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四川省资阳市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】要使式子有意义，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】
依据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，以及分式有意义的条件：分母不等于0，列出对应的不等式求解，即可得到结果.
2．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】A. 与 的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B. ，与 不是同类二次根式；
C. ，与 被开方数相同，故是同类二次根式；
D. ，与 被开方数不同，故不是同类二次根式．
故答案为：C．
【分析】同类二次根式要求被开平方数相同。
3．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为 ，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这种药品的成本的年平均下降率为x，根据题意得：
故答案为：C.
【分析】此题的等量关系为：两年前生产一吨药的成本×（1-降低率）2=两年后生产一吨药的成本，列方程即可.
4．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（　　）
A．28 B．14 C．10 D．7
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE=BF=，
∵AB=6，
∴DE=BF=3，
同理可得：EF=BD=，
∵BC=8，
∴EF=BD=4，
∴C四边形BDEF=BD+DE+EF+BF=4+3+4+3=14.
【分析】根据三角形中位线的性质得DE=BF=，EF=BD=，即可求得四边形的周长．
5．如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（　　）
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9
【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，
∴，
∵与的位似比是1：2，
∴与的相似比是1：2，
∴与的周长比是1：2.
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
6．已知与是相似比为的位似图形，点为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，且与在点的两侧，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，
∴对应点与满足，且与在点的两侧，
∵点的坐标为，点为坐标原点，
∴点的坐标为．
故选：．
【分析】根据位似图形的性质，理清位似中心、相似比与对应点坐标之间的关系，进而推导点的坐标.
7．已知x= ，y= ，则x2+xy+y2的值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．7
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】原式=（x+y）2﹣xy
=（ + ）2﹣ ×
=（ ）2﹣
=5﹣1
=4．
故答案为：B．
【分析】先依据完全平方公式得到原式=（x+y）2﹣xy，然后再将x、y的值代入计算即可.
8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式组，求解即可.
9．如图，中，，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴
∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90°
∵
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE∽△OBF∽△AOD
又∵，
∴，
∴，
∴
∵点在反比例函数的图象上
∴
∴
∴，解得k=±8
又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故选：D．
【分析】
过点A作AD垂直于x轴，过点C作CE垂直于x轴，过点B作BF垂直于x轴，通过两角对应相等可证明△COE、△OBF、△AOD两两相似，结合相似三角形的性质可以得到：，。再结合反比例函数比例系数的几何意义，可以得到，由此可以先算出△AOD的面积，再进一步推出，最终即可求出k的值.
10．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图所示，过F点作∥，交于点I，
证明勾股定理的弦图的示意图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成
，，，，
又
，即
解得或（舍去）
，
FI∥HM
，
，
，
解得：
经检验：符合题意，
故选：D．
【分析】
过点F作辅助线平行于，先证明得到两组相似三角形，，再据此推导出关于线段和线段的两个关系等式，最终计算求出的长度.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　 　．
【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝()2＝，
故答案为： ．
【分析】
由相似三角形的性质可知，相似三角形对应中线的比等于相似比，据此可以求出，再结合相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解该问题。
12．若关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第　 　象限．
【答案】三
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a＝n，b＝﹣2，c＝﹣1，方程无实数根，
∴b2﹣4ac＜0
∴（﹣2）2﹣4×（﹣1）×n＜0
∴n＜﹣1
∴n+1＜0，﹣n＞0
∴一次函数y＝（n+1）x﹣n中，一次项的系数小于0，常数项大于0，其图象不经过第三象限．
故答案为：三．
【分析】先求出n+1＜0，﹣n＞0，再利用一次函数的图象与系数关系求解即可。
13．已知，，则代数式　 　．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由已知，，，
则，
，
所以，
因此，
故答案为：3．
【分析】先计算出和的值，再借助完全平方公式，把待求式变形为，代入计算结果后再求它的算术平方根即可.
14．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为　 　cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，.
∴∠OBC=∠OCB，
∴cm.
Rt△EBF中，∵点G是EF的中点，
∴BG=EG=FG，
∴∠GBF=∠GFB，
∴∠OCB=∠GFB，
∴EF//AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∵AB=6cm，AE=2cm，
∴BE=6-2=4cm，
∴
∴（cm），
∴（cm），
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质可得∠ABC=90°，，于是可求得AC的长.结合矩形的性质和直角三角形斜边中线的性质可证明∠OCB=∠GFB，于是可得EF//AC，证明△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性质可得，代入数据，即可得到EF的长.
15．设是方程的两实数根，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵是方程的两实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是方程的两实数根，
∴，
∴2016，
故答案为：2016.
【分析】
首先，因为是一元二次方程的根，把代入原方程，可得到。对这个等式变形，在等式两边同时乘，可以推出。接下来把这个结果代入到要求值的代数式中，化简后可得：最后根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可得两根之和，将其代入化简后的式子，就能算出最终结果.
16．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　 　．
【答案】（0，3）、（4，0）、（，0）
【知识点】勾股定理；三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；分类讨论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CAP＝∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABO，
∴，
∵点A（8，0）和点B（0，6），
∴AB＝＝10，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝5，
∴，
∴AP＝ ，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．
故答案为（0，3）、（4，0）、（，0）
【分析】
第一种情况，当PCllOA时，可得△BPC∽△BOA，由此可以计算得到P点坐标为(0，3)；第二种情况，当PCllOB时，可得 ACP∽△ABO，由此可以计算得到P点坐标为(4，0)；第三种情况，当PC⊥AB时，如图，由∠CAP=∠OAB ，可推出Rt△APC∽Rt△ABC，先计算出AB、AC的长度，再结合相似三角形对应边成比例计算出AP的长度，进一步即可求出OP的长，最终得到P点坐标.
三、解答题（共86分）
17．（1）计算：
（2）解方程：
【答案】解：（1）
；
（2）
∵
∴
∴，．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）先分别依据零指数幂的规定、立方根的定义、绝对值的性质化简各项，再按照二次根式的混合运算顺序计算最终结果；
（2）解这个一元二次方程，选用配方法，按照配方法的步骤整理方程即可求出方程的解.
18．已知， 求代数式的值．
【答案】解：∵，
∴，，
∴
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先对m进行分母有理化，得到，再计算得出，同时判断出，接下来借助完全平方公式和二次根式的性质对所求代数式进行化简，最后代入数值计算即可得到结果.
19．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求实数的值．
【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△≥0，即，
∴；
（2）根据题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵
∴m=2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）对于一元二次方程，当判别式=b2-4ac≥0时，方程有实数根，本题中方程二次项系数为1，满足a≠0，只需要判别式大于等于0即可解答；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系写出两根之和两根之积：，，利用完全平方公式变式已知等式，代入关系列出方程求解即可.
20．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
【答案】解：∵EO⊥BF，∴∠FOE＝90°，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴，
∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，
∴
∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，
∴
整理得：
解得：AB＝3．
答：围墙AB的高度是3m．
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
根据垂直的定义可得∠FOE＝90°，由此可推出，进而可证明△ABD∽△COD、△ABF∽△EOF，之后根据相似三角形的性质列出方程组，求解方程组即可得到对应结论.
21．某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是方程的解，
元，
答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元.
（2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，
根据题意得出：，
整理得：，
根据二次函数的性质得出：当时，利润最大，
最大利润为：，
答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是(x-4)元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量为，去年用1200元购进这款洗衣液的数量为，然后根据数量相同建立方程，求解即可；
（2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，则销售量为100(36-m)+600，然后根据利润=(售价-进价)×销售量可得W与m的关系式，接下来根据二次函数的性质进行解答.
22．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
【答案】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）已知AG⊥BC，AF⊥DE，因此 ∠AFE=∠AGC=90° ，由此可推得 ∠AED=∠ACB， 即可证明 明△ADE∽△ABC；
（2）由（1）已证 △ADE∽△ABC； 可得对应边成比例，进一步可证明△EAF∽△CAG， 同理可得对应边成比例，结合两个比例关系即可求出最终结果.
23．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
【答案】（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠APQ=∠C.
在△APQ与△ABC中，
∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABC.
（2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴.
∵∠BPQ为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ.
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示，
由（1）可知，△APQ∽△ABC，
∴，即，解得：.
∴.
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示，
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P.
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A．∴BQ=AB．
∴AB=BP，点B为线段AB中点．
∴AP=2AB=2×3=6.
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用余角的性质可证得∠APQ=∠C，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用勾股定理求出AC的长，根据∠BPQ为钝角，可知当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ；分情况讨论：（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示，由（1）可知，△APQ∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出PB的长，然后求出AP的长；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示，利用等边对等角可证得∠BQP=∠P，利用余角的现在可证得∠AQB=∠A，由此可求出AP的长.
24．【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．
①AC与BD之间的数量关系为　 　；
②∠AMB的度数为　 　；
【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数；
【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝ ，求点A、D之间的距离．
【答案】【操作发现】①AC=BD；②∠AMB=45°；类比探究：如图（2）中，
在△OAB和△OCD中，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，
∴∠COA＝∠DOB，OC＝OD，OA＝OB，
∴，
∴△COA∽△ODB，
∴，∠MAK＝∠OBK，
∵∠AKM＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝90°．
实际应用：如图3﹣1中，作CH⊥BD于H，连接AD．
在Rt△DCE中，
∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1，
∴∠CEH＝60°，
∵∠CHE＝90°，
∴∠HCE＝30°，
∴EH＝EC＝，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，BH＝，
∴BE＝BH﹣EH＝4，
∵△DCA∽△ECB，
∴AD：BE＝CD：EC＝，
∴AD＝4．
如图3﹣2中，连接AD，作 CH⊥DE于H．
同法可得BH＝，EH＝，
∴BE＝+＝5，
∵△DCA∽△ECB，
∴AD：BE＝CD：EC＝，
∴AD＝5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）操作发现：如图（1）中，设OA交BD于K．
∵∠AOB＝∠COD＝45°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO，
∵∠MKA＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝45°，
故答案为AC＝BD，∠AMB＝45°
【分析】
操作发现：针对图1，可以通过边角边定理证明△COA和△DOB全等，据此就可以完成对应问题的解答。
类比探究：针对图2，可以证明△COA和△ODB相似，由此可以得到 ，同时可以推得∠MAK＝∠OBK，即可完成对应问题的推导解答。
实际应用：只需要分两种不同的情况，先解直角三角形得到BE的长度，再借助相似三角形的性质就可以解答这个问题。
1 / 1四川省资阳市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为 ，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（　　）
A．28 B．14 C．10 D．7
5．如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（　　）
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9
6．已知与是相似比为的位似图形，点为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，且与在点的两侧，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．已知x= ，y= ，则x2+xy+y2的值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．7
8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
9．如图，中，，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　 　．
12．若关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第　 　象限．
13．已知，，则代数式　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为　 　cm．
15．设是方程的两实数根，则　 　．
16．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　 　．
三、解答题（共86分）
17．（1）计算：
（2）解方程：
18．已知， 求代数式的值．
19．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求实数的值．
20．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
21．某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
23．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
24．【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．
①AC与BD之间的数量关系为　 　；
②∠AMB的度数为　 　；
【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数；
【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝ ，求点A、D之间的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】要使式子有意义，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】
依据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，以及分式有意义的条件：分母不等于0，列出对应的不等式求解，即可得到结果.
2．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】A. 与 的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B. ，与 不是同类二次根式；
C. ，与 被开方数相同，故是同类二次根式；
D. ，与 被开方数不同，故不是同类二次根式．
故答案为：C．
【分析】同类二次根式要求被开平方数相同。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这种药品的成本的年平均下降率为x，根据题意得：
故答案为：C.
【分析】此题的等量关系为：两年前生产一吨药的成本×（1-降低率）2=两年后生产一吨药的成本，列方程即可.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE=BF=，
∵AB=6，
∴DE=BF=3，
同理可得：EF=BD=，
∵BC=8，
∴EF=BD=4，
∴C四边形BDEF=BD+DE+EF+BF=4+3+4+3=14.
【分析】根据三角形中位线的性质得DE=BF=，EF=BD=，即可求得四边形的周长．
5．【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，
∴，
∵与的位似比是1：2，
∴与的相似比是1：2，
∴与的周长比是1：2.
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，
∴对应点与满足，且与在点的两侧，
∵点的坐标为，点为坐标原点，
∴点的坐标为．
故选：．
【分析】根据位似图形的性质，理清位似中心、相似比与对应点坐标之间的关系，进而推导点的坐标.
7．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】原式=（x+y）2﹣xy
=（ + ）2﹣ ×
=（ ）2﹣
=5﹣1
=4．
故答案为：B．
【分析】先依据完全平方公式得到原式=（x+y）2﹣xy，然后再将x、y的值代入计算即可.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式组，求解即可.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴
∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90°
∵
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE∽△OBF∽△AOD
又∵，
∴，
∴，
∴
∵点在反比例函数的图象上
∴
∴
∴，解得k=±8
又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故选：D．
【分析】
过点A作AD垂直于x轴，过点C作CE垂直于x轴，过点B作BF垂直于x轴，通过两角对应相等可证明△COE、△OBF、△AOD两两相似，结合相似三角形的性质可以得到：，。再结合反比例函数比例系数的几何意义，可以得到，由此可以先算出△AOD的面积，再进一步推出，最终即可求出k的值.
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图所示，过F点作∥，交于点I，
证明勾股定理的弦图的示意图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成
，，，，
又
，即
解得或（舍去）
，
FI∥HM
，
，
，
解得：
经检验：符合题意，
故选：D．
【分析】
过点F作辅助线平行于，先证明得到两组相似三角形，，再据此推导出关于线段和线段的两个关系等式，最终计算求出的长度.
11．【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝()2＝，
故答案为： ．
【分析】
由相似三角形的性质可知，相似三角形对应中线的比等于相似比，据此可以求出，再结合相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解该问题。
12．【答案】三
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a＝n，b＝﹣2，c＝﹣1，方程无实数根，
∴b2﹣4ac＜0
∴（﹣2）2﹣4×（﹣1）×n＜0
∴n＜﹣1
∴n+1＜0，﹣n＞0
∴一次函数y＝（n+1）x﹣n中，一次项的系数小于0，常数项大于0，其图象不经过第三象限．
故答案为：三．
【分析】先求出n+1＜0，﹣n＞0，再利用一次函数的图象与系数关系求解即可。
13．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由已知，，，
则，
，
所以，
因此，
故答案为：3．
【分析】先计算出和的值，再借助完全平方公式，把待求式变形为，代入计算结果后再求它的算术平方根即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，.
∴∠OBC=∠OCB，
∴cm.
Rt△EBF中，∵点G是EF的中点，
∴BG=EG=FG，
∴∠GBF=∠GFB，
∴∠OCB=∠GFB，
∴EF//AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∵AB=6cm，AE=2cm，
∴BE=6-2=4cm，
∴
∴（cm），
∴（cm），
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质可得∠ABC=90°，，于是可求得AC的长.结合矩形的性质和直角三角形斜边中线的性质可证明∠OCB=∠GFB，于是可得EF//AC，证明△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性质可得，代入数据，即可得到EF的长.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵是方程的两实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是方程的两实数根，
∴，
∴2016，
故答案为：2016.
【分析】
首先，因为是一元二次方程的根，把代入原方程，可得到。对这个等式变形，在等式两边同时乘，可以推出。接下来把这个结果代入到要求值的代数式中，化简后可得：最后根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可得两根之和，将其代入化简后的式子，就能算出最终结果.
16．【答案】（0，3）、（4，0）、（，0）
【知识点】勾股定理；三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；分类讨论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CAP＝∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABO，
∴，
∵点A（8，0）和点B（0，6），
∴AB＝＝10，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝5，
∴，
∴AP＝ ，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．
故答案为（0，3）、（4，0）、（，0）
【分析】
第一种情况，当PCllOA时，可得△BPC∽△BOA，由此可以计算得到P点坐标为(0，3)；第二种情况，当PCllOB时，可得 ACP∽△ABO，由此可以计算得到P点坐标为(4，0)；第三种情况，当PC⊥AB时，如图，由∠CAP=∠OAB ，可推出Rt△APC∽Rt△ABC，先计算出AB、AC的长度，再结合相似三角形对应边成比例计算出AP的长度，进一步即可求出OP的长，最终得到P点坐标.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
∵
∴
∴，．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）先分别依据零指数幂的规定、立方根的定义、绝对值的性质化简各项，再按照二次根式的混合运算顺序计算最终结果；
（2）解这个一元二次方程，选用配方法，按照配方法的步骤整理方程即可求出方程的解.
18．【答案】解：∵，
∴，，
∴
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先对m进行分母有理化，得到，再计算得出，同时判断出，接下来借助完全平方公式和二次根式的性质对所求代数式进行化简，最后代入数值计算即可得到结果.
19．【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△≥0，即，
∴；
（2）根据题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵
∴m=2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）对于一元二次方程，当判别式=b2-4ac≥0时，方程有实数根，本题中方程二次项系数为1，满足a≠0，只需要判别式大于等于0即可解答；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系写出两根之和两根之积：，，利用完全平方公式变式已知等式，代入关系列出方程求解即可.
20．【答案】解：∵EO⊥BF，∴∠FOE＝90°，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴，
∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，
∴
∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，
∴
整理得：
解得：AB＝3．
答：围墙AB的高度是3m．
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
根据垂直的定义可得∠FOE＝90°，由此可推出，进而可证明△ABD∽△COD、△ABF∽△EOF，之后根据相似三角形的性质列出方程组，求解方程组即可得到对应结论.
21．【答案】（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是方程的解，
元，
答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元.
（2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，
根据题意得出：，
整理得：，
根据二次函数的性质得出：当时，利润最大，
最大利润为：，
答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是(x-4)元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量为，去年用1200元购进这款洗衣液的数量为，然后根据数量相同建立方程，求解即可；
（2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，则销售量为100(36-m)+600，然后根据利润=(售价-进价)×销售量可得W与m的关系式，接下来根据二次函数的性质进行解答.
22．【答案】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）已知AG⊥BC，AF⊥DE，因此 ∠AFE=∠AGC=90° ，由此可推得 ∠AED=∠ACB， 即可证明 明△ADE∽△ABC；
（2）由（1）已证 △ADE∽△ABC； 可得对应边成比例，进一步可证明△EAF∽△CAG， 同理可得对应边成比例，结合两个比例关系即可求出最终结果.
23．【答案】（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠APQ=∠C.
在△APQ与△ABC中，
∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABC.
（2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴.
∵∠BPQ为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ.
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示，
由（1）可知，△APQ∽△ABC，
∴，即，解得：.
∴.
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示，
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P.
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A．∴BQ=AB．
∴AB=BP，点B为线段AB中点．
∴AP=2AB=2×3=6.
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用余角的性质可证得∠APQ=∠C，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用勾股定理求出AC的长，根据∠BPQ为钝角，可知当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ；分情况讨论：（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示，由（1）可知，△APQ∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出PB的长，然后求出AP的长；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示，利用等边对等角可证得∠BQP=∠P，利用余角的现在可证得∠AQB=∠A，由此可求出AP的长.
24．【答案】【操作发现】①AC=BD；②∠AMB=45°；类比探究：如图（2）中，
在△OAB和△OCD中，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，
∴∠COA＝∠DOB，OC＝OD，OA＝OB，
∴，
∴△COA∽△ODB，
∴，∠MAK＝∠OBK，
∵∠AKM＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝90°．
实际应用：如图3﹣1中，作CH⊥BD于H，连接AD．
在Rt△DCE中，
∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1，
∴∠CEH＝60°，
∵∠CHE＝90°，
∴∠HCE＝30°，
∴EH＝EC＝，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，BH＝，
∴BE＝BH﹣EH＝4，
∵△DCA∽△ECB，
∴AD：BE＝CD：EC＝，
∴AD＝4．
如图3﹣2中，连接AD，作 CH⊥DE于H．
同法可得BH＝，EH＝，
∴BE＝+＝5，
∵△DCA∽△ECB，
∴AD：BE＝CD：EC＝，
∴AD＝5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）操作发现：如图（1）中，设OA交BD于K．
∵∠AOB＝∠COD＝45°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO，
∵∠MKA＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝45°，
故答案为AC＝BD，∠AMB＝45°
【分析】
操作发现：针对图1，可以通过边角边定理证明△COA和△DOB全等，据此就可以完成对应问题的解答。
类比探究：针对图2，可以证明△COA和△ODB相似，由此可以得到 ，同时可以推得∠MAK＝∠OBK，即可完成对应问题的推导解答。
实际应用：只需要分两种不同的情况，先解直角三角形得到BE的长度，再借助相似三角形的性质就可以解答这个问题。
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