.请按下列要求画出格点三角形.
（1）在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点△ABC全等；
（2）在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点△ABC的一条边重合，且与△ABC相似.
【答案】（1）解：全等作图：将△ABC 整体平移、左右翻折或旋转 180°，在图 1 空白网格区域画出新三角形，新三角形三边网格长度与△ABC 完全一致，满足 SSS 全等判定，即为所求格点三角形；
（2）(2) 相似作图：选取 BC 边作为重合边，根据原三角形三边比例，沿 BC 边作新格点，使新三角形另外两条直角边长度为原对应边长的 2 倍，得到三边对应成比例的格点三角形，与△ABC 相似，且有一条边和 BC 重合。

【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换；三角形全等的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1) 先算出△ABC 三条边的网格长度，利用平移、翻折或旋转的作图方法，在图 1 网格内画出三边长度完全相等的格点三角形，满足全等判定条件；
(2) 先计算△ABC 各边长的比例，选定△ABC 其中一条边作为公共重合边，在图 2 网格中找到格点，构造出三边和原三角形对应成比例的格点三角形，保证两个三角形相似.
17．为了做好春季诸如病毒的预防工作，中学后勤部门购进了甲、乙两种包装的消毒液.已知甲种消毒液每瓶的价格比乙种消毒液每瓶的价格多6元，若用1200元购进甲种消毒液的数量和用750元购进乙种消毒液的数量相同，求乙种包装的消毒液每瓶的价格是多少元.
【答案】解：设乙种消毒液每包的价格是x元，则甲种消毒液每包的价格是（x+6）元，
根据题意得：
解得：x=10，
经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意，
答：乙种消毒液每包的价格是10元.
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设乙消毒液单价为未知数，结合甲比乙贵 6 元表示出甲的单价，利用总价除以单价等于购买数量，根据两种消毒液购买数量相等列出分式方程，求解后检验分式方程的解是否符合实际意义，最终得到乙消毒液单价。
18．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，F是边BC上一点，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE∥BF，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠FBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形.
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】 先根据平行四边形 ABCD 的性质得到 AD 平行 BC，结合 EF 平行 AB，证出四边形 ABFE 是平行四边形，再利用平行线内错角相等与角平分线的等量代换，推导出一组邻边 AB 与 AE 相等，依据一组邻边相等的平行四边形是菱形完成证明。
19．为了解七年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，现从七年级全体男生中随机抽取了50名男生进行这两项运动的测试，对数据整理后给出了下面部分信息.
信息一：排球垫球成绩分为6组，做成如下不完整的统计图.其中：A组x<10，B组15，C组15≤x≤20，D组20≤x<25，E组25≤x<30，F组x≥30，（x表示垫球数）.
信息二：掷实心球成绩的人数（频数）分布表：（y表示掷实心球的距离，单位：米）
分组 y<6.0 6.0≤y<6.8 6.8≤y<7.6 7.6≤y<8.4
人数 2 b 16 20 4 a
若排球垫球成绩F组的男生有m人，回答下列问题：
（1） m=　 　；
（2）下列结论不正确的是　 　（填序号）；
①在排球垫球成绩中，这50名男生的垫球数的众数一定在C组内；
②在排球垫球成绩中，这50名男生的垫球平均数可以这样计算：
③在排球垫球成绩中，这50名男生的垫球数的中位数是在C组内；
（3）若掷实心球测试中有不少于m人的成绩大于或等于8.4米，且a<5，求a的值.
【答案】（1）8
（2）①②
（3）根据（1）可知：m=8，
则有4+a≥8，
解得a≥4，
又∵a<5，
∴4≤a<5，且a是整数，
∴a的值为4.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解： (1) 计算 m=50-6-10-11-10-5=8；
故答案为：8.
(2) ①C 组频数最多只能说明众数落在 C 组区间，不能说所有数据一定在 C 组，说法错误；②平均数计算应每组数值乘频数求和再除以总人数，不是频数直接除以组数，说法错误；③前两组累计 16 人，前三组累计 27 人，第 25、26 个数据在 C 组，中位数在 C 组，说法正确，因此不正确结论为①②；
故答案为：①②.
【分析】 (1) 总抽取人数为 50，用总人数依次减去 A、B、C、D、E 组频数，算出 F 组人数 m；
(2) 逐一判断三个结论，众数只代表频数最多组不代表数据一定在该组，平均数计算不能直接用各组频数求和除以组数，中位数取第 25、26 个数据落在 C 组，据此找出错误结论；
(3) 先确定 m=8，成绩大于等于 8.4 米人数为 4+a，结合不少于 m 即 4+a≥8 且 a<5、a 为非负整数求出 a 值，同时利用实心球总人数 50 验证取值合理性。
20．甲、乙两个工程组同时挖掘高铁某段山岭隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示.
（1）甲组每天挖　 　m，乙组每天挖　 　m；
（2）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；
（3）当甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多10m时，甲组挖掘了　 　天.
【答案】（1）3；4
（2）当30≤x≤60时，设y关于x的函数解析式为：y=kx+b，
点（30，210）（60，300）在图象上，
解得
∴函数关系式为：y=3x+120
（3）
【知识点】解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由图象知，30 天到 60 天共 30 天，甲组单独挖 300-210=90 米，
所以甲组每天挖 90÷30=3 米，
前 30 天合作共挖 210 米，每日合作挖 210÷30=7 米，
所以乙组每天挖 7-3=4 米；
故答案为：3，4；
(3) 当 0≤x≤30 时，甲组挖 3x 米，乙组挖 4x 米，3x-4x=10 无正数解；
当 x>30 时，乙组总挖掘长度固定为 30×4=120 米，甲组总挖掘长度为 3x 米，列方程 3x-120=10，解得 x=，符合取值范围，即甲组挖掘了天。
故答案为：.
【分析】(1) 30 到 60 天仅甲组单独施工，用这段总挖掘长度差除以天数差算出甲组每日挖掘长度，再结合前 30 天合作总长度算出甲乙每日挖掘长度和，减去甲组速度得到乙组每日挖掘长度；
(2) 已知区间 30≤x≤60 图像经过两个坐标点，设一次函数解析式，代入两点列方程组求解系数，写出对应函数关系式；
(3) 分两段讨论，0≤x≤30 时甲乙同时施工，列甲组总长度减乙组总长度等于 10 的方程求解；30 天后乙组停工长度不再变化，单独列方程对比求解，取符合区间的解。
21．【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆.类似地，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形.
【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下：
对角：双心四边形的对角互补；
对边：双心四边形两组对边之和相等.
对边性质证明如下：
如图1，四边形ABCD是双心四边形，其中⊙M是四边形ABCD的外接圆，⊙P是四边形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H.
连结PE，PF，PB.
∵⊙P与AB，BC分别相切于点E，F，
∴△PEB≌△PFB，
∴BE=BF，
同理可得：AE=AH，DH=DG，CG=CF，
∴BE+AE+CG+DG=BF+AH+DH+CF，
∴AB+CD=AD+BC，
∴双心四边形两组对边之和相等；
【问题解决】
（1）请将材料中关于对边性质的证明过程补充完整；
（2）下列四边形中，一定是双心四边形的是　 　（填序号）；
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
（3）如图2，在四边形ABCD中，连结AC，AB=AD=4，BC=CD=3，∠B=∠D=90°，四边形ABCD是否为双心四边形 若是，直接写出其外接圆半径与内切圆半径之差；若不是，请说明理由。
【答案】（1）证明：∴PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PEB=∠PFB=90°.
在Rt△PBE和Rt△PBF中，
（2）④
（3）因为AB=AD=4，BC=CD=3，∠B=∠D=90°，
所以△ABC≌△ADC，∠BAD+∠BCD=180°，对角互补，AB+CD=AD+BC=7，两组对边和相等，
故是双心四边形；
在Rt△ABC 中 AC=5，外接圆半径为；四边形面积 = 2×(4×3÷2)=12，
半周长 =(4+3+4+3)÷2=7，
内切圆半径 r = 面积 ÷ 半周长 =；
所以两半径之差为.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：(2) ①平行四边形仅对角相等，不一定互补，无内切圆；②矩形对角互补，但邻边不等时对边和相等却无内切圆；③菱形对边和相等，但对角不一定互补，无外接圆；④正方形对角互补、对边和相等，同时存在外接圆与内切圆，选④；
故答案为：④.
【分析】(1) 利用切线性质得到直角，结合内切圆半径相等、公共斜边，通过 HL 证明两个直角三角形全等，补全证明空缺步骤；
(2) 依据双心四边形需同时有外接圆、内切圆，即对角互补且两组对边和相等，逐一判断四类四边形，正方形同时满足两个条件；
(3) 先证四边形对角互补、两组对边之和相等，判定为双心四边形，用勾股定理算出外接圆直径 AC 得到外接圆半径，利用四边形面积等于四个直角三角形面积和，结合面积法求出内切圆半径，最后计算两半径差值。
22．在矩形ABCD中，AB=5，BC=15，点E是BC上一点，且BE=3，点P是线段AD上的一个动点，将四边形ABEP沿EP所在直线翻折，点A、B的对应点分别为A'，B'，设AP的长为x.
（1）当四边形ABEP为矩形时，PD长为　 　；
（2）连结BD，当点B、B'、D共线时，=　 　；
（3）当点A'恰好落在矩形ABCD的某一条边上时，求x的值；
（4）当时，直接写出x的值.
【答案】（1）12
（2）
（3）情况一：如图，当A' 落在 BC 上，过 P 作 PG⊥BC于点G，
则PG=A'B'=5，∠B'=∠PEA'=90°，
因为∠PA'B'=90°，
所以∠B'A'E=∠GPA'，
所以△PGA'≌△A'B'E(ASA)，
所以；
情况二：如图，A' 落在AD上时，
四边形PEA'B'为矩形，则AP=BE=3，即x=3；
综上可得x的值为3或.
（4）由折叠可知 EB'=BE=3，过 B' 作 B'H⊥BC，垂足为 H，
在 Rt△B'HE 中，，设 B'H=3k，EH=4k，
由勾股定理 EB'=5k，5k=3，
解得：k=，
因此 B'H=，EH=。
如图，过点A'作A'当点B'在BC的下方时，可得∠A'PD=∠B'EC，
可得此时△B'HE∽△MHB'∽△MNA'∽△A'LP，
根据相似三角形对应边成比例可得x=；
如图，当点B'在BC上方时，
可得此时△B'HE∽△KOB'∽△KA'P，
根据相似三角形对应边成比例可得x=；
综上，x 的值为或。
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1) 矩形 ABCD 中 AD=BC=15，
当四边形 ABEP 是矩形则 AP=BE=3，
所以PD=AD-AP=15-3=12；
故答案为：12.
(2) 如图，过点P作PG⊥BC，由题意知AB=PG=5，BC=15，∠BCD=90°，
由折叠性质可知PE⊥BB'，
所以∠PEG+∠EPG=90°，∠PEB+∠CBD=90°，
所以∠EPG=∠CBD，∠PGE=∠BCD=90°，
所以△PGE∽△BCD，
所以.
故答案为：.
【分析】(1) 四边形 ABEP 为矩形时 AP=BE=3，AD 总长 15，用 AD 减 AP 得到 PD 长度；
(2) 先算出矩形对角线 BD 长度，利用折叠得 EB'=EB=3，结合 B、B'、D 共线推出△EBB' 相似于△DBD，求出 PE 与 BD 比值；
(3) 分 A' 落在 BC 边、AD 边两种情况，折叠性质得 A'P=AP=x，结合勾股定理列方程求解 x；
(4) 先根据折叠性质得到 EB'=BE=3，构造直角三角形 B'HE，结合算出两条直角边长度；分B'在BC上方，B'在BC下方两种情况，过B'作BC的垂线或过点A'作BC的垂线，利用角度转换，分别解出两种情况下 x 的取值。
23．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点.已知抛物线与x轴交于D、E两点（点D在点E的左侧），点A是抛物线上一动点（点A不与点D和点E重合），过点A作x轴的垂线交直线y=-x-5于点C，过点C作AC的垂线交直线AE于点B，设点A的横坐标为m.
（1）点E的坐标为　 　，顶点坐标为　 　；
（2）连结CE，当CE=AE时，求m的值；
（3）当m<-1时，
①当AC≥BC时，则m的取值范围为 ▲ ；
②作点B关于点E的对称点B'，连结AB'，当时，直接写出m的值.
【答案】（1）（3，0）；（1，-4）
（2）解：由题意知点A横坐标为m，则A(m，m2-2m-3)，
∵AC 垂直x轴，
∴点C的横坐标m，代入y=-x-5得C(m，-m-5)；
∴AE2=(m-3)2+(m2-2m-3)2，CE2=(m-3)2+(-m-5)2，
由AE=CE得AE2=CE2，
化简得m2-3m-8=0，
解得：或
（3）①m≤-2；
或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；比例线段；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)∵D，E为抛物线与x轴的交点，
令y=0，则x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
∵点D在点E的左侧，
∴点E的坐标为(3，0).
将解析式配方得：y=(x-1)2-4，
故抛物线顶点坐标为(1，-4).
故答案为：(3，0)，(1，-4).
(3)①∵直线 AE 过 A (m，m2-2m-3)、E (3，0)，
∴直线AE解析式为：y=(m+1)(x-3)；
∵AC 垂直 x 轴，CB⊥AC，
故CB平行 x 轴，B 纵坐标与C相同为-m-5，
代入 AE 解析式求出 B 横坐标为；
则AC=m2-m+2，BC=，
代入AC≥BC化简不等式，
结合m<-1，
解得m≤-2。
②E (3，0) 是BB'中点，由中点坐标公式，
设B(xB，yB)，B'(xB'，yB')，
则xB'=6-xB，yB'=-yB.
线段关系 ，即4AB'=BB'，两边平方得16AB'2=BB'2。
∵E 为中点，
则BB'=2BE，BB'2=4BE2，
代入等式得16AB'2=4BE2，
化简4AB'2=BE2。
分别写出距离平方公式：
BE2=，
AB'2=，
根据4AB'2=BE2，
通分、消去分母后整理为关于 m 的一元二次方程，
求解两个根，
再结合限制条件m<-1验证，
可得：或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数解析式、两点间距离公式以及一元二次方程的应用.
(1)令y=0解一元二次方程求出抛物线与x轴交点坐标，再用配方法求出顶点坐标；
(2)用横坐标m表示A，C两点坐标，根据AC⊥x轴和点C在直线y=-x-5上求出点C坐标，再用两点间距离公式表示AE2和CE2，由AE=CE建立方程化简求解m；
(3)①先由A，E两点坐标求出直线AE的解析式，结合CB⊥AC(即CB∥x轴)写出点B坐标，用距离公式表示AC，BC，根据AC≥BC列不等式并结合m<-1求解；
②由E为BB'中点得到BB'=2BE，结合推出AB'与BE的关系，用坐标表示AB'2和BE2建立方程，解出m后结合m<-1验证取舍.
1 / 1吉林省长春市吉大附中2025-2026学年九年级下学期数学二模试卷
1． 2026年是乘风启岁，马到皆成功的一年，2026的绝对值是（　　）
A．-2026 B． C． D．2026
2．据统计，截至目前中国现存且处于存续状态的人工智能相关企业已超过4243000000家，4243000000用科学记数法表示为（　　）
A．4243×102 B．4.243×109 C．424300×104 D．4.243×105
3．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了66°，小孩的位置从点A运动到了点A'，则∠OA'A的度数为（　　）
A．33° B．57° C．60° D．114°
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点E恰好落在CB的延长线上，FE⊥CE，则∠BDE的大小为（　　）
A．15° B．25° C．30° D．10°
6．二次函数的图象上有两点A（a，0）和B（b，0），则a+b的值等于（　　）
A．-2 B．1 C．2 D．4
7．白塔是中国现存最早木塔之一.小明想测量白塔AB的高度，在离白塔底端B正前方8米的C处，用高为1.5米的测角仪CD测得白塔顶部A处的仰角为α，则白塔AB的高度为（　　）米.
A．8tanα+1.5 B．1.5tanα+8 C．8cosα+1.5 D．8sinα+1.5
8．如图，已知反比例函数的图象与线段BC有公共点，其中点B在y轴上，BC//x轴，点A是x轴上一点，连结AB、AC，若△ABC的面积为3，则k的值可能为（　　）
A．8 B．7 C．6.5 D．5
9．计算：=　 　．
10．因式分解：　 　 ．
11．刀削面是山西传统特色小吃，制作臊子时，若每份羊肉臊子面需要用8颗羊肉粒，每份牛肉臊子面需要用6颗牛肉粒，则制作a份羊肉臊子面和b份牛肉臊子面需要的肉粒总数为　 　个．（用含a，b的代数式表示）
12．小宇阅读了一：篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图①所示的图片，图中有许多不规则的多边形.小宇从图案中提取了一个由六条线段组成的图形（如图②），若∠1=60°，则的度数是　 　.
13．如图，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：①连结OA，②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；③在射线OB上截取BC=OB；④连结AC.若OA=2，则AC的长为　 　.
14．如图，四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，连结CE，作点B关于CE的对称点B'，连结B'C，B'E，连结BB'并延长交AD于点F，交CE于点G，连结AB'并延长交CD于点H，给出下面四个结论：
①F为AD的中点；
②AH上BF；
③连结AG，则∠AGE≠∠AGF；
④连结AG并延长交BC于点P，则CP=2BP；
上述结论中，正确结论的序号是　 　.
15．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它们是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同.将这4张书签背面向上，洗匀放好.从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率.
16．在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形.请按下列要求画出格点三角形.
（1）在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点△ABC全等；
（2）在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点△ABC的一条边重合，且与△ABC相似.
17．为了做好春季诸如病毒的预防工作，中学后勤部门购进了甲、乙两种包装的消毒液.已知甲种消毒液每瓶的价格比乙种消毒液每瓶的价格多6元，若用1200元购进甲种消毒液的数量和用750元购进乙种消毒液的数量相同，求乙种包装的消毒液每瓶的价格是多少元.
18．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，F是边BC上一点，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形.
19．为了解七年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，现从七年级全体男生中随机抽取了50名男生进行这两项运动的测试，对数据整理后给出了下面部分信息.
信息一：排球垫球成绩分为6组，做成如下不完整的统计图.其中：A组x<10，B组15，C组15≤x≤20，D组20≤x<25，E组25≤x<30，F组x≥30，（x表示垫球数）.
信息二：掷实心球成绩的人数（频数）分布表：（y表示掷实心球的距离，单位：米）
分组 y<6.0 6.0≤y<6.8 6.8≤y<7.6 7.6≤y<8.4
人数 2 b 16 20 4 a
若排球垫球成绩F组的男生有m人，回答下列问题：
（1） m=　 　；
（2）下列结论不正确的是　 　（填序号）；
①在排球垫球成绩中，这50名男生的垫球数的众数一定在C组内；
②在排球垫球成绩中，这50名男生的垫球平均数可以这样计算：
③在排球垫球成绩中，这50名男生的垫球数的中位数是在C组内；
（3）若掷实心球测试中有不少于m人的成绩大于或等于8.4米，且a<5，求a的值.
20．甲、乙两个工程组同时挖掘高铁某段山岭隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示.
（1）甲组每天挖　 　m，乙组每天挖　 　m；
（2）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；
（3）当甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多10m时，甲组挖掘了　 　天.
21．【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆.类似地，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形.
【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下：
对角：双心四边形的对角互补；
对边：双心四边形两组对边之和相等.
对边性质证明如下：
如图1，四边形ABCD是双心四边形，其中⊙M是四边形ABCD的外接圆，⊙P是四边形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H.
连结PE，PF，PB.
∵⊙P与AB，BC分别相切于点E，F，
∴△PEB≌△PFB，
∴BE=BF，
同理可得：AE=AH，DH=DG，CG=CF，
∴BE+AE+CG+DG=BF+AH+DH+CF，
∴AB+CD=AD+BC，
∴双心四边形两组对边之和相等；
【问题解决】
（1）请将材料中关于对边性质的证明过程补充完整；
（2）下列四边形中，一定是双心四边形的是　 　（填序号）；
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
（3）如图2，在四边形ABCD中，连结AC，AB=AD=4，BC=CD=3，∠B=∠D=90°，四边形ABCD是否为双心四边形 若是，直接写出其外接圆半径与内切圆半径之差；若不是，请说明理由。
22．在矩形ABCD中，AB=5，BC=15，点E是BC上一点，且BE=3，点P是线段AD上的一个动点，将四边形ABEP沿EP所在直线翻折，点A、B的对应点分别为A'，B'，设AP的长为x.
（1）当四边形ABEP为矩形时，PD长为　 　；
（2）连结BD，当点B、B'、D共线时，=　 　；
（3）当点A'恰好落在矩形ABCD的某一条边上时，求x的值；
（4）当时，直接写出x的值.
23．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点.已知抛物线与x轴交于D、E两点（点D在点E的左侧），点A是抛物线上一动点（点A不与点D和点E重合），过点A作x轴的垂线交直线y=-x-5于点C，过点C作AC的垂线交直线AE于点B，设点A的横坐标为m.
（1）点E的坐标为　 　，顶点坐标为　 　；
（2）连结CE，当CE=AE时，求m的值；
（3）当m<-1时，
①当AC≥BC时，则m的取值范围为 ▲ ；
②作点B关于点E的对称点B'，连结AB'，当时，直接写出m的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：由题意可知：.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了有理数绝对值的求法，根据正数的绝对值为本身，负数的绝对值为它的相反数，0的绝对值为0即可确定.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法的形式a×10n，
其中a为整数位只有一位的小数，n为整数位减1，
故4243000000=4.243×109.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示大于10的数，根据题意结合科学记数法的形式a×10n，确定a和n即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知OA'=OA，
所以∠OA'A=∠OAA'，
因为∠AOA'=66°，
所以∠OA'A=.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了旋转的性质和等边对等角，首先根据旋转的性质可知OA=OA'，然后根据等边对等角，得到∠OA'A=∠OAA'，最后根据三角形内角和为180°，即可得到∠OA'A的度数.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项：根据同底数幂的除法法则，，故A选项不符合题意；
B选项：根据同底数幂的乘法法则，，故B选项不符合题意；
C选项：根据幂的乘方法则， ，故C选项符合题意；
D选项：根据合并同类项法则，只有是同类项才能合并，故选项D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方和合并同类项，根据运算法则对每个选项进行逐一判断即可.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：因为FE⊥CE，
所以∠FEC=90°，
因为∠FED=45°，
所以∠DEB=90°-∠FED=45°，
因为∠ABC=60°，
所以∠BDE=∠ABC-∠DEB=60°-45°=15°.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了垂直的定义，三角形外角的性质，首先根据垂直的定义得到∠DEB的度数，然后知∠ABC的度数，利用三角形外角的性质即可得到∠BDE的度数.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点A(a，0)和B(b，0)代入二次函数y=x2-2x，
得a=0，b=2，
所以a+b=0+2=2.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，令y=0，则可以解出a，b的值，进而计算a+b值.
7．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
则可知四边形BCDE为矩形，
所以BC=DE=8m，BE=CD=1.5m，
在Rt△ADE中，，
所以AE=DE×tanα=8tanα，
所以AB=AE+BE= (8tanα+1.5)m.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题，直角三角形的边角关系，首先过D作AB的垂线，垂足为E，可得四边形BCDE为矩形，得到DE=BC=8m，CD=BE=1.5m，然后在Rt△ADE中，由，得到AE的长，然后AB=AE+BE得到AB的长.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设△ABC的高为h，因为BC||x轴，点B在y轴上， △ABC的面积为3 ，
所以，即BC×h=6，
所以点C的横纵坐标的积为6，
而反比例函数的图象与线段BC有公共点，
故0结合选项可知，只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，首先根据三角形的面积公式得到点C的横纵坐标的乘积的值，然后根据反比例函数系数k的几何意义确定k的最大值，结合选项确定.
9．【答案】-9
【知识点】有理数的减法法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：
故答案为：-9.
【分析】根据算术平方根的定义解答即可.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据提公因式法因式分解，即可求解．
11．【答案】（8a+6b）
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：制作a份羊肉臊子面需要的肉粒数为8a，制作b份牛肉臊子面需要的肉粒数为6b，
故制作a份羊肉臊子面和b份牛肉臊子面需要的肉粒总数为(8a+6b)个
故答案为：（8a+6b）.
【分析】根据需要的肉粒总数由a份羊肉臊子面的肉粒数和b份牛肉臊子面的肉粒数组成，分别计算后相加即可.
12．【答案】300°
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由任何多边形的外角和均为360°，∠1=60°，
所以=360°-∠1=300°.
故答案为：300°.
【分析】本题主要考查了多边形的外角和，根据任何多边形的外角和均为360°，已知∠1，则可求出的度数.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由作图知，OA=OB=AB=BC=2，
所以△OAB为等边三角形，∠ABC=∠C，
所以∠OBA=60°，
所以∠C=30°，
所以∠OAC=90°，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：.
故答案为：.
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，首先根据作图步骤证明△OAB为等边三角形，得到∠OBA=60°，然后得到△ABC为等腰三角形，从而得到∠C度数，从而证明∠OAC为直角三角形，接着用勾股定理得到AC的长度.
14．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】 设正方形 ABCD 边长为 2，E 为 AB 中点，
则 BE=AE=1，
由 B、B' 关于 CE 对称可知 CE 垂直平分线段 BB'，
所以∠BGC=90°，∠CBE + ∠BCE=90°，∠CBE + ∠ABF=90°，
可得∠BCE = ∠ABF，
又 AB=BC，∠BAF =∠CBE=90°，
所以△ABF≌△BCE，
可得AF=BE=1，AD=2，
因此 F 是 AD 中点，结论①正确；
由△ABF≌△BCE 得 AF=BE=AE，AE=AF，∠ABF = ∠BCE，
因为∠BAH +∠ABF = ∠BAH +∠BCE，∠BCE +∠BEC=90°，
所以∠ AB'B=90°，即 AH 垂直 BF，结论②正确；
因为 CE 垂直平分 BB'，EB=EB'，EG 垂直 BB'，AE=AF，EG 公共边，
可证△AEG ≌△FEG，
所以∠AGE =∠AGF，结论③错误；
因为AD 平行 BC，AF=1，BC=2，
所以△AFG△CPG，相似比 1：2，
可得，即 CP=2BP，
结论④正确，综上正确结论为①②④。
故答案为：①②④.
【分析】 先设正方形边长为 2，利用对称性质得到 CE 垂直平分 BB'，E 是 AB 中点可推出△CBE 和△ BAF 全等，证明 F 是 AD 中点，验证结论①；通过角度等量代换推导 AH 与 BF 相交所成直角，证明 AH 垂直 BF，验证结论②；依据对称得 EB=EB'，EG 垂直 BB'，可证△AEG 和△FEG 全等，得到角 AGE 等于角 AGF，判断结论③错误；结合平行线分线段成比例，由 AF 长度和 BC 平行 AD 推出 BP 与 CP 的倍数关系，验证结论④，最后汇总正确结论。
15．【答案】解：画树状图如下：
∴P（抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”）
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】 先明确四张书签 A 对应论语、B 对应孟子、C 对应大学、D 对应中庸，采用树状图列举不放回抽取两张书签的全部等可能结果，数出所有总基本事件数量，再从中找出一张为 A 一张为 C 的符合条件事件数量，最后用符合条件的结果数除以总结果数算出对应概率。
16．【答案】（1）解：全等作图：将△ABC 整体平移、左右翻折或旋转 180°，在图 1 空白网格区域画出新三角形，新三角形三边网格长度与△ABC 完全一致，满足 SSS 全等判定，即为所求格点三角形；
（2）(2) 相似作图：选取 BC 边作为重合边，根据原三角形三边比例，沿 BC 边作新格点，使新三角形另外两条直角边长度为原对应边长的 2 倍，得到三边对应成比例的格点三角形，与△ABC 相似，且有一条边和 BC 重合。

【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换；三角形全等的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1) 先算出△ABC 三条边的网格长度，利用平移、翻折或旋转的作图方法，在图 1 网格内画出三边长度完全相等的格点三角形，满足全等判定条件；
(2) 先计算△ABC 各边长的比例，选定△ABC 其中一条边作为公共重合边，在图 2 网格中找到格点，构造出三边和原三角形对应成比例的格点三角形，保证两个三角形相似.
17．【答案】解：设乙种消毒液每包的价格是x元，则甲种消毒液每包的价格是（x+6）元，
根据题意得：
解得：x=10，
经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意，
答：乙种消毒液每包的价格是10元.
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设乙消毒液单价为未知数，结合甲比乙贵 6 元表示出甲的单价，利用总价除以单价等于购买数量，根据两种消毒液购买数量相等列出分式方程，求解后检验分式方程的解是否符合实际意义，最终得到乙消毒液单价。
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE∥BF，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠FBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形.
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】 先根据平行四边形 ABCD 的性质得到 AD 平行 BC，结合 EF 平行 AB，证出四边形 ABFE 是平行四边形，再利用平行线内错角相等与角平分线的等量代换，推导出一组邻边 AB 与 AE 相等，依据一组邻边相等的平行四边形是菱形完成证明。
19．【答案】（1）8
（2）①②
（3）根据（1）可知：m=8，
则有4+a≥8，
解得a≥4，
又∵a<5，
∴4≤a<5，且a是整数，
∴a的值为4.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解： (1) 计算 m=50-6-10-11-10-5=8；
故答案为：8.
(2) ①C 组频数最多只能说明众数落在 C 组区间，不能说所有数据一定在 C 组，说法错误；②平均数计算应每组数值乘频数求和再除以总人数，不是频数直接除以组数，说法错误；③前两组累计 16 人，前三组累计 27 人，第 25、26 个数据在 C 组，中位数在 C 组，说法正确，因此不正确结论为①②；
故答案为：①②.
【分析】 (1) 总抽取人数为 50，用总人数依次减去 A、B、C、D、E 组频数，算出 F 组人数 m；
(2) 逐一判断三个结论，众数只代表频数最多组不代表数据一定在该组，平均数计算不能直接用各组频数求和除以组数，中位数取第 25、26 个数据落在 C 组，据此找出错误结论；
(3) 先确定 m=8，成绩大于等于 8.4 米人数为 4+a，结合不少于 m 即 4+a≥8 且 a<5、a 为非负整数求出 a 值，同时利用实心球总人数 50 验证取值合理性。
20．【答案】（1）3；4
（2）当30≤x≤60时，设y关于x的函数解析式为：y=kx+b，
点（30，210）（60，300）在图象上，
解得
∴函数关系式为：y=3x+120
（3）
【知识点】解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由图象知，30 天到 60 天共 30 天，甲组单独挖 300-210=90 米，
所以甲组每天挖 90÷30=3 米，
前 30 天合作共挖 210 米，每日合作挖 210÷30=7 米，
所以乙组每天挖 7-3=4 米；
故答案为：3，4；
(3) 当 0≤x≤30 时，甲组挖 3x 米，乙组挖 4x 米，3x-4x=10 无正数解；
当 x>30 时，乙组总挖掘长度固定为 30×4=120 米，甲组总挖掘长度为 3x 米，列方程 3x-120=10，解得 x=，符合取值范围，即甲组挖掘了天。
故答案为：.
【分析】(1) 30 到 60 天仅甲组单独施工，用这段总挖掘长度差除以天数差算出甲组每日挖掘长度，再结合前 30 天合作总长度算出甲乙每日挖掘长度和，减去甲组速度得到乙组每日挖掘长度；
(2) 已知区间 30≤x≤60 图像经过两个坐标点，设一次函数解析式，代入两点列方程组求解系数，写出对应函数关系式；
(3) 分两段讨论，0≤x≤30 时甲乙同时施工，列甲组总长度减乙组总长度等于 10 的方程求解；30 天后乙组停工长度不再变化，单独列方程对比求解，取符合区间的解。
21．【答案】（1）证明：∴PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PEB=∠PFB=90°.
在Rt△PBE和Rt△PBF中，
（2）④
（3）因为AB=AD=4，BC=CD=3，∠B=∠D=90°，
所以△ABC≌△ADC，∠BAD+∠BCD=180°，对角互补，AB+CD=AD+BC=7，两组对边和相等，
故是双心四边形；
在Rt△ABC 中 AC=5，外接圆半径为；四边形面积 = 2×(4×3÷2)=12，
半周长 =(4+3+4+3)÷2=7，
内切圆半径 r = 面积 ÷ 半周长 =；
所以两半径之差为.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：(2) ①平行四边形仅对角相等，不一定互补，无内切圆；②矩形对角互补，但邻边不等时对边和相等却无内切圆；③菱形对边和相等，但对角不一定互补，无外接圆；④正方形对角互补、对边和相等，同时存在外接圆与内切圆，选④；
故答案为：④.
【分析】(1) 利用切线性质得到直角，结合内切圆半径相等、公共斜边，通过 HL 证明两个直角三角形全等，补全证明空缺步骤；
(2) 依据双心四边形需同时有外接圆、内切圆，即对角互补且两组对边和相等，逐一判断四类四边形，正方形同时满足两个条件；
(3) 先证四边形对角互补、两组对边之和相等，判定为双心四边形，用勾股定理算出外接圆直径 AC 得到外接圆半径，利用四边形面积等于四个直角三角形面积和，结合面积法求出内切圆半径，最后计算两半径差值。
22．【答案】（1）12
（2）
（3）情况一：如图，当A' 落在 BC 上，过 P 作 PG⊥BC于点G，
则PG=A'B'=5，∠B'=∠PEA'=90°，
因为∠PA'B'=90°，
所以∠B'A'E=∠GPA'，
所以△PGA'≌△A'B'E(ASA)，
所以；
情况二：如图，A' 落在AD上时，
四边形PEA'B'为矩形，则AP=BE=3，即x=3；
综上可得x的值为3或.
（4）由折叠可知 EB'=BE=3，过 B' 作 B'H⊥BC，垂足为 H，
在 Rt△B'HE 中，，设 B'H=3k，EH=4k，
由勾股定理 EB'=5k，5k=3，
解得：k=，
因此 B'H=，EH=。
如图，过点A'作A'当点B'在BC的下方时，可得∠A'PD=∠B'EC，
可得此时△B'HE∽△MHB'∽△MNA'∽△A'LP，
根据相似三角形对应边成比例可得x=；
如图，当点B'在BC上方时，
可得此时△B'HE∽△KOB'∽△KA'P，
根据相似三角形对应边成比例可得x=；
综上，x 的值为或。
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1) 矩形 ABCD 中 AD=BC=15，
当四边形 ABEP 是矩形则 AP=BE=3，
所以PD=AD-AP=15-3=12；
故答案为：12.
(2) 如图，过点P作PG⊥BC，由题意知AB=PG=5，BC=15，∠BCD=90°，
由折叠性质可知PE⊥BB'，
所以∠PEG+∠EPG=90°，∠PEB+∠CBD=90°，
所以∠EPG=∠CBD，∠PGE=∠BCD=90°，
所以△PGE∽△BCD，
所以.
故答案为：.
【分析】(1) 四边形 ABEP 为矩形时 AP=BE=3，AD 总长 15，用 AD 减 AP 得到 PD 长度；
(2) 先算出矩形对角线 BD 长度，利用折叠得 EB'=EB=3，结合 B、B'、D 共线推出△EBB' 相似于△DBD，求出 PE 与 BD 比值；
(3) 分 A' 落在 BC 边、AD 边两种情况，折叠性质得 A'P=AP=x，结合勾股定理列方程求解 x；
(4) 先根据折叠性质得到 EB'=BE=3，构造直角三角形 B'HE，结合算出两条直角边长度；分B'在BC上方，B'在BC下方两种情况，过B'作BC的垂线或过点A'作BC的垂线，利用角度转换，分别解出两种情况下 x 的取值。
23．【答案】（1）（3，0）；（1，-4）
（2）解：由题意知点A横坐标为m，则A(m，m2-2m-3)，
∵AC 垂直x轴，
∴点C的横坐标m，代入y=-x-5得C(m，-m-5)；
∴AE2=(m-3)2+(m2-2m-3)2，CE2=(m-3)2+(-m-5)2，
由AE=CE得AE2=CE2，
化简得m2-3m-8=0，
解得：或
（3）①m≤-2；
或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；比例线段；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)∵D，E为抛物线与x轴的交点，
令y=0，则x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
∵点D在点E的左侧，
∴点E的坐标为(3，0).
将解析式配方得：y=(x-1)2-4，
故抛物线顶点坐标为(1，-4).
故答案为：(3，0)，(1，-4).
(3)①∵直线 AE 过 A (m，m2-2m-3)、E (3，0)，
∴直线AE解析式为：y=(m+1)(x-3)；
∵AC 垂直 x 轴，CB⊥AC，
故CB平行 x 轴，B 纵坐标与C相同为-m-5，
代入 AE 解析式求出 B 横坐标为；
则AC=m2-m+2，BC=，
代入AC≥BC化简不等式，
结合m<-1，
解得m≤-2。
②E (3，0) 是BB'中点，由中点坐标公式，
设B(xB，yB)，B'(xB'，yB')，
则xB'=6-xB，yB'=-yB.
线段关系 ，即4AB'=BB'，两边平方得16AB'2=BB'2。
∵E 为中点，
则BB'=2BE，BB'2=4BE2，
代入等式得16AB'2=4BE2，
化简4AB'2=BE2。
分别写出距离平方公式：
BE2=，
AB'2=，
根据4AB'2=BE2，
通分、消去分母后整理为关于 m 的一元二次方程，
求解两个根，
再结合限制条件m<-1验证，
可得：或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数解析式、两点间距离公式以及一元二次方程的应用.
(1)令y=0解一元二次方程求出抛物线与x轴交点坐标，再用配方法求出顶点坐标；
(2)用横坐标m表示A，C两点坐标，根据AC⊥x轴和点C在直线y=-x-5上求出点C坐标，再用两点间距离公式表示AE2和CE2，由AE=CE建立方程化简求解m；
(3)①先由A，E两点坐标求出直线AE的解析式，结合CB⊥AC(即CB∥x轴)写出点B坐标，用距离公式表示AC，BC，根据AC≥BC列不等式并结合m<-1求解；
②由E为BB'中点得到BB'=2BE，结合推出AB'与BE的关系，用坐标表示AB'2和BE2建立方程，解出m后结合m<-1验证取舍.
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