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福建省莆田市2027届高三上学期开学质量诊断数学试卷
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
3．双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4．曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5．若函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为( )
A. B.1 C.2 D.5
6．设是定义在R上的偶函数，且满足.当时，，则( )
A.4 B. C. D.
7．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立秋”时日影长度为( )
附：
二十四节气表
立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑
立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒
A.分 B.分 C.分 D.分
8．有6个相同的球，其中3个黄球，3个白球，依次从中无放回地随机抽取，每次取1个球，直到取出2个黄球时停止取球.记X为停止取球时所取出的球的个数，则X的数学期望为( )
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. B.若，则
C.若，则 D.若，则在上的投影向量为
10．在棱长为2的正方体中( )
A.直线与是异面直线
B.平面平面
C.直线到平面的距离为
D.四面体的外接球的体积为
11．已知抛物线C：（）的焦点为F，准线为l：，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则( )
A.
B.
C.若弦的中点到l的距离为，则的斜率为
D.设交l于点M，则
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知是等比数列的前n项和，且，，则_____________.
13．直线被圆所截得的弦长为___________.
14．定义：已知，，…，是10个互不相等的实数的一个排列，且满足，则该排列的所有可能结果有______________个.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
16．（15分）近年来AI生成的艺术品备受关注.某艺术机构为了解购买AI生成的艺术品的意愿与性别的关系，随机调查了100名顾客，得到如下列联表：
愿意 不愿意 合计
女性 45 15 60
男性 25 15 40
合计 70 30 100
（1）根据小概率值的独立性检验，分析购买AI艺术品的意愿是否与性别有关；
（2）从这100名顾客中随机抽取两名，已知其中至少有一名为女性，求这两名顾客都愿意购买AI艺术品的概率.
附：，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
17．（15分）已知和为椭圆C：（）上两点.
（1）求C的方程；
（2）过点作直线l与C相交于P，Q两点，与y轴交于点E（点E在椭圆内部），O为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线l的方程.
18．（17分）如图，在矩形中，，，点E是线段上的动点，将沿翻折至.
（1）证明：；
（2）若平面平面，求在平面内的射影的轨迹的长度；
（3）当点E与B重合时，记二面角的大小为，若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
19．（17分）已知函数，.
（1）当时，求的单调区间；
（2）证明：；
（3）当时，，求k的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：A
解析：
3．答案：D
解析：
4．答案：C
解析：
5．答案：C
解析：
6．答案：B
解析：
7．答案：C
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：CD
解析：
10．答案：ABC
解析：
11．答案：ABD
解析：
12．答案：31
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：512
解析：
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：法一：（1）证明：因为，所以，
所以，
即，
所以，
又，所以，即.
（2）由（1）可得，，
因为，所以.
由余弦定理得，，
所以，
所以的面积.
法二：（1）证明：由正弦定理得，，
由余弦定理得，，
整理得，，即，
所以，
所以.
（2）由（1）可得，，
所以是以C为顶点的等腰三角形，
因为，所以.
过C作于D，则，
所以的面积.
16．答案：（1）认为购买AI艺术品的意愿与性别无关联
（2）
解析：（1）零假设：购买AI艺术品的意愿与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
.
根据小概率值的独立性检验，
没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，
即认为购买AI艺术品的意愿与性别无关联.
（2）设事件“所选的两名顾客至少有一名是女性”，
“这两名顾客都愿意购买AI艺术品”，
.
所以所求的概率为.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）依题意得，
解得
所以C的方程为.
（2）法一：依题意可知，直线l的斜率存在且不为零.
设直线（），，，
所以，
联立，整理得，
所以，
设原点O到l的距离为d，
因为的面积与的面积相等，
所以，得.
所以，得.
依题意，与异号，
所以，
所以，解得，
所以直线l的方程为或.
法二：依题意可知，直线l的斜率存在且不为零.
设直线，，，
所以，
联立，得，
所以，
因为的面积与的面积相等，
所以.
所以，则，即.
依题意，与异号，
所以，则，
解得，
所以直线l的方程为或.
法三：依题意可知，直线l的斜率存在且不为零.
设直线（），，，
所以，
联立，得，
所以，
设原点O到l的距离为d，
因为的面积与的面积相等，
所以，得.
所以DE与PQ的中点重合，
又因为PQ的中点，DE的中点，
所以，
所以，解得，
所以直线l的方程为或.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：作于H，连接，由翻折性质知，.
（1）连接.
，，
又平面，，
平面，
又平面，
，
（2）平面平面BCDE，平面平面，
平面，，
平面BCDE，
为点在平面BCDE上的射影.
又，可知H的轨迹是以AD为直径的一段圆弧，
当点E从A移动至B时，H的轨迹长度从0增长至最大.
点E与B重合，，
又，，，
在平面BCDE的射影的轨迹长度为.
（3）以D为原点，以向量，的方向为x轴，y轴正方向，如图建立空间直角坐标系，则，，.
过A作DE的垂线，垂足为I，求得，.
二面角的平面角为，则.
设平面的法向量为，
，，
由，，得
令，则，代入解得，
即平面的一个法向量.
直线BC的方向向量，设直线BC与平面所成角为，
则.
，单调递增，，
，
即直线BC与平面所成角的正弦值的取值范围为.
19．答案：（1）的单调递增区间是，单调递减区间是
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）当时，，其定义域为，
.
由得，在上单调递增；
由得，在上单调递减.
综上，的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由（1）知，在上单调递减，
所以当时，，即.
由得，即.
令，得
，即，
所以，，，…，，
累加，得，
所以，，证毕.
（3）当时，，则有对上恒成立，
所以对上恒成立.
令，则，
令，
则（），
所以在单调递减，
又，，由零点存在性定理知，
存在唯一零点，使，即，
即，即.
由函数在上单调递增，
可得，即，，
所以当时，，；当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
所以，即k的取值范围为.

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